MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 40, s. 179-186, Gliwice 2010 MODELOWANIE SYNCHRONIZACJI ODRYWANIA SIĘ PĘCHERZY GAZOWYCH Z DWÓCH SĄSIADUJĄCYCH CYLINDRYCZNYCH DYSZ ROMUALD MOSDORF, TOMASZ WYSZKOWSKI Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Politechnika Białostocka e-mail: r.mosdorf@b.edu.l Streszczenie. Zjawisko rzeływu gazu rzez ciecz wystęuje bardzo często w urządzeniach technicznych i dlatego odlega ustawicznym badaniom doświadczalnym i teoretycznym. W racy rzedstawiono wyniki badań ekserymentalnych oddziaływania kolumn ęcherzy owietrza wydostających się z dwu sąsiadujących cylindrycznych dysz. W rzyadku odległości omiędzy dyszami równej 5 mm obserwowano zjawisko korelacji omiędzy odrywającymi się ęcherzami. Modelowanie chaotycznych zmian częstotliwości odrywania się ęcherzy rzerowadzono z zastosowaniem układu równań różniczkowych zwyczajnych oisującym zmiany masy owietrza w układzie zasilania dysz. Układ zwyczajnych równań różniczkowych rozwiązywano w rogramie SCILAB. Parametry układu ustalono na odstawie wyników badań ekserymentalnych. W trakcie symulacji, odobnie jak w czasie ekserymentu, obserwowano wystęowanie korelacji omiędzy odrywającymi się ęcherzami. 1. WSTĘP Wiele badań dotyczących ęcherzy gazowych odnosi się do ekserymentów, w których gaz wydostaje się z dyszy lub otworów w łytach do cieczy. Wyniki tych badań zostały oublikowane między innymi w [1]. Początkowo modelowanie rocesu odrywania się ęcherza gazowego od brzegu otworu uwzględniało siły naięcia owierzchniowego i siłę wyoru. Większość teoretycznych badań wzrostu ęcherza ogranicza się do modelowania wzrostu ojedynczego ęcherza i nie jest w nich uwzględniane zjawisko oddziaływania ęcherzy [2]. Prowadzone są jednak badania nad dynamiką ęcherzy rzy stałym wydatku gazu [3]. Badania ekserymentalne okazują, że rzy wzroście wydatku owietrza obserwuje się zjawisko łączenia się kolejno odrywających się ęcherzy gazu [4]. Ostatnio coraz częściej uwzględnia się w badaniach efekty oddziaływania kolejno odrywających się ęcherzy [4] oraz oddziaływanie ęcherzy z rzeływem turbulentnym generowanym rzez ruch orzednio oderwanego ęcherza [1]. Nowe odejście do badania dynamiki wzrostu ęcherzy zmusiło badaczy do szukania nowych metod analizy skomlikowanej dynamiki ruchu ścianki ęcherza [5]. W racy rzedstawiono wyniki badań ekserymentalnych wzajemnego oddziaływania ęcherzy wydostających się z dwóch sąsiadujących cylindrycznych dysz. Wykryto wystęowanie zjawiska synchronizacji owstawania ęcherzy rzy odległości omiędzy dyszami równej 5 mm. Do modelowania zjawiska zastosowano model oisujący zmiany masy gazu w układzie zasilania dyszy z uwzględnieniem srężystego oddziaływania rzeływów
180 ROMUALD MOSDORF, TOMASZ WYSZKOWSKI cieczy ze ścianką ęcherza. Przyjęto, że ęcherze odrywające się z sąsiednich dysz tłumią ruch swoich sąsiadów. 2. BADANIA EKSPERYMENTALNE Schemat stanowiska omiarowego rzedstawiono na rys.1. Badania rowadzono w szklanym zbiorniku o wymiarach (300x300x1000 mm) wyełnionym wodą destylowaną. Rys.1. Schemat stanowiska omiarowego oraz rzykładowe wyniki rejestrowanych danych. a) Schemat stanowiska omiarowego. 1 szklany zbiornik, 2 zbiornik wyrównawczy z owietrzem, 3 laser, 4 fototranzystor, 5 zawór owietrzny, 6 czujnik ciśnienia, 7 stacja akwizycji danych, 8 kamera, 9 oświetlenie, 10 rzesłona rozraszająca światło, 11 sterowana elektronicznie dmuchawa. b) Przykładowe zmiany w czasie rejestrowanego sygnału z fototranzystora i czujnika ciśnienia. 1 wysokość ęcherza równa 3 mm, 2 ęcherz rzesłania wiązkę lasera, 3 oderwanie się ęcherza, 4 oczątkowa faza wzrostu ęcherza (ęcherz rzyjmuje kształt kulisty Pęcherze owietrza generowane były z mosiężnych cylindrycznych dysz o długości 7 mm i średnicy wewnętrznej Ø 1.1 mm. Układ zasilający dysze w owietrze wyosażony został w sterowaną elektronicznie dmuchawę oraz zbiornik wyrównawczy. Wydatek owietrza regulowano zaworami. System omiarowy wyosażony był w: kamerę Casio EX FX1 rejestrującą obraz z szybkością 600 klatek na sek., dwa systemy składające się z laserów oraz fototranzystorów, których zadaniem było badanie częstotliwości odrywających się ęcherzy. Fluktuacje ciśnienia w układzie zasilania w owietrze rejestrowano z zastosowaniem czujników ciśnienia MPX12DP (o zakresie omiarowym 0-10 kpa). System laserów z fototranzystorami a także czujniki ciśnienia odłączone były do stacji akwizycji danych DT9800 o częstotliwości róbkowania 1 khz. Badania rowadzono dla częstotliwości odrywania się ęcherzy w zakresie od 1 do 40 Hz. Dane rejestrowano dla rzyadku, gdy
MODELOWANIE SYNCHRONIZACJI ODRYWANIA SIĘ PĘCHERZY GAZOWYCH 181 częstotliwości odrywania się ęcherzy z dwóch sąsiadujących dysz różniły się o mniej niż 1 Hz. Wiązka lasera umieszczona była na wysokości 3 mm onad wylotem dyszy. Przykładowy sygnał rejestrowany w trakcie ekserymentu okazano na rys.1a. Badania korelacji omiędzy zarejestrowanymi danymi okazały, że dla odległości omiędzy dyszami równej 5 mm wystęuje zjawisko synchronizacji odrywania się ęcherzy. Do ilościowego oisu korelacji odrywania się ęcherzy zastosowano wsółczynnik korelacji oisany zależnością: (, ) cov l C = σ σ l gdzie: σ l, σ - odchylenie standardowe zmian ciśnienia w dyszach, l, ciśnienie owietrza w dyszach odowiednio lewej i rawej, cov - kowariancja wyznaczona omiędzy zmianami ciśnienia w rawej i lewej dyszy. Zmiany wsółczynnika korelacji w funkcji częstotliwości odrywania się ęcherzy okazano na rys.2. Przy niskich częstotliwościach odrywania się ęcherzy wsółczynnik korelacji rzyjmuje wartości bliskie zeru, co oznacza, że ęcherze odrywają się w sosób nieskorelowany. Natomiast rzy częstotliwości około 30 Hz wartość wsółczynnika korelacji zmniejsza się do wartości -0.7, co oznacza, że ęcherze odrywają się w sosób skorelowany - na rzemian z sąsiadujących dysz. Na rys.2 okazano zdjęcie ilustrujące mechanizm synchronizacji odrywania się ęcherzy z sąsiednich dysz. Wzrost częstotliwości odrywania się ęcherzy owoduje zanik zjawiska synchronizacji. (1) Rys.2. Zmiany wsółczynnika korelacji (1) w funkcji częstotliwości odrywania się ęcherzy. Odległości omiędzy dyszami wynosiła 5 mm. Zdjęcie wykonano rzy częstotliwości 28 Hz. 3. MODELOWANIE ODDZIAŁYWANIA PĘCHERZY W zmianach ciśnienia (rys.1) wystęujących w układzie zasilania dysz w owietrze można wyróżnić dwa charakterystyczne rzedziały czasu, w których ciśnienie na rzemian wzrasta i maleje. Sadek ciśnienia wystęuje, gdy rosnący ęcherz naełnia się owietrzem. Proces ten rozoczyna się, gdy ęcherz rzyjmuje kształt kulisty okazany na rys.1.b.1. Zastosowanie czujnika laserowego ozwoliło na wyznaczenie czasu wzrostu ęcherza. Analiza zarejestrowanych danych okazała, że czas ten niewiele zmienia się wraz ze zmianą częstotliwości odrywania się ęcherzy i wynosi 0.018±0.002 s. Pozwala to rzyjąć, że
182 ROMUALD MOSDORF, TOMASZ WYSZKOWSKI ęcherz owietrza zachowuje się jak zawór otwierający się na w rzybliżeniu stały rzedział czasu, gdy ciśnienie w układzie zasilania rzekroczy krytyczną wartość. Zmiana ilości masy gazu, M g, w układzie zasilania dyszy oisana jest równaniem różniczkowym ostaci: dm g = jg j (2) dt gdzie: j g - masowy strumień gazu dostarczany do układu zasilania dyszy, j - masowy strumień gazu wydostający się z układu orzez ęcherz. Dla uroszczenia rzyjęto, że strumień j g jest stały w czasie, co odowiada rzyadkowi, w którym ciśnienie owietrza w zbiorniku zasilającym dysze jest znacznie większe od ciśnienia owietrza w dyszy. Na odstawie wyników badań ekserymentalnych rzyjęto, że czas naełniania się ęcherza gazem wynosi 0.02 s. Strumień gazu j oisano zależnością: j { sin[ ω( t t ) + π / 2] + 1} A gdy M g > M gk dla t = 0.02s = 0 gdzie: t - moment czasu, w którym rozoczyna się naełnianie ęcherza, M gk - masa gazu, rzy której rozoczyna się naełnianie ęcherza gazem, A - wsółczynnik określający wielkość ęcherza. W zależności (3) zastosowano funkcję sin w celu zaewnienia ciągłości funkcji j (t) oraz jej ochodnej. Wydostający się z dyszy ęcherz unosi ciecz znajdującą się rzed jego czołem. Nastęnie ciecz ta oada w trakcie odrywania się ęcherza. W rzyadku eriodycznie odrywających się ęcherzy rzyjęto, że wrawiają one w ruch ionowy (w górę i w dół) ciecz o stałej masie M. Masa cieczy M jest tzw. masą dodaną [6] odowiadającą masie cieczy wrawianej w ruch rzez ęcherz owietrza. Dla sferycznego ęcherza o romieniu r masa ta wynosi (2/3)πr 3 ρ wody. Ciecz unoszona jest na skutek siły F s związanej ze wzrostem ęcherza i owstającej w wyniku wzrostu ciśnienia gazu, nastęnie oada wzdłuż ścianek ęcherza w ostatniej fazie jego wzrostu. Ruch cieczy o masie M jest tłumiony orzez siły lekości. Do oisu ruch jej środka ciężkości zastosowano drugą zasadę dynamiki Newtona, co ozwala zaisać równanie ruchu cieczy o masie M w ostaci: (3) 2 d x M = Fs Γ v 2 dt (4) gdzie: F s siła wywierana rzez ęcherz na otaczającą go ciecz, wsółczynnik Γ [kg/s] - oisuje tłumienie rzeływu, v jest rędkością środka masy cieczy M. W celu określenia ostaci funkcji siły unoszącej ciecz rozatrzono małą zmianę romienia ęcherza r zachodzącą w małym rzedziale czasu t. Przyjęto, że zmiana wielkości ęcherza nastąiła na skutek oddziaływania z otaczającą go cieczą. W ten sosób rozatrywano dwa quasi-stacjonarne stany ęcherza (kuliste ęcherze o romieniach r 1 i r 2 ). Gdy układ zasilania wyełniony jest rzez gaz rzeczywisty oraz gdy zmianie wielkości ęcherza nie towarzyszy zmiana ilości gazu, w układzie zasilania zachodzi: 1 V1 = m C( 1, T ) R T ; V2 = m C( 2, T ) R T 2 (5)
MODELOWANIE SYNCHRONIZACJI ODRYWANIA SIĘ PĘCHERZY GAZOWYCH 183 gdzie: C - wsółczynnik ściśliwości, R stała gazowa, T temeratura gazu, m masa gazu, 1, 2 ciśnienie gazu w układzie zasilania wraz z ęcherzem o romieniu odowiednio r 1 lub r 2. V 1 i V 2 objętość owierza w układzie zasilania wraz z ęcherzem o romieniu odowiednio r 1 lub r 2. Zmianie romienia ęcherza towarzyszy zmiana ciśnienia = 2-1 wywołująca zmianę siły oddziaływania ęcherza na ciecz. Przy założeniu, że: ęcherz ma kształt kuli, oddziałuje na ciecz na owierzchni kuli, oraz r 2 = r 1 + r, wówczas wielkości zmiany siły działającej na ciecz można oszacować nastęująco: F s = ( ) ( ) ( ) 2 C 2, T C 1, T 3 r1+ r m R T (6) 3 3 ( r + r) + V r + V gdzie: V o objętość owietrza w układzie zasilania oniżej wylotu dyszy, r 1 romień kulistego ęcherza w stanie 1, r zmiana romienia ęcherza nastęująca rzy rzejściu ze stanu 1 do stanu 2. Siła (6) ma charakter nieliniowej siły srężystej, wystęującej na skutek zmiany romienia ęcherza, związanej z oddziaływaniem ęcherza z cieczą. Nieliniowość wystęuje na skutek kulistego kształtu ęcherza oraz roorcji omiędzy objętością ęcherza a objętością układu zasilania dyszy w owietrze. Zależność (6) określa zmianę siły oddziaływania ęcherza na ciecz w odniesieniu do chwilowej wielkości ęcherza (r 1 ). Rozmiar ęcherza (r 1 ) zależy od ilości gazu znajdującego się w układzie zasilania, dlatego siłę modelowano orzez nieliniową srężynę, której jeden koniec rzytwierdzony jest do masy M a ołożenie drugiego określone jest rzez ilość gazu w układzie zasilania dyszy. Siłę F s zaisano w ostaci: 1 o 1 o a s = κ sign( x mg δ ) ( x mg δ (7) F ) gdzie: m g określa ołożenie końca srężyny związanej z ilością gazu w układzie zasilania, m g = (M g /ρ g )/(πr d 2 ), r d romień dyszy, δ - wymiar srężyny, w modelu - 10 mm, a - wsółczynnik nieliniowości srężyny w modelu a = 2, x ołożenie środka ciężkości masy cieczy M. Rozmiar odrywającego się ęcherza ustalany jest orzez bilans sił działających na ęcherz. W momencie oderwania się ęcherza działają na niego siły: ciężkości, wyoru oraz siła hydrodynamiczna owstająca na skutek oddziaływania rzeływów cieczy z owierzchnią międzyfazową. Wielkość sił hydrodynamicznych zmienia rozmiar odrywającego się ęcherza (zmiany takie obserwowano w badaniach ekserymentalnych). W modelu rzyjęto, że wahania te mogą wynosić do 30%. Założono, że największe ęcherze owstają, gdy rzeływ cieczy nie rzeciwdziała wzrostowi ęcherza, tzn. gdy w momencie oderwania się ęcherza masa cieczy M nie ugina srężyny symulującej srężyste oddziaływanie ęcherza z cieczą. Dlatego rzyjęto, że wsółczynnik A we wzorze (3) jest funkcją ołożenia masy M. Ponieważ sąsiednie ęcherze generują dodatkowy rzeływ cieczy oraz wystęujący w równaniu (4) wsółczynnik Γ zależy od struktury rzeływu cieczy w obliżu ęcherzy, dlatego Γ oisuje wielkość oddziaływania omiędzy sąsiadującymi ęcherzami. Na rys.4 okazano schemat układu wykorzystanego do modelowania oddziaływania ęcherzy wydostających się z sąsiednich dysz.
184 ROMUALD MOSDORF, TOMASZ WYSZKOWSKI Układ równań oisujący zachowanie układu okazanego na rys.4 ma ostać (8). Wystęujące w układzie równań (8) stałe (21, 19, 11) określają ołożenia masy M oraz srężyny w milimetrach. Wsółczynnik κ = K/M = 30, zaś γ = Γ/M = 0.004, strumień j g = 3.3. Oddziaływanie omiędzy ęcherzami odrywającymi się z sąsiednich dysz oisano rzy omocy wsółczynnika γ o, którego wielkość uzależniono od stałej z. Rys.4. Model układu oddziaływania omiędzy układami zasilania dwóch sąsiadujących dysz. 1. wyływ gazu na skutek oderwania się ęcherza, 2. doływ gazu z układu zasilania w gaz, 3. model siły oddziaływania ęcherza na ciecz, 4. tłumienie ruchu cieczy, 5. masa cieczy wrawianej w ruch rzez ęcherze, 6. oddziaływanie omiędzy ęcherzami (8a) (8b)
MODELOWANIE SYNCHRONIZACJI ODRYWANIA SIĘ PĘCHERZY GAZOWYCH 185 Przyjęto, że obecność ęcherza wydostającego się z sąsiedniej dyszy zwiększa wartość wsółczynnika γ o (zwiększa się rędkość cieczy względem ęcherza). Dla zaewnienia ciągłości funkcji γ o wielkość oddziaływania oisano z zastosowaniem funkcji cos. Pionową odległość ęcherzy określano orzez odległość środków masy cieczy M. Układ równań (7) rozwiązano z wykorzystaniem rogramu SCILAB. Procedura całkująca naisana była w taki sosób, aby całkowanie odbywało się w kolejnych rzedziałach, w których funkcje wystęujące w układzie równań (8) są ciągłe. Obliczenia wykonano dla M = 0.002 g (masa kulki wyełnionej wodą o średnicy 1.4 mm). Wystęująca w układzie siła tłumienia odowiada sile Stokesa wystęującej rzy ruchu kulki o romieniu 1 mm w wodzie. Siła ugięcia srężyny rzy odkształceniu 1 mm odowiada sile naięcia owierzchniowego wody działającego na kulkę o romieniu około 1 mm. Na rys.5 okazano rzykładowe wyniki symulacji. Rys.5. Wyniki symulacji synchronizacji odrywania się ęcherzy gazowych. a) 3D rekonstrukcja atraktora z szeregu m g, dla z = 0, c) wielkości i ilości odrywających się ęcherzy z dwóch sąsiadujących dysz (kolor szary dysza lewa, kolor czarny dysza rawa) dla z = 0, C = 0.1.b) 3D rekonstrukcja atraktora z szeregu m g, dla z = 0.004, d) wielkości i ilości odrywających się ęcherzy z dwóch sąsiadujących dysz, dla z = 0.004, C = -0.4 Dla z = 0 (brak oddziaływania) uzyskano rozwiązanie, w którym środek ciężkości masy M orusza się chaotycznie. Tym samym odrywające się z sąsiednich dysz ęcherze są nieskorelowane, co okazano na rys.5c. Rekonstrukcja atraktora rys.5a na odstawie szeregu czasowego m g otwierdza chaotyczność badanego układu. Dla z = 0.004 (co oznacza dwukrotny wzrost wartości wsółczynnika γ w chwili maksymalnego oddziaływania) w badanym układzie wystęuję zjawisko synchronizacji omiędzy dwoma chaotycznymi układami. Pęcherze odrywają się na rzemian z dwu sąsiednich dysz, co okazano na rys.5d. Przedziały czasu, w których wystęuje synchronizacja rzerywane są rzedziałami czasu, w których odrywające się ęcherze nie są skorelowane. Zjawisko to obserwowane było w badaniach ekserymentalnych okazanych na rys. 2
186 ROMUALD MOSDORF, TOMASZ WYSZKOWSKI 4. PODSUMOWANIE Uzyskane w racy wyniki badań okazały, że do budowy modelu ozwalającego na symulację zaobserwowanego w ekserymencie zjawiska synchronizacji chaotycznie odrywających się ęcherzy gazowych wystarczające jest rzyjęcie nastęujących założeń uraszczających: reakcja układu ęcherz+układ zasilania dyszy w owietrze na oddziaływanie z cieczą ma charakter nieliniowy, rozmiar odrywającego się ęcherza zależy od wielkości oddziaływania ęcherza z cieczą, oddziaływanie omiędzy ęcherzami odrywającymi się z sąsiednich dysz olega na wzajemnym tłumieniu ich ruchu. Dwa ierwsze założenia są wystarczające do budowy modelu sumującego chaotyczne odrywanie się ęcherzy. Założenie trzecie jest wystarczające do modelowania synchronizacji dwóch chaotycznych układów dynamicznych. Z uwagi na zastosowane uroszczenia rzedstawiony model ma charakter jakościowy. LITERATURA 1. Luewisutthichat Wilai, Tsutsumi Atsushi, Yoshida Kunio: Chaotic hydrodynamics of continuous single-bubble flow systems. Chemical Engineering Science 1997, Vol. 52, No. 21-22,. 3685-3691 2. Oguz H. N., Proseretti A.: Dynamics of bubble growth and detachment from a needle. J. Fluid Mech. 1993, Vol. 257,. 111-145. 3. Sanada Toshiyuki, Watanabe Masao, Fukano, Tohru, Kariyasaki Akira: Behavior of a single coherent gas bubble chain and surrounding liquid jet flow structure. Chemical Engineering Science 2005, Vol. 60, No. 17,. 4886-4900. 4. Zhang L., Shoji M.: Aeriodic bubble formation from a submerged orifice. Chemical Engineering Science 2001, Vol.56, No.18,.5371-5381. 5. Mosdorf R., Shoji M.: Chaos in bubbling - nonlinear analysis and modeling. Chemical Engineering Science 2003, Vol. 58,. 3837-3846. 6. Brennen, C. E. : A review of added mass and fluid inertial forces. Deartment of the Navy, Port Hueneme, CA, USA 1982. htt://resolver.caltech.edu/caltechauthors:brencel82 Praca finansowana w ramach grantu: Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego, N N503 138936 MODELLING SYNCHRONIZATION OF AIR BUBBLE DEPARTURES FROM TWO NEIGHBOURING NOZZLES Summary. Results of exerimental investigation of interaction between bubble columns generated from two nozzles have been resented. The behavior of synchronization between dearting bubbles has been observed for distance between nozzles equal to 5mm and bubble dearture frequency equal to 28 Hz. The bubble deartures from neighboring nozzles have been modeled using the set of ODE describing the changes of mass of gas in the gas sulying system. The ODE set of equations has been solved using the SCILAB rogram. During the simulation, similarly to the exeriment, the correlation between behaviors of two interacting chaotic systems have been observed.