3. Wahadło matematyczne 3.1. Silą powodująca ruch wahadła. Omówimy teraz drugi przykład ruchu harmonicznego ruch wahadła matematycznego. Wahadłem matematycznym będziemy nazywali ciało o masie m i niewielkiej objętości (czyli punkt materialny), zawieszone na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l. W położeniu równowagi ciężar ciała zawieszonego na nici jest zrównoważony przez siłę sprężystości nici i kulka pozostaje w spoczynku. Co się stanie jeżeli wychylimy ciało z położenia równowagi? Na kulkę działa pionowo w dół siła ciężkości F. Po rozłożeniu jej na dwie składowe F 1 i f 2 możemy stwierdzić, iż składowa F2 działająca wzdłuż nici nie wpływa na ruch, bo jest zrównoważona przez siłę sprężystości nici. Nas interesować będzie druga składowa f 1 składowa powodująca powracanie kulki do położenia równowagi (rys. 9). Rys. 9. Siły w wychylonym wahadle. Z rysunku widać, że wartość siły f 1 jest równa F 1 = F sin a Ale F = m g Więc F = m g sin a Lecz sina = x / l (słuszne tylko dla małych kątów)
Stąd F 1 = m. g x / l Ogólnie siła powodująca ruch kulki wahadła wyrazi się wzorem: [10] F= - m g x / l gdzie znak minus oznacza przeciwny zwrot siły do wychylenia. Analizując równanie 10 wyciągnąć możemy następujący wniosek: siła powodująca ruch kulki wahadła jest wprost proporcjonalna do wychylenia kulki z położenia równowagi, więc ruch wahadła jest ruchem harmonicznym. 3.2. Okres drgań wahadła. Ponieważ ruch wahadła jest ruchem harmonicznym to możemy zastosować równanie 6 w postaci F = - m w 2 x i porównać je z równaniem 10 F= - m g x / l Otrzymamy wówczas następującą zależność: m w 2 x = m g x / l a po uproszczeniu w 2 = g / l Ponieważ prędkość kątowa z okresem drgań związana jest zależnością w = 2 p / f to po podstawieniu otrzymamy 4p 2 / T 2 = g / l Przekształcając powyższe równanie otrzymamy wzór pozwalający obliczyć okres drgań wahadła matematycznego. [11] T = 2 p Ö (l / g) Okres drgań wahadła zachodzących pod wpływem składowej siły ciężkości zwany jest okresem drgań własnych. Ze wzoru (równanie 11) wynika, że okres drgań własnych wahadła matematycznego zależy od jego długości i przyśpieszenia grawitacyjnego, nie zależy natomiast od jego masy i amplitudy drgań. Właściwość wahadła polegająca na niezależności okresu drgań od jego amplitudy nazwana została izochronizmem i zastosowana w zegarach. Zjawisko izochronizmu odkrył Galileusz około 1580 roku, jednak dopiero w 1636 roku rozpoczęto najpierw nieudane próby zbudowania zegara wahadłowego. Wynalazcą tego typu konstrukcji był Huygens, o którym usłyszysz w następnym module. Budowaniem zegarów w XVII wieku zajmowało się także dwóch znanych Polaków. Jednym z nich był sławny gdański astronom Jan Heweliusz (1611-1687), który za pomocą zegara wahadłowego własnej konstrukcji próbował mierzyć czas zaćmienia Słońca.
Drugim znanym konstruktorem zegarów był jezuita sprawujący funkcję bibliotekarza króla Jana Sobieskiego Adam Amandy Kochański (1631-1700). Jego dziełem było zbudowanie zegarka małego formatu z balansem i spiralą drgającą w polu magnesu stałego. 3.3. Rezonans mechaniczny. Aby mówić o zjawisku rezonansu musimy zdefiniować pojęcie drgań własnych. Mówiliśmy już o nich; wiesz jakim wzorem się wyraża i od czego zależy okres drgań własnych kulki zawieszonej na sprężynie czy wahadła matematycznego. W obu przypadkach działaliśmy na ciała siłą zewnętrzną odchylając je z położenia równowagi i dalej zachowanie się ciał było samorzutne" nie dotykaliśmy podczas ruchu kulki wahadła, czy kulki na sprężynie. Możemy powiedzieć, że: Drganiami własnymi lub swobodnymi nazywamy drgania układu bez oddziaływania z otoczeniem. Każde ciało sprężyste charakteryzuje się drganiami własnymi o stałym okresie. Drgają deski podłogi, ściany budynków, szyby w oknach, struny instrumentów muzycznych itd. Drgania własne to drgania o stałej amplitudzie. W rzeczywistości drgania własne, których amplituda nie zmienia się nie istnieją. Siły hamujące ruch, na przykład tarcie drgającej masy o otaczający ośrodek powoduje zmniejszanie się amplitudy drgań. Domyślasz się z pewnością, iż spowodowane jest to utratą części energii przez układ. Drgania o zmniejszającej się amplitudzie nazywamy drganiami tłumionymi. Zanikanie (gaśniecie, tłumienie) drgań odbywa się przy niezmiennym ich okresie. Przykładem drgań tłumionych mogą być wahania huśtawki raz odchylonej od położenia równowagi i swobodnie puszczonej; po pewnym czasie drgania zanikną i huśtawka zatrzyma się. Z praktyki wiemy, że można przeszkodzić zanikaniu drgań przez udzielanie w odpowiednich odstępach czasu lekkich pchnięć. Pchnięć tych musimy udzielać huśtawce w tym samym rytmie, w którym waha się huśtawka. W tym samym rytmie oznacza, że należy uderzać huśtawkę w odstępach czasu równych okresowi jej drgań własnych. Takie drgania huśtawki odbywające się pod wpływem działającej siły zewnętrznej nazywamy drganiami wymuszonymi. Gdy ciało drgające otrzymuje z zewnątrz lekkie impulsy (pchnięcia, uderzenia) mogą one wpływać na amplitudę drgań w różny sposób. Impulsy skierowane przeciwnie do prędkości drgań powodują ich tłumienie, zgodne powodują zwiększenie amplitudy drgań. Zjawisko pobudzania ciała do drgań lub zwiększania amplitudy tych drgań wskutek przekazywania mu impulsów o okresie równym okresowi drgań własnych tego ciała nazywamy rezonansem. Zjawisko rezonansu jest bardzo niebezpieczne w technice. Most może ulec zniszczeniu na skutek drgań wywołanych przez przejeżdżające pojazdy, lub przez kolumnę wojskową maszerującą równym krokiem. Zjawisko to może spowodować zawalenie się budynku, pękanie szyb w pojazdach lub halach fabrycznych. Ustawiony w hali fabrycznej silnik puszczony w ruch może spowodować zerwanie się stropu, na którym był zamontowany. Zjawisko to jest łatwe do wyjaśnienia. Silnik nie może być zbudowany idealnie i zawsze nieco drga; drgania te są przekazywane otoczeniu a więc i stropowi, na którym stoi silnik. Jeżeli okres drgań własnych stropu jest równy okresowi drgań silnika, to amplituda drgań stropu wzrasta, strop ulega rozbujaniu" i przy dość dużej amplitudzie drgań ulega zerwaniu. Aby przeciwdziałać niszczącemu działaniu rezonansu mechanicznego nowoczesne konstrukcje zawierają elementy tak dobrane, aby nie rezonowały ze sobą.
Innym, tym razem pozytywnym przykładem rezonansu może być fakt, że ciężki dzwon można rozbujać używając niewielkiej siły pod warunkiem, że ciągniemy za sznur (dostarczamy energii) z częstotliwością bliską częstotliwości jego drgań własnych. Ze zjawiska rezonansu korzystamy czasem w życiu codziennym. Doświadczony kierowca wie, że w takiej sytuacji (rys. 11) bardziej skuteczne są rytmiczne impulsy, np. do przodu niż działanie stałej siły. Na skutek tych impulsów amplituda drgań samochodu wzrasta na tyle, aby pojazd mógł się wydobyć z pułapki". Rys. 11. Wykorzystanie zjawiska rezonansu. Pytania i zadania 1. Dlaczego ruch wahadła jest ruchem harmonicznym? 2. Od jakich wielkości fizycznych zależy okres drgań wahadła matematycznego? 3. Czy okres drgań wahadła będzie taki sam na biegunie i równiku? 4. Jeżeli długość wahadła zwiększymy czterokrotnie to jak zmieni się jego okres drgań, a jak częstotliwość? 5. W kabinie windy wisi wahadło matematyczne. Gdy kabina jest nieruchoma, to okres drgań wahadła wynosi T = l s. Jeżeli natomiast kabina porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym do góry, okres ten wynosi T 1 = 0,9 s. Oblicz przyspieszenie kabiny. 6. Jaką długość powinno mieć wahadle, aby jego okres drgań wynosił T = l s? 7. Jaki byłby okres wahań ziemskiego wahadła o długości jednego metra na Marsie? Przyśpieszenie grawitacyjne na Marsie stanowi 0,37 przyśpieszenia ziemskiego. 8. Przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu stanowi 0,166 przyśpieszenia ziemskiego. Wahadło wykonuje na Ziemi w pewnym czasie 124 wahnienia. Ile wahnień wykonałoby to samo wahadło w tym samym czasie na Księżycu? 9. Jak nazywamy drgania ciała odbywające się bez udziału sil zewnętrznych? 10. Jak nazwiemy drgania, których amplituda stopniowo się zmniejsza? 11. Jak nazywamy drgania układu, na który działa siła zewnętrzna podtrzymująca drgania? 12. Jaki warunek musi być spełniony aby zaszło zjawisko rezonansu mechanicznego' 13. Dlaczego oddział wojska przed wkroczeniem na most otrzymuje komendę marszu dowolnym krokiem?
14. W czasie pracy silnika autobusowego często się zdarza, że luźno zamocowane szyby silnie dźwięczą. Przy zmianie prędkości pracy silnika efekt ten ustaje. Objaśnij zjawisko. 15. Akrobata stoi na batucie, którego odkształcenie pod ciężarem człowieka x = 0,5 m. Z jaką częstotliwością akrobata musi robić na batucie przysiady, jeżeli chce wprawie go w drgania o dużej amplitudzie? 4. Energia w ruchu harmonicznym 4.1. Energia kinetyczna. Ponieważ prędkość ciała wykonującego drgania harmoniczne opisana jest równaniem 3 v = w A cosa a energia kinetyczna wzorem E k = m v 2 / 2 pozwala to natychmiast obliczyć energię kinetyczną ciała wykonującego drgania harmoniczne E k = m (w A cosa ) 2 / 2 = m w 2 A 2 cos 2a /2 Uwzględniając, że k = m w 2 otrzymujemy [12] E k = k A 2 cos 2a / 2 gdzie: k współczynnik sprężystości, A amplituda drgań, a faza ruchu. Zwróć uwagę, że energia kinetyczna drgań bardzo silnie zależy od amplitudy: jeżeli amplituda drgań wzrośnie dwa razy to energia kinetyczna wzrośnie aż czterokrotnie. Analizując równanie 12 możemy stwierdzić również, że energia kinetyczna drgań podobnie jak poprzednio omawiane wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny zależy od fazy a więc i od odległości rozważanego punktu względem położenia równowagi: gdy a = 0 to E k = k A 2 / 2 energia kinetyczna jest maksymalna, gdy a = 90 to E k = 0. 4.2. Energia potencjalna. Pamiętasz z pewnością, że kulkę musieliśmy wprawić w drgania. Wymagało to od nas wykonania pracy, bowiem musieliśmy na drodze x przeciwdziałać sile sprężystości sprężyny. Praca ta jest równa przyrostowi energii potencjalnej kulki W = D Ep
Siła zewnętrzna w każdym punkcie musi równoważyć siłę sprężystości a siła ta rośnie od O (dla x = 0) do pewnej wartości maksymalnej zależnej od wychylenia. Musimy wobec tego obliczyć jej wartość średnią (rys. 7). Ponieważ a Fkon = k x więc siła średnia będzie równa W = Fśr x = k x 2 / 2 Fśr = (Fpocz + Fkon) / 2 Fpocz = 0 Fśr = k x / 2 Wobec tego praca wyrazi się następującą zależnością Ponieważ energia i praca są sobie równoważne więc energia potencjalna sprężystości ciała wykonującego drgania harmoniczne ma postać [13] E p = k x 2 / 2 Największą energię potencjalną uzyskuje ciało gdy osiągnie wychylenie maksymalne (x = A). Aby upodobnić wzory opisujące energię potencjalną i kinetyczną, do równania 13 zamiast x wstawimy równanie l. Otrzymamy wtedy następującą postać: Ep =k (A sina ) 2 / 2 [14] Ep = k A 2 sin 2a / 2 Energia potencjalna podobnie jak kinetyczna zależy od amplitudy drgań. Energia potencjalna zależy też od fazy ruchu: gdy a = 0 to Ep = O, gdy a = 90 to Ep = k A 2 / 2 4.3. Energia całkowita. Ec=Ep+Ek Podstawiając równania 12 i 14 otrzymujemy Ec = k A 2 sin 2a / 2 + k A 2 cos 2a / 2 = k A 2 (sin 2a + cos 2a ) / 2 Energia całkowita jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej ciała
Ponieważ wyrażenie w nawiasie jest równe jedności (tzw. jedynka trygonometryczna) wobec tego całkowita energia ciała drgającego wyrażona będzie równaniem [15] Ec = k A 2 / 2 Jak wynika z równania 15 całkowita energia ciała poruszającego się ruchem harmonicznym bez tłumienia jest stalą; nie zależy od wychylenia ciała z położenia równowagi, czy też fazy ruchu. Podczas ruchu następuje przemiana energii kinetycznej na potencjalną i odwrotnie. Na rys. 13 przedstawiono wykresy energii kinetycznej (linia ciągła) i energii potencjalnej (linia przerywana) w zależności od czasu. Uwidoczniona też została stałość energii całkowitej w ruchu harmonicznym. Rys. 13. Wykresy energii kinetycznej, potencjalnej i całkowitej w zależności od czasu. Jeżeli ruch harmoniczny odbywa się z tarciem (oporami ośrodka), energia ruchu drgającego musi maleć. A zatem musi maleć amplituda drgań mówimy wtedy o drganiach tłumionych. Pytania i zadania
1. Jakim wzorem wyraża się maksymalna energia kinetyczna ciała wykonującego drgania harmoniczne? 2. Jeżeli amplituda drgań harmonicznym wzrośnie dwukrotnie to jak zmieni się energia całkowita dala drgającego? 3. Energia całkowita dala wykonującego drgania harmoniczne wynosi 0,7 J. W pewnej chwili ruchu energia kinetyczna tego data jest równa 0,4 J. Jaka jest w tym momencie energia potencjalna tego dala? 4. Wahadło matematyczne o długości l = l m zostało odchylone z położenia równowagi o kąt a = 10 i puszczone swobodnie. Oblicz prędkość kulki tego wahadła w chwili przechodzenia przez położenie równowagi. 5. Przy jakiej fazie a energia kinetyczna drgań harmonicznych będzie równa energii potencjalnej? 6. Ciało o masie m = 10 g wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A = 10 cm i częstotliwości f = 10 Hz. Oblicz całkowitą energię drgań tego ciała. 7. Oblicz energię potencjalną dala drgającego ruchem harmonicznym dla czasu t = 0,25 T od chwili rozpoczęcia ruchu, jeżeli amplituda A = 20 cm, częstotliwość f =20 Hz, a masa ciała drgającego m = 0,05 kg.