Polechka Opolska Skrp Nr 37 ISSN 47-993 (wersja elekrocza) Ewald Macha Nezawodość masz Opole
3 Sps reśc Przedmowa 5 Wkaz ważejszch ozaczeń 6. Podsawowe pojęca eor ezawodośc 7.. Pojęca ezawodośc...7.. Defcja ezawodośc...7.3. Fukcja rzka...7.4. Pojęce aprawalośc...9.5. Pojęca goowośc...9.6. Charakersk ezawodośc obeków eaprawalch aprawalch...9.7. Warośc szczególe ezawodośc....8. elacje loścowo - jakoścowe w plaowau.... Nezawodość, rwałość goowość obeków echczch 3.. odzaje obeków...3.. Nezawodość obeków echczch...4.3. Trwałość obeków echczch...6.4. Goowość obeków echczch...7 3. Sa ezawodoścowe obeków 9 4. Modele maemacze obeków eodawalch 4.. Fukcja ezawodośc... 4.. Fukcja zawodośc... 4.3. Gęsość prawdopodobeńswa... 4.4. Ieswość uszkodzeń... 4.5. Skumulowaa eswość uszkodzeń lub fukcja wodąca...3 4.6. Współzależośc charakersk fukcjch ezawodośc...3 4.7. Emprcze charakersk fukcje ezawodośc...4 5. Charakersk lczbowe ezawodośc 33 6. Nezawodość obeków prosch 4 6.. Ops ezawodoścow obeku...4 6.. Nezawodość obeków szeregowch...4 6.3. Nezawodość obeków rówoległch...43 6.4. Nezawodość obeków szeregowo-rówoległch...46 6.5. Nezawodość obeków rówoległo-szeregowch...48 7. Nezawodość obeków złożoch 5 7.. Nezawodość obeków progowch...55
4 8. Nezawodość obeków z uszkodzeam pu przerwa zwarce 63 9. Nezawodość obeków z elemeam zależm 7. Modele ezawodoścowe obeków aproksmowae powm rozkładam prawdopodobeńswa 75.. ozkład wkładcz (ekspoecjal)...75.. ozkład Webulla...77.3. Oczekwa pozosał czas zdaośc obeku...8.4. Warukowe prawdopodobeńswo zdaośc obeku w przedzale czasowm. Obek sarzejące sę...83.5. ozkład jedosaj...85.6. ozkład ormal...87.7. ozkład logarmczo-ormal...89.8. Prawdopodobeńswo wkoaa zadaa przez obek...89. Modele maemacze obeków odawalch 93.. Podsawowe pojęca meod maemacze zwązae z modelam odow...93... Przekszałcae rozkładów zmech losowch...93... Splo fukcj.....3. Kompozcja rozkładów dwóch zmech losowch...3..4. Podsaw przekszałcea Laplace a...3.. Model odow achmasowej...4.3. Sumarcz czas zdaośc...5.4. ozkład gamma...7.5. Proces odow....6. Fukcja odow....7. Gęsość odow.... Problem zapasu częśc zamech 5 3. Leraura 7
5 Przedmowa Nejsz skrp zosał w dużej merze opar a oakach do wkładów z ezawodośc dla V roku dzech sudów magserskch oraz rwałośc ezawodośc masz dla sudeów IV roku dzech V roku zaoczch sudów żerskch. Przedmo e bł objęe programem auczaa a keruku mechaka budowa masz, specjalośc kosrukcja badae masz a Wdzale Mechaczm Polechk Opolskej. Skrp obejmuje podsawowe zagadea maemaczej eor ezawodośc, przedsawoe wcześej przede wszskm w asępującch pozcjach: Poradk ezawodośc. Podsaw maemak. Praca pod redakcją J. Mgdalskego, Wd. Przem. Masz. WEMA, Warszawa 98 Iżera ezawodośc. Poradk pod red. J. Mgdalskego, Wd. AT Bdgoszcz ZETOM Warszawa 99 a akże w klku ch pracach doczącch ch zagadeń. Ksążk pod redakcją Mgdalskego są jedak zb obszere jak a porzeb sudeów. Skrp e jes węc pracą w peł orgalą, a jede próbą sworzea pewego rodzaju podręczka, omawającego podsawowe zagadea ezawodośc masz w przsęp dla sudeów sposób. Na końcu w wkaze leraur podao klka pozcj ksążkowch z zakresu maemaczej eor ezawodośc rachuku prawdopodobeńswa, kóre szerzej omawają zagadea poruszoe w ejszm skrpce. Przoczoo eż klka orm z ezawodośc w echce, kóre preczje defują wele szczegółowch zagadeń wsępującch w prakce żerskej. Nejsz skrp wdao prz wsparcu fasowm Komsj U Europejskej w ramach programu Leoardo da Vc, korak r PL/99//97/PI/II...c/FPC. Auor
7. Podsawowe pojęca eor ezawodośc.. Pojęca ezawodośc Pojęce ezawodośc może obejmować róże wmagaa opsae charakerskam echczm, ekoomczm socjologczm obeków. Wróża sę: ezawodość echczą, kóra uwzględa charakersk echcze, ezawodość echczo-ekoomczą, kóra uwzględa charakersk echcze ekoomcze, ezawodość globalą, kóra uwzględa charakersk echcze, ekoomcze socjologcze obeków... Defcja ezawodośc Nezawodość - bez dodakowch określeń - jes rozumaa jako ezawodość echcza. Nezawodość obeku jes o jego zdolość do spełea sawach mu wmagań. Welkoścą charakerzującą zdolość do spełea wmagań może bć prawdopodobeńswo spełaa wmagań. Sąd defcja: ezawodość obeku jes o prawdopodobeńswo spełea przez obek sawach mu wmagań. Ked wmagaem jes o, żeb obek bł zda (spraw) w przedzale (, ), kórego marą może bć czas, lość wkoaej prac, lczba wkoach czośc, długość przebej drog p. wed: ezawodość obeku jes o prawdopodobeńswo, że obek jes zda (spraw) w przedzale (, ), lub: ezawodość obeku jes o prawdopodobeńswo, że warośc paramerów określającch soe właścwośc obeku e przekroczą w cągu okresu (, ) dopuszczalch grac w określoch warukach eksploaacj obeku. W sese probablsczm ezawodość obeku () w daej chwl jes prawdopodobeńswem P(T ), ze jego rwałość T jes wększa od, j. () P(T ). Trwałość T może bć wrażoa p. czasem w [s], długoścą w [km] p. Z ego wka, że za każdm razem () jes a..3. Fukcja rzka (fukcja eswośc ubwaa, fukcja eswośc uszkodzeń) Jedm ze sposobów charakerzowaa zdolośc do spełea wmagań jes podae prawdopodobeńswa, że obek, kór speła wmagaa prz dam, p. w daej chwl, w asępm przedzale d lub przesae je spełać.
8 ozważa sę, jaka część obeków, kóre przerwał zdae (sprawe) w przedzale (, ), prawdopodobe sae sę ezdaa (esprawa) w przedzale (, +d). Tę ezdaą część obeków ozacza sę przez λ()d, zaś λ() azwa sę fukcją rzka, fukcją eswośc ubwaa lub fukcją eswośc uszkodzeń. Warośc ej fukcj azwa sę odpowedo rzkem, eswoścą ubwaa eswoścą uszkodzeń. Gd λ() zwększa sę, rzko (eswość ubwaa, uszkodzeń) zwększa sę - ezawodoścowe właścwośc obeków pogarszają sę. Gd λ() maleje, ezawodoścowe właścwośc obeków polepszają sę. W każdm asępm przedzale ubwa mejsz proce obeków ezdach ze zboru zdach. Przkład powego przebegu fukcj rzka λ() obeków podao a rs... - λ() [h ],,5,,5 λ() I λ() cos II λ() III 5 5 [h] s... Przkładowa fukcja rzka λ() dla obeków echczch, I - okres dojrzewaa do użkowaa, II - okres ormalego użkowaa, III - okres sarzea sę. W I okrese ujawają sę ukre wad maerałów, kosrukcj, moażu, edokładośc echologcze, edoparzea korol, omłk. W II okrese wsępują główe ezdaośc wwołae przez róże czk losowe e dające sę z gór zdefkować. W III okrese ujawają sę ezdaośc wskuek kumulowaa sę eodwracalch zma fzczch chemczch, cągłego sarzea sę maerałów, zużwaa sę ch, deformowaa kosrukcj, sopowej zma warośc paramerów obeku, aż poza dopuszczale grace (luz, wcerae sę okładz hamulców).
.4. Pojęce aprawalośc Celowe może bć eked charakerzowae ezawodośc obeku jedocześe klkoma rodzajam charakersk, p. gd obekow przwraca sę sprawość po jej uraceu. Wed ezawodość obeku jes o jego właścwość określoa przez prawdopodobeńswo, że obek będze spraw w cągu określoego okresu (, ) oraz przez prawdopodobeńswo, że gd sae sę espraw, przwrócoa mu zosae sprawość w cągu określoego okresu (, τ) merzoego czasem, loścą wkoaej prac, koszem przwracaa sprawośc p. Prawdopodobeńswo przwrócea sprawośc obekow w określom czase (, τ) jes marą aprawalośc. W przpadku ogólm aprawalość zależ od właścwośc samego obeku od waruków w jakch przwraca mu sę sprawość. 9.5. Pojęca goowośc Goowość obeku aprawalego - j. obeku, kóremu przwraca sę sprawość gd ją urac - może bć defowaa w róż sposób, p. Goowość obeku jes o prawdopodobeńswo, że obek będze goow do pełea swch fukcj w chwl. Goowość obeku jes o frakcja daego okresu (p. roku), w cągu kórego obek jes zdol do pełea swch fukcj lub je peł. Goowość obeku jes o frakcja sum okresów eksploaacj obeku, w cągu kórej obek peł swe fukcje lub jes zdol do pełea swch fukcj. Goowość jes o frakcja całego żca obeku, w cągu kórej obek jes zdol do pełea fukcj lub ją peł. Np. T Goowość A ; T + T - średa długość okresów sprawośc - średa długość okresów esprawośc.6. Charakersk ezawodośc obeków eaprawalch aprawalch Kres żca obeku przchodz, gd e przwraca sę jego sprawośc. Obekow e przwraca sę sprawośc ze względów ekoomczch, a akże eracjoalch (p. ze względów a modę, gus, esekę, obczaje e). Obek,
kórm e przwraca sę uracoej sprawośc, azwa sę obekam eaprawalm. Kres żca akego obeku adchodz z chwlą zjawea sę perwszej esprawośc. Nezawodość obeku eaprawalego, zdefowaa jako prawdopodobeńswo przeżca, określają fukcje (), λ() lub f() lub paramer ch fukcj, prz czm: () - fukcja ezawodośc: prawdopodobeńswo przeżca okresu (, ), λ() f() - fukcja rzka (eswośc uszkodzeń), - fukcja gęsośc prawdopodobeńswa, kóra opsuje rozkład rwałośc obeków. Nezawodość obeku może bć scharakerzowaa róweż przez zbór dach z obserwacj zboru obeków lub orzmach z prób ezawodośc obeków. Obekam aprawalm azwa sę ake, kórm przwraca sę sprawość, gd ją uracą. W przpadku ch obeków, oprócz wmeoch charakersk, soe są aprawalość goowość. Tak węc charakerskam ezawodoścowm obeków aprawalch mogą bć: fukcje () lub f() lub λ(), bądź eż warośc ch fukcj dla określoego przedzału (, ), albo paramer rozkładów rwałośc, fukcje () lub f() lub λ() doczące okresów sprawośc lub warośc ch fukcj dla określoego przedzału (, ) albo paramerów rozkładu długośc okresów sprawośc, aalogcze fukcje doczące przwracaa sprawośc, aprawalość, goowość, sesowe kombacje powższch charakersk, zbor dach z obserwacj zboru obeków. Zagadeam wzaczaa ekoomczego okresu użkowaa obeku zajmuje sę eora odow, kóra bada właścwośc zborów, z kórch poszczególe eleme ubwają, a a ch mejsce przbwają owe. Teora odow odpowada m.. a pae, ked obek lub jego eleme powe bć zasąpo owm ze względów ekoomczch. Z eor odow wka, że e zawsze opłaca sę wmeać obek cz jego eleme a ow dopero wed, gd sae sę espraw lub gd e ma już możlwośc fzczch (bologczch) przwrócea sprawośc. W pewch przpadkach lepej wmeć go wcześej.
.7. Warośc szczególe ezawodośc Do warośc szczególch ezawodośc ależą: max - warość maksmala ezawodośc (uzskwaa lokale), e - ekoomcze opmala warość ezawodośc, k - warość krcza ezawodośc (e olerowaa przez użkowków), max max - ajwększa warość ezawodośc uzskwaa w echce śwaowej. Na rs.. przedsawoo zależość koszów od ezawodośc. K K + K K k e max K max, max s... Zależość koszów K od ezawodośc ; K - kosz zwększea, K - kosz posojów, gwaracj, serwsu p. Z rsuku ego wka, że kosz K uzskaa wększej ezawodośc rosą, aomas prz dużej ezawodośc maleją kosz K posojów, gwaracj, serwsu p. Iseje zaem mmala suma koszów K + K prz kórch uzskuje sę ekoomcze opmalą warość ezawodośc e..8. elacje loścowo - jakoścowe w plaowau Problem loścowo-jakoścowe w śwele eor ezawodośc moża sformułować asępująco. W celu zaspokojea porzeb w cągu określoego czasu ależ dosarczć pewą lczbę N obeków (wrobów) o określoej ezawodośc. Moża o zrobć rzema sposobam (rs..3):
E I N; N ( N N)( + ) E II ; N ( N + N)( ) Ab zachowa zosał posula zaspokojea porzeb społeczch, wmeoe sposob produkcj muszą spełać relację E I E II E III E cos E III II < N, > I < N, > III < N, > E cos. s..3. Ilusracja welowaraowego plau produkcj loścowo-jakoścowej, I - wara podsawow, II - wara jakoścow, III - wara loścow, E - fukcja efekwośc produkcj.
3. Nezawodość, rwałość goowość obeków echczch.. odzaje obeków Każd obek echcz ma określoą ezawodość (), rwałość (T) goowość (G). Zależe od kokreego zasosowaa oraz wmagań (podawach zwkle w ormach, przepsach, umowach hadlowch p.) coraz częścej żąda sę od wwórców podawaa warośc lczbowch odpowedch wskaźków doczącch ezawodośc, rwałośc goowośc. Mając ake dae moża racjoalej podejmować deczje zwązae z produkcją wrobów oraz ch długorwałą eksploaacją. Ze względu a rodzaj charakersk, kóra jes soa dla daego obeku echczego, obek dzel sę a 8 klas (abela..). Tabela... Podsawowe klas obeków echczch T G Klas Ozaczee klas - - - I pu I - - II pu - T - III pu T T - IV pu T - - G V pu G - G VI pu G - T G VII pu TG T G VIII pu TG I. Obek pu I (lość), o obek, kórm e sawa sę wmagań jakoścowch zwązach z ch ezawodoścą, rwałoścą goowoścą. II. Obek pu (ezawodość), od kórch wmaga sę dużej ezawodośc. Tpowm przkładam akch obeków są obek specjalego przezaczea (p. samolo, helkoper). III. Obek pu T (rwałość), od kórch wmaga sę przede wszskm dużej rwałośc. Są o droge waże gospodarczo obek echcze, p. budk, mos, waduk p. IV. Obek pu T (ezawodość rwałość), dla kórch podsawowm wmagaam są jedocześe duża ezawodość duża rwałość. Są o droge waże gospodarczo obek o długorwałej cągłej eksploaacj, p. elekrowe (zwłaszcza jądrowe), zapor wode, sak e.
4 V. Obek pu G (goowość), od kórch wmaga sę dużej goowośc. Są o główe pogoowa - medcze (kareka reamacja), sraż pożara (wóz srażack) e. VI. Obek pu G (ezawodość goowość), kóre cechują sę zarówo dużą ezawodoścą jak dużą goowoścą, p. helkoper pogoowa medczego, apara raowcwa górczego e. VII. Obek pu TG (rwałość goowość), od kórch wmaga sę główe dużej rwałośc goowośc, p. sak raowcwa morskego e. VIII. Obek pu TG (ezawodość, rwałość, goowość). Są o różego rodzaju obek pogoowa, charakerzujące sę dużą rwałoścą ezawodoścą... Nezawodość obeków echczch W eor żer ezawodośc przjmuje sę, że fukcją, kóra ajlepej charakerzuje zma ezawodośc dowolego obeku echczego jes fukcja eswośc uszkodzeń λ(). Z jej przebegu moża wcągąć wele wosków aur eoreczej prakczej, a akże wzaczć: - fukcję ezawodośc () P( T ) exp λ( x) dx, (.) o - fukcję zawodośc (dsrbuaę) () F() P( T < ) () exp λ( x) dx, (.) o - fukcję gęsośc prawdopodobeńswa df() f () λ() exp λ( x) dx, (.3) d - fukcję wodącą (skumulowaą eswość uszkodzeń) Λ ( ) dx. (.4) λ( x )
Zajomość przebegu fukcj λ() umożlwa produceow użkowkow, podejmowae ważch deczj prakczch w zakrese: usalaa ezbędch okresów sarzea wsępego produkowach obeków, usalea welkośc asormeu częśc zamech, plaowaa opmalej prac serwsu echczego, służb remoowch, usalea opmalch okresów wma proflakczch elemeów zespołów, usalaa opmalch okresów eksploaacj obeków (eora odow), ch dzałań echczo-ekoomczch (okres gwaracj). W welu przpadkach ekspermeale przebeg fukcj λ() moża aproksmować fukcjam aalczm (eoreczm rozkładam prawdopodobeńswa jak p. rozkładem wkładczm, bea, rówomerm, Webulla lub kompozcją ch rozkładów). zeczwse przebeg fukcj λ() kokreego obeku, zależe od przjęej sraeg eksploaacj, mogą bć bardzo róże mogą bć celowo kszałowae. Na rs.. pokazao dwa róże przebeg fukcj λ() dla obeków pu λ(; r, r, r) oraz λ(; m, c, r) uzskae w wku sosowaa sarzea wsępego wma proflakczch. Fukcja λ(; x,, z) wróża rz przedzał czasowe ozaczoe odpowedo przez x,, z w kórch może przjmować warośc rosące (r), sałe (c) malejące (m). a) λ(; r, r, r) λ() λ 5 p
6 b) λ() λ(; m, c, r) λ s p s.. zeczwse przebeg fukcj λ() dla obeku a) pu λ(; r, r, r) z uwzględeem wma proflakczch po czase p ; b) pu λ(; m, c, r) z uwzględeem sarzea wsępego przez czas s wma proflakczch po czase p..3. Trwałość obeków echczch Trwałość obeku jes erozerwale zwązaa z jego zasobem (resursem) czasem użkowaa (Tab.. Tab..3) Tabela... Trwałość ekórch urządzeń domowch apędzach slkam elekrczm Urządzee Trwałość Czas prac Zasób prac w laach w roku w [h] - resurs w [h] Młek do kaw 5 - Kosarka do rawków - 5 5 Pralka 3-3 Welaor sołow 5-6 3 Tabela..3. Przecęa rwałość ekórch wrobów powszechego użku kosrukcj budowlach Wrób Laa Moockl Kuchee pece gazowe 6 Budk wejske 7 Pramd egpske klka sęc
Zając rwałość obeku jego częśc składowch moża w sposób racjoal prowadzć gospodarkę w zakrese wposażea obeków w częśc zapasowe, produkowaa włącze porzebch częśc zamech, sosowaa racjoalch wma proflakczch częśc, usalaa opmalej rwałośc obeków, plaowaa odzsku częśc defcowch o dużej rwałośc p. 7.4. Goowość obeków echczch Przez goowość obeku rozume sę jego zdolość do achmasowego wkowaa zadań zjawającch sę zwkle w losowch chwlach w losowch pukach, przesrze p. wezwae karek pogoowa do wpadku. Goowość obeku wraża sę prawdopodobeńswem G(), że obek przsąp do realzacj usaloego zboru zadań we właścwm czase T we właścwm mejscu przesrze, a po ch zakończeu będze goow do realzacj zadań asępch. Zaem G() P T (.5) ( ) gdze jes wmagam czasem goowośc, o jes czasem, w cągu kórego obek powe przsąpć do realzacj zlecoch mu zadań. Obek echcze przezaczoe do realzowaa akch samch zadań mogą meć różą goowość. Obek ma m wększą goowość, m w krószm czase może przsąpć do realzacj określoego zadaa (p. przgoowae do prac uwersalej kopark hdraulczej). Zależe od zlecoego zadaa oraz waruków geologczch koparkę rzeba każdorazowo wposażć (przezbroć) w odpowed osprzę (p. przedsęber lub podsęber) oraz we właścwe pas gąsecowe. Czas T przgoowaa kopark do prac jes zmeą losową w przpadku, gd jes o mejsz od, uzaje sę, że koparka jes w sae goowośc, aomas w przpadku przecwm uzaje sę, że koparka jes w sae egoowośc. Gd G, koparka jes w sae absoluej goowośc, a gd G - w sae absoluej egoowośc. Przkładem ssemu o dużej goowośc jes ssem człowek - masza, ked persoel obsługując maszę zajduje sę zawsze w sae prac (absoluej goowośc), aomas masza jes uruchamaa zależe od porzeb, p. podczas dżurowaa ploa samolou pogoowa raukowego. Urzmae obeku w wższch saach goowośc zawsze odbwa sę koszem zmejszea jego rwałośc ezawodośc. Zając goowość częśc składowch obeku oraz srukurę goowoścową moża wzaczć goowość obeku rakowaego jako ssem. W m celu moża skorzsać ze wzorów podach w abel.4.
8 Wzor do wzaczaa goowośc ssemów Tablca..4. Ssem Goowość ssemu Szeregow ówoległ - jedorod G G - ejedorod G s s G - jedorod ( ) m G r G - ejedorod G ( ) m r G Szeregowo - rówoległ m [ ] - jedorod G ( G) sr - ejedorod G sr ( G j ) j m ówoległo - szeregow - jedorod m ( ) G rs G m rs G j j - ejedorod G
9 3. Sa ezawodoścowe obeków Jak wadomo, chwle zjawea sę uszkodzeń obeku, czas rwaa apraw, czas użkowaa p. mają charaker przpadkow, a zaem mogą bć rozparwae jako zmee losowe. Sąd właścwośc ezawodoścowe obeków są właścwoścam probablsczm dlaego pow bć badae opswae meodam eor fukcj losowch. Sa fzcz obeku moża opsać fukcją wekorową x() [x (),..., x ()] w każdej chwl [ o, g ] gdze x (),..., x () są wróżom zmem - są o paramer opsujące właścwośc obeku. W różch chwlach sa e jes a ogół róż. óżm saom fzczm obeku odpowadają róże sa ezawodoścowe. W ajprosszm ujęcu rozróża sę dwa sa ezawodoścowe: sa zdaośc S sa ezdaośc S o. W przpadku, gd fukcja wekorowa x() jes dwuwmarowa, ławo moża zobrazować rajekorę obeku (rs. 3.). Przejśce z S do S o azwa sę uszkodzeem obeku. Przejśce z S o do S azwa sę odoweem obeku. Krzwa (a) odos sę do obeku eodawalego (jedorazowego użca). Krzwa (b) odos sę do obeku odawalego. Przedzał (, ) os azwę czasu zdaośc obeku do powsaa perwszego uszkodzea. Przedzał (, u ) azwa sę czasem zdaośc obeku (eodawalego a rs. 3.). Każd z przedzałów (, 3 ),...,( k, k+ ) azwa sę czasem zdaośc obeku mędz kolejm uszkodzeam. Każd z przedzałów (, ),...,( k-, k ) azwa sę czasem odowea obeku., - sumarcz czas zdaośc obeku. ( k k+ ) (, ) - sumarcz czas odowea obeku. k k
X (b) 3 4 S (a) g S u Y Y > X Y X X S S Y < X X - skośość losowa kosrukcj Y - obcążea losowe X C 3 [s] C 5 [s] S S S C s. 3.. Ogóla lusracja grafcza rajekor obeku w przesrze dwuwmarowej oraz dla kosrukcj mechaczej układu elekroczego
4. Modele maemacze obeków eodawalch 4.. Fukcja ezawodośc Nech pewe obek eodawal zajduje sę w chwl o w sae zdaośc pozosaje w m sae aż do chwl u, w kórej asępuje jego uszkodzee. Wówczas przedzał czasow u - o u jes czasem zdaośc obeku rówocześe jego rwałoścą. Zmea losowa T, ozaczająca czas zdaośc obeków z pewej populacj, w peł charakerzuje dwusaow proces sochascz będąc modelem ezawodoścowm obeku eodawalego. Podsawową charakerską fukcją ezawodośc obeku eodawalego jes fukcja () P( T ),, (4.) zwaa fukcją ezawodośc. Fukcja ezawodośc obeku dla każdego usaloego ma warość rówą prawdopodobeńswu zdarzea, polegającego a euszkodzeu sę obeku co ajmej do ej chwl, czl prawdopodobeńswu zajdowaa sę obeku do chwl w sae zdaośc. Jeżel w chwl ( ) rozpoczaa prac obeku asępuje jego uszkodzee, mów sę wówczas o zw. ezawodośc począkowej obeku: Przjmuje sę, że (). ( ) P( T ) (4.) 4.. Fukcja zawodośc Fukcję, kóra dla każdego usaloego przjmuje warość prawdopodobeńswa zdarzea przecwego () ( T < ) (); F() P, (4.3) azwao fukcją zawodośc obeku. Jes oa dsrbuaą zmeej losowej T.
Jeżel obek przechodz w sa ezdaośc już w chwl, mów sę wówczas o zw. zawodośc począkowej, lub - w odeseu do par obeków - o wadlwośc począkowej. 4.3. Gęsość prawdopodobeńswa Jeżel fukcja ezawodośc jes bezwzględe (absolue) cągła, o moża ją przedsawć w posac () f (x)dx,. (4.4) Fukcja gęsośc prawdopodobeńswa jes określoa asępująco f () d d F() (). (4.5) d d 4.4. Ieswość uszkodzeń Fukcję ę defuje sę asępująco: d λ ( ) [ l () ] d >, (4.6) czl f () λ ( ). (4.7) () Ze wzoru (4.6) orzmuje sę róweż d d '() λ ( ) [ l () ] (). (4.8) d () d () Moża apsać, że ( ) () + '() +, (4.9)
sąd ( ) () '() () λ() 3 +, (4.) czl ( + ) () λ (). (4.) () Tak węc eswość uszkodzeń λ() charakerzuje w każdej chwl względe pogorszee sę ezawodośc obeku przpadające a jedoskę czasu. Dla porówaa gęsość ( + ) () f (), (4.) wraża bezwzględe pogorszee ezawodośc obeku w jedosce czasu. 4.5. Skumulowaa eswość uszkodzeń lub fukcja wodąca Fukcja a jes marą wczerpwaa sę zapasu możlwośc wkoaa przez obek zadaa ( x) dx, Λ () λ. (4.3) 4.6. Współzależośc charakersk fukcjch ezawodośc Każdą z omawach pęcu charakersk fukcjch ezawodośc obeku moża wrazć przez dowolą pozosałą. Tpow przebeg fukcj ezawodośc obeku () w powązau z m fukcjam ezawodośc pokazao a rs. 4. w abel 4.. Budując maemacz model ezawodośc obeku zakłada sę zazwczaj z gór posać fukcj eswośc uszkodzeń λ() w kosekwecj orzmuje sę eoreczą fukcję ezawodośc (), odpowadającą rozkładow zmeej losowej T o dsrbuace F() gęsośc prawdopodobeńswa f().
4 Charakersk fukcje ezawodośc Tabela 4. () () f (x)dx exp[ λ (x)dx] exp[ Λ()] () () f (x)dx exp[ λ (x)dx] exp[ Λ()] d d f() () () d d λ ) exp[ λ (x)dx] ( { exp[ Λ() ]} d d λ() d d d d [ l () ] { l[ () ]} ( ) f f (x)dx d Λ d () Λ() ( ) ( ) l l () () f f () d ( x) dx λ( x ) dx s. 4.. Ilusracja grafcza współzależośc fukcj ezawodośc ch powe przebeg.
5 4.7. Emprcze charakersk fukcje ezawodośc Przjmując ozaczee: - lczba obeków badach, () - lczba obeków zdach w chwl, m() - lczba obeków ezdach w chwl, jes Emprcza fukcja ezawodośc () Emprcza fukcja zawodośc () () + m(). (4.4) () m() m(). (4.5) () m() () F() (). (4.6) Emprcza fukcja gęsośc prawdopodobeńswa ( + ) m( ) () f (). (4.7) Emprcza eswość uszkodzeń (dla środków przedzałów ) gdze ( + ) m( ) () λ (). (4.8) ˆ () ˆ() + + ˆ (). (4.9) Emprcza fukcja wodąca ( ) Λ () λ. (4.)
6 Przkład 4. Badaem objęo 6 arcz ścerch (obek eaprawale) przez czas umowch jedosek czasu [ujc]. W wku przeprowadzoch badań swerdzoo, że w chwl rozpoczaa badaa ( ) jede obek bł już ezda, a pozosałe ulegał uszkodzeu w sposób przedsawo w poższej abel. () m() m( ) () 5 m() - - 4 (4) 3 m(4) 3 3 4-8 (8) m(8) 4 8 - () m() 6 Nezawodość począkowa () 5 () 6 Zawodość począkowa, czl wadlwość badaej par obeków 5 () F() () 6 6 W chwl 8 [ujc] Nezawodość Zawodość Fukcja gęsośc (dla środka przedzału) (8) (8). 6 m(8) 4 (8). 6 f (6) m( ) 6 4 ujc + 8 ˆ 3 + 4 ( 6), 5 Ieswość uszkodzeń (dla środka przedzału) m( ) λ( 6) ˆ(),5 4 ujc λ( ) 3 5 + 3 4 3 6 ujc
Fukcja wodąca, skumulowaa eswość uszkodzeń (dla środka przedzału) 3 6 [ λ() + λ(6) ] + +, 5 Λ ( 6) 5 3 3. + + 8 5 7 Przkład 4. Badao 5 żarówek przez czas [ujc]. W momece rozpoczęca badań rz żarówk bł już uszkodzoe. esza uszkadzała sę w asępując sposób: Dae: 5; [ujc]; 3 [ujc]. () m() m( ) () 47 m() 3 - - 3 (3) 45 m(3) 5 5 3-6 (6) 43 m(6) 7 6-9 (9) 4 m(9) 3 9 - () 38 m() - 5 (5) 37 m(5) 3 5-8 (8) 35 m(8) 5 8 - () 34 m() 6 Oblczea ezawodość począkowa () 47 (), 94, 5 zawodość począkowa () F() (), 6.
8 Esmaor ezawodośc Esmaor zawodośc Esmaor gęsośc prawdopodobeńswa uszkodzeń (),9 (), f(),333 (4),86 (4),4 f(4),33 (7),8 (7), f(7), (),76 (),4 f (),33 (3),74 (3),6 f (3),67 (6),7 (6),3 f (6),33 (9),68 (9),3 f (9),67 Esmaor eswośc uszkodzeń Esmaor skumulowaej eswośc uszkodzeń λ (),363 ˆ () 46, Λ (),87 λ (4),55 ˆ (4) 44, Λ (4),545 λ (7),4 ˆ (7) 4,5 Λ (7),644 λ (),79 ˆ () 39, Λ (),777 λ (3),889 ˆ (3) 37,5 Λ (3),3439 λ (6),85 ˆ (6) 36, Λ (6),35994 λ (9),966 ˆ (9) 34,5 Λ (9),38893
9 Wkres. Nezawodość () - rs. 4...94.9.86.8.8.76.74.7.68 Nezawodo ().6.4.. 4 8 6 Czas [ujc] suek 4. Wkres emprczej fukcj ezawodośc. Zawodość () - rs. 4.3.4 Nezawodo ().3....4..4.6.3.3.6. 4 8 6 Czas [ujc] suek 4.3 Wkres emprczej fukcj zawodośc.
3 3. Gęsość prawdopodobeńswa uszkodzeń f () - rs. 4.4 G so prawdop. uszkodze f() [/ujc].4.3....33..3.3.3.7.7 4 8 6 Czas [ujc] suek 4.4 Wkres emprczej fukcj gęsośc prawdopodobeńswa uszkodzeń. 4. Ieswość uszkodzeń λ () - rs. 4.5 Ieswo uszkodze λ() [/ujc].4.3....36.4.85.7.5.89.97 4 8 6 Czas [ujc] suek 4.5 Wkres emprczej fukcj eswośc uszkodzeń
3 5. Skumulowaa eswość uszkodzeń Λ () - rs. 4.6 Skumulowaa es. uszkodze Λ() [/ujc].4.3....87.54.64.344.777.3889.3599 4 8 6 Czas [ujc] suek 4.6 Wkres emprczej fukcj skumulowaej eswośc uszkodzeń.
33 5. Charakersk lczbowe ezawodośc Na gruce eor zmech losowch [] wróżć moża dwe grup charakersk lczbowch ezawodośc Są o: charakersk pozcje charakersk zmeośc. a) Charakersk pozcje (mar położea) o welkośc, wokół kórch grupują sę realzacje zmeej losowej T.. Warość oczekwaa w eor ezawodośc azwaa jes oczekwam czasem zdaośc + E[T] ˆ f ()d dla cągłej zmeej losowej, (5.) E[T] p dla dskreej zmeej losowej (p - częsość zdarzeń). (5.) Moża pokazać, że E[T] ()d (5.3). Medaa o aka warość zmeej losowej T ozaczoa przez M e, dla kórej P{ T < Me } P{ T > Me} (5.4) e F( Me ) lub f ()d f ()d M + Me (5.5) 3. Waroścą modalą lub króko modą azwa sę aką warość zmeej losowej T ozaczoą przez M o, dla kórej gęsość prawdopodobeńswa f(m o ) ma ajwększą warość. Wróża sę: rozkład jedomodale (umodale) ( maxmum), rozkład bmodale ( maxma), rozkład welomodale (polmodale) (klka maxmów).
34 ozkład jes smercz (rs. 5.), gd F f ( M ) F( M ), (5.6) e e + ( M ) f ( M ). (5.7) e e + Dla rozkładów smerczch E [T] M e M o. (5.8) M e M e s. 5.. Dsrbuaa gęsość prawdopodobeńswa rozkładu smerczego b) Charaker odchlaa sę zmeej losowej od jej warośc oczekwaej opsuje sę momeam (mar zmeośc). Mome zwkł rzędu k zmeej losowej T
k k [ ] f () d 35 α [T] E T. (5.9) k + Np. α ; α E[T] ˆ - warość oczekwaa.. Mome ceral rzędu k zmeej losowej T Np. µ [T] ; µ [T] ; k k [ T] E ( T ˆ ) ( ˆ ) f () d µ k. (5.) [ ] ( ) σ E T µ T ˆ - waracja (dspersja). (5.) Dla rozkładów smerczch µ µ µ.... Odchlea sadardowe 3 5 σ σ + σ (5.) Zwązk mędz α k µ k począkowch rzędów: Z zależośc (5.3) orzmuje sę α α 3 3 α3 αα + 4 α4 α3α + 6αα 3 µ, (5.3) µ 3 α, (5.4) 4 µ 4 α. (5.5) σ [ T ] E [ T] + ˆ E ( ) f ()d o. (5.6) 3. Współczk asmer (skośośc) (rs. 5.) µ 3 γ. (5.7) 3 σ
36 Gd: γ > asmera dodaa, M o < M e, γ < asmera ujema, M o > M e, γ dla rozkładów smerczch. M e M e s. 5.. Przkład rozkładów prawdopodobeńswa o dodaej ujemej asmer 4. Współczk ekscesu (spłaszczea) (rs. 5. 3) µ 4 γ 3. (5.8) 4 σ Gd werzchołek rozkładu jes wższ lub ższ od werzchołka rozkładu ormalego, wed jes odpowedo γ > lub γ <. Dla rozkładu ormalego γ.
37 s. 5.3. Przkład rozkładów prawdopodobeńswa o różch współczkach ekscesu 5. Współczk zmeośc σˆ ϑ (5.9) Jeżel warośc oczekwae porówwach rozkładów e są rówe, wed za marę zmeośc służ ϑ. Gd ˆ, o ϑ σ aczej mówąc, ϑ jes marą rozproszea, w kórej za jedoskę przjęo warość oczekwaą ˆ. 6. Odchlee przecęe [ T ˆ ] ˆ f () d σ [T] E (5.) p +
38 7. Kwal Kwalem p rzędu p (, ) czasu zdaośc azwa sę perwasek rówaa ( p ) F( p ) p. (5.) Kwal,5 (rzędu p,5) jes medaą, a kwale rzędu,5,75 są odpowedo kwalem dolm,5 kwalem górm,75. Zakładając, że w chwl począkowej obek ma % zapasu zdaośc, kwal p azwa jes (-p) % zapasem zdaośc obeku. Pojęce kwala może eż służć do określea maksmalego czasu zdaośc obeków eodawalch, poeważ czasow emu jes rów kwal rzędu. Operacja cerowaa zmeej losowej T daje zmeą losową T o ˆ T T ˆ. (5.) Operacja sadarzowaa zmeej losowej T daje zmeą losową T o ˆ σ T T ˆ T. (5.3) σ σ Powższe mar położea a) mar zmeośc b) służą do defowaa różch wskaźków ezawodośc obeków echczch sosowach w ormach. Dla przkładu orma polska PN-77/N-45 wróża łącze wskaźk [4]. Są o: () wskaźk doczące zdaośc rwałośc (3 wskaźków), () wskaźk doczące apraw (3 wskaźk), () wskaźk doczące przechowwaa lub rasporu (3 wskaźk), (v) e wskaźk. A oo ekóre z ch: ad. () Zasób γ-proceow γ do perwszego uszkodzea. Wskaźk e określa lość prac jaką może wkoać obek, odpowadająca γ- proceom prawdopodobeńswa poprawej prac, z. jes o rozwązae rówaa
39 γ ( γ ) (5.4) Moża zauważć, że wskaźk e jes zdefowa podobe jak kwal (5.) lecz a baze fukcj ezawodośc (). ad. () Prawdopodobeńswo apraw po czase, P () Defcja ego wskaźka opera sę a określeu fukcj zawodośc (4.3). Zgode z ą prawdopodobeńswo zdarzea, że w przedzale czasu (, ) obek zosae aprawo P () P(T p < ) (5.5) gdze: T p T + T o - zmea losowa ozaczająca czas przesoju aprawczego obeku od chwl wsąpea uszkodzea do chwl przwrócea obekow zdaośc, T - zmea losowa ozaczająca czas właścwej apraw, T o - zmea losowa będąca różcą mędz T p T. ad. () Odporość a przechowwae (raspor) p () Wskaźk e określa prawdopodobeńswo zdarzea, że obek w rakce przechowwaa (rasporu) w określoch warukach e uszkodz sę w przedzale czasu (, ) p () P(T p ) (5.6) gdze T p jes zmeą losową ozaczającą czas przechowwaa (rasporu) obeku, podczas kórego obek zachowuje określoe dla ego warośc wskaźków eksploaacjch. Wzór (5.6) określa węc fukcję ezawodośc wrażoą wzorem (4.). ad. (v) Wskaźk wkorzsaa echczego K w Isoą ego wskaźka jes prawdopodobeńswo zdarzea, że w dowolej chwl czasu obek zajduje sę w sae zdaośc wkouje zadae, do kórego jes przezaczo K w P(T < ) (5.7) gdze T jes zmeą losową opsującą powższe zdarzee. Bardzej przejrzse zaczee ego wskaźka oddaje jego esmaor
4 K w s + + (5.8) s s ps gdze: s - sumarcz czas poprawej prac obeku w rozparwam okrese eksploaacj, s - sumarcz czas apraw badaego obeku w rozparwam okrese eksploaacj, ps - sumarcz czas zuż a zabeg proflakcze badaego obeku w rozparwam okrese eksploaacj.
4 6. Nezawodość obeków prosch Obekam prosm azwa sę obek, mające szeregową, rówoległą, szeregowo-rówoległą lub rówoległo - szeregową srukurę ezawodoścową. W laach 95-56 wkazao, że jes możlwa budowa dosaecze ezawodch obeków z zawodch elemeów. Obek ezawode orzmujem główe w wku właścwego zasosowaa zw. admaru przesrzeego, polegającego a umejęm wprowadzeu do obeku pewej lczb elemeów admarowch. 6.. Ops ezawodoścow obeku Do opsu ezawodoścowego sosowae są asępujące meod: pozwowa (zdaość obeku) (), egawowa (ezdaość obeku) (), kombowaa, pozwowo - egawowa. W opse logczm, zarówo pozwowm jak egawowm, srukurę ezawodoścową obeku podaje sę w kowecj zerojedkowej: A, ked, ked eleme jes eleme jes zda, ezda, lub A - zda, A (e A ) - ezda. 6.. Nezawodość obeków szeregowch Obekem o srukurze szeregowej (obek szeregow) azwa sę obek, kór fukcjouje poprawe, gd wszske jego eleme składowe są sprawe. Nezawodość s obeku - elemeowego o srukurze szeregowej w przpadku, ked uszkodzea jego elemeów składowch są uszkodzeam wzajeme ezależm, wrażoa jes wzorem...... (6.) s prz czm ozacza ezawodość - ego elemeu.
4 a) b) c) T T T e) s d). T.4 >> T f).4. T T T T T T s m (T ) s. 6. Lampa elekrcza o kosrukcj mozakowej jako przkład modelu fzczego obeku szeregowego: a) lampa, b) sposób połączea żarówek, c) srukura ezawodoścowa w zapse pozwowm (zdaośc), d) srukura ezawodoścowa w zapse egawowm (ezdaośc), e) przebeg fukcj ezawodośc, f) wkres rwałośc.
W szczególm przpadku, gd obek jes zbudowa z elemeów o jedakowej ezawodośc (... ), orzmuje sę wzór 43 s. (6.) Z podaego wzoru wka, że ezawodość obeku jedorodego o srukurze szeregowej zwększa sę wraz ze zwększeem ezawodośc jego elemeów składowch (rs. 6.), aomas zmejsza sę w sposób wkładcz wraz ze zwększeem lczb ch elemeów. Cechą charakersczą obeku szeregowego jes o, że saje sę o obekem prakcze zawodm ( s ) już prz sosukowo ewelkej lczbe elemeów składowch. Częso zamas wzaczać warość s lepej wzaczać warość s, j. zawodość obeku szeregowego, według wzoru. (6.3) s s Gd obek jes zbudowa z elemeów o jedakowej zawodośc, orzmuje sę s ( ). (6.4) Obek o srukurze szeregowej moża zdefować róweż w kaegorach rwałośc T s T m ( T ) m ( T,...,T,..., T ) s, (6.5) gdze T ozacza rwałość - ego elemeu. Z powższego wzoru wka, że rwałość T s jes określoa rwałoścą ajsłabszego (ajmej rwałego) elemeu. Tpowm przkładem mechaczch obeków szeregowch są łańcuch, w kórch ogwa są połączoe szeregowo. 6.3. Nezawodość obeków rówoległch Obekem o srukurze rówoległej (obek rówoległ) azwa jes obek, kór fukcjouje poprawe, gd chocaż jede jego eleme jes spraw. Dla zwększea ezawodośc obeku wprowadza sę celowo pewą lczbę elemeów admarowch.
44 a) b) c) T T T d) T T T e). s f) >> T.6 T T.6. T r max (T ) T s. 6.. Lampa elekrcza o kosrukcj mozakowej jako przkład modelu fzczego obeku rówoległego: a) lampa, b) sposób połączea żarówek, c) srukura ezawodoścowa w zapse egawowm (ezdaośc), d) srukura ezawodoścowa w zapse pozwowm (zdaośc), e) przebeg fukcj ezawodośc, f) wkres rwałośc
Zawodość r - elemeowego obeku rówoległego w przpadku, ked uszkodzea jego elemeów składowch są uszkodzeam wzajeme ezależm, moża wrazć wzorem 45...... (6.6) r prz czm ozacza zawodość - ego elemeu. W przpadku obeku jedorodego r (6.7) Wzor a ezawodość r obeku rówoległego są asępujące a dla obeku jedorodego ( ) (6.8) r r r ( ). (6.9) Z podach wzorów wka, że ezawodość obeku rówoległego zwększa sę e lko ze wzrosem ezawodośc jego elemeów składowch (rs. 6.), ale róweż ze zwększeem lczb elemeów. Cechą charakersczą obeku rówoległego jes o, że saje sę o obekem prakcze ezawodm ( r ) już prz sosukowo ewelkej lczbe elemeów. Trwałość (czas żca) obeku rówoległego T r jes zdeermowaa rwałoścą ajmocejszego (ajrwalszego) elemeu r ( T ) max ( T,...,T,..., T ) T max, (6.) gdze T ozacza rwałość - ego elemeu. Tak, jak w przpadku obeków szeregowch, pojawa sę u problem celowośc budow obeków rówoległch z elemeam o jedakowej rwałośc. Sosując p. krerum cągłośc prac obeku moża wkazać, że budowa akch obeków jes wsoce celowa.
46 6.4. Nezawodość obeków szeregowo-rówoległch Obekem szeregowo - rówoległm azwa jes ak obek, kór fukcjouje poprawe wówczas, gd wszske jego zespołów, o rówoległm połączeu m elemeów, fukcjouje poprawe. s. 6.3. Segmeowa lampa elekrcza jako przkład modelu fzczego obeku szeregowo - rówoległego: a) lampa, b) srukura ezawodoścowa w zapse pozwowm (zdaośc), c) wkres rwałośc
Nezawodość sr obeku szeregowo - rówoległego, mającego zespołów o m rówolegle połączoch elemeach m [ rj] ( j ) 47 sr, (6.) j j prz czm j ozacza ezawodość -ego elemeu zajdującego sę w j-m zespole. Jeśl rozparwa obek jes obekem jedorodm regularm, czl obekem o jedakowej lczbe elemeów w poszczególch zespołach, moża apsać sr m [ ( ) ]. (6.) Zawodość rozparwaego obeku jedorodego moża wrazć wzoram oraz sr sr m [ ] (6.3) [ ( ) ] m. (6.4) Trwałość obeku szeregowo-rówoległego T sr jes zdeermowaa rwałoścą T j ajsłabszego zespołu sr j ( T ) m ( T,...,T,..., T ) T m, (6.5) j prz czm rwałość każdego j-ego zespołu jes zdeermowaa rwałoścą jego ajmocejszego elemeu, o zacz j ( T ) max ( T,..., T,..., T ) j j j T max. (6.6) j mj Zaem ( T ) ( ) ( ) ( ) j m max T,..., max Tj,..., max T j T sr m max. (6.7) j
48 6.5. Nezawodość obeków rówoległo-szeregowch Obekem rówoległo-szeregowm azwa jes ak obek, kór fukcjouje poprawe wówczas, gd przajmej jede spośród jego zespołów fukcjouje poprawe. s. 6.4. Segmeowa lampa elekrcza jako przkład modelu fzczego obeku rówoległo - szeregowego: a) lampa, b) srukura ezawodoścowa w zapse pozwowm (zdaośc), c) wkres rwałośc
Nezawodość obeku rówoległo - szeregowego rs mającego zespołów o m szeregowo połączoch elemeach moża zapsać wzorem 49 m ( ) rs sj j, (6.8) j j prz czm j ozacza ezawodość -ego elemeu zajdującego sę w j-m zespole. Gd obek jes jedorod regular, czl jes obekem o jedakowej lczbe elemeów w poszczególch zespołach, moża apsać rs m ( ). (6.9) Zawodość akego obeku moża wrazć wzoram oraz rs rs m [ ( ) ], (6.) m [ ]. (6.) Trwałość obeku rówoległo-szeregowego T rs jes zdeermowaa rwałoścą ajsłabszego elemeu w ajrwalszm zespole T rs max m j ( T ) ( ) ( ) ( ) j max m T,..., m Tj,..., m T j, (6.) prz czm T j ozacza rwałość (czas żca) -ego elemeu w j-m zespole.
5 7. Nezawodość obeków złożoch Przkład ego rodzaju obeków pokazao a rs. 7.. a) 4 4 5 5 5 3 3 4 3 c) b) s. 7.. Przkład srukur ezawodoścowch obeków złożoch pu: a) mosek, b) saka, c) seć Główm problemem w procese aalz, sez opmalzacj ezawodoścowej obeków złożoch jes problem wzaczaa ch ezawodośc. Jedą z prosszch efekwejszch meod oblczaa ezawodośc ch obeków jes zw. meoda dekompozcj prosej. Meoda a polega a m, że obek o dowolej srukurze ezawodoścowej zosaje drogą kolejch operacj srukuralch przekszałco w pewą lczbę podssemów (obeków) prosch, o jes obeków o srukurach szeregowo - rówoległch, kórch ezawodość moża wzaczć zam meodam oblczeowm. Cechą charakersczą ej meod jes o, że dekompozcję obeku - elemeowego wkouje sę zawsze względem jedego dowole wbraego -ego elemeu, w wku czego orzmuje sę za każdm razem dwa obek (-) - elemeowe, e zawerające -ego elemeu. W przpadku, gd srukur orzmach obeków (podssemów) są adal srukuram złożom, przeprowadza sę ch asępe dekompozcje, prz czm czośc e powarza sę dopó, dopók e orzma sę obeków o srukurach prosch.
5 Zgode z podam opsem ezawodość, () obeku -elemeowego daje sę przedsawć asępującm wzorem rekurecjm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () +, (7.) gdze: - ezawodość -ego elemeu obeku, ( ) ( () () ) (,...,,..., ) - ezawodość obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego, w kórm - eleme jes absolue ezawod, ( zwarce ), ( ) ( ( ) ( ) ) (,...,,..., ) - ezawodość obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego, w kórm - eleme jes absolue zawod, j ( przerwa ). Ozaczeom we wzorze rekurecjm adaje sę erpreację grafczą, pokazaą a rs. 7. ( - ) ( ) ( ) ( - ) () s. 7. Ierpreacja ozaczeń we wzorze rekurecjm dla obeku weloelemeowego. Absolue ezawod eleme o j saow rodzaj zwarca dla przepłwu srumea eerg lub formacj, a eleme absolue zawod o j, saow swosą przerwę dla przepłwu srumea. Przkład 7. Dla zlusrowaa omawaej meod oblczeowej wzaczoo ezawodość obeku złożoego o srukurze moskowej. Zgode z przedsawoą procedurą oblczeową dekompozcję rozważaego obeku pęcoelemeowego ( 5) moża wkoać ze względu a dowol eleme. Poeważ dobór elemeu dekompozcjego (o j ) jes zupełe dowol e ma wpłwu a wk oblczeń, przjmuje sę, że rozważa
obek jes dekompoowa ze względu a eleme 5. Zaem zgode ze wzorem rekurecjm jes (rs. 7.3) ( 4 ) ( ) + 3 5 4 3 4 53 5 4 3 ( 4 ) ( ) [ ( )( )][ ( )( )] 5 4 3 ( + )( + ) 4 4 3 3 5 4 3 ( 5) 3 4 5 + 5 + dla obeku jedorodego 5 4 3 s. 7.3. Ierpreacja meod dekompozcj prosej a przkładze wzaczaa ezawodośc (obeku złożoego) moska (przkład 7.)
54 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 5 4 5 5 5 +, (7.) gdze ( ) ( ) ( )( ) 3 3 4 4 4 5 + +, ( ) ( ) 4 3 4 3 4 5 +, sąd ( ) ( )( ) ( )( ) 5 4 3 5 4 5 3 4 3 5 4 5 3 4 3 4 3 4 3 5 3 3 4 4 5 5 + + + + + + + + 5 4 3 5 4 3 +. (7.3) W przpadku, gd rozważa obek złożo jes jedorod, o zacz 5 4 3, orzmuje sę ( ) 5 4 3 5 5 + +. (7.4) Wkres fukcj ezawodośc (5) moska złożoego z jedakowch elemeów (rs.7.4) wskazuje, że celowe jes budowae akch obeków, gd ezawodość elemeów >,5. s. 7.4 Wkres fukcj ezawodośc moska (5) (5),,5,5,
7.. Nezawodość obeków progowch Obekam progowm albo obekam pu k z azwa sę obek, kóre uzaje sę za sprawe, gd k spośród elemeów ( k ) o eleme zdae. Ozacza o, że w obekach progowch pu k z dopuszcza sę uszkodzee pewej usaloej z gór lczb elemeów ( - k), pożej kórej obek uzaje sę jeszcze za zda. Dla każdego obeku progowego pu k z moża zdefować paramer p, kór azwa sę progem obeku: 55 k p. (7.5) Zależe od warośc p obek progowe pu k z moża podzelć a: obek mejszoścowe, ked p <,5, obek rówoścowe, ked p,5, obek wększoścowe, ked,5 > p,. Waro zauważć, że prose obek szeregowe rówoległe są szczególm przpadkam obeków progowch, a maowce: obek szeregow jes obekem progowm pu z, aomas obek rówoległ jes obekem progowm pu z. Obek progowe wsępują powszeche w prakce, zwłaszcza wed, ked ch dzałae jes opare a logce progowej. Jedą z osoblwośc obeków progowch pu k z jes ch duża efekwość ezawodoścowa, umożlwająca budowę obeków o dużej ezawodośc z elemeów o małej ezawodośc. Przkład. obeków progowch ozparuje sę dwe fukcjoale rówoważe lamp ośweleowe o kosrukcj mozakowej (rs. 7.5). Jeśl jako krerum poprawego fukcjoowaa każdej lamp przjme sę waruek, ab przajmej 66% żarówek bło zdach, o rozważae lamp moża rakować jako obek progowe pu k z, dla kórch p k/ /3. W prakce ozacza o, że lampę złożoą z rzech żarówek (dużej moc) uzaje sę za zdaą, jeżel przajmej dwe z ch są zdae, aomas lampę zbudowaą z 9 żarówek (małej moc) uzaje sę za zdaą w przpadku zdaośc przajmej k 6. Im słow, w przpadku perwszej lamp dopuszcza sę uszkodzee lko jedej żarówk, aomas dla drugej lamp - uszkodzee aż 3 żarówek.
56 s. 7.5. Obek progowe ch ops ezawodoścow. ealzacja fzcza obeku progowego zbudowaego z małej (a) dużej (b) lczb elemeów, c) układ połączeń elemeów (żarówek), d) ozaczee obeku progowego, e) srukura ezawodoścowa, f) wkres rwałośc, g) algorm oblczaa ezawodośc
Do wzaczaa ezawodośc p k/ obeków progowch pu k z, zbudowach z małej lczb elemeów, moża zasosować zaą już meodę dekompozcj prosej 57 gdze: p() ( ) p() ( ) p k / (k)/() + k /() + (,...,,..., ) (,...,,..., ), (7.6) p k / k / p() (k )/() p - ezawodość obeku k (-) elemeowego pu (k-) z (-) o warośc progu p, oblczoa dla przpadku, gd - eleme rozważaego obeku - elemeowego jes absolue ezawod ( j ),,...,,..., - ezawodość p() k /( ) p ( ) obeku (-) elemeowego pu k z (-), o warośc progu k p, oblczoa dla przpadku, gd - eleme rozważaego obeku -elemeowego jes absolue zawod ( j ). Ierpreację podach zależośc oraz sposób oblczaa ezawodośc obeków progowch pu k z przedsawoo a rs. 7.5 g. Przkład. obeków progowch Dla zlusrowaa podach zależośc wzacza sę ezawodość ajprosszego obeku progowego pu z 3 (lampa mozakowa, rs. 7.6 a). Zadae sprowadza sę do wzaczea ezawodośc lamp /3 a podsawe zajomośc ezawodośc jej żarówek, z. warośc,, 3. Zgode ze wzorem rekurecjm meod dekompozcj prosej jes: gdze: / / p + 3. /3 / ( ) / + (7.7) 3 3 Srukur ezawodoścowe / / pokazao a rs. 7.7.
58 s. 7.6. Wk aalz ezawodoścowej dwu obeków progowch zbudowach z małej (a) dużej (b) lczb elemeów / / 3 3 s. 7.7. Srukur ezawodoścowe / /
59 Sąd /3 ( + ) + ( ) + 3 3 + 3 3 3. 3 (7.8) Jeśl rozparwaa lampa jes zbudowaa z żarówek jedorodch ( 3 ), jej ezawodość moża wrazć wzorem /3 3 3. (7.9) Orzmae wrażee przedsawoo w posac wkresu a rs. 7.6a. Wdać z ego, że ezawodość rójżarówkowej lamp progowej jes wększa ż ezawodość odpowadającej jej pod względem sł śwała lamp jedożarówkowej dla >,5 mejsza dla <,5. Ozacza o, że budowa progowch ssemów ośweleowch pu z 3 jes, jeśl chodz o ezawodość, sesowa jede wówczas, gd ezawodość użch żarówek wos >,5. Oblczae ezawodośc obeków pu k z zawerającch dużą lczbę elemeów jes ucążlwe wmaga użca kompuerów. W przpadku obeków zbudowach z elemeów jedorodch ezawodość k/ obeku progowego moża wrazć wzorem lub p p k / k ( ) ( ), (7.)! k k k / x ( x) dx!, (7.) ( k )!( k) prz czm k, k +,..., -, ( )! ;!.! ( )! Przkład 3. obeków progowch Przkładem jedorodego obeku progowego pu k z, zawerającego dużą lczbę elemeów, może bć wspomaa już lampa mozakowa (lub reklama śwela), kórej ezawodość moża wrazć wzorem
6 p 6 / 9 9 9 9 ( ) ( ), (7.) prz czm 6, 6,..., 9, 9. Na rs. 7.6 b przedsawoo wkres fukcj ezawodośc 6/9, z kórego wka m.., że dla a,68 ezawodość rozparwaej lamp progowej jes wększa ż ezawodość odpowadającej jej lamp klasczej, o jes lamp z jedą żarówką. Prz a <,68 zachodz zjawsko przecwe. ozważaą lampę progową moża rakować jako prakcze ezawodą, jeżel b >,8 oraz jako prakcze zawodą, jeżel c <,5. Waro u podkreślć, że ezacza zmaa ezawodośc żarówek w przedzale ( c, b ) ma zasadcz wpłw a ezawodość lamp. Zma ezawodośc żarówek zaware w przedzale a,5; b,8, e mają prakcze wpłwu a ezawodość lamp. Z przedsawoch przkładów wka, że obek progowe pu k z moża soe budować jako obek o dużej ezawodośc. Zależe od warośc progu p k/ moża je wkować z elemeów o sosukowo małej ezawodośc. Obek pu k z budowae z dużej lczb elemeów (prakcze dla ) sają sę obekam deermsczm, mmo probablsczch właścwośc elemeów składowch, prz czm są oe obekam prakcze ezawodm ( k/ ) wówczas, gd ch eleme mają ezawodość wększą ż warość progu ( > p k/) oraz są obekam prakcze zawodm ( k/ ) wówczas, gd ch eleme mają ezawodość mejszą ż warość progu ( < p k/): ( ) ( ) dla > p k /, p k / (7.3) dla < p k /, k Ma o soe zaczee dla żer ezawodośc oraz sez obeków prakcze ezawodch. Obek progow pu k z moża opsać w kaegorach rwałośc (rs. 7.5 f). Z defcj obeku progowego wka, że jes o ak obek, kórego rwałość T p T k+ dla T T... Tk Tk+... T, (7.4)
jes zdeermowaa rwałoścą elemeu progowego o umerze pozcjm ( - k + ), z. perwszm elemeem krczm obeku. Sposób wzaczaa rwałośc T p obeku progowego pokazao a rs. 7.5 f. 6
63 8. Nezawodość obeków z uszkodzeam pu przerwa zwarce Doąd rozparwao obek zbudowae z elemeów dwusaowch (zda, ezda). Iseją obek, kórch eleme mogą ulegać uszkodzeom (sa ezdaośc) dwojakego rodzaju, kóre azwa sę uszkodzeem pu przerwa oraz uszkodzeem pu zwarce. Uszkodzea ego pu wsępują powszeche w układach elekrczch elekroczch oraz peumaczch, hdraulczch, opczch p. Osoblwoścą omawach układów jes o, że mają oe zmeą srukurę ezawodoścową zależą od rodzaju uszkodzeń, a odpowadające m fukcje ezawodośc r zawodośc r są fukcjam wekorowm. Tpowm reprezeaem obeku z uszkodzeam pu przerwa oraz zwarce jes przekaźk elekromechacz. Przekaźk w posac pojedczej cewk oraz pojedczego układu sków pokazao a rs. 8.. Z aalz prac przekaźka wka, że może o uracć właścwość przełączaa w wku przerw lub zwarca. Zaem ezawodość r przekaźka moża wrazć wzorem gdze. p + z (8.) jes prawdopodobeńswem uszkodzea (zawodoścą) przekaźka w wku wsąpea przerw lub zwarca. Sąd (, ) ( + ) p z p z (8.) W prakce żerskej, ezawodość r lub zawodość r przekaźka charakerzujem parą lczb p oraz z zapsujem asępująco lub dla obeku - elemeowego, z, p ( ) (, ). p z
64 ) s. 8.. Przekaźk elekromechacz jako przkład obeku z uszkodzeam pu przerwa zwarce : a) przekaźk, b) sa ezawodoścowe przekaźka, c) ozaczee obeku z uszkodzeam pu przerwa (p) zwarce (z), d) wkres ezawodośc
Oblczae ezawodośc obeków - elemeowch z dwoma rodzajam uszkodzeń moża wkoać meodą dekompozcj prosej sosując asępujące wzor rekurecje ( ) p z 65 ( ) ( ) ( ) ( + ), (8.3) ( ) ( ) () ( ) ( ) p pp() + p p, (8.4) ( ) ( ) () ( ) ( ) z zz() + z z. (8.5) We wzorach ch ozaczoo prawdopodobeńswa uszkodzea pu (p) przerwa : ( ) - obeku -elemeowego, p ( ) p() - obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego z przerwam -m elemeem, ( ) - obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego ze p() zwarm -m elemeem, oraz prawdopodobeńswa uszkodzea pu (z) zwarce : ( ) - obeku -elemeowego, z ( ) - obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego ze z() zwarm -m elemeem, ( ) z() - obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego z przerwam -m elemeem. W ablc 8. podao wzor do oblczaa zawodośc ezawodośc obeków prosch złożoch z uszkodzeam pu przerwa zwarce.
Wzor do oblczaa zawodośc ) ( z ) ( p, oraz ezawodośc r obeków prosch złożoch Zawodość obeku Obek Srukura obeku Jedorodego Nejedorodego szeregow p z, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m z m p m m z m z m p m p r ( ) ( ) ( ) m z m p m m z m z m p m p r rówoległ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p z z z p p r ( ) ( ) ( ) j pj j zj j zj z j pj z r szeregowo- rówoległ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] m z m p m m z m z m p m p r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m j zj m j pj m m j zj m z m j pj m p r Tablca 8..
cd. ablc 8.. Zawodość obeku Obek Srukura obeku Jedorodego Nejedorodego ( ) m m p ( ) ( pj) m m p [ ( p ) ] j ( m) m ( ) m m z ( z ) z zj r ( m) m m ( ) [ ( ) ] j z p r m j rówoległo - szeregow ( m) ( pj) m j zj złożo p, z ( ) p p ( ) + ( p ) p p() () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) z z + z z z() r ( ) r ( ) ( ) ( + ) ( ) p z ( ) r ( ) r k / ( k / ) ( k / ) ( k / + ) Przkład wzaczaa ( k / ) p z z progow p, z ( k / ) z ( k ) /( ) z z() + ( z ) ( ) k / z()
68 Przkład 8. Dla przełączka pęcoprzerwowego ( 5), pokazaego a rs. 8., ależ ( 5) ( 5) (5) wzaczć prawdopodobeńswa p, z oraz r, zając zawodośc p, z poszczególch elemeów (,,...,5). Sosując wzor rekurecje przeprowadz sę dekompozcję przełączka ze względu a eleme. ( 5) p p( p + p5 pp5 )( p3 + p4 p3p4 )+ ( )( + ) + (8.6) p p p3 p4 p5 ( 5) z z( z + z3 zz3 )( z4 + z5 z4z5 )+ ( )( + ) z z z5 z3 z4 p + (8.7) z p3 z3 p4 z4 p5 z5 ( 5) ( 5) ( 5 + ) p z (8.8) Gd przełączk jes wkoa z elemeów jedorodch, o zacz z z dla (,...,5) p p ( 5) 3 4 5 p p + p 5p + p (8.9) ( 5) 3 4 5 z z + z 5z + z (8.)
69 a) b) p, z,...5 c) ( 5 ) p ( 4) p p() + ( 4) p ( ) p() ( 4) p() ( + )( + ) p p5 p p5 p3 p4 p3 p4 ( 4) p() p p3 p4 p5 p p3 p4 p 5 + d) ( 5 ) z ( 4) z z() ( 4 + ) z ( ) z() ( 4) z() ( + )( + ) z z3 z z3 z4 p5 z4 z5 ( 4) z() zz5 + z4z3 zz3z4z 5 s.8.. Przkład wzaczaa zawodośc ( 5 r ) przełączka pęcoprzerwowego a) układ przełączka, b) schema blokow przełączka, c) algorm wzaczaa ( 5) p, d) algorm wzaczaa ( 5 ) z
7 9. Nezawodość obeków z elemeam zależm Dla zlusrowaa problemak ezawodośc obeków z elemeam zależm prześledzoo zachowae sę par elemeów, p. elemeu -ego oraz j- ego w warukach, ked asępuje uszkodzee jedego z ch, p. elemeu - ego (rs. 9.). T T j T, T j - ezależe j T T j T j T j T, T j zależe sochascze T T, T j zależe deermscze T s. 9.. Klasfkacja obeków z elemeam zależm
7 Powarzając welokroe powższ eksperme dla różch obeków moża swerdzć, że badae eleme mogą bć elemeam: ezależm, jeżel uszkodzee -ego elemeu e pocąga za sobą zma rwałośc ezawodośc elemeu j-ego, sochascze zależm, jeżel uszkodzee -ego elemeu pocąga za sobą, sochascze, o jes każdorazowo e zma rwałośc ezawodośc elemeu j-ego, kóre wkazują jedak pewe wraźe red, deermscze zależm, jeżel uszkodzee -ego elemeu pocąga za sobą deermscze, o jes zawsze ake same zma rwałośc ezawodośc elemeu j-ego. W przpadku obeków zbudowach z elemeów wzajeme ezależch do ch aalz sez porzeba jes jede zajomość srukur oraz warośc lub (,...,). W obekach z elemeam zależm formacja a jes róweż koecza, ale ewsarczająca. Poeważ każd eleme obeku może wwołwać a ogół e zma rwałośc ezawodośc elemeów pozosałch, róweż ważą sprawą jes o, że da eleme obeku ulega uszkodzeu jako perwsz, drug, rzec d. Uszkodzee elemeu obeku fak, że uszkadza sę o wcześej lub późej ż eleme obeku, są zdarzeam losowm. Prawdopodobeńswo zdarzea T < T j, o jes prawdopodobeńswo wcześejszego uszkodzea sę -ego elemeu zapsuje sę jako q P(T T ), (9.) < a prawdopodobeńswo przecwe jako j ( ) p P T T j. (9.) Poeważ omówoe zdarzea są wzajeme wkluczającm sę, moża zapsać zależość q + p. (9.3) Wprowadzo paramer q charakerzuje zw. czasow mechazm uszkodzea sę obeku jes sosowa w opse ezawodoścowm obeków zależch (Tabl. 9.).
Nezawodość ajprosszch obeków z elemeam zależm. Nazwa Obek szeregowe (s) (ops pozwow) 73 Tablca 9.. Obek rówoległe (r) (ops egawow) Nezależ s r Zależ asmercze qq sza q + ( q) q (,) rza q + ( q) q (,) q q q q q q Zależ asmercze Zależ smercze qq sa q + ( q) q (,) ra q + ( q) q (,) q q qq qq q q sz q + ( q) q (,) rz q + ( q) q (,) q q q q q q q q