GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část /
Minulá přednáška Gaussova eliminační metoda (GEM) jako universální a systematická metoda řešení soustav lineárních rovnic (nad F). Dnešní přednáška.. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část /
Příklad Nalezněte všechny matice X, které splňují rovnost a R α X = X R α, kde R α : R R je matice rotace o úhel α, α [0; π). Rozměrová zkouška: musí platit X : R R. Rešeními jsou například matice E, O, a R α. Jak nalézt všechna řešení? ( Předvedeme ) universální metodu. x x Označme X =. Potom x x ( ) cos α x sin α x R α X = cos α x sin α x a sin α x + cos α x sin α x + cos α x ( ) cos α x + sin α x X R α = sin α x + cos α x. cos α x + sin α x sin α x + cos α x a Geometrický význam: hledáme všechny transformace X roviny, které jsou záměnné s rotací o úhel α. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 3/
Příklad (pokrač.) Rovnost R α X = X R α je ekvivalentní rovnosti R α X X R α = O,. Stačí tedy vyřešit soustavu čtyř rovnic sin α x sin α x = 0 sin α x sin α x = 0 sin α x sin α x = 0 sin α x + sin α x = 0 V maticovém zápisu (po skončení GEM) máme řešit soustavu sin α 0 0 sin α 0 0 sin α sin α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 v závislosti na parametru α [0; π). Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 4/
Příklad (pokrač.) 3 Pro sin α = 0 má soustava tvar 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) x x a tudíž řešení je tvaru X =, kde x x x, x, x a x jsou libovolná reálná čísla. Závěr: s rotacemi R 0 (o úhel 0) a R π (o úhel π) je záměnná libovolná transformace roviny. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 5/
Příklad (pokrač.) 4 Pro sin α 0 má soustava tvar 0 a řešení span(, 0 0 ). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Závěr: s rotací R α, kde α [0; π) ( \ {0, π}, ) jsou záměnné ( ) 0 0 transformace roviny tvaru X = a + b, 0 0 kde a, b jsou libovolná reálná čísla. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 6/
Poznámky Předchozí metoda (rozměrová zkouška pro hledanou matici X a následné řešení velké soustavy rovnic) je universální metodou pro řešení maticových rovnic, kde neznámá matice X vystupuje pouze v první mocnině. Jak už to u universálních metod bývá: v některých případech je taková metoda zbytečně zdlouhavá. Předvedeme speciální metodu řešení maticových rovnic tvaru a A X = B. a Protože rovnost X A = B je ekvivalentní rovnosti A T X T = B T, získáme tak i metodu pro řešení rovnic tvaru X A = B. Při takovém výpočtu musíme ovšem velmi obezřetně zacházet s transposicemi matic. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 7/
Převod maticové rovnice na více soustav lineárních rovnic Maticovou rovnici A X = B, kde matice A : F s F r, a matice B : F p F r, převedeme na p soustav kde B = (b b... b p ). A x = b,..., A x = b p Každou takovou soustavu A x = b i vyřešíme předešlými postupy. a Řešení A X = B existuje právě tehdy, když každá soustava A x = b i má řešení. 3 Pokud má každá soustava A x = b i řešení, pak sesazením všech řešení x,... x s jednotlivých soustav dostaneme řešení původní maticové rovnice: X = (x x... x p ). a Jak uvidíme, lze takový systém soustav řešit simultánně. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 8/
Příklad Nad R vyřešte rovnici ( ) X = 3 ( ). Protože X : R R 3, máme řešit dvě soustavy: ( ) ( ) ( ) x = x = 3 3 ( ) Obě soustavy mají stejnou matici soustavy, lze je tedy řešit simultánně: Simultánní GEM: ( 3 ) ( 0 5 Podle Frobeniovy věty mají obě soustavy řešení. ) R R R Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 9/
Příklad (pokrač.) ( ) Zápis kóduje dvě soustavy s řešeními 0 5 (v pořadí soustav zleva doprava): 3 7 0 + span( ) 5 0 7 0 + span( ) 5 3 Sesazení řešení dohromady : celkové řešení je tvaru 3 7a 7b 3 0 7 0 0 7 X = a b = 0 0 +a 0 +b 0 + 5a + 5b 5 0 0 5 kde a, b jsou libovolná reálná čísla. a a Jde tedy o rovinu v prostoru Lin(R, R 3 ). Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 0/
Poznámka Víme, že pro regulární matici A : F n F n má soustava A X = B jediné řešení, a sice X = A B. Toto jediné řešení lze nalézt postupem, kterému se někdy říká Gaussova-Jordanova eliminace: eleminace řádkovými úpravami nekončí po dosažení horní trojúhelníkové matice, ale pokračujuje nulováním i nad hlavní diagonálou. Získáváme tak postup (A B) (E n A B) Speciálně: pro regulární A : F n F n lze nalézt A postupem (A E n ) (E n A ) Více viz cvičení a skripta, Příklad 6.4.. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část /
Příklad Nad R nalezněte (jakoukoli) soustavu tvaru A x = b, která má řešení 3 + span(, 0 ) 6 0 4 Myšlenky postupu: 3 Zadané řešení tvoří rovinu v R 3, která prochází bodem a 6 má směr určený vektory, 0. 0 4 Tudíž: hledanou soustavu očekáváme ve tvaru (a a a 3 b), neboli a x + a y + a 3 z = b. Jak najít soustavu (a a a 3 b) systematicky? Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část /
Příklad, pokrač. Podle Frobeniovy věty je ( ) 3 ( ) ( ) 6 + span( 0, 0 4 ) řešením soustavy A x = b, kde ( ) ( ) Vektory 0, 0 4 jsou lineárně nezávislé; tvoří tudíž fundamentální systém soustavy A x = o, kde def(a) = a A má tři sloupce. To umožní nalézt A = (a a a 3 ). ( ) 3 Vektor je partikulární řešení soustavy A x = b, neboli 6 ( ) 3 A 6 = b. Matici A známe, můžeme dopočítat b = (b). Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 3/
Příklad, pokrač. 3 Nalezení A: Protože má platit (a a a 3 ) 0 = 0, musí platit 4 ( 0 4) a a = 0. a 3 Protože má platit (a a a 3 ) = 0, 0 musí platit ( 0) a a = 0 ( ) a a 3 Tudíž a je fundamentální systém soustavy a 3 ( ) ( ) ( ) a 0 4 0, neboli (např.) a 0 0 = a a 3 A = ( ). Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 4/
Příklad, pokrač. 4 Nalezení b. Protože A = ( ) a A b =. ( ) 3 = b, je 6 5 Závěr: hledaná soustava je (například) ( ). Poznámky Předchozí příklad nalezl obecnou rovnici roviny z jejího parametrického zadání. Postup využíval platnosti Frobeniovy věty a základních vlastností matic. Očekáváme: podobný postup bude fungovat pro nalezení soustavy A x = b nad tělesem F, která má řešení p + span(x,..., x d ) kde vektory x,..., x d jsou lineárně nezávislé. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 5/
Definice Zápisu p + span(x,..., x d ) v F s, kde vektory x,..., x d jsou lineárně nezávislé, říkáme afinní podprostor dimense d v prostoru F s. a Seznamu (x,..., x d ) říkáme směr (také: zaměření) tohoto afinního podprostoru. a Viz nepovinná Kapitola 7 skript. Ilustrační obrázek x p x x Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 6/
Tvrzení Ke každému afinnímu podprostoru p + span(x,..., x d ) dimense d v F s existuje alespoň jedna soustava tvaru A x = b, která má p + span(x,..., x d ) jako množinu řešení. Důkaz. Podrobně na přednášce; hlavní myšlenky jsou: Musí platit A x i = o pro i =,..., d a A p = b. Označme X = (x,..., x d ). Protože seznam (x,..., x d ) je lineárně nezávislý, platí d = rank(x) = rank(x T ). Soustava a X T a = o má s d prvků ve svém fundamentálním systému. Označme tento systém jako (a,..., a s d ). 3 Známe A = (a,..., a s d ) T a dopočteme b z rovnice A p = b. a Pozor: matici X T známe, neznámá je označena jako a. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 7/
Příklad Nad R nalezněte (jakoukoli) soustavu tvaru A x = b, která má řešení + span(, 0, 0 ) 0 0 0 0 0 0 0 Označme X = 0 0 0 0, potom XT = 0 0. Platí 0 0 0 0 3 = rank(x) = rank(x T ). Matice A má jako řádky fundamentální systém soustavy X T a = o. Protože rank(x T ) = 3, bude mít matice A dva lineárně nezávislé řádky. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 8/
Příklad (pokrač.) 3 Fundamentální systém soustavy X T a = o, neboli homogenní soustavy / / 0 0 0 /4 0 0 0, je například 5/4 0 0 0, /4 3/4 0. 0 / / /4 Užitečný trik: a proto je i 4 5/4 = 5 4, 4 /4 3/4 0 = 3 0 0 0 4 fundamentální systém soustavy X T a = o. ( ) 5 4 0 Můžeme tedy psát: A =. 3 0 4 a Fundamentální systém tvoří bázi jádra matice soustavy. A nenulové skalární násobky prvků jakékoli báze opět tvoří bázi. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 9/
Příklad (pokrač.) 4 Dopočteme b z rovnice A 0 = b. ( ) 5 4 0 ( ) Tudíž b = 3 0 4 3 0 =. 5 Odpověd : afinní podprostor 0 + span( 0, 0, 0 0 ) v R5 je 0 0 ( ) 5 4 0 3 řešením soustavy nad R. 3 0 4 5 Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část 0/
Závěrečné poznámky GEM je sice universální metodou řešení soustav lineárních rovnic, nad R (nebo C) je však numericky nestabilní. V praxi je pro řešení (zvláště velkých) soustav lineárních rovnic nad R (nebo C) nutno použít jiné metody (například iterační Gaussovu-Seidelovu metodu, a a jiné). Tyto metody jsou mimo sylabus standardní přednášky z lineární algebry. Jak řešit soustavy s parametrem? GEM je universální metodou! Při řešení soustav s parametrem pomocí GEM musíme být velmi opatrní na provádění elementárních úprav. Pro soustavy se čtvercovou maticí vyvineme později další metodu řešení (kombinaci GEM a Cramerovy věty). 3 Nepovinné: Nad R lze mít i další geometrický pohled na GEM (tzv. Householderovy reflexe). a Viz Poznámku 6.4.7 skript. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část /