Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle, że każdy gracz zna reguły gry 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 2

Definicja O grze mówimy, gdy w opisie są: Wyszczególnieni uczestnicy (gracze) Opisane możliwości postępowania każdego gracza (strategie) Opisy dostępnej graczom informacji Określone cele, do których dążą gracze (preferencje), zwykle przedstawiane jako funkcje wypłat 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 3

Wynik gry jest określony przez strategie wybrane przez poszczególnych graczy. Zwykle każdemu wynikowi przypisujemy zestaw (wektor) wypłat w postaci liczbowej. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 4

Postać ekstensywna gry Często przebieg gry może być wieloetapowy: decyzje w danym etapie określają stan w następnym, zaś po ostatnim etapie znane są wyniki (np. szachy czy warcaby). Wygodnym sposobem prezentacji jest wtedy drzewo gry 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 5

Postać rozwinięta (ekstensywna) gry W 1 a b W 2 W 3 Gracz I wykonuje ruch Gracz II wykonuje ruch (f 1,f 2 ) (e 1,e 2 ) (d 1,d 2 ) (c 1,c 2 ) wypłaty 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 6

Drzewo gry Strzałki oznaczają posunięcia (decyzje) graczy Wierzchołek początkowy (nie dochodzi strzałka) Wierzchołki końcowe (nie wychodzi strzałka). Do każdego wierzchołka dochodzi co najwyżej jedna strzałka Droga to ciąg następujących po sobie strzałek Do każdego wierzchołka dochodzi tylko jedna droga od początku gry (historia). W danym wierzchołku ( nie końcowym) tylko jeden gracz podejmuje decyzję. Strategia to kompletny plan działania danego gracza. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 7

Informacja Zbiór wierzchołków, w którym gracz podejmuje decyzję, nazywamy zbiorem informacyjnym. Jeżeli wszystkie zbiory informacyjne są jednoelementowe, to gra jest z pełną (doskonałą) informacją. W przeciwnym wypadku mamy do czynienia z grą z niepełną informacją. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 8

Przykład 1 a I b c II d e f g (1,1) (1,3) (2,2) (0,2) Gra z pełną informacją 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 9

Przykład 1 Strategie gracza I: 1. a b 2.a c Strategie gracza II: i. b d, c f ii. b d, c g iii.b e, c f iv.b e, c g 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 10

Przykład 2 Każdy z dwóch graczy wybiera jedną stronę monety, ale wybierają jednocześnie. Jeżeli obaj wybrali orła/reszkę, to wygrywa I gracz, w przeciwnym wypadku wygrywa gracz II o a r I b o r o c r II d e f g (1,-1) (-1,1) (-1,1) (1,-1) 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 11

Przykład 2 Strategie gracza I: 1. a b 2.a c Strategie gracza II: {b, c} o {b, c} r Gra z niepełną informacją. Zbiór {b, c}, to zbiór informacyjny dla gracza II 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 12

Definicja Strategia i-tego gracza, to kompletny plan działania uwzględniający wszystkie możliwe sytuacje. ( 2 s, s,..., s ) S n i 1 - profile strategii, i I s i S i 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 13

Definicja Niech I = {1, 2,, n} oznacza zbiór graczy, S i zbiór strategii i-tego gracza, f : i i I gracza. S i R - funkcja wypłaty i-tego ( I,{ S i },{ f } I Postać i I i i nazywamy postacią normalną (strategiczną) gry. ) 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 14

Przykład 3 a I b c II d e f g (1,1) (1,3) (2,2) (0,2) Postać rozwinięta gry z przykładu 1 (i) (ii) (iii) (iv) (1) (1,1) (1,1) (1,3) (1,3) Postać normalna tej gry (2) (2,2) (0,2) (2,2) (0,2) 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 15

Definicja Jeżeli c s S S i i n 1 f i ( s) c, to grę Γ nazywamy grą o stałej sumie. Dwuosobowa gra o sumie 0 nazywa się grą antagonistyczną. Gdy zbiory strategii są skończone, funkcję wypłat można podać w postaci macierzy. Stąd nazwa gra macierzowa. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 16

Przykład 4 Papier nożyce kamień p n k I p k p k p k II n n n (0,0) (-1,1) (1,-1) (1,-1) (0,0) (-1,1) (-1,1) (1,-1) (0,0) 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 17

Przykład 4 Papier nożyce kamień I p n k p (0,0) (1,-1) (-1,1) II n (-1,1) (0,0) (1,-1) k (1,-1) (-1,1) (0,0) 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 18

Przykład 5 Dwa koncerny samochodowe konkurują ze sobą na rynku pewnego kraju. Każdy z nich rozważa uruchomienie w lokalnej fabryce jednego z trzech modeli samochodów. W macierzy wypłat przedstawiono zyski koncernu A (straty koncernu B) przy produkcji poszczególnych samochodów, w zależności od decyzji podjętych przez koncerny. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 19

Przykład 5 B (II) model 1 2 3 1 60 80 60 A (I) 2 80 60 50 3 80 50 40 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 20

Redukcja macierzy wypłat Poszukiwanie strategii zdominowanych a ij element macierzy wypłat i = 1,,m ; m ilość strategii Gracza I (ilość wierszy) j = 1,...,n ; n ilość strategii Gracza II (ilość kolumn) 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 21

Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza I Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek dla wszystkich j: a kj a lj to strategia k jest zdominowana przez strategię l (strategia l jest strategią dominującą strategię k). 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 22

Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza I Strategie 1 i 2 60 80 60 80 60 50 Dominacja nie występuje 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 23

Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza I Strategie 2 i 3 80 60 50 80 50 40 Strategia 3 została zdominowana przez strategię 2 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 24

Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza II Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek dla wszystkich i: a ik a il to strategia l jest zdominowana przez strategię k (strategia k jest strategią dominującą strategię l). 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 25

Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza II Strategie 1 i 2 60 80 80 60 80 50 Dominacja nie występuje 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 26

Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza II Strategie 2 i 3 80 60 60 50 50 40 Strategia 2 została zdominowana przez strategię 3 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 27

Redukcja macierzy wypłat Po usunięciu strategii zdominowanych: B (II) model 1 2 A (I) 1 60 80 3 80 50 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 28

Punkt siodłowy Definicja Punkt (x *, y * ) X Y nazywamy punktem siodłowym funkcji f: X Y R, gdy x X y Y Twierdzenie f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y) Funkcja f: X Y R posiada punkty siodłowe <=> istnieją max inf f ( x, y) i min sup f ( x, y) x i są sobie równe 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 29 y y x

Punkt siodłowy Zatem punkt siodłowy istnieje, gdy Przykład max min a min max a i j II 4 3 2 I 5 8 5 7 8 6 7 8 6 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 30 ij j i ij 2 5 6

Strategia mieszana W przypadku, gdy nie ma punktu siodłowego szukamy prawdopodobieństw z jakimi gracz wybiera postać strategii. Niech macierzą wypłat będzie macierz A nxm. Dla wiersza prawdopodobieństwa wyznaczamy rozwiązując równanie: k, l Zaś dla kolumny: k, l n j m m 1 i n a 1 kj a 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 31 p ik j q i j m i 1 n 1 a lj a il p q j i

Strategia mieszana Wtedy wartość gry jest równa: v( ) j m 1 a kj p j i n 1 a il q i k n, l m Przy czym, oczywiście: j m 1 n p j q i 1 i 1 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 32

Strategia mieszana Przykład II I 2 4 3 1 3 4 2 1 Oczywiście 2 3 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 33

Strategia mieszana Wiersz: 2p 1 +4p 2 =3p 1 +1p 2, p 2 =1-p 1, zatem: 2p+4(1-p)=3p+(1-p), stąd p=¾ Kolumna: 2q+3(1-q)=4q+(1-q), stąd q=½ Podstawiając mamy v(γ)=2 ¾+4 ¼=2 ½+3 ½ =2½ 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 34

Strategia mieszana dla Wiersza 1/2I+1/2II (graj każdą z prawdopodobieństwem 0,5 Zapewnia wypłatę co najmniej 2,5 Strategia kolumny 3/4I+1/4II daje wypłatę wierszowi co najwyżej 2,5 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 35