Statistika (KMI/PSTAT)

Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15

Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina může nabývat libovolnou hodnotu z konečného nebo nekonečného intervalu reálných čísel. Statistika (KMI/PSTAT) 2 / 15

Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina může nabývat libovolnou hodnotu z konečného nebo nekonečného intervalu reálných čísel. Distribuční funkce náhodné veličiny Distribuční funkce náhodné veličiny X je pro každé reálné číslo x definována vztahem F (x) = P (X x). Hodnota distribuční funkce v bodě x tedy znamená pravděpodobnost, že náhodná veličina X má hodnotu nejvýše x. Statistika (KMI/PSTAT) 2 / 15

Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina může nabývat libovolnou hodnotu z konečného nebo nekonečného intervalu reálných čísel. Distribuční funkce náhodné veličiny Distribuční funkce náhodné veličiny X je pro každé reálné číslo x definována vztahem F (x) = P (X x). Hodnota distribuční funkce v bodě x tedy znamená pravděpodobnost, že náhodná veličina X má hodnotu nejvýše x. Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Je-li X spojitá náhodná veličina, potom existuje nezáporná funkce f(x) taková, že pro všechna reálná čísla x 0 platí x0 F (x 0 ) = f(x) dx. Funkci f(x) nazýváme hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X. Statistika (KMI/PSTAT) 2 / 15

Charakteristiky náhodné veličiny Hustota pravděpodobnosti má tyto vlastnosti: f(x) 0 f(x) dx = 1 P (a X b) = F (b) F (a) = b a f(x) dx pro a < b Statistika (KMI/PSTAT) 3 / 15

Číselné charakteristiky spojité náhodné veličiny Mějme spojitou náhodnou veličinu X s hustotou pravděpodobnosti f(x), kde M představuje množinu všech možných hodnot x náhodné veličiny X. Střední hodnota náhodné veličiny X je definována vztahem E(X) = x f(x) dx. M Druhý obecný moment náhodné veličiny X je definován vztahem E(X 2 ) = x 2 f(x) dx. M Rozptyl náhodné veličiny X je definován vztahem { [X ] } 2 [ ] 2 D(X) = E E(X) = x E(X) f(x) dx = E(X 2 ) ( E(X) ) 2. M Medián x je taková hodnota náhodné veličiny X, pro kterou platí P (X x) = P (X x) = 0, 5. Statistika (KMI/PSTAT) 4 / 15

Rovnoměrné (spojité) rozdělení náhodné veličiny Rovnoměrné rozdělení používáme k modelování situací, kdy obor hodnot náhodné veličiny je oboustranně omezen (je to tedy interval) a není možné předpokládat, že některé hodnoty z tohoto intervalu by se vyskytovaly častěji než jiné. To znamená, že pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny pochází z libovolného podintervalu od α do β je stejná, jako že pochází z jakéhokoliv jiného podintervalu stejné délky. Statistika (KMI/PSTAT) 5 / 15

Rovnoměrné (spojité) rozdělení náhodné veličiny Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrným (spojitým) rozdělením náhodné veličiny X, která nabývá hodnot x (a, b), nazveme takové rozdělení pravděpodobnosti, jehož hustota je { 1, x (a, b) f(x) = b a. 0, jinak Distribuční funkce je potom popsána rovnicemi 0, x a x a F (x) =, x (a, b). b a 1, x b b b 1 Střední hodnota je dána vzorcem E(X) = x f(x) dx = x a a b a dx = a + b 2. Rozptyl je dán vzorcem D(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = (b a)2. 12 Statistika (KMI/PSTAT) 6 / 15

Rovnoměrné (spojité) rozdělení Rovnoměrné rozdělení Představme si ideální systém městské hromadné dopravy, ve které určitá linka přijíždí na zastávku v naprosto přesném intervalu 10 minut. Náhodnou veličinou X je doba čekání na tuto linku při náhodném příchodu na zastávku. 1 Jaké jsou možné hodnoty této náhodné veličiny? 2 Namalujte a popište graf hustoty pravděpodobnosti této náhodné veličiny. 3 Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat od 2 do 7 minut? 4 Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat více než 6 minut? Statistika (KMI/PSTAT) 7 / 15

Rovnoměrné (spojité) rozdělení Rovnoměrné rozdělení Představme si ideální systém městské hromadné dopravy, ve které určitá linka přijíždí na zastávku v naprosto přesném intervalu 10 minut. Náhodnou veličinou X je doba čekání na tuto linku při náhodném příchodu na zastávku. 1 Jaké jsou možné hodnoty této náhodné veličiny? 2 Namalujte a popište graf hustoty pravděpodobnosti této náhodné veličiny. 3 Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat od 2 do 7 minut? 4 Jaká je pravděpodobnost, že na autobus budete čekat více než 6 minut? Rovnoměrné rozdělení Generátor náhodných čísel v PC vytváří náhodná čísla z rozmezí 0, 1. S jakou pravděpodobností bude vylosováno číslo a) x = 0, 3251 b) menší než x = 0, 4 c) číslo větší než x = 0, 7 d) číslo z rozmezí 0,4 až 0,7? Statistika (KMI/PSTAT) 7 / 15

pravděpodobnosti má zcela výjimečnou pozici mezi ostatními pravděpodobnostními rozděleními spojité náhodné veličiny. Toto rozdělení je použitelné tam, kde koĺısání hodnot náhodné veličiny kolem střední hodnoty je způsobeno velkým počtem nepatrných a nezávislých vlivů. Řekneme, že náhodná veličina X má normální rozdělení pravděpodobnosti, tj. X No[µ, σ 2 ], jestliže hustota pravděpodobnosti f(x) je popsána vzorcem f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, < x <. má dva parametry µ a σ 2, kde µ je střední hodnota rozdělení a σ 2 je jeho rozptyl. Je tedy E(X) = µ, D(X) = σ 2. Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 15

Distribuční funkce normálního rozdělení má tvar F (x) = 1 x σ 2π e (t µ)2 2σ 2 dt. Obrázek : Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení X No[180, 10 2 ] Statistika (KMI/PSTAT) 9 / 15

Výpočet F (x) podle vzorce je obtížný, proto náhodnou veličinu X transformujeme na normovanou veličinu U, kde U = X µ σ. Po této transformaci dostaneme tzv. normované náhodné rozdělení U, kde je f(u) = 1 e u2 2, F (u) = 1 u e t2 2 dt. 2π 2π Parametry normovaného normálního rozdělení U jsou E(U) = 0, D(U) = 1. Hodnoty normovaného normálního rozdělení jsou tabelovány. Protože je rozdělení symetrické okolo nuly, stačí v tabulce uvést hodnoty pravděpodobností pouze pro u > 0. Potom platí F ( u) = 1 F (u). Často máme najít pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty z intervalu x 1 až x 2. Z vlastností distribuční funkce plyne P (u 1 < U < u 2 ) = F (u 2 ) F (u 1 ). Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 15

Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350 Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350 b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, 982136 = 0, 017864 Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350 b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, 982136 = 0, 017864 c) P (X < 1, 5) = 1 F (1, 5) = 1 0, 933193 = 0, 066807 Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350 b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, 982136 = 0, 017864 c) P (X < 1, 5) = 1 F (1, 5) = 1 0, 933193 = 0, 066807 d) P (X > 0, 45) = F (0, 45) = 0, 673645 Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350 b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, 982136 = 0, 017864 c) P (X < 1, 5) = 1 F (1, 5) = 1 0, 933193 = 0, 066807 d) P (X > 0, 45) = F (0, 45) = 0, 673645 e) P (0, 35 < X < 1, 87) = F (1, 87) F (0, 35) = 0, 969258 0, 636831 = 0, 332427 Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

Necht X je náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením No[0, 1]. Určete, jaká je pravděpodobnost, že hodnota X bude a) menší než 1, 25 b) větší než 2, 1 c) menší než 1, 5 d) větší než 0, 45 e) v rozmezí 0, 35 až 1, 87 f) v rozmezí 1, 35 až 0, 55 a) P (X < 1, 25) = F (1, 25) = 0, 894350 b) P (X > 2, 1) = 1 F (2, 1) = 1 0, 982136 = 0, 017864 c) P (X < 1, 5) = 1 F (1, 5) = 1 0, 933193 = 0, 066807 d) P (X > 0, 45) = F (0, 45) = 0, 673645 e) P (0, 35 < X < 1, 87) = F (1, 87) F (0, 35) = 0, 969258 0, 636831 = 0, 332427 f) P ( 1, 35 < X < 0, 55) = F (0, 55) F ( 1, 35) = F (0, 55) [1 F (1, 35)] = F (0, 55) + F (1, 35) 1 = 0, 620332 Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 15

Životnost baterie je náhodnou veličinou X s normálním rozdělením s parametry µ = 300 hodin a σ = 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie bude mít životnost větší než 320 hodin? Statistika (KMI/PSTAT) 12 / 15

Životnost baterie je náhodnou veličinou X s normálním rozdělením s parametry µ = 300 hodin a σ = 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie bude mít životnost větší než 320 hodin? Je X No[300, 35 2 ]. Převedením na normované rozdělení dostaneme Je tedy U = X 300 35 = 320 300 35 = 20 35 = 4. = 0, 57. 7 P (X > 320) = P (U > 0, 57) = 1 F (0, 57) = 1 0, 715661 = 0, 284339. Pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie vydrží pracovat déle než 320 hodin je přibližně p = 0, 284. Statistika (KMI/PSTAT) 12 / 15

Při výstupní kontrole je součástka uznána za kvalitní, jestliže se její rozměr pohybuje v rozmezí 35 až 37 mm. Rozměry součástek mají normální rozdělení se střední hodnotou µ = 36, 2 mm a směrodatnou odchylkou 0, 3 mm. Jaká je pravděpodobnost, že rozměr součástky, náhodně vybrané ke kontrole, bude v požadovaných mezích? Statistika (KMI/PSTAT) 13 / 15

Při výstupní kontrole je součástka uznána za kvalitní, jestliže se její rozměr pohybuje v rozmezí 35 až 37 mm. Rozměry součástek mají normální rozdělení se střední hodnotou µ = 36, 2 mm a směrodatnou odchylkou 0, 3 mm. Jaká je pravděpodobnost, že rozměr součástky, náhodně vybrané ke kontrole, bude v požadovaných mezích? Je X No[36.2, 0.3 2 ]. Převedením na normované rozdělení dostaneme U = X 36.2 35 36.2, u 1 = = 1.2 0.3 0.3 0.3 = 4, u 37 36.2 2 = = 0.8. = 2.67. 0.3 0.3 Hledaná pravděpodobnost je P (35 < X < 37) = P ( 4 < U < 2, 67) = F (2, 67) F ( 4) = F (2, 67) + F (4) 1 = 0, 9962 + 0, 9999 1. = 0, 9962 Pravděpodobnost, že součástka bude v požadovaných mezích činí přibližně p = 0, 996. Statistika (KMI/PSTAT) 13 / 15

Výrobce trolejbusů připravuje nový typ trolejbusu. Při návrhu stanovuje různé detaily týkající se trolejbusu. Jedním z nich je výška dveří, která má být taková, aby jimi prošlo 95 % lidí. Předpokládejme, že výška lidí, kteří používají městskou dopravu podléhá normálnímu rozdělení s parametry µ = 180 cm a směrodatnou odchylkou σ = 10 cm. Jaká by tedy měla být výška dveří? Statistika (KMI/PSTAT) 14 / 15

Výrobce trolejbusů připravuje nový typ trolejbusu. Při návrhu stanovuje různé detaily týkající se trolejbusu. Jedním z nich je výška dveří, která má být taková, aby jimi prošlo 95 % lidí. Předpokládejme, že výška lidí, kteří používají městskou dopravu podléhá normálnímu rozdělení s parametry µ = 180 cm a směrodatnou odchylkou σ = 10 cm. Jaká by tedy měla být výška dveří? Z tabulek pro normovanou distribuční funkci normálního rozdělení vyčteme, že Φ(u) = 0, 95 platí pro u = 1, 65. Je tedy Φ(1, 65) = 0, 95, resp. P (U 1, 65). = 0, 95. Nyní musíme zjistit, která hodnota x v X No[180, 10 2 ] odpovídá u = 1, 65 pro U N[0, 1]. U = X µ σ 1, 65 = x 180 10 Výška dveří trolejbusu by měla být rovna 196,5 cm. 16, 5 = x 180 x = 196, 5 Statistika (KMI/PSTAT) 14 / 15

Výrobce trolejbusů připravuje nový typ trolejbusu. Při návrhu stanovuje různé detaily týkající se trolejbusu. Jedním z nich je výška dveří, která má být taková, aby jimi prošlo 95 % lidí. Předpokládejme, že výška lidí, kteří používají městskou dopravu podléhá normálnímu rozdělení s parametry µ = 180 cm a směrodatnou odchylkou σ = 10 cm. Jaká by tedy měla být výška dveří? Z tabulek pro normovanou distribuční funkci normálního rozdělení vyčteme, že Φ(u) = 0, 95 platí pro u = 1, 65. Je tedy Φ(1, 65) = 0, 95, resp. P (U 1, 65). = 0, 95. Nyní musíme zjistit, která hodnota x v X No[180, 10 2 ] odpovídá u = 1, 65 pro U N[0, 1]. U = X µ σ 1, 65 = x 180 10 Výška dveří trolejbusu by měla být rovna 196,5 cm. 16, 5 = x 180 x = 196, 5 Uvedená hodnota představuje 95% kvantil, nebot je 95% všech hodnot menších nebo rovných 196,5 cm a 5% je stejných nebo větších než 196,5 cm. Statistika (KMI/PSTAT) 14 / 15

Úlohy k samostatné práci Příklad I Předepsaný objem automaticky plněné krabice s mlékem je 1 litr. Povolená tolerance (směrodatná odchylka) činí 0.03 litru. 1 Kolik krabic v zásilce 1 400 kusů bude mít objem menší než 0.97 litru? 2 Jaká by musela být směrodatná odchylka, aby pouze 4 % krabic mělo svůj objem mimo povolený interval (0.97, 1.03) litru? Příklad II Zkouška nového stroje musí probíhat nepřetržitě 24 hodin a je nezbytně nutné, aby po celou tuto dobu byl stroj pod kontrolou diagnostického zařízení. Víme, že diagnostické zařízení má poruchu průměrně jednou za 2 500 hodin. Zjistěte, zda čas čekání na poruchu diagnostického zařízení je s pravděpodobností p = 0.99 delší, než čas vymezený na zkoušku. Příklad III Váha automaticky vyráběného výrobku (v gramech) je náhodná veličina X No[152.4, 0.16]. Kolik procent výrobků je těžších než 153 gramů? Statistika (KMI/PSTAT) 15 / 15