Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 28 listopada 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 1 / 77
Plan wykªadu 1 Klasyczny rachunek zda«[krz] - podstawowe wiadomo±ci Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 2 / 77
Klasyczny rachunek zda«klasyczny rachunek zda«klasyczny rachunek zda«jest elementarn teori logiczna, która umo»liwia nam (mi dzy innymi) precyzyjne zdeniowanie poj cia wynikania logicznego. Po±rednio za± pozwala nam ocenia logiczn (formaln ) poprawno± pewnych (cho nie wszystkich) argumentów. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 3 / 77
Klasyczny rachunek zda«klasyczny rachunek zda«klasyczny rachunek zda«jest elementarn teori logiczna, która umo»liwia nam (mi dzy innymi) precyzyjne zdeniowanie poj cia wynikania logicznego. Po±rednio za± pozwala nam ocenia logiczn (formaln ) poprawno± pewnych (cho nie wszystkich) argumentów. Klasyczny rachunek zda«- historia Byª badany w staro»ytno±ci (zwªaszcza przez stoików). Wiele praw logicznych KRZ byªo dyskutowanych tak»e w ±redniowieczu (Duns Szkot, Ockham). Jego wspóªczesna wersja uksztaªtowaªa si w wieku XIX i na pocz tku wieku XX. Du»y udziaª w badaniach nad rachunkiem zda«w XX wieku mieli polscy logicy (Šukasiewicz, Le±niewski, Tarski, Ja±kowski). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 3 / 77
Klasyczny rachunek zda«krz jako obcy j zyk Mo»emy my±le o klasycznym rachunku zda«jak o pewnym j zyku, na który przekªadalne s - Z PEWNYM STOPNIEM SZCZEGÓŠOWO CI - te fragmenty j zyka naturalnego, które obejmuj ZDANIA W SENSIE LOGICZNYM. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 4 / 77
Klasyczny rachunek zda«krz jako obcy j zyk Mo»emy my±le o klasycznym rachunku zda«jak o pewnym j zyku, na który przekªadalne s - Z PEWNYM STOPNIEM SZCZEGÓŠOWO CI - te fragmenty j zyka naturalnego, które obejmuj ZDANIA W SENSIE LOGICZNYM. Stopie«szczegóªowo±ci STOPIE SZCZEGÓŠOWO CI, o którym mowa bierze si z faktu,»e nie jeste±my zainteresowani wewn trzn struktur zda«prostych (zda«, które nie zawieraj innych zda«jako swoich cz ±ci). Interesuj nas natomiast pewne aspekty struktury zda«zªo»onych (zda«, które zawieraj inne zdania jako swoje cz ±ci wªa±ciwe). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 4 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ Obejmuje: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 5 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ Obejmuje: (1) ZMIENNE ZDANIOWE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 5 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ Obejmuje: (1) ZMIENNE ZDANIOWE (2) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 5 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ Obejmuje: (1) ZMIENNE ZDANIOWE (2) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE (3) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY (mo»emy si ich pozby ). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 5 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - ZMIENNE ZDANIOWE Wyra»enia reprezentuj ce dowolne zdanie w sensie logicznym. Zakªadamy,»e tworz przeliczalnie niesko«czony (jest ich tyle, ile liczb naturalnych) zbiór ZZ. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 6 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - ZMIENNE ZDANIOWE Wyra»enia reprezentuj ce dowolne zdanie w sensie logicznym. Zakªadamy,»e tworz przeliczalnie niesko«czony (jest ich tyle, ile liczb naturalnych) zbiór ZZ. Alfabet KRZ - ZMIENNE ZDANIOWE ZZ = {p 1, p 2, p 3... p n, q, r, s...} Alfabet KRZ - INTERPRETACJA ZMIENNYCH ZDANIOWYCH Jedynym aspektem zda«w sensie logicznym, który nas interesuje z punktu widzenia KRZ jest ich warto± logiczna. Dlatego mo»emy te» powiedzie,»e zmienne zdaniowe reprezentuj warto± logiczn PRAWDY (oznaczan dla wygody jako 1) oraz warto± logiczn FAŠSZU (oznaczan dla wygody jako 0). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 6 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE S to wyra»enia, które pozwalaj tworzy zdania w sensie logicznym z innych zda«w sensie logicznym. Wa»ne w ich charakterystyce jest to, z ilu zda«w sensie logicznym s one w stanie utworzy zdanie. Je±li z jednego mówimy,»e s to SPÓJNIKI JEDNOARGUMENTOWE, je±li z dwóch,»e s DWUARGUMENTOWE. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 7 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE S to wyra»enia, które pozwalaj tworzy zdania w sensie logicznym z innych zda«w sensie logicznym. Wa»ne w ich charakterystyce jest to, z ilu zda«w sensie logicznym s one w stanie utworzy zdanie. Je±li z jednego mówimy,»e s to SPÓJNIKI JEDNOARGUMENTOWE, je±li z dwóch,»e s DWUARGUMENTOWE. Alfabet KRZ - INTERPRETACJA SPÓJNIKÓW LOGICZNYCH Skoro zmienne reprezentuj warto±ci logiczne, spójniki moga by interpretowane jako FUNKCJE, które warto±ciom logicznym porzyporz dkowuj warto±ci logiczne. W wypadku SPÓJNIKÓW JEDNOARGUMENTOWYCH s to funkcje przyporzudkowuj ce warto±ci logicznej warto± logiczn, w wypadku SPÓJNIKÓW DWUARGUMENTOWYCH - funkcje przyporz dkowuj ce parze warto±ci logicznych warto± logiczn. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 7 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE W wypadku SPÓJNIKÓW JEDNOARGUMENTOWYCH s cztery takie funkcje, w wypadku SPÓJNIKÓW DWUARGUMENTOWYCH szesna±cie. Teoretycznie w KRZ mo»emy wyró»ni zatem przynajmniej 20 ró»nych spójników logicznych. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 8 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE W wypadku SPÓJNIKÓW JEDNOARGUMENTOWYCH s cztery takie funkcje, w wypadku SPÓJNIKÓW DWUARGUMENTOWYCH szesna±cie. Teoretycznie w KRZ mo»emy wyró»ni zatem przynajmniej 20 ró»nych spójników logicznych. Alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE Na szcz ±cie liczb t mo»na znacz co zredukowa (je±li si bardzo postaramy, nawet do jednego spójnika!). Dla wygody przyjmuje si zazwyczaj,»e alfabet obejmuje jeden spójnik jednoargumentowy i cztery spójniki dwuargumentowe. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 8 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 9 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] DWUARGUMENTOWE: (2) KONIUNKCJA - oznaczana zazwyczaj symbolem Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 9 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] DWUARGUMENTOWE: (2) KONIUNKCJA - oznaczana zazwyczaj symbolem (3) ALTERNATYWA - oznaczana zazwyczaj symbolem Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 9 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] DWUARGUMENTOWE: (2) KONIUNKCJA - oznaczana zazwyczaj symbolem (3) ALTERNATYWA - oznaczana zazwyczaj symbolem (4) IMPLIKACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 9 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SPÓJNIKI LOGICZNE JEDNOARGUMENTOWE: (1) NEGACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] DWUARGUMENTOWE: (2) KONIUNKCJA - oznaczana zazwyczaj symbolem (3) ALTERNATYWA - oznaczana zazwyczaj symbolem (4) IMPLIKACJA - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] (5) RÓWNOWA NO - oznaczana zazwyczaj symbolem [czasem jako ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 9 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - NEGACJA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju nie, nie jest tak,»e, nieprawda,»e ( p czytamy nie jest tak,»e p). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 10 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - NEGACJA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju nie, nie jest tak,»e, nieprawda,»e ( p czytamy nie jest tak,»e p). Alfabet KRZ - NEGACJA A A 0 1 1 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 10 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - KONIUNKCJA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju oraz, i, a, zarazem itp. (p q czytamy p oraz q). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 11 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - KONIUNKCJA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju oraz, i, a, zarazem itp. (p q czytamy p oraz q). Alfabet KRZ - KONIUNKCJA A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 11 / 77
Alfabet KRZ - ALTERNATYWA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju lub (przy nierozª cznym u»yciu tego spójnika), co najmniej jedno z dwojga itp. (p q czytamy p lub q). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 12 / 77
Alfabet KRZ - ALTERNATYWA Odpowiada w j zyku naturalnym wyra»eniom w rodzaju lub (przy nierozª cznym u»yciu tego spójnika), co najmniej jedno z dwojga itp. (p q czytamy p lub q). Alfabet KRZ - ALTERNATYWA A B A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 12 / 77
Alfabet KRZ - IMPLIKACJA Odpowiada w j zyku naturalnym pewnej interpretacji okresu warunkowego je±li...to... oraz jego odpowiednikom. (p q czytamy je±li p, to q). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 13 / 77
Alfabet KRZ - IMPLIKACJA Odpowiada w j zyku naturalnym pewnej interpretacji okresu warunkowego je±li...to... oraz jego odpowiednikom. (p q czytamy je±li p, to q). Alfabet KRZ - IMPLIKACJA A B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 13 / 77
PARADOKSY IMPLIKACJI Powy»sza interpretacja okresu warunkowego wydaje si wielu osobom (tak»e logikom) niezadowalaj ca. Zwracaj oni uwag,»e zdania w rodzaju: (1) Je±li ksi»c jest kr»kiem sera, to umr w dniu o dacie parzystej. (2) Je±li Warszawa jest stolic Polski, to 2 + 3 = 5. s na gruncie zaproponowanej interpretacji prawdziwe, co wydaje si by wnioskiem nieintuicyjnym. Takie nienituicyjne wnioski okre±lane s mianem PARADOKSÓW IMPLIKACJI (MATERIALNEJ). Po±wi cono im w ostatnim stuleciu ogromn literatur. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 14 / 77
Alfabet KRZ - RÓWNOWA NO Odpowiada w j zyku naturalnym pewnej interpretacji zwrotów je±li i tylko je±li, wtedy i tylko wtedy itp. (p q czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 15 / 77
Alfabet KRZ - RÓWNOWA NO Odpowiada w j zyku naturalnym pewnej interpretacji zwrotów je±li i tylko je±li, wtedy i tylko wtedy itp. (p q czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q). Alfabet KRZ - RÓWNOWA NO A B A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 15 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SYMBOLE POMOCNICZE [NAWIASY] Potrzebujemy ich, aby ujednoznaczni formuª (bez nich mo»na byªoby np. interpretowa p q r jako: (p q) r lub jako: p (q r)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 16 / 77
Klasyczny rachunek zda«alfabet KRZ - SYMBOLE POMOCNICZE [NAWIASY] Potrzebujemy ich, aby ujednoznaczni formuª (bez nich mo»na byªoby np. interpretowa p q r jako: (p q) r lub jako: p (q r)) NOTACJA BEZNAWIASOWA Polski logik Jan Šukasiewicz wymy±liª notacj, w której pozbywamy si nawiasów - zasada jest taka,»e piszemy spójnik przed argumentem/argumentami (Šukasiewicz u»ywaª na oznaczenie spójników nast puj cych liter: C - implikacja, N - negacja, K - koniunkcja, A - alternatywa, E - równowa»no± ). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 16 / 77
Klasyczny rachunek zda«notacja BEZNAWIASOWA p (q r) zapiszemy tu jako: ApKqr Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 17 / 77
Klasyczny rachunek zda«notacja BEZNAWIASOWA p (q r) zapiszemy tu jako: ApKqr (p q) r jako: KApqr Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 17 / 77
Klasyczny rachunek zda«notacja BEZNAWIASOWA p (q r) zapiszemy tu jako: ApKqr (p q) r jako: KApqr p (q r) jako: CpCqNr Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 17 / 77
Klasyczny rachunek zda«notacja BEZNAWIASOWA p (q r) zapiszemy tu jako: ApKqr (p q) r jako: KApqr p (q r) jako: CpCqNr [(p q) (q p)] (p q) jako: EKCpqCqpEpq Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 17 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 1 Je±li Katarzyna jest psychologiem, to interesuje si psychoanaliz oraz zna statystyk. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 18 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 1 Je±li Katarzyna jest psychologiem, to interesuje si psychoanaliz oraz zna statystyk. Katarzyna jest psychologiem (interesuje si psychoanaliz zna statystyk ) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 18 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 1 Je±li Katarzyna jest psychologiem, to interesuje si psychoanaliz oraz zna statystyk. Katarzyna jest psychologiem (interesuje si psychoanaliz zna statystyk ) p (q r) (w beznawiasowej: CpKqr) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 18 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 19 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. [wariant A] Jeste± psychologiem (widzisz cierpienie psychicze innych pozostajesz oboj tny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 19 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. [wariant A] Jeste± psychologiem (widzisz cierpienie psychicze innych pozostajesz oboj tny) p (q r) (w beznawiasowej: CpCqNr) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 19 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. [wariant A] Jeste± psychologiem (widzisz cierpienie psychicze innych pozostajesz oboj tny) p (q r) (w beznawiasowej: CpCqNr) [wariant B] (Jeste± psychologiem widzisz cierpienie psychicze innych) pozostajesz oboj tny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 19 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 2 B d c psychologiem, widz c cierpienie psychiczne innych nie pozostajesz oboj tny. [wariant A] Jeste± psychologiem (widzisz cierpienie psychicze innych pozostajesz oboj tny) p (q r) (w beznawiasowej: CpCqNr) [wariant B] (Jeste± psychologiem widzisz cierpienie psychicze innych) pozostajesz oboj tny) (p q) r (w beznawiasowej: CKpqNr) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 19 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 3 Pojad na Filipiny, o ile zdam egzamin z logiki lub wygram w Lotto. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 20 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 3 Pojad na Filipiny, o ile zdam egzamin z logiki lub wygram w Lotto. Pojad na Filipiny (zdam egazmin z logiki wygram w Lotto) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 20 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 3 Pojad na Filipiny, o ile zdam egzamin z logiki lub wygram w Lotto. Pojad na Filipiny (zdam egazmin z logiki wygram w Lotto) (q r) p (w beznawiasowej: CAqrp) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 20 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 3 Pojad na Filipiny, o ile zdam egzamin z logiki lub wygram w Lotto. Pojad na Filipiny (zdam egazmin z logiki wygram w Lotto) (q r) p (w beznawiasowej: CAqrp) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 20 / 77
Klasyczny rachunek zda«przekšad ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRZ - PRZYKŠAD 4 Je±li si o»enisz, to twoja»ona b dzie pi kna lub brzydka. Je±li b dzie pi kna, b dziesz j dzieliª z innymi. Je±li b dzie brzydka, b dzie dla ciebie kar. Je±li masz swoj»on dzieli z innymi lub b dzie ona dla ciebie kar, to si nie o»enisz. Zatem: nie o»enisz si. [Bias z Prieny] PRZYKŠAD 4 - ZAPIS Przesªanki: p (q r) [CpAqr] q s [Cqs] r t [Crt] (s t) p [CAstNp] Wniosek: p [Np] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 21 / 77
Klasyczny rachunek zda«zmienne zdaniowe w formuªach KRZ Niech Var b dzie funkcj, która ka»dej formule KRZ przyporz dkowuje zbiór zmiennych zdaniowych, które wyst puj w tej formule. Mamy zatem na przykªad: Var( p (q r) ) = {p, q, r} Var( q s ) = {q, s} Var( r t ) = {r, t} Var( (s t) p ) = {p, s, t} Var( p ) = {p} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 22 / 77
INTERPRETACJA FORMUŠY A Dowolne podstawienie warto±ci logicznych (0 lub 1) w zbiorze Var(A). Na przykªad: Var( p (q r) ) = {p, q, r} INTERPRETACJE (8 mo»liwych): {p/1, q/1, r/1}, {p/1, q/1, r/0}, {p/1, q/0, r/0}, {p/0, q/0, r/0}, {p/0, q/0, r/1}, {p/0, q/1, r/1}, {p/1, q/0, r/1}, {p/0, q/1, r/1} Var( q s ) = {q, s} INTERPRETACJE (4 mo»liwe): {q/1, s/1}, {q/1, s/0}, {q/0, s/1}, {q/0, s/0} Var( p ) = {p} INTERPRETACJE (2 mo»liwe): {p/1}, {p/0} Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 23 / 77
PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 24 / 77
PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 24 / 77
PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. 2. Formuª, które s prawdziwe przy pewnych interpretacjach, a faªszywe przy innych. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 24 / 77
PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. 2. Formuª, które s prawdziwe przy pewnych interpretacjach, a faªszywe przy innych. Formuªy takie nazwiemy LOGICZNIE NIEOKRE LONYMI FORMUŠAMI KRZ. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 24 / 77
PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. 2. Formuª, które s prawdziwe przy pewnych interpretacjach, a faªszywe przy innych. Formuªy takie nazwiemy LOGICZNIE NIEOKRE LONYMI FORMUŠAMI KRZ. 3. Formuª, które s faªszywe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 24 / 77
PODZIAŠ FORMUŠ KRZ Wszystkie poprawnie zbudowane formuªy KRZ nale» do jeden (i tylko jednej) z trzech klas: 1. Formuª, które s prawdziwe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy TAUTOLOGIAMI KRZ. 2. Formuª, które s prawdziwe przy pewnych interpretacjach, a faªszywe przy innych. Formuªy takie nazwiemy LOGICZNIE NIEOKRE LONYMI FORMUŠAMI KRZ. 3. Formuª, które s faªszywe przy ka»dej mo»liwej interpretacji. Formuªy takie nazwiemy KONTRTAUTOLOGIAMI KRZ. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 24 / 77
JAK BADA TAUTOLOGICZNO FORMUŠ KRZ? 1.METODA TABLEKOWA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 25 / 77
JAK BADA TAUTOLOGICZNO FORMUŠ KRZ? 1.METODA TABLEKOWA 2. METODA SKRÓCONA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 25 / 77
METODA TABELKOWA Polega na konstrukcji tabeli, w której rozwa»ane s wszystkie interpretacje danej formuªy oraz stosowaniu kolejno tabelek prawdziwo±ciowych spójników logicznych w celu obliczenia warto±ci logicznej caªej formuªy przy tej interpretacji. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 26 / 77
METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 1 [TAUTOLOGIA] p q p q p q q p (p q) ( q p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 27 / 77
METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 2 [TAUTOLOGIA] p p q p p (p p) q 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 28 / 77
METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 3 [TAUTOLOGIA] p q p q p q (p q) q ((p q) q) p 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 29 / 77
METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 4 [ZDANIE LOGICZNIE NIEOKRE LONE] p q p q (p q) q ((p q) q) p 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 30 / 77
METODA TABELKOWA - PRZYKŠAD 5 [KONTRTAUTOLOGIA] p p p p 0 1 0 1 0 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 31 / 77
METODA TABELKOWA PRZYDATNA REGUŠA: je±li w formule wyst puje n zmiennych zdaniowych, to ma ona 2 n interpretacji (tyle ró»nych wierszy nale»y uwzgl dni w konstruowanej tabeli). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 32 / 77
METODA SKRÓCONA Polega na przeprowadzeniu rozumowania niewprost: zaªo»eniu,»e badana formuªa NIE JEST tautologi oraz wykazaniu,»e zaªo»enie to jest niemo»liwe do speªnienia, poniewa» prowadzi do sprzeczno±ci [w ka»dym wariancie, do rozwa»enia którego zmuszaj nas tabele prawdziwo±ciowe]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 33 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 34 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 34 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Z tabelki dla równowa»no±ci, wiemy,»e prowadzi to do rozwa»enia dwóch wariantów: (A) (p q) = 1 ( q p) = 0 (B) (p q) = 0 ( q p) = 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 34 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Z tabelki dla równowa»no±ci, wiemy,»e prowadzi to do rozwa»enia dwóch wariantów: (A) (p q) = 1 ( q p) = 0 (B) (p q) = 0 ( q p) = 1 Rozwa»my wariant (A). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e ( q p) = 0, gdy q = 1 oraz p = 0. A to (tabelka dla negacji) znaczy,»e q = 0 oraz p = 1. Je±li jednak tak jest, to implikacja (p q) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (A). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 34 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Z tabelki dla równowa»no±ci, wiemy,»e prowadzi to do rozwa»enia dwóch wariantów: (A) (p q) = 1 ( q p) = 0 (B) (p q) = 0 ( q p) = 1 Rozwa»my wariant (A). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e ( q p) = 0, gdy q = 1 oraz p = 0. A to (tabelka dla negacji) znaczy,»e q = 0 oraz p = 1. Je±li jednak tak jest, to implikacja (p q) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (A). Rozwa»my wariant (B). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e (p q) = 0, gdy p = 1 oraz q = 0. Je±li jednak tak jest, to implikacja ( q p) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (B). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 34 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 1 (p q) ( q p) Zakªadamy,»e (p q) ( q p) nie jest tautologi, tj.»e: (p q) ( q p) = 0 Z tabelki dla równowa»no±ci, wiemy,»e prowadzi to do rozwa»enia dwóch wariantów: (A) (p q) = 1 ( q p) = 0 (B) (p q) = 0 ( q p) = 1 Rozwa»my wariant (A). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e ( q p) = 0, gdy q = 1 oraz p = 0. A to (tabelka dla negacji) znaczy,»e q = 0 oraz p = 1. Je±li jednak tak jest, to implikacja (p q) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (A). Rozwa»my wariant (B). Z tabelki dla implikacji wiemy,»e (p q) = 0, gdy p = 1 oraz q = 0. Je±li jednak tak jest, to implikacja ( q p) = 0, co jest sprzeczne z cz ±ci zaªo»enia wariantu (B). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 34 / 77
Oba warianty doprowadziªy nas do sprzeczno±ci. Zaªo»enie o faªszywo±ci formuªy jest niemo»liwe do speªnienia. Zatem formuªa jest TAUTOLOGI Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 35 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 2 (p p) r Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 36 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 2 (p p) r Zakªadamy,»e (p p) r nie jest tautologi, tj.»e: (p p) r = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 36 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 2 (p p) r Zakªadamy,»e (p p) r nie jest tautologi, tj.»e: (p p) r = 0 Z tabelki dla implikacji wiemy,»e znaczy to,»e (p p) = 1 oraz r = 0. Z tabelki dla koniunkcji wiemy z kolei,»e (p p) = 1, gdy p = 1 oraz p = 1, a to z kolei znaczy,»e zarazem p = 1 i p = 0. Otrzymujemy sprzeczno±. Zaªo»enie o faªszywo±ci formuªy jest niemo»liwe do speªnienia. Zatem formuªa jest TAUTOLOGI. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 36 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 3 [(p q) q] p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 37 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 3 [(p q) q] p Zakªadamy,»e [(p q) q] p nie jest tautologi, tj.»e: [(p q) q] p = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 37 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 3 [(p q) q] p Zakªadamy,»e [(p q) q] p nie jest tautologi, tj.»e: [(p q) q] p = 0 Z tabelki dla implikacji wiemy,»e znaczy to,»e [(p q) q] = 1 oraz p = 0 (czyli,»e p = 1). Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e je±li [(p q) q] = 1, to (p q) = 1 oraz q = 1 (czyli,»e q = 0). Je±li jednak p = 1 oraz q = 0, to (z tabelki dla implikacji) (p q) = 0. Sprzeczno±. Zaªo»enie o faªszywo±ci formuªy jest niemo»liwe do speªnienia. Zatem formuªa jest TAUTOLOGI. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 37 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 4 [(p q) q] p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 38 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 4 [(p q) q] p Zakªadamy,»e [(p q) q] p nie jest tautologi, tj.»e: [(p q) q] p = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 38 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 4 [(p q) q] p Zakªadamy,»e [(p q) q] p nie jest tautologi, tj.»e: [(p q) q] p = 0 Z tabelki dla implikacji wiemy,»e znaczy to,»e [(p q) q] = 1 oraz p = 0. Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e je±li [(p q) q] = 1, to (p q) = 1 oraz q = 1. Nie otrzymujemy sprzeczno±ci, poniewa» implikacja o postaci (0 1) = 1 (jak wynikªo z analizy). Zdanie to mo»e by zatem faªszywe - nie jest tautologi. NIE WIEMY OCZYWI CIE JESZCZE CZY JEST LOGICZNIE OKRE LONE CZY TE JEST KONTRTAUTOLOGI. Mo»na pokaza,»e nie jest kontrtautologi przeprowadzaj c analogicznie rozumowanie nieprost dla zaªo»enia,»e [(p q) q] p = 1 (i nie otrzymuj c sprzeczno±ci). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 38 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 39 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 39 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e mamy tu a» trzy mo»liwo±ci do rozwa»enia: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 39 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e mamy tu a» trzy mo»liwo±ci do rozwa»enia: (A) p = 0 oraz p = 0, (B) p = 1 oraz p = 0, (C) p = 0 oraz p = 1 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 39 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e mamy tu a» trzy mo»liwo±ci do rozwa»enia: (A) p = 0 oraz p = 0, (B) p = 1 oraz p = 0, (C) p = 0 oraz p = 1 Zacznijmy od (A). Mamy tu natychmiastow sprzeczno±, bo wychodziªoby,»e p = 0 i p = 1. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 39 / 77
METODA SKRÓCONA - PRZYKŠAD 5 p p Zakªadamy,»e p p nie jest tautologi, tj.»e: p p = 0 Z tabelki dla koniunkcji wiemy,»e mamy tu a» trzy mo»liwo±ci do rozwa»enia: (A) p = 0 oraz p = 0, (B) p = 1 oraz p = 0, (C) p = 0 oraz p = 1 Zacznijmy od (A). Mamy tu natychmiastow sprzeczno±, bo wychodziªoby,»e p = 0 i p = 1.Rozwa»my (B). Tu nie mamy»adnej sprzeczno±ci (wychodzi nam po prostu,»e p = 1). Nie musimy ju» w ogóle rozwa»a wariantu (C) (znale¹li±my wypadek, który nie prowadzi do sprzeczno±ci). Wiemy,»e formuªa nie jest tautologi (nie wiemy jeszcze czy jest logicznie nieokre±lona czy te» jest kontrtautologi, ale zastosowanie metody skróconej do zaªo»enia,»e p p = 1 prowadzi do natychmiastowej sprzeczno±ci, co rozstrzyga kwesti na rzecz drugiej opcji) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 39 / 77
MORAŠ Z POWY SZEGO PRZYKŠADU Je±li znajdziesz sprzeczno± w jednym z kilku wariantów, które musisz rozwa»y, o niczym to jeszcze nie ±wiadczy - musisz zbada pozostaªe. Je±li NIE znajdziesz sprzeczno±ci w jednym z kilku wariantów, które musisz rozwa»y, wówczas nie musisz prowadzi analizy dalej: wiesz,»e formuªa NIE JEST TAUTOLOGI. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 40 / 77
WYNIKANIE LOGICZNE - INTUICJA Z pewnego zbioru zda«(przesšanek) wynika logicznie (dedukcyjnie) pewne zdanie (WNIOSEK), gdy nie jest mo»liwe, aby przesªanki byªy prawdziwe a wniosek faªszywy. WYNIKANIE LOGICZNE Stwierdzenie,»e ze zbioru zda«x wynika zdanie α b dziemy zapisywa jako: X = α. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 41 / 77
WYNIKANIE LOGICZNE Ogólna i uniwersalna mechaniczna procedura ustalania, czy mamy w danym wypadku do czynienia z wynikaniem nie istnieje. Mo»na natomiast stosowa ró»ne metody cz stkowe. WYNIKANIE LOGICZNE NA GRUNCIE KRZ Ze niepustego i sko«czonego zbioru zda«x wynika na gruncie KRZ zdanie α, gdy dla ka»dej interpretacji koniunkcji wszystkich zda«ze zbioru X jest tak,»e je±li koniunkcja ta jest prawdziwa przy tej interpretacji, prawdziwe jest te» (przy tej interpretacji) zdanie α. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 42 / 77
WYNIKANIE LOGICZNE - JAK TO BADA? Konstruujemy tabel, w której reprezentujemy zaªo»enie,»e mo»liwa jest sytuacja, w której przesªanki s prawdziwe, a wniosek jest faªszywy [a zatem,»e wynikanie nie zachodzi]. PRZESŠANKI (1) WNIOSEK (0) p 1 p 2 p 3... p n α WYNIKANIE LOGICZNE - JAK TO BADA? Nast pnie staramy si pokaza (korzystaj c z tabelek),»e zaªo»enie to prowadzi do sprzeczno±ci. Je±li uda nam sie to wykaza, wiemy,»e wniosek wynika z przesªanek (na gruncie KRZ). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 43 / 77
PRZESŠANKI (1) WNIOSEK (0) p (q r) q s r t p (s t) p ANALIZA TABELI Je±li p = 0 (a zatem te» p = 0), to (s t) = 0 (w innym wypadku faªszywa byªaby implikacja (s t) p). (s t) = 0, gdy s = 0 oraz t = 0 (z tabelki dla alternatywy). Z tabelki dla implikacji dowiadujemy si natychmiast,»e q = 0 i r = 0. To za± znaczy,»e (q r) = 0. W takiej sytuacji jednak - wbrew zaªo»eniu - implikacja p (q r) = 0. Sprzeczno±. Nie jest zatem mo»liwe, aby przesªanki byªy prawdziwe, a wniosek faªszywy Zatem: {p (q r), q s, r t, s t} = p Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 44 / 77
WYNIKANIE LOGICZNE - A CO Z WYPADKAMI NEGATYWNYMI? Je±li nie otrzymamy sprzeczno±ci - mo»emy co najwy»ej powiedzie,»e zdanie nie wynika NA GRUNCIE RACHUNKU ZDA. Nadal mo»liwe jest,»e WYNIKANIE LOGICZNE ZACHODZI, tylko do uzasadnienia tego twierdzenia potrzebne s inne narz dzia analizy - rachunek predykatów, jaki± nieklasyczny rachunek logiczny etc. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 45 / 77
WYNIKANIE LOGICZNE i TAUTOLOGICZNO Przedstawione powy»ej metody sprawdzania wynikania i tautologiczno±ci okre±lane bywaj mianem SEMANTYCZNYCH (ze wzgl du na to,»e odwoªuj si do poj cia interpretacji). Przeciwsatwia si im niekiedy metody okre±lane (niezbyt sªusznie) mianem SYNTAKTYCZNYCH. Za metody takie uchodz : Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 46 / 77
WYNIKANIE LOGICZNE i TAUTOLOGICZNO Przedstawione powy»ej metody sprawdzania wynikania i tautologiczno±ci okre±lane bywaj mianem SEMANTYCZNYCH (ze wzgl du na to,»e odwoªuj si do poj cia interpretacji). Przeciwsatwia si im niekiedy metody okre±lane (niezbyt sªusznie) mianem SYNTAKTYCZNYCH. Za metody takie uchodz : [1] METODA AKSJOMATYCZNA (o niej wspomnimy bardzo krótko) [2] METODA ZAŠO ENIOWA Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 46 / 77
METODA AKSJOMATYCZNA Polega na podaniu zbioru AKSJOMATÓW rachunku zda«oraz REGUŠ WNIOSKOWANIA, które mówi nam, jakiego rodzaju operacje na aksjomatach i ich konsekwencjach wolno wykona, aby mo»na byªo otrzyma kolejne konsekwencje zachowuj ce prawdziwo± logiczn. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 47 / 77
METODA AKSJOMATYCZNA Polega na podaniu zbioru AKSJOMATÓW rachunku zda«oraz REGUŠ WNIOSKOWANIA, które mówi nam, jakiego rodzaju operacje na aksjomatach i ich konsekwencjach wolno wykona, aby mo»na byªo otrzyma kolejne konsekwencje zachowuj ce prawdziwo± logiczn. Systemów aksjomatycznych rachunku zda«jest wiele - my podamy w charakterze przykªadu jeden, którego autorem jest polski logik Jan Šukasiewicz (1878-1956). adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 47 / 77
SYSTEM ŠUKASIEWICZA - AKSJOMATY Ax1. (p q) ((q r) (p r)) Ax2. ( p p) p Ax3. p ( p q) Zadanie domowe: wyka»,»e aksjomaty te s tautologiami. SYSTEM ŠUKASIEWICZA - REGUŠY WNIOSKOWANIA - jest aksjomatem lub zostaªo wyprowadzone z aksjomatów A[p] - formuªa, w której przynajmniej raz wyst puje zmienna zdaniowa p A[q(p)] - formuªa powstajaca przez zast pienia ka»dego wyst pienia zmiennej zdaniowej p w formule A[p] przez zmienn zdaniow q Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 48 / 77
REGUŠA PODSTAWIANIA A[p] A[q(p)] ODCZYTANIE Je±li formuªa A[p] zostaªa wyprowadzona z aksjomatów, to mo»na z niej wyprowadzi : A[q(p)]. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 49 / 77
REGUŠA PODSTAWIANIA A[p] A[q(p)] REGUŠA ODRYWANIA [MODUS PONENS] A B, B A ODCZYTANIE Je±li formuªa A[p] zostaªa wyprowadzona z aksjomatów, to mo»na z niej wyprowadzi : A[q(p)]. ODCZYTANIE Je±li mamy udowodnion implikacj oraz mamy udowodniony jej poprzednik, mo»emy st d wyprowadzi jej nast pnik. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 49 / 77
Aksjomaty Ax1. (p q) ((q r) (p r)) Ax2. ( p p) p Ax3. p ( p q) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 50 / 77
Aksjomaty Ax1. (p q) ((q r) (p r)) Ax2. ( p p) p Ax3. p ( p q) Przykªadowy dowód Dowodzimy: p p 1. (p q) ((q p) (p p)) (RP: p/r - Ax1) 2. (p ( p q)) ((( p q) p) (p p)) (RP: ( p q)/q - wiersz 1) 3. (( p q) p) (p p) (RO: 2, Ax3) 4. (( p p) p) (p p) (RP: p/q - Ax1) 5. p p (RO: 4, Ax2) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 50 / 77
METODA ZAŠO ENIOWA Polega na dowodzeniu twierdze«przy u»yciu samych reguª wnioskowania (dowody s w niej zazwyczaj du»o bardziej intuicyjne ni» w metodzie aksjomatycznej). REGUŠY Dzielimy ja na dwie grupy: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 51 / 77
METODA ZAŠO ENIOWA Polega na dowodzeniu twierdze«przy u»yciu samych reguª wnioskowania (dowody s w niej zazwyczaj du»o bardziej intuicyjne ni» w metodzie aksjomatycznej). REGUŠY Dzielimy ja na dwie grupy: [RW] Reguªy wprowadzania spójników [RE] Reguªy opuszczania (eliminacji) spójników. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 51 / 77
Reguªy wprowadzania spójników REGUŠA WPROWADZANIA PODWÓJNEJ NEGACJI [RWPN] A A REGUŠA WPROWADZANIA KONIUNKCJI [RWK] A, B A B adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 52 / 77
Reguªy wprowadzania spójników REGUŠA WPROWADZANIA PODWÓJNEJ NEGACJI [RWPN] A A REGUŠA WPROWADZANIA ALTERNATYWY [RWA] A A B REGUŠA WPROWADZANIA KONIUNKCJI [RWK] A, B A B REGUŠA WPROWADZANIA RÓWNOWA NO CI [RWR] A B, B A A B Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 52 / 77
Reguªy opuszczania spójników REGUŠA OPUSZCZANIA PODWÓJNEJ NEGACJI [ROPN] A A REGUŠA OPUSZCZANIA KONIUNKCJI [ROK] A B A, B adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 53 / 77
Reguªy opuszczania spójników REGUŠA OPUSZCZANIA PODWÓJNEJ NEGACJI [ROPN] A A REGUŠA OPUSZCZANIA ALTERNATYWY [ROA] A B B A REGUŠA OPUSZCZANIA KONIUNKCJI [ROK] A B A, B REGUŠA OPUSZCZANIA RÓWNOWA NO CI [ROR] A B A B, B A Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 53 / 77
Reguªy opuszczania spójników REGUŠA ODRYWANIA [RO] A B, B A Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 54 / 77
DOWODY WPROST Je±li mamy do udowodnienia formuª o postaci A (B...(C D)), to jako przesªanki dowodu przyjmujemy A, B, C... (poprzedniki odpowiednich implikacji), a dowodzimy (u»ywaj c reguª) D. Podobnie w wypadku, gdy mamy dany zbiór przesªanek i wniosek: przesªanki wypisujemy jako zaªo»enia dowodu, a próbujemy dowodzi wniosku. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 55 / 77
Dowody wprost PRZYKŠAD 1 Dowodzimy: (p q) ((q r) (p r)) skróty: zd - zaªo»enie, zdnw - zaªo»enie dowodu nie wprost, w wierwszach podajemy informacj o tym, jak uzyskali±my dan formuª, - koniec dowodu 1. p q zd 2. q r zd 3. p zd 4. q [RO: 1, 3] 5. r [RO: 2, 4]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 56 / 77
Dowody wprost PRZYKŠAD 2 Problem: {p q, p s, (s q) t} t? Dowodzimy: t 1. p q zd 2. p s zd 3. (s q) t zd 4. p [ROK: 1] 5. q [ROK: 1] 6. p [RWN: 4] 7. s [ROA: 2, 6] 8. s q [RWK: 5, 7] 9. t [RO: 3, 8] 10. t [RON: 9]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 57 / 77
DOWODY NIE WPROST W tym wypadku przyjmujemy jako dodatkowe zaªo»enie dowodu negacj formuªy, któr chcemy udowodni i staramy si pokaza,»e z tego zaªo»enia oraz innych zaªo»e«dowodu wynika sprzeczno± (formuªa o postaci A A ). Je±li tak jest, wówczas wiemy,»e z zaªo»e«dowodu wynika na pewno formuªa, której negacj wprowadzili±my jako zaªo»enie dowodu nie-wprost. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 58 / 77
Dowody nie wprost PRZYKŠAD 1 Dowodzimy: (p q) ( q p) 1. p q zd 2. q zd 3. p zdnw 4. p [RON: 3] 5. q [RO: 1, 4] 6. q q [RWK: 2, 5] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 59 / 77
Dowody nie wprost PRZYKŠAD 2 Problem: { p q} (p q)? Dowodzimy: (p q) 1. p q zd 2. (p q)zdnw 3. p q [RON: 2] 4. p [ROK: 1] 5. q [ROK: 1] 6. q [ROA: 3, 4] 7. q q [RWK: 5, 6] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 60 / 77
DODATKOWE TEZY I PODSTAWIANIE Je±li mamy ju» dowód jakiej± tezy KRZ (wiemy,»e jest prawem logicznym) to mo»emy wprowadzi j do dowodu jako dodatkow przesªank. Reguª podstawiania wolno stosowa JEDYNIE DO PRAW LOGICZNYCH (formuª, o których wiemy,»e s tautologiami) [zazwyczaj nie stosuje si jej w ogóle]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 61 / 77
Dowód z dodatkow tez i podstawieniem w prawie PRZYKŠAD Dowodzimy: p p 1. (p p) zdnw 2. ( p q) (p q) Prawo de Morgana 3. ( p p) (p p) [Podstawienie w prawie de Morgana: p za q] 4. (p p) ( p p) ROR, 3 5. p p [RO: 1, 4] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 62 / 77
Rozumowanie przez przypadki Rozumowanie przez przypadki A B [A...C] [B...C] (A B) C ODCZYTANIE Je±li mamy dowód (wprost lub nie wprost) C z ka»dego z czªonów alternatywy A B, to znaczy,»e mamy dowód implikacji (A B) C. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 63 / 77
Rozumowanie przez przypadki PRZYKŠAD - ROZUMOWANIE BIASA Problem: {p (q r), q s, r t, (s t) p} p? Dowodzimy: p 1. p (q r) zd 2. q s zd 3. r t zd 4. (s t) p zd 5. p zdnw 6. p [RON: 5] 7. q r [RO: 1, 6] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 64 / 77
Rozumowanie przez przypadki PRZYKŠAD - ROZUMOWANIE BIASA cd. 8. q zaªo»enie nr 1 rozumowania przez przypadki 9. s [RO: 2, 8] 10.(s t) [RWA: 9] 11. p [RO: 4, 10] 12. p p [RWK: 6,11] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 65 / 77
Rozumowanie przez przypadki PRZYKŠAD - ROZUMOWANIE BIASA cd. 13. r zaªo»enie nr 2 rozumowania przez przypadki 14. t [RO: 3, 13] 15.(s t) [RWA: 14] 16. p [RO: 4, 14] 17. p p [RWK: 6, 16] SPRZECZNO. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 66 / 77
PRAWA LOGICZNE KRZ I WYNIKANIE PRAWA LOGICZNE I WYNIKANIE Metody semantyczne, syntaktyczne w KRZ pozwalaj dowodzi tych samych zbiorów twierdze«- wybór metody dowodzenia mo»na w danym wypadku uzale»ni od tego, jak jest ona wygodna. PEŠNO KRZ W metalogice wªasno± polegaj c na tym,»e zbiory twierdze«dowodliwych semantycznie i aksjomatycznie (oraz zaªo»eniowo) pokrywaj si (w wypadku danego systemu logicznego) nazywamy PEŠNO CI tego systemu. Klasyczny rachunek zda«jest w tym sensie systemem peªnym. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 67 / 77
PRAWA LOGICZNE KRZ POPULARNE PRAWA KRZ I ICH UTARTE NAZWY p p PRAWO WYŠ CZONEGO RODKA (p p) PRAWO NIESPRZECZNO CI p p PRAWO TO SAMO CI p ( p q) PRAWO DUNSA SZKOTA (1) (p p) q) PRAWO DUNSA SZKOTA (2) ( p p) p) PRAWO CLAVIUSA (p q) ( q p) PRAWO TRANSPOZYCJI p (q p) PRAWO SYMPLIFIKACJI (p q) ((q r) (p r)) PRZECHODNIO IMPLIKACJI (p (q r)) ((p q) (p r)) PRAWO FREGEGO [p (q r)] [q (p r)] PRAWO KOMUTACJI [p (q r)] [(p q) r] PRAWO EKSPORTACJI Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 68 / 77
PRAWA LOGICZNE KRZ WZAJEMNE DEFINICJE SPÓJNIKÓW LOGICZNYCH (p q) ( p q) (p q) (p q) ( p q) ( p q) (p q) (p q) ( p q) (p q) [(p q) (q p)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 69 / 77
PROBLEM NR 1 DO PRZEMY LENIA DYSJUNKCJA I BINEGACJA Dowolny z dwóch spójników logicznych, których tabelki podane s na nast pnych slajdach umo»liwia zdeniowanie wszystkich pozostaªych spójników KRZ (tak»e negacji). Pierwszy nazywany jest BINEGACJ [podwójnym zaprzeczeniem] i odpowiada zwrotom takim jak: ani...ani,»adne z dwojga itp. Drugi nazywany jest DYSJUNKCJ i odpowiada zwrotom takim jak co najwy»ej jedno z dwojga itp. Czy potrasz zaproponowa odpowiednie denicje dla pi ciu spójników KRZ? Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 70 / 77
BINEGACJA A B A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 71 / 77
DYSJUNKCJA A B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 72 / 77
PROBLEM NR 2 DO PRZEMY LENIA SPÓJNIKI TRÓJARGUMENTOWE Spójników 1-argumentowych jest 4, 2-argumentowych: 16. Czy potrasz pokaza,»e ka»dy spójnik trójargumentowy mo»na zredukowa do kombinacji spójników 1 i 2 argumentowych? PODPOWIED Zastanów si, czy potrasz zapisa informacj zawart w danej tabelce (w której badasz dowoln formuª A) przy u»yciu koniunkcji, alternatywy i negacji. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 73 / 77
PROBLEM NR 3 DO PRZEMY LENIA EKSTENSJONALNO SPÓJNIKÓW KRZ Wszystkie spójniki klasycznego rachunku zda«(oraz ich odpowiedniki w j zyku naturalnym, o ile takie w ogóle istniej ) to tzw. SPÓJNIKI EKSTENSJONALNE, tzn. zast pienie w zdaniu zªo»onym dowolnego zdania prostego przez dowolne zdanie o tej samej warto±ci logicznej nie zmieni warto±ci logicznej caªego zdania. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 74 / 77
PROBLEM NR 3 DO PRZEMY LENIA NIEEKSTENSJONALNO WIELU SPÓJNIKÓW [KONTEKSTÓW] W J ZYKU NATURALNYM Wiele spójników (lub szerzej: kontekstów) w j zyku naturalnym jest NIEEKSTENSJONALNA, tzn. nie zawsze zast pienie wyst puj cego w ich zasi gu zdania prostego o danej warto±clo logicznej przez inne zdanie o tej samej warto±ci logicznej prowadzi do zachowania warto±ci logicznej caªego zdania. Przykªadami mog tu by : (a) Spójniki/konteksty psychologiczne: A jest przekonany,»e p, A wie,»e p, A nie wie, czy p itp. (b) Spójniki czasowe: Byªo tak,»e p, B dzie tak,»e p itp. (c) Spójniki modalne: Mo»liwe,»e p, Konieczne,»e p itp. (d) Nierzeczywiste okresy warunkowe: Gdyby p, to q. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 28 listopada 2011 75 / 77