Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016
Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe prawo wielkich liczb Niech X 1, X 2, X 3,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, EX i = µ i skończonej wariancji, wtedy ( X 1 + X 2 + X 3 +... + X n P n ) µ > ε n 0
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 1 2 3 4 5 rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = 1 2 ostrzeżenie: dziś histogramy rysujemy tak, aby pole prostokąta było równe prawdopodobieństwu
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rozkład X /n, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = 1 2 ostrzeżenie: dziś histogramy rysujemy tak, aby pole prostokąta było równe prawdopodobieństwu
8 7 6 5 4 3 2 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rozkład X /n, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 100 oraz p = 1 2 ostrzeżenie: dziś histogramy rysujemy tak, aby pole prostokąta było równe prawdopodobieństwu
25 20 15 10 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rozkład X /n, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 1000 oraz p = 1 2 ostrzeżenie: dziś histogramy rysujemy tak, aby pole prostokąta było równe prawdopodobieństwu
Przypomnienie VarX = E((X EX ) 2 ) Nierówność Czebyszewa (bis) Jeśli X jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji, to dla dowolnego t > 0 ( P X EX t ) VarX 1 t 2 Czy jest coś szczególnego w wartości X EX VarX?
0.4 0.3 0.2 0.1-4 -3-2 -1 1 2 3 4 rozkład (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = 1 2
0.4 0.3 0.2 0.1-4 -3-2 -1 1 2 3 4 rozkład (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 100 oraz p = 1 2
0.4 0.3 0.2 0.1-4 -3-2 -1 1 2 3 4 rozkład (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 1000 oraz p = 1 2
1 0.8 0.6 0.4 0.2-3 -2-1 1 2 3 dystrybuanta (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = 1 2
1 0.8 0.6 0.4 0.2-3 -2-1 1 2 3 dystrybuanta (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 100 oraz p = 1 2
1 0.8 0.6 0.4 0.2-3 -2-1 1 2 3 dystrybuanta (X EX )/ VarX, gdzie X ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 1000 oraz p = 1 2
Obserwacja Jeśli X ma zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami n oraz p, to (q = 1 p) X EX = X np VarX npq zachowuje się prawie jak standardowy rozkład normalny
Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X, X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, niech EX = m i VarX = σ 2 > 0; wtedy dla każdego t zachodzi ( P X 1 + + X n nm σ n ) t n Φ(t) = t 1 2 π e s 2 2 ds, gdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0, 1). S n ES n VarSn D X, X N(0, 1)
Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X, X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, niech EX = m i VarX = σ 2 > 0; wtedy dla każdych a < b zachodzi ( P a X ) 1 + + X n nm σ b n n Φ(b) Φ(a) = b gdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0, 1). a 1 2 π e s 2 2 ds, S n ES n VarSn D X, X N(0, 1)
Twierdzenie de Moivre a Laplace a Jeśli S n ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, to ( P a S ) n np b Φ (b) Φ (a), np(1 p) n
Błąd przybliżenia w ( Sn ES n P VarSn ) t = Φ(t) + err Φ(t). Przykładowe oszacowania na błąd przybliżenia w : ) 3 err n 1 w dowolnym przypadku ( 2 max Xi σ err p2 +q 2 npq n i p. dla S n o rozkładzie dwumianowym z parametrami Przykład (Dla chętnych do domu) Niech Y ma rozkład dwumianowy z n = 100 i p = 1/2. Spróbuj oszacować z P (Y = 50). Wynik porównaj z obliczeniami dokładnymi. Wsk.: P (Y = 50) = P (49, 5 Y 50, 5)
Na jakie pytanie mieliśmy odpowiedzieć? A teraz spójrzmy z punktu widzenia kasyna. Jakie reguły gry ma zaproponować kasyno, aby dobrze zarobić i jednocześnie nie zniechęcić klientów? Dlaczego przy odpowiednich regułach gry i odpowiedniej liczbie klientów kasyno nie musi się obawiać, że zbankrutuje?
Przykład Jeśli gracz obstawi w ruletce jeden żeton na czerwone, to wartość oczekiwana jego wygranej wynosi 1 37 a wariancja 1 1 = 1368 37 2 1369. Czyli wartość oczekiwana zysku kasyna w pojedynczej grze wynosi 1 1368 37 a wariancja 1369. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że kasyno po 1600 grach (obstawieniach po jednym żetonie) zyska co najwyżej równowartość 3 żetonów? Ile musi nastąpić gier, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,95 kasyno zyskało a) więcej niż średnio 1/70 żetonu w każdej grze? b) więcej niż równowartość 100 żetonów? wsk: 1600/37 43; 1, 65 70 37/33 129, 5, (129, 5) 2 = 16770, 25; 37 1, 65 = 61, 05; ( 61, 05 2 + 4 3700 + 61, 05)/2 98, 582; 98, 582 2 9718, 41.
Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0, 1)
Dowód Dowód Niebawem: gdy poznamy własności i zalety funkcji tworzących i charakterystycznych