Metody ytemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lita zadań nr 1 Prote zatoowania równań różniczkowych Zad. 1 Liczba potencjalnych użytkowników portalu połecznościowego wynoi 4 miliony oób. Tempo, w jakim rośnie liczba użytkowników, jet proporcjonalne do różnicy potencjalnych użytkowników i aktualnych użytkowników. Po 2 latach połowa potencjalnych użytkowników zarejetrowała ię na portalu. Ile przewidywalnie użytkowników będzie zarejetrowanych do końca 4 roku? Zad. 2 W baenie o pojemności 500 [m 3 ] mogą kąpać ię ludzie, jeśli wkaźnik zanieczyzczenia wody nie przekracza 1% objętości. Z powodu awarii ytemu oczyzczającego wkaźnik zanieczyzczenia oiągnął poziom 10%. Po jakim czaie wkaźnik czytości oiągnie dopuzczalną normę przy założeniu, że ytem oczyzczający wpompowuje i wypompowuje 5 [m 3 /h]. Tranformata Laplace a Zad. 3 Wyznacz tranformaty Laplace a poniżzych funkcji, korzytając z definicji: a) 1(t) b) e at c) in at d) co at e) t n, n N f) δ(t) delta Diraca Liniowe równania różniczkowe. Sytemy wejściowo-wyjściowe Zad. 4 Amortyzator w rowerze jet obciążany maą m. Zgodnie z prawem Hooke a iła działająca na ciało o maie m jet odwrotnie kierowana do kierunku wychylenia i proporcjonalna do niego zgodnie ze wpółczynnikiem prężytości k. Dodatkowo na ciało działa iła tłumienia, która jet także odwrotnie kierowana do kierunku wychylenia i proporcjonalna do prędkości ciała zgodnie ze 1
wpółczynnikiem tłumienia c. Zakładając, że amortyzator jet kierowany protopadle do kierunku jazdy, formułuj odpowiednie równanie różniczkowe i rozwiąż natępujące zagadnienia, przyjmując m = 20[kg], k = 2000[N/m], c = 200[kg/]: a) Początkowe wychylenie wynoi x(0) = 10cm i na ciało nie działają żadne iły zewnętrzne. Wyznacz i naryuj x(t). b) Dodatkowo zakładamy, że na rower działa dodatkowa iła zewnętrzna F (t). Wyznacz tranmitancję ytemu (dla zerowych warunków początkowych). c) Wyznacz x(t), gdy na ciało działa tała iła grawitacji F (t) = mg1(t) i na początku rower wpada na przezkodę o wyokości h = 5[cm]. Zad. 5 Przebieg zmian zawartości inuliny we krwi człowieka po podaniu dawki inuliny można modelować natępującym równaniem różniczkowym: d 2 y dt 2 + 2dy dt + y = u, gdzie u(t) oznacza dawkowanie inuliny w czaie, a y(t) jet przebiegiem zmian odchylenia zawartości inuliny od punktu równowagi. Zakładając, że przed zaaplikowaniem inuliny proce był w tanie równowagi (zerowe warunki początkowe), wyznacz jego tranmitancję oraz odpowiedzi na impul Diraca u(t) = δ(t) oraz na kok jednotkowy u(t) = 1(t). Wykreśl przebiegi y(t) dla obu pobudzeń. Zinterpretuj impul Diraca i kok jednotkowy w kontekście dawkowania inuliny. Zad. 6 Dany jet układ elektryczny RLC (opornik, cewka, kondenator) o oporze R, indukcyjności L i pojemności C. Spadki napięcia na pozczególnych elementach wynozą odpowiednio RI, L di, Q. dt C Zależność natężenia od ładunku wyraża ię wzorem I = dq. Zgodnie z prawem Kirchhoffa uma dt padków napięć jet równa przyłożonej ile elektromotorycznej E(t). Sformułować odpowiednie równanie różniczkowe drugiego rzędu i znaleźć przebiegi ładunku i natężenia od czau dla E(t) = co t, R = 20[Ω], L = 1[H], C = 100[µF ], oraz natępujących warunków początkowych Q(0) = 0, I(0) = 0. 2
Układy równań różniczkowych. Wektor tanu Zad. 7 Równanie różniczkowe z zadań 4.b) i 6 zapiać w formie równania tanu. Zad. 8 Jajko o temperaturze T 0 = 20[ ] zanurzone zotało we wrzącej wodzie (temperatura T w = 100[ ]). Wpółczynniki przewodnictwa cieplnego wynozą odpowiednio λ b = 0.5[W/mK] dla białka i λ z = 0.3[W/mK] dla żółtka. Zapiać równanie tanu i wyznaczyć przebieg temperatury od czau dla białka i żółtka. Zadanie domowe (5 pkt.) Korzytając z metody indukcji matematycznej i definicji udowodnić natępującą właność tranformaty Laplace a: L [ f (n) (t) ] = n L [f (t)] n 1 f (0) n 2 f (0)... f (n 1) (0). 3
Tranformata Laplace a: DODATEK Tranformatą Laplace a nazywamy natępujące przekztałcenie: L [f (t)] 0 f (t) e t dt, Tranformata Laplace a poiada natępujące właności: gdzie jet zmienną zepoloną. 1. L [a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)] = a 1 L [f 1 (t)] + a 2 L [f 2 (t)], gdzie a 1, a 2 R. 2. L [ f (n) (t) ] = n L [f (t)] n 1 f (0) n 2 f (0)... f (n 1) (0). [ t ] 3. L f (u) du = 1 L [f (t)]. 0 4. Jeśli L [f (t)] = F () to L [( 1) n t n f (t)] = F (n) (). [ ] f (t) 5. L = F () d. t f (t) L [f (t)] f (t) L [f (t)] Delta Diraca: 1(t) in at co at t in at t co at 1 a 2 + a 2 2 + a 2 2a ( 2 + a 2 ) 2 2 a 2 ( 2 + a 2 ) 2 e at 1 a e at in bt e at co bt b ( a) 2 + b 2 a ( a) 2 + b 2 t n n!, n N 1 n+1 e at tn n!, n N 1 ( a) n+1 Tablica 1: Tabela częto używanych tranformat Laplace a Deltą Diraca nazywamy obiekt matematyczny o natępujących włanościach: { +, jeśli t = 0, δ(t) = 0, w przeciwnym przypadku której całka po całej protej jet znormalizowana, tzn. + δ(t)dt = 1. 4
Wybrane właności delty Diraca: L [δ(t)] = 1 d1(t) dt = δ(t) δ(t τ)f(t)dt = f(τ) 5