Indukcja matematyczna Matematyka dyskretna
Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna będzie przez nas używana jako metoda dowodzenia twierdzeń. Zazwyczaj są to twierdzenia dotyczące liczb naturalnych, ale wiele różnych twierdzeń, pozornie nie dotyczących liczb naturalnych, można sformułować tak, by można było je poddać dowodowi indukcyjnemu. Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z zasady minimum: Lemat I. 1. Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S N zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Założenie, że zbiór nie jest pusty jest oczywiście konieczne, gdyż w zbiorze pustym nie istnieje żadna liczba.
Indukcja matematyczna Rozumowanie przeprowadzone na przykładzie równości Maurolio wskazuje, że jeśli tylko Z N jest jakimś zbiorem liczb naturalnych, w którym jest zero (O Z), oraz!! k + 1 Z, to wtedy Z musi już zawierać wszystkie liczby naturalne, tzn. Z = N.
Twierdzenie I. 2. Zasada Indukcji Matematycznej Jeśli Z N jest jakimś zbiorem liczb naturalnych, w którym jest k! (k! Z), oraz!!!! k Z k + 1 Z, to wtedy Z zawiera wszystkie liczby naturalne n k! (Z N\{0,1,, k! 1}). Pierwszy warunek nazywamy bazą indukcji. W drugim warunku najpierw dokonujemy założenia indukcyjnego (o tym, że k Z), aby wykonać krok indukcyjny dowodząc, że k + 1 Z. Często używaną ilustracją indukcji matematycznej jest efekt domina. Załóżmy, że ułożyliśmy bardzo dużo kostek domina, jedna za drugą. Upewniliśmy się też, że jeśli przewróci się dowolna z nich (założenie indukcyjne) to przewróci się też następna (krok indukcyjny). Wtedy, jeśli ktoś nam powie, że przewrócił czwartą kostkę (baza indukcji) to wiemy, iż wszystkie następne (poza być może pierwszymi trzema) też się przewróciły. W indukcji matematycznej liczby naturalne są niejako kostkami domina ułożonymi dostatecznie blisko siebie.
Twierdzenie I. 3. Zasada Indukcji Zupełnej Jeśli Z N jest jakimś zbiorem liczb naturalnych, który wraz z każdym początkowym fragmentem zbioru N postaci {0,, k 1} zawiera również kolejną liczbę k, tzn.! N ( l!! l Z k Z), to wtedy Z zawiera wszystkie liczby naturalne, tzn. Z = N. Zasada Indukcji Zupełnej pozwala skorzystać w dowodzie kroku indukcyjnego (k Z) ze znacznie szerszego założenia indukcyjnego, że l Z dla wszystkich l < k (a nie tylko dla k 1 jak w indukcji matematycznej). Zwróćmy uwagę, że w Zasadzie Indukcji Zupełnej nie ma wyróżnionego kroku bazowego. Jest on ukryty w warunku dla k = 0. Zazwyczaj w dowodach przez indukcję zupełną dowód tego brzegowego warunku (bazowego) jest odrębny.
Twierdzenie I. 4. Zasada Maksimum Dowolny niepusty i ograniczony od góry podzbiór S N zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę największą.
Twierdzenie I. 5. Następujące zasady są równoważne: Zasada Minimum, Zasada Indukcji Zupełnej, Zasada Indukcji Matematycznej, Zasada Maksimum.
Zadania Wykaż indukcyjnie: 10 n! n 12 (10 n 4) dla n > 1 (2n)! > (2 n ) n dla n > 0! 2n n = n k!!! n n k!!!! k! = ( n (n + 1))! 2 (1 + 1 n) n n + 1 dla n > 0
Zadania Udowodnij, że: Dla jakich liczb zachodzi wzór 10 37!"" 37!" 10 37!"" 1 7 11 n 4 n dla n > 0 73 8!!! + 9!!!! dla n > 0 4n n! 7? Weźmy zdanie p(n) postaci n! + 5n + 1 jest liczbą nieparzystą. Udowodnij, że dla każdego naturalnego k > 0 z p(k) wynika p(k + 1). Dla jakich liczb prawdziwe jest p(k)? Niech A N będzie zbiorem wszystkich tych liczb naturalnych n! 3n + 3 jest parzysta., dla których liczba Pokaż, że jeśli n A to n + 1 A. Jakie liczby należą więc do A?
Liczba π Odkryta przez Archimedesa (225 p.n.e.) W 1768 Johann Lambert udowodnił, że jest niewymierna. W 1882 Ferdinand von Lindemann wykazał, że jest przestępna, tzn. nie jest pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego. Znane przybliżenia: 22 7 = 3,1428... 10 = 3,1622... 9801 4412 2 = 3,14159273...
Liczba π Rozwinięcia π szeregi: π 4 = 1 1 3 + 1 5 1 7 + 1 9 1 11 + π! 4 = 1 + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + Obliczenia: 1853 - W. Shanks ogłosił π z dokładnością do 607 miejsc (527) 1949 - ENIAC z dokładnością do 2037 miejsc (70 godzin obliczeń) 2002 - znane 1,2 bln cyfr [jeśli poprzedni wynik da się zapisać ręcznie na 14 metrach, to ostatni będzie 62 razy okrążał Ziemię]
Liczba e (liczba Eulera / Nepera) Wkładamy do banku 1 zł z odsetkami 100% rocznie. Po roku mamy 2 zł. Jeśli zmniejszymy odsetki do 50% ale będziemy je naliczać co pół roku, to otrzymamy 2,25 zł. Jeśli do 25% i naliczymy je kwartalnie, to 2,4141... Po doprowadzeniu tego rozumowania do granicy otrzymamy liczbę e, czyli około 2,72 zł. Jest to granica ciągu e = 2,7 1828 1828 4590 4523 Znane przybliżenia: 87 32 = 2,71875 878 323 = 2,71826... e = 2, (Andrew Jackson) (Andrew Jackson)!!"#$%&#'(!"#" Znane szeregi: e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + Niewymierność Leonard Euler 1737 Przestępność Charles Hermie 1873 (jego metodę dowodu wykorzystał 10 lat później Lindemann dla liczby π)