a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r.
a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p) Załóżmy, że n jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią, a p jest liczbą z przedziału (0, 1). Próbą Bernoulliego nazywamy eksperyment losowy o dwóch możliwych wynikach, interpretowanych jako sukces i porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki to q = 1 p. Schematem Bernoulliego B(n, p) nazywamy ciąg n niezależnych prób Bernoulliego.
a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p) Załóżmy, że n jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią, a p jest liczbą z przedziału (0, 1). Próbą Bernoulliego nazywamy eksperyment losowy o dwóch możliwych wynikach, interpretowanych jako sukces i porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki to q = 1 p. Schematem Bernoulliego B(n, p) nazywamy ciąg n niezależnych prób Bernoulliego.
a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p) Załóżmy, że n jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią, a p jest liczbą z przedziału (0, 1). Próbą Bernoulliego nazywamy eksperyment losowy o dwóch możliwych wynikach, interpretowanych jako sukces i porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki to q = 1 p. Schematem Bernoulliego B(n, p) nazywamy ciąg n niezależnych prób Bernoulliego.
a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p) Załóżmy, że n jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią, a p jest liczbą z przedziału (0, 1). Próbą Bernoulliego nazywamy eksperyment losowy o dwóch możliwych wynikach, interpretowanych jako sukces i porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki to q = 1 p. Schematem Bernoulliego B(n, p) nazywamy ciąg n niezależnych prób Bernoulliego.
a schemat Bernoulliego Przykład - schematu Bernoulliego B(100, 1/3) Rzucamy 100 razy monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 1/3. Próbą Bernoulliego jest pojedynczy rzut monetą. Sukcesem jest wypadnięcie orła, porażką - wypadnięcie reszki. Jeśli zamienić miejscami sukces i porażkę, to otrzymujemy schemat Bernoulliego B(100, 2/3). Ważna dygresja: spodziewamy się, że liczba wyrzuconych orłów będzie się wahać w okolicach 100/3 = 33 1 3.
a schemat Bernoulliego Przykład - schematu Bernoulliego B(100, 1/3) Rzucamy 100 razy monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 1/3. Próbą Bernoulliego jest pojedynczy rzut monetą. Sukcesem jest wypadnięcie orła, porażką - wypadnięcie reszki. Jeśli zamienić miejscami sukces i porażkę, to otrzymujemy schemat Bernoulliego B(100, 2/3). Ważna dygresja: spodziewamy się, że liczba wyrzuconych orłów będzie się wahać w okolicach 100/3 = 33 1 3.
a schemat Bernoulliego Przykład - schematu Bernoulliego B(100, 1/3) Rzucamy 100 razy monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 1/3. Próbą Bernoulliego jest pojedynczy rzut monetą. Sukcesem jest wypadnięcie orła, porażką - wypadnięcie reszki. Jeśli zamienić miejscami sukces i porażkę, to otrzymujemy schemat Bernoulliego B(100, 2/3). Ważna dygresja: spodziewamy się, że liczba wyrzuconych orłów będzie się wahać w okolicach 100/3 = 33 1 3.
a schemat Bernoulliego Przykład - schematu Bernoulliego B(100, 1/3) Rzucamy 100 razy monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 1/3. Próbą Bernoulliego jest pojedynczy rzut monetą. Sukcesem jest wypadnięcie orła, porażką - wypadnięcie reszki. Jeśli zamienić miejscami sukces i porażkę, to otrzymujemy schemat Bernoulliego B(100, 2/3). Ważna dygresja: spodziewamy się, że liczba wyrzuconych orłów będzie się wahać w okolicach 100/3 = 33 1 3.
a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P 2 +... + P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.
a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P 2 +... + P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.
a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P 2 +... + P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.
a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P 2 +... + P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.
a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P 2 +... + P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.
a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P 2 +... + P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.
a schemat Bernoulliego Francis Galton Sir Francis Galton (1822-1911) - angielski podróżnik, przyrodnik oraz wynalazca.
a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.
a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.
a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.
a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.
a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.
a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.
a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.
a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) Weźmy deskę Galtona o n poziomach. Proces losowania przegrody, w której ostatecznie wyląduje kulka, składa się z n niezależnych kroków, związanych z pokonywaniem kolejnych poziomów. Zinterpretujmy ruch w lewo jako porażkę, ruch w prawo jako sukces. Wówczas numer komory do której wpadnie kulka to liczba sukcesów w schemacie B(n, 1/2).
a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) Weźmy deskę Galtona o n poziomach. Proces losowania przegrody, w której ostatecznie wyląduje kulka, składa się z n niezależnych kroków, związanych z pokonywaniem kolejnych poziomów. Zinterpretujmy ruch w lewo jako porażkę, ruch w prawo jako sukces. Wówczas numer komory do której wpadnie kulka to liczba sukcesów w schemacie B(n, 1/2).
a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) Weźmy deskę Galtona o n poziomach. Proces losowania przegrody, w której ostatecznie wyląduje kulka, składa się z n niezależnych kroków, związanych z pokonywaniem kolejnych poziomów. Zinterpretujmy ruch w lewo jako porażkę, ruch w prawo jako sukces. Wówczas numer komory do której wpadnie kulka to liczba sukcesów w schemacie B(n, 1/2).
a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) Weźmy deskę Galtona o n poziomach. Proces losowania przegrody, w której ostatecznie wyląduje kulka, składa się z n niezależnych kroków, związanych z pokonywaniem kolejnych poziomów. Zinterpretujmy ruch w lewo jako porażkę, ruch w prawo jako sukces. Wówczas numer komory do której wpadnie kulka to liczba sukcesów w schemacie B(n, 1/2).
a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) c.d. Przez deskę Galtona możemy przepuścić M kulek (M - duża liczba całkowita). Niech L k (M) - liczba kulek które wpadły do przegrody nr k.
a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) c.d. Przez deskę Galtona możemy przepuścić M kulek (M - duża liczba całkowita). Niech L k (M) - liczba kulek które wpadły do przegrody nr k.
a schemat Bernoulliego Przykład 1 Rysunek: M = 12 kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 5 poziomach: L 0 (12) = 1, L 1 (12) = 1, L 2 (12) = 3, itd.
a schemat Bernoulliego Przykład 1 - inaczej Rysunek: M = 12 kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 5 poziomach: L 0 (12) = 1, L 1 (12) = 1, L 2 (12) = 3, itd.
a schemat Bernoulliego Przykład 2 Rysunek: M = 1000 kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 5 poziomach: L 0 (1000) = 29, L 1 (1000) = 155, L 2 (1000) = 315, itd.
a schemat Bernoulliego Dalszych 5 przykładów 5 dodatkowych symulacji dla M = 1000 i n = 5: 34 153 298 316 169 30, 30 156 295 314 176 29, 35 177 302 300 156 30, 30 152 325 301 165 27, 34 158 284 309 177 38. Z teoretycznego punktu widzenia, L k (M) M P k = ( ) n 1 k 2 n, w naszym przypadku ciąg P 0, P 1,..., P 5 to 0, 03125 0, 15625 0, 3125 0, 3125 0, 15625 0, 03125.
a schemat Bernoulliego Dalszych 5 przykładów 5 dodatkowych symulacji dla M = 1000 i n = 5: 34 153 298 316 169 30, 30 156 295 314 176 29, 35 177 302 300 156 30, 30 152 325 301 165 27, 34 158 284 309 177 38. Z teoretycznego punktu widzenia, L k (M) M P k = ( ) n 1 k 2 n, w naszym przypadku ciąg P 0, P 1,..., P 5 to 0, 03125 0, 15625 0, 3125 0, 3125 0, 15625 0, 03125.
a schemat Bernoulliego Dalszych 5 przykładów 5 dodatkowych symulacji dla M = 1000 i n = 5: 34 153 298 316 169 30, 30 156 295 314 176 29, 35 177 302 300 156 30, 30 152 325 301 165 27, 34 158 284 309 177 38. Z teoretycznego punktu widzenia, L k (M) M P k = ( ) n 1 k 2 n, w naszym przypadku ciąg P 0, P 1,..., P 5 to 0, 03125 0, 15625 0, 3125 0, 3125 0, 15625 0, 03125.
a schemat Bernoulliego Związek z rozkładem normalnym Załóżmy teraz, iż interesuje nas wygląd histogramów przy dużych wartościach n. Innymi słowy, co można powiedzieć o granicznym zachowaniu ciągu (P k ) n k=0 gdy n?
a schemat Bernoulliego Związek z rozkładem normalnym Załóżmy teraz, iż interesuje nas wygląd histogramów przy dużych wartościach n. Innymi słowy, co można powiedzieć o granicznym zachowaniu ciągu (P k ) n k=0 gdy n?
a schemat Bernoulliego Przykład 1 Rysunek: Histogram M = 1 000 kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 5 poziomach.
a schemat Bernoulliego Przykład 2 Rysunek: Histogram M = 10 000 kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 15 poziomach.
a schemat Bernoulliego Przykład 3 Rysunek: Histogram M = 100 000 kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 50 poziomach.
a schemat Bernoulliego Twierdzenie de Moivre a-laplace a (wersja symetryczna) Twierdzenie. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, ( ) n n n lim n 2 P liczba sukcesów w B(n, 1/2) = 2 + 4 x = 1 2π e x2 /2.
a schemat Bernoulliego Gęstość standardowego rozkładu normalnego Rysunek: Funkcja g(x) = 1 2π e x 2 /2, gęstość standardowego rozkładu normalnego N(0, 1).
a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie Poprzednie twierdzenie można z grubsza zapisać w postaci ( ) n 2 liczba sukcesów n lim n 2 P x = 1 e x2 /2. n 2π { 1/ n jeśli w k-tej próbie porażka, Niech X k = 1/ n jeśli w k-tej próbie sukces. Wówczas 2 liczba sukcesów n n = X 1 + X 2 +... + X n, a zatem lim n n 2 P (X 1 + X 2 +... + X n x) = 1 2π e x2 /2.
a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie Poprzednie twierdzenie można z grubsza zapisać w postaci ( ) n 2 liczba sukcesów n lim n 2 P x = 1 e x2 /2. n 2π { 1/ n jeśli w k-tej próbie porażka, Niech X k = 1/ n jeśli w k-tej próbie sukces. Wówczas 2 liczba sukcesów n n = X 1 + X 2 +... + X n, a zatem lim n n 2 P (X 1 + X 2 +... + X n x) = 1 2π e x2 /2.
a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie Poprzednie twierdzenie można z grubsza zapisać w postaci ( ) n 2 liczba sukcesów n lim n 2 P x = 1 e x2 /2. n 2π { 1/ n jeśli w k-tej próbie porażka, Niech X k = 1/ n jeśli w k-tej próbie sukces. Wówczas 2 liczba sukcesów n n = X 1 + X 2 +... + X n, a zatem lim n n 2 P (X 1 + X 2 +... + X n x) = 1 2π e x2 /2.
a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie Poprzednie twierdzenie można z grubsza zapisać w postaci ( ) n 2 liczba sukcesów n lim n 2 P x = 1 e x2 /2. n 2π { 1/ n jeśli w k-tej próbie porażka, Niech X k = 1/ n jeśli w k-tej próbie sukces. Wówczas 2 liczba sukcesów n n = X 1 + X 2 +... + X n, a zatem lim n n 2 P (X 1 + X 2 +... + X n x) = 1 2π e x2 /2.
a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie c.d. Widzimy więc, że rozkład normalny pojawia się przy badaniu zachowania sum dużej liczby małych odchyleń. Fakt ten można znacznie uogólnić: można stosować do składników X k o różnych rozkładach. Stąd popularność rozkładu normalnego przy modelowaniu rozmaitych zagadnień.
a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie c.d. Widzimy więc, że rozkład normalny pojawia się przy badaniu zachowania sum dużej liczby małych odchyleń. Fakt ten można znacznie uogólnić: można stosować do składników X k o różnych rozkładach. Stąd popularność rozkładu normalnego przy modelowaniu rozmaitych zagadnień.
a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie c.d. Widzimy więc, że rozkład normalny pojawia się przy badaniu zachowania sum dużej liczby małych odchyleń. Fakt ten można znacznie uogólnić: można stosować do składników X k o różnych rozkładach. Stąd popularność rozkładu normalnego przy modelowaniu rozmaitych zagadnień.