MODELOWANIE ZJAWISKA SYNCHRONIZACJI ODRYWAJĄCYCH SIĘ PĘCHERZY GAZOWYCH Z SĄSIADUJĄCYCH DYSZ
|
|
- Bogna Nowacka
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 acta mechanica et automatica, vol.5 no.1 (2011) MODELOWANIE ZJAWISKA SYNCHRONIZACJI ODRYWAJĄCYCH SIĘ PĘCHERZY GAZOWYCH Z SĄSIADUJĄCYCH DYSZ Romuald MOSDORF *, Tomasz WYSZKOWSKI * * Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka, ul. Wiejska 45 C, Białystok r.mosdorf@pb.edu.pl, wyszkowski.tomasz@gmail.com Streszczenie: W pracy przedstawiono wyniki badań eksperymentalnych oddziaływania kolumn pęcherzy powietrza generowanych z dwóch sąsiadujących dysz. W przypadku odległości pomiędzy dyszami równej 4 mm i częstotliwości 30 Hz obserwowano synchronizację odrywania się pęcherzy. W celu analizy struktury przepływu cieczy pomiędzy dwoma oddziałującymi pęcherzami przeprowadzono symulację w programie COMSOL Multiphysics, wykorzystując metodę level set. Chaotyczne zmiany częstotliwości odrywania się pęcherzy modelowano z zastosowaniem układu równań różniczkowych zwyczajnych opisujący zmiany masy gazu w układzie zasilania dysz. W trakcie symulacji, podobnie jak w eksperymencie, obserwowano występowanie ujemnej korelacji pomiędzy odrywającymi się pęcherzami. Oba przedstawione w pracy modele mają charakter jakościowy. 1. WSTĘP Wiedza dotycząca dynamiki pęcherzy gazowych ma kluczowe znaczenie w fizyce, biologii, w medycynie a także w wielu gałęziach przemysłu. Stąd nieustanne próby wyjaśnienia wielu zjawisk fizycznych z nią związanych. Duża ilości parametrów fizycznych na przykład takich jak właściwości fizyczne faz, natężenie przepływu gazu oraz ciśnienie gazu i cieczy ma wpływ na formowanie się pęcherzy gazowych. Wiele badań dotyczących pęcherzy gazowych odnosi się do eksperymentów, w których gaz wydostaje się z dyszy lub otworów w płytach do cieczy. Wyniki tych badań zostały opublikowane między innymi w pracach (Peebles et al., 1953; Hughes et al., 1955; Davidson et al., 1956; Davidson et al., 1971; Kyriakides et al., 1997). Prowadzone są również badania eksperymentalne dotyczące dynamiki pęcherzy (Oguz et al., 1993; Sanada et al., 2005; Zhang et al., 2001). Pokazują one, że wraz ze wzrostem wydatku powietrza obserwuje się zjawisko łączenia się kolejno wydostających się pęcherzy gazowych (Zhang et al., 2001). Coraz częściej analizuje się proces oddziaływania kolejno odrywających się pęcherzy z przepływem turbulentnym generowanym przez ruch poprzednio oderwanego pęcherza (Luewisutthichat, et al., 1997; Zhang et al., 2001). Badanie dynamiki wzrostu pęcherzy zmusiło badaczy do szukania nowych metod analizy skomplikowanej dynamiki ruchu ścianki pęcherza (Mosdorf et al., 2003). Istnieje wiele artykułów dotyczących chaotycznych zmian zachodzących w procesie powstawania i przepływu pęcherzy przez ciecz (Luewisutthichat, et al., 1997; Zhang et al., 2001; Tufaile et al., 2000a; Tufaile et al., 2000b; Ruzicka et al., 1997; Tritton et al., 1993; Ramakrishnan et al., 1969; Clift et al., 1978; Raymond et al., 2000). W badaniach omówionych w pracy (Luewisutthichat, et al., 1997) zaobserwowano chaotyczne zmiany kształtu i prędkości pęcherzy. Artykuł (Nguyen et al., 1996) opisuje zależności pomiędzy chaotycznym zachowaniem się pęcherzy a niestabilnością przepływu wywołanego przez interakcje pomiędzy nimi. W pracy (Tritton et al., 1993) pokazano, że chaotyczne zmiany częstotliwości odrywania się pęcherzy poprzedzone są zjawiskiem występowania dwóch charakterystycznych częstotliwości odrywania się pęcherzy. Wyniki badań przedstawione w pracy (Vazquez et al., 2008) pokazują, że chaotyczne zmiany sygnałów akustycznych generowanych przez pęcherze oraz zmiany ciśnienia gazu charakteryzują się różnymi sposobami manifestowania się chaosu. W pracy (Mosdorf et al., 2003) pokazano, że wzrostowi wydatku gazu towarzyszy wzrost wykładnika Lapunowa. Przejście z przepływu, w którym występują pojedyncze pęcherze do przepływu, w którym następuję łączenie się pęcherzy charakteryzuje sie jako spadek entropii Kołmogorowa i wymiaru korelacyjnego (analizowano zmiany ciśnienia powietrza) (Ruzicka et al., 1997). W prezentowanej pracy przedstawiono wyniki badań eksperymentalnych wzajemnego oddziaływania pęcherzy wydostających się z dwóch sąsiadujących dysz. Wykryto występowanie zjawiska synchronicznego odrywania się pęcherzy przy odległości pomiędzy dyszami równej 4 mm i częstotliwości 30 Hz. Do modelowania zjawiska zastosowano dwa modele. Pierwszy w oparciu o metodę level set dla cieczy nieściśliwych, opracowano w programie COMSOL Multiphysics z wykorzystaniem MES (Berthelsen, 2002; Smolianski 2005; Nagrath et al., 2006). Drugi posłużył do opisu zmian masy gazu w układzie zasilania dyszy, a także uwzględniał sprężyste oddziaływanie ścianki pęcherza na masę otaczającej go cieczy Pierwszy model posłużył do opisu mechanizmu hydrodynamicznego oddziaływania pomiędzy pęcherzami wydostającymi się z sąsiednich dysz. Z uwagi na niestabilność metody numerycznej model ten może być stosowany tylko w krótkim przedziale czasu. Drugi model wykorzystano do modelowania zmian zachowań pęcherzy w długich przedziałach czasu. 59
2 Romuald Mosdorf, Tomasz Wyszkowski Modelowanie zjawiska synchronizacji odrywających się pęcherzy gazowych z sąsiadujących dysz 2. BADANIA EKSPERYMENTALNE Schemat stanowiska pomiarowego przedstawiono na Rys. 1. Badania prowadzono w szklanym zbiorniku o wymiarach (300x300x1000 mm) wypełnionym wodą destylowaną. Casio EX FX1 rejestrującą obraz z szybkością 600 klatek na sek., dwa systemy składające się z laserów oraz fototranzystorów, których zadaniem było badanie częstotliwości odrywających się pęcherzy. Fluktuacje ciśnienia w układzie zasilania w powietrze rejestrowano z zastosowaniem czujników ciśnienia MPX12DP (o zakresie pomiarowym 0 10 kpa). System laserów z fototranzystorami a także czujniki ciśnienia podłączone były do stacji akwizycji danych DT9800 o częstotliwości próbkowania 1 khz. Badania prowadzono dla częstotliwości odrywania się pęcherzy w zakresie od 1 do 40 Hz. Dane rejestrowano dla przypadku, gdy częstotliwości odrywania się pęcherzy z dwóch sąsiadujących dysz różniły się o mniej niż 1 Hz. Wiązka lasera umieszczona była na wysokości 3 mm ponad wylotem dyszy. Przykładowy sygnał rejestrowany w trakcie eksperymentu pokazano na Rys. 1a. Do ilościowego opisu synchronicznego odrywania się pęcherzy zastosowano współczynnik korelacji wyznaczony pomiędzy fluktuacjami ciśnienia w lewej i prawej dyszy, opisany zależnością: = (, ) (1) gdzie: σ l, σ p odchylenie standardowe zmian ciśnienia w dyszach, cov kowariancja wyznaczona pomiędzy zmianami ciśnienia w prawej i lewej dyszy. Rys. 2. Zmiany współczynnika korelacji (1) w funkcji częstotliwości odrywania się pęcherzy. Odległość pomiędzy dyszami wynosiła 4 mm. Zdjęcie wykonano przy częstotliwości 32 Hz Rys. 1. Schemat stanowiska pomiarowego oraz przykładowe wyniki rejestrowanych danych a) Schemat stanowiska pomiarowego: 1 szklany zbiornik, 2 zbiornik z powietrzem, 3 laser, 4 fototranzystor, 5 zawór powietrzny, 6 czujnik ciśnienia, 7 stacja akwizycji danych, 8 kamera, 9 oświetlenie,10 przesłona rozpraszająca światło, 11 pompa, 12 rotametry. b) Przykładowe zmiany w czasie rejestrowanego sygnału z fototranzystora (x) i czujnika ciśnienia (p) Pęcherze powietrza generowane były z mosiężnych dysz o średnicy wewnętrznej Ø 1.1 mm. Układ zasilający dysze w powietrze wyposażony został w pompkę pneumatyczną oraz zbiornik. Wydatek powietrza regulowano zaworami. System pomiarowy wyposażony był w: kamerę Zmiany współczynnika korelacji w funkcji częstotliwości odrywania się pęcherzy pokazano na Rys. 2. Przy niskich częstotliwościach odrywania się pęcherzy współczynnik korelacji przyjmuje wartości bliskie zero, co oznacza, że pęcherze odrywają się w sposób nieskorelowany. Natomiast przy częstotliwości około 30 Hz wartość współczynnika korelacji zmniejsza się do wartości 0.5, co oznacza, że pęcherze odrywają się w sposób skorelowany na przemian z sąsiadujących dysz. Na Rys. 2 pokazano zdjęcie ilustrujące synchroniczne odrywanie się pęcherzy z sąsiednich dysz. Wzrost częstotliwości odrywania się pęcherzy powoduje zanik zjawiska synchronizacji. 60
3 acta mechanica et automatica, vol.5 no.1 (2011) 3. MODELOWANIE HYDRODYNAMICZNEGO ODDZIAŁYWANIA PĘCHERZY Z WYKORZYSTANIEM MES W pracy zjawisko oddziaływania a także strukturę i mechanizm przepływu cieczy pomiędzy pęcherzami wydostającymi się z dwóch sąsiadujących dysz modelowano przy użyciu programu COMSOL Multiphysics. Przepływ cieczy modelowano z zastosowaniem metody elementów skończonych, natomiast do ustalenia położenia granicy rozdziału faz wykorzystano metodę level set. Jest to metoda numeryczna, którą stosuje się w symulacji przepływów dwufazowych mieszanin nieściśliwych (COMSOL Multiphysics). Zakłada się w niej, że ciecze są lepkie i nie mieszają się, natomiast powierzchnia rozdziału faz ma zerową grubość (COMSOL Multiphysics; Berthelsen, 2002). Modelowanie ruchu powierzchni międzyfazowej odbywa się z wykorzystaniem ciągłej funkcji φ, zdefiniowanej jako funkcja odległości w postaci: (Berthelsen, 2002). cieczy i gazu uzależnioną od wartości funkcji φ (COMSOL). Na Rys. 3 pokazano sposób modelowania położenia powierzchni rozdziału faz z zastosowaniem powierzchni stożkowej opisanej zależnością: φ0,, = + (9) gdzie: x p, y p położenie pęcherza, D średnica pęcherza. Przecięcie funkcji φ z płaszczyzną (x, y) wyznacza położenie powierzchni międzyfazowej. Granicę powierzchni pęcherza zaznaczono czarnym okręgiem na Rys. 3. < 0 φ, = = 0 (2) > 0 gdzie: x reprezentuje geometryczne położenie powierzchni międzyfazowej, 1 i 2 oznacza obszary wypełnione jedną fazą: cieczą lub gazem, oznacza granicę rozdziału faz. Wymiar funkcji level set jest o jeden większy od liczby wymiarów, w których prowadzona jest symulacja. Położenie granicy rozdziału faz, Γ, określane jest poprzez warunek (Nagrath, 2006): = φ, = 0 (3) Funkcja φ pozwala na aproksymację normalnej do powierzchni międzyfazowej oraz jej krzywizny w oparciu o następujące zależności (COMSOL): κ = φ (4) φ φ = φ φ φ Ponieważ granica rozdziału faz przemieszcza się zgodnie z przepływem adwekcyjnym dlatego zmiany wartości φ opisuje równanie (COMSOL): φ (5) + φ = 0 (6) Wartość prędkości obliczana jest w oparciu o równanie Navier a-stokesa na płaszczyźnie (x, y). Uwzględnia ono zależności pomiędzy ciśnieniem, prędkością i gęstością cieczy nieściśliwych (COMSOL). Układ równań opisujący przepływ cieczy i gazu ma postać: φ + φ + + = κ + (φ) (7) = 0 (8) W równaniu (7) wyrażenie κ opisuje siłę napięcia powierzchniowego, gdzie δ jest funkcją, której całka ma wartość jeden i przyjmuje wartość maksymalną na granicy międzyfazowej a w pozostałej części obszaru ma wartość równą zero. Siła masowa działająca na ciecz opisana jest zależnością (φ), gdzie ρ jest odpowiednio gęstością Rys. 3. Funkcja φ w chwili czasu t = 0. Ponieważ powierzchnia φ wraz z granicą rozdziału faz zmienia położenie w trakcie trwania symulacji, dlatego dochodzi do zmian objętości pęcherzy. Jest to wynik błędów numerycznych spowodowanych niedokładnością obliczeń podczas rozwiązywania równania ruchu powierzchni międzyfazowej. Aby wyeliminować zmiany objętości nieściśliwych faz zachodzi potrzeba ciągłej re-inicjalizacji funkcji φ (Smolianski, 2005; Berthelsen, 2002). Istnieje wiele technik re inicjalizacji. Jedna z metod została zaproponowana przez Sussmana (Berthelsen, 2002). W pracy zastosowano metodą re - inicjalizacji opartą na wprowadzeniu do równania ruchu powierzchni φ dodatkowego członu opisującego sztuczny strumień dyfuzji kompensujący zmiany objętości faz wywołane błędami numerycznymi. Wówczas równanie ruchu powierzchni φ przyjmuje postać (COMSOL): φ + φ = φ ( φ) (10) Funkcja δ przyjmuje wartość maksymalną na granicy rozdziału faz. W ten sposób strumień dyfuzji występuje tylko na granicy rozdziału faz. Dobór odpowiedniej wartości współczynnika dyfuzji odbywa się na podstawie kolejnych przybliżeń w oparciu o zmiany współczynnika = / ( ). W pracy przyjęto, że zmiany te powinny być mniejsze od 0.1%. Wartości współczynnika M zmieniają się w czasie, dlatego zastosowana metoda eliminacji zmian objętości faz pozwala 61
4 Romuald Mosdorf, Tomasz Wyszkowski Modelowanie zjawiska synchronizacji odrywających się pęcherzy gazowych z sąsiadujących dysz na prowadzenie obliczeń tylko w krótkich przedziałach czasu. W pracy czas ten wynosił 0.05s. Gęstość substancji oraz jej lepkość zmienia się w zależności od fazy. Zależność ta opisana została w następujący sposób (Nagrath et al., 2006): φ = + (φ)( ) (11) φ = + (φ) ( ) (12) gdzie: H(φ) jest funkcją Heaviside a. W obliczeniach zastosowano następującą postać funkcji (COMSOL): 0 φ < φ = 1 + φ + sin φ φ = 0 (13) 1 φ > Obliczenia przeprowadzono dla wody i powietrza o parametrach: ρ l = 1000 kg/m 3, ρ g = 1 kg/m 3, σ = 0.07 N/m, g = 10 m/s 2, ν = Pa s. Symulację wykonano w obszarze roboczym 2D o wymiarach 40mmx15mm, podzielonym na trójkątne elementy skończone. Siatka zawierała 6400 elementów. Przyjęto, że prędkość płynu na granicy zbiornika równa jest zero, natomiast dla równania opisującego metodę levelset przyjęto, że strumień φ jest równy zero. Jako warunek początkowy dla równania Navier a- Stokesa przyjęto, że u(0,x,y) = 0, zaś φ opisane jest zależnością: obszaru łączącego komórki adwekcyjne, w którym pionowa składowa prędkości cieczy jest dodatnia. Następuje przyciąganie się pęcherzy - zachodzi zjawisko formowania się wspólnego łańcucha pęcherzy. φ0,, = + /2 + (14) /2 + gdzie: d pozioma odległość pomiędzy pęcherzami, y p - pionowe położenie pęcherzy, D średnica pęcherzy. Celem przeprowadzonych symulacji była identyfikacja mechanizmu oddziaływania pęcherzy znajdujących się w sąsiednich kolumnach pęcherzy. Mechanizm ten jest odpowiedzialny za zjawisko synchronizacji odrywania się pęcherzy z sąsiadujących dysz. Badania eksperymentalne pokazały, że do zjawiska synchronizacji dochodzi w przypadku gdy pęcherza odrywają się z sąsiednich dysz naprzemian. Dlatego w wykonanych symulacjach początkowa pionowa odległość pomiędzy pęcherzami wynosiła 3 mm. Pęcherz położony niżej odpowiada pęcherzowi znajdującemu się w końcowej fazie wzrostu, zaś pęcherz położony wyżej był pęcherzem, który oderwał się od sąsiadującej dyszy. Wykonano dwie symulacje dla różnych poziomych odległości pomiędzy pęcherzami. Średnica pęcherzy w chwili t = 0 wynosiła D = 5 mm co odpowiada średnicy pęcherzy obserwowanych w eksperymencie. Wyniki obu symulacji przedstawiono na Rys.4. Na Rys. 4 pokazano strukturę przepływów adwekcyjnych indukowanych przez pęcherze o różnej początkowej odległości poziomej. Na Rys. 4a, b przedstawiono pola prędkości oraz położenie pęcherzy. Natomiast na Rys. 4 b, d pokazano linie prądu. W przypadku gdy początkowa pozioma odległość pęcherzy wynosiła 4 mm (Rys. 4 a, b) indukowany przez pęcherze adwekcyjny przepływ cieczy uformował dwie komórki oznaczone numerami 1 i 2 (Rys. 4 b). W tym przypadku oba pęcherze poruszają sie wzdłuż 62 Rys. 4. Struktura przepływu cieczy i linie prądu w pobliżu pęcherzy formujące się po czasie t = 0.05 s przy różnych początkowych odległościach poziomych pomiędzy pęcherzami. a, b 4 mm, c, d 10 mm Na Rys. 4 d pokazano 4 komórki adwekcyjne uformowane w wyniku przepływu indukowanego przez pęcherze gdy ich odległość początkowa wynosiła 10 mm. Pomiędzy pęcherzami występują komórki adwekcyjne o numerach 2 i 3 w obszarze pomiędzy tymi komórkami pionowa składowa prędkości cieczy przyjmuje wartość ujemną. Pęcherze poruszają się w obszarach cieczy oddzielających odpowiednio komórki 1, 2 i 3, 4. W tym przypadku nie występuje formowanie się wspólnego łańcucha pęcherzy. Podsumowując można stwierdzić, że jeżeli pęcherze są dostatecznie blisko siebie wówczas poruszają się we wspólnym przepływie cieczy tworzonym przez wyżej położony pęcherz, tak jak pokazano to na Rys. 4 a,b.
5 acta mechanica et automatica, vol.5 no.1 (2011) 4. MODELOWANIE ODDZIAŁYWANIA PĘCHERZY W DŁUGIM PRZEDZIALE CZASU W pracach (Mosdorf et al., 2010a, Mosdorf et al., 2010b) przedstawiono model numeryczny symulujący chaotyczne zmiany strumienia powietrza pobieranego przez kolejno odrywające się pęcherze. Model ten opracowano w oparciu o wyniki badań eksperymentalnych przeprowadzonych dla pojedynczej i dwóch dysz. Uwzględniał on dwa podstawowe założenia: reakcja układu pęcherz + układ zasilania dyszy w powietrze na oddziaływanie z cieczą ma charakter nieliniowy; wielkość odrywającego się pęcherza zależy od oddziaływania pęcherza z cieczą. W prezentowanej pracy zmodyfikowano model przedstawiony w pracy (Mosdorf et al., 2010b). Zmiana ilości masy gazu, M g, w układzie zasilania dyszy opisana była równaniem różniczkowym o postaci: dm dt g = j j (15) g p gdzie: j g masowy strumień gazu dostarczany do układu zasilania dyszy, j p masowy strumień gazu wydostający się z układu poprzez pęcherz. Dla uproszczenia przyjęto, że strumień j g jest stały w czasie. Na podstawie wyników badań eksperymentalnych przyjęto, że czas napełniania się pęcherza gazem wynosi 0.02 s. Strumień gazu j p opisano uproszczoną zależnością: = + /2 + 1 > (16) 0 dla t p = 0.02 s gdzie: t p czas początkowy, w którym rozpoczyna się napełnianie pęcherza, M gk masa gazu u układzie zasilania, przy której rozpoczyna się napełnianie pęcherza gazem, A współczynnik określający wielkość pęcherza. W zależności (16) zastosowano funkcję sin w celu zapewnienia ciągłości funkcji j p (t) oraz jej pochodnej w trakcie numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych. Zjawiska zachodzące nad dyszą takie jak hydrodynamiczne oddziaływanie kolejno odrywających się pęcherzy oraz ich łączenie się zmieniają częstotliwość oraz wielkość odrywających się pęcherzy. Dlatego przyjęto, że wielkość współczynnika A oraz częstotliwość odrywania się pęcherzy ω zależy od sił hydrodynamicznych działających na powstający pęcherz. Na pęcherz działają następujące siły: siła wyporu, opisana zależnością (Zhang et al., 2001): = (17) gdzie: ρ c gęstość wody, ρ g gęstość powietrza, V-objętość strumień pędu gazu, opisany zależnością (Zhang et al., 2001): = (18) gdzie: D O średnica dyszy, q objętościowy strumień dostarczanego gazu; siła napięcia powierzchniowego u podstawy pęcherza, opisana zależnością (Zhang et al., 2001): = (19) gdzie: σ napięcie powierzchniowe wody. siła inercyji związana z poruszaniem się dodanej masy cieczy (Zhang et al., 2001): = + (20) gdzie: 1 - współczynnik dodanej masy. siła oporu cieczy, opisana zależnością (Zhang et al., 2001): = (21) gdzie: dx/dt jest prędkością środka masy pęcherza, v pp jest prędkością cieczy wywołaną przez wcześniej odrywające się pęcherze, D średnica pęcherza, zaś C D =18,5/Re B 0,6 dla 1 < Re B < 1000 oraz C D =0,44 dla Re B > Natomiast Re B =(D(dr/dt))/γ l, gdzie: γ l kinematyczny współczynnik lepkość cieczy. Warunek wzrostu pęcherza zapisuje się w postaci (Zhang et al., 2001): + > + + (22) Masę gazu u układzie zasilania, przy której rozpoczyna się napełnianie pęcherza gazem, M gk, można zatem wyznaczyć z warunku: + = + +. Wydostający się z dyszy pęcherz unosi ciecz znajdującą się przed jego czołem. Następnie ciecz ta opada w trakcie odrywania się pęcherza. W przypadku periodycznie odrywających się pęcherzy przyjęto, że wprawiają one w ruch pionowy (w górę i w dół) ciecz o stałej masie M. Dla dysku o średnicy D masa ta nazywa się masą dodaną (Martin, 1998) i wynosi: = /2 (23) Siły działające na masę M ze strony wzrastającego pęcherza wynoszą: = = (24) gdzie: F n siła unosząca pęcherz i tym samym masę M zaś F t siła hamująca ruch pęcherza. Siły powodujące wzrost pęcherza F N to siła wyporu i strumień pędu gazu wydostającego się z dyszy. Przy założeniu, że q jest stałe, zmiany w czasie siły napędzającej ruch pęcherza będą związane jedynie ze zmianą objętości pęcherza. W pracy (Mosdorf et al., 2010a) oszacowano zmianę siły unoszącej ciecz i występującej w wyniku zmiany objętości kulistego pęcherza. Równanie opisujące siłę ma postać: F s C2 ( pr, Tr ) 3 ( r + r) + V ( p, T ) 2 C1 r r = 3 ( r1 + r) m R T (25) 3 1 o r1 + Vo gdzie: V o objętość powietrza w układzie zasilania poniżej pęcherza. Siła (25) ma charakter nieliniowej siły sprężystej, występującej na skutek zmiany promienia pęcherza, związanej z oddziaływaniem pęcherza z cieczą. Nieliniowość występuje na skutek kulistego kształtu pęcherza oraz proporcji 63
6 Romuald Mosdorf, Tomasz Wyszkowski Modelowanie zjawiska synchronizacji odrywających się pęcherzy gazowych z sąsiadujących dysz pomiędzy objętością pęcherza a objętością układu zasilania dyszy w powietrze. Zależność (25) określa zmianę siły oddziaływania pęcherza na ciecz w odniesieniu do chwilowej wielkości pęcherza. Wielkość pęcherza zależy od ilości gazu znajdującego się w układzie zasilania, dlatego siłę modelowano poprzez nieliniową sprężynę, której jeden koniec przytwierdzony jest do masy M a położenie drugiego określone jest przez ilość gazu w układzie zasilania dyszy. Siłę F s opisuje równanie: a s = κ sign ( x m g δ ) ( x m g δ (26) F ) gdzie: m g położenie końca sprężyny związanej z ilością gazu w układzie zasilania, m g = (M g /ρ g )/(π(d 0 /2) 2 ), D 0 średnica dyszy, δ wymiar sprężyny, w modelu 10 mm, a współczynnik nieliniowości sprężyny w modelu a = 2 (Mosdorf et al., 2010a), x położenie masy cieczy M. Rys. 5. Model układu oddziaływania pomiędzy układami zasilania dwóch sąsiadujących dysz. 1. wypływ gazu na skutek oderwania się pęcherza, 2. dopływ gazu z układu zasilania w gaz, 3. model siły oddziaływania pęcherza na ciecz, 4. tłumienie ruchu cieczy, 5. masa cieczy wprawianej w ruch przez pęcherze, 6. oddziaływanie pomiędzy pęcherzami Siła hamująca ruch pęcherza jest sumą sił: oporu lepkiej cieczy, inercji oraz napięcia powierzchniowego. Dla uproszczenia zapisano ją w postaci: = (27) gdzie: współczynnik Γ opisuje tłumienie przepływu, v jest prędkością środka masy cieczy M. Ruch środka ciężkości masy M opisano z zastosowaniem drugiej zasady dynamiki Newtona, w postaci: = (28) W końcowej fazie wzrostu pęcherza siła oporu cieczy F d zależy od prędkości cieczy otaczającej pęcherz. Tym samym siły hydrodynamiczne zmienią wielkość odrywającego się pęcherza (zmiany takie obserwowano w badaniach eksperymentalnych). Przyjęto, że współczynnik A we wzorze (16) jest funkcją położenia masy M (Mosdorf et al., 2010a). Ponieważ pęcherze odrywający się z sąsiedniej dyszy generują dodatkowy przepływ cieczy dlatego współczynnik Γ jest funkcją prędkości masy M. Na Rys. 5 pokazano schemat układu wykorzystanego do modelowania oddziaływania pęcherzy wydostających się z sąsiednich dysz. Układ równań opisujący ruch pęcherzy ma postać (29). Występujące w układzie równań (29) stałe dobrano w taki sposób aby M = g (masa kulki wypełnionej wodą o średnicy 1.4 mm) wykonywała ruch w pionie odbywający się w zakresie 3 mm. Współczynnik κ = K/M = 30, zaś γ = Γ/M = 0.004, strumień j g = kg/s. Występująca w układzie siła tłumienia odpowiada sile Stokesa występującej przy ruchu kulki o promieniu 1 mm w wodzie. Siła ugięcia sprężyny przy odkształceniu jednostkowym odpowiada sile napięcia powierzchniowego wody działającego na kulkę o promieniu około 1 mm. Oddziaływanie pomiędzy pęcherzami odrywającymi się z sąsiednich dysz opisano przy pomocy współczynnika γ o zmieniającego współczynnik tłumienia Γ. Jego wielkość uzależniono od stałej z, określającej wielkość oddziaływania. = = = ( ) + /2 + 1 ż > 11 = ż > 21 = ż < 19 = = = ż + 0 ż + > = = (29) = ( ) + /2 + 1ż > 11 = ż > 21 = ż < 19 = = = ż + 0 ż + > Przyjęto, że przy pewnej granicznej pionowej odległości pomiędzy pęcherzami równej x g na skutek przepływu o strukturze pokazanej na Rys. 4b opór stawiany przez ciecz pęcherzowi zmniejsza się na skutek przepływu cieczy generowanego przez sąsiedni pęcherz. Dlatego przyjęto, że obecność pęcherza wydostającego się z sąsiedniej dyszy w odległości bliskiej x g zwiększa wartość współczynnika γ o, a tym samym zmniejsza siłę oporu opisaną zależnością /. Dla zapewnienia ciągłości funkcji γ o przyjęto, że ma postać funkcji cos. Pionową odległość pęcherzy określano poprzez odległość środków masy cieczy M. Układ równań (29) rozwiązano z wykorzystaniem programu SCILAB. Procedura całkująca napisana była w taki sposób, aby całkowanie odbywało się w kolejnych prze- 64
7 acta mechanica et automatica, vol.5 no.1 (2011) działach, w których funkcje występujące w układzie równań (29) są ciągłe. Na Rys.6 pokazano przykładowe wyniki obliczeń. dwoma podukładami. Pęcherze odrywają się na przemian z dwu sąsiednich dysz, co pokazano na Rys. 6d. Przedziały czasu, w których występuje synchronizacja przerywane są przedziałami czasu, w których odrywające się pęcherze nie są skorelowane. Zjawisko to obserwowane było w badaniach eksperymentalnych, których wyniki pokazano na Rys. 2. Na Rys. 6a,c pokazano 3D rekonstrukcje atraktorów uzyskane z szeregów j p dla jednego z podukładów. 5. PODSUMOWANIE Przedstawione w pracy wyniki badań eksperymentalnych pokazały, że gdy odległość pomiędzy dyszami jest wystarczająco mała (4 mm) wówczas dochodzi do synchronizacji odrywania się pęcherzy z dwóch sąsiadujących dysz. W tym przypadku pęcherze odrywają się z dysz na przemian. W celu wyjaśnienia mechanizmu synchronizacji w pracy przedstawiono wyniki symulacji wykonane z zastosowaniem dwóch modeli. Pierwszy model (wykonany w programie COMSOL Multiphysics) ma charakter ilościowy i pozwolił na obserwację zmian przepływu cieczy przemieszczającej się pomiędzy pęcherzami. Obserwowano mechanizm przyciągania się pęcherzy. W tym przypadku tworzyły się linie prądu łączące sąsiadujące pęcherze (Rys.4b) pęcherze przyciągały się, ponieważ pęcherz umieszczony niżej przemieszczał się w przepływie cieczy tworzonym przez pęcherz znajdujący się wyżej. Do modelowania oddziaływania pęcherzy w długich przedziałach czasu zastosowano model oparty na analizie zmian ilości powietrza w układzie zasilania dysz. Wyniki modelu pozwoliły na symulację synchronizacji odrywających się pęcherzy gazowych. Uzyskane wyniki pokazały, że synchronizacja pomiędzy chaotycznie odrywającymi się z dwóch sąsiednich dysz pęcherzami może następować na skutek ich hydrodynamicznego oddziaływania. Zaproponowany w pracy mechanizm modelowania oddziaływania pomiędzy pęcherzami pozwala stwierdzić, że: pęcherze odrywają się naprzemian ponieważ taka struktura przepływu minimalizuje opór cieczy stawiany przepływowi pęcherzy. LITERATURA Rys. 6. Wyniki symulacji synchronizacji odrywania się pęcherzy gazowych. a) 3D rekonstrukcja atraktora z szeregu j p, dla z = 0, lewa dysza, c) wielkości i ilości odrywających się pęcherzy z dwóch sąsiadujących dysz (kolor szary dysza lewa, kolor czarny dysza prawa) dla z = 0, C = 0.01 b) 3D rekonstrukcja atraktora z szeregu j p, dla z = 0.004, lewa dysza d) wielkości i ilości odrywających się pęcherzy z dwóch sąsiadujących dysz, dla z = 0.004, C = Dla z = 0 (brak oddziaływania) uzyskano rozwiązanie, w którym środki ciężkości mas M poruszają się chaotycznie. Tym samym odrywające się z sąsiednich dysz pęcherze są nieskorelowane, co pokazano na Rys.6b. Dla z = w układzie występuje zjawisko synchronizacji pomiędzy 1. Berthelsen P. A. (2002), Short Introduction to the Level Set Method and Incompressible Two-Phase Flow, A Computational Approach berthelsen/berthelsen_report2002.pdf 2. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. (1978), Bubbles, Drops and Particles, Academic Press, New York. 3. COMSOL Multiphysics, Rising Bubble Modeled with the Level Set Method, /gallery/177.php?highlight=bubble 4. Davidson J.F., Schüler B.O.G. (1960), Bubble formation at an orifice in an inviscid liquid, Trans. Instn. Chem. Engrs, 38, Davidson L., Amick E. (1956), Formation of gas bubbles at horizontal orifices, AIChE J., 2, Hughes R.R., et al., (1955), The formation of bubbles at simple orifices, Chem. Engng Progr., 51,
8 Romuald Mosdorf, Tomasz Wyszkowski Modelowanie zjawiska synchronizacji odrywających się pęcherzy gazowych z sąsiadujących dysz 7. Kyriakides N.K., Kastrinakis E.G., Nychas S.G. (1997), Bubbling from nozzles submerged in water: transitions between bubbling regimes, Canadian J. Chemical Engng, 75, Luewisutthichat W., Tsutsumi A., Yoshida K. (1997), Chaotic hydrodynamics of continuous single-bubble flow systems, Chemical Engineering Science, Vol. 52, No , Martin P.A. (1998). On the added mass of rippled discs, Journal of Engineering Mathematics, 33, McCann D.J., Prince R.G.H. (1971), Regimes of bubbling at a submerged orifice, Chemical Engng Sc., 26, Mosdorf R., Shoji M. (2003), Chaos in bubbling - nonlinear analysis and modelling, Chemical Engineering Science, Vol. 58, Mosdorf R., Wyszkowski T. (2010a), Odrywanie się pęcherzy gazowych od krawędzi dysz badanie eksperymentalne i modelowanie, Acta Mechanica et Automatica, Vol. 4, no.1, Mosdorf R., Wyszkowski T. (2010b), Modelowanie synchronizacji odrywania się pęcherzy gazowych z dwóch sąsiadujących cylindrycznych dysz, Modelowanie Inżynierskie, nr 40, 9, Nagrath S., Jansen K. E., Lahey R. T.Akhatov I. (2006), Hydrodynamic simulation of air bubble implosion using a level set approach, Journal of Computational Physics, Vol. 215, Issue 1, Nguyen K., et al., (1996), Spatio-temporal dynamics in a train of rising bubbles, The Chemical Engng J., Oguz H. N., Prosperetti A. (1993), Dynamics of bubble growth and detachment from a needle, J. Fluid Mech., Vol. 257, Peebles F.N., Garber H.J. (1953), Studies on the motion of gas bubbles in liquids, Chem. Engng Progr., 49, Ramakrishnan S., Kumar R., Kuloor N.R. (1969), Studies in bubble formation-i: Bubble formation under constant flow conditions, Chemical Engng Sc., 24, Raymond F., Rosant J.M. (2000), A numerical and experimental study of the terminal velocity and shape bubbles in viscous liquids, Chemical Engng Sc., 55, Ruzicka M.C., et al., (1997), Intermittent transition from bubbling to jetting regime in gas-liquid two phase flows., Int. J. Multiphase Flow, 23, Sanada T., Watanabe M., Fukano T., Kariyasaki A. (2005), Behavior of a single coherent gas bubble chain and surrounding liquid jet flow structure, Chemical Engineering Science, Vol. 60, No. 17, Smolianski A. (2005), Finite-element/level-set/operatorsplitting (FELSOS) approach for computing two-fluid unsteady flows with free moving interfaces, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 48, Issue 3, Tritton D.J., Egdell C. (1993), Chaotic bubbling, Phys. Fluids A, 5, Tufaile A., Sartorelli J.C. (2000a), Hénon-like attractor in air bubble formation, Physics Letters A, 275, Tufaile A., Sartorelli J.C. (2000b), Chaotic behavior in bubble formation dynamics, Physica A, 275, Tufaile A., Sartorelli J.C. (2001), The circle map dynamics in air bubble formation, Physics Letters A, 287, Vazquez A., Manasseh R., Sánchez R.M., Metcalfe G. (2008), Experimental comparison between acoustic and pressure signals from a bubbling flow, Chemical Engineering Science, 63, Zhang L., Shoji M. (2001), Aperiodic Bubble Formation from a Submerged Orifice. Chemical Engineering and Science, Vol. 56, No.18, MODELLING OF SYNCHRONIZATION OF AIR BUBBLES DEPARTING FROM TWO NEIGHBOURING NOZZLES Abstract: Results of experimental investigation of interaction between bubble columns generated from two nozzles have been presented. The synchronization between departing bubbles has been observed for distance between nozzles equal to 5mm and bubble departure frequency equal to 30 Hz. The analysis of liquid flow regime between interacting bubbles has been made using the COMSOL Multiphysics program. The gas-liquid interface movement has been described using the level set method. The bubble departures from neighboring nozzles in the long period of time have been modeled using the set of ODE describing the changes of mass of gas in the gas supplying system. During the simulation, similarly to the experiment, the correlation between behaviors of two interacting chaotic systems has been observed. Praca finansowana w ramach grantu: Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego, N N
Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle
231 Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 7, nr 3-4, (2005), s. 231-236 Instytut Mechaniki Górotworu PAN Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle JERZY CYGAN Instytut Mechaniki Górotworu PAN,
Pomiar chaotycznego tworzenia się pęcherzyków gazu z zastosowaniem programu LabVIEW
Bi u l e t y n WAT Vo l. LXIII, Nr 3, 2014 Pomiar chaotycznego tworzenia się pęcherzyków gazu z zastosowaniem programu LabVIEW Ewelina Podgórni, Mariusz R. Rząsa, Ewa Ziemnicka Politechnika Opolska, Wydział
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Zadanie 1 Przez zwężkę o średnicy D = 0,2 m, d = 0,05 m przepływa woda o temperaturze t = 50 C. Obliczyć jakie ciśnienie musi panować w przekroju 1-1, aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji,
Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK
WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE
1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze
APARATURA BADAWCZA I DYDAKTYCZNA
APARATURA BADAWCZA I DYDAKTYCZNA Generator minipęcherzy w minikanale GRZEGORZ GÓRSKI, ROMUALD MOSDORF Politechnika Białostocka, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej Słowa kluczowe:
INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA ZAKŁAD GEOINŻYNIERII I REKULTYWACJI ĆWICZENIE NR 4 OKREŚLENIE WSPÓŁCZYNNIKA STRAT LOEKALNYCH
INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA ZAKŁAD GEOINŻYNIERII I REKULTYWACJI Laboratorium z mechaniki płynów ĆWICZENIE NR 4 OKREŚLENIE WSPÓŁCZYNNIKA STRAT LOEKALNYCH . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest doświadczalne
MODELOWANIE SYNCHRONIZACJI ODRYWANIA SIĘ PĘCHERZY GAZOWYCH Z DWÓCH SĄSIADUJĄCYCH CYLINDRYCZNYCH DYSZ
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 40, s. 179-186, Gliwice 2010 MODELOWANIE SYNCHRONIZACJI ODRYWANIA SIĘ PĘCHERZY GAZOWYCH Z DWÓCH SĄSIADUJĄCYCH CYLINDRYCZNYCH DYSZ ROMUALD MOSDORF, TOMASZ WYSZKOWSKI
Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
DYNAMIKA ŁUKU ZWARCIOWEGO PRZEMIESZCZAJĄCEGO SIĘ WZDŁUŻ SZYN ROZDZIELNIC WYSOKIEGO NAPIĘCIA
71 DYNAMIKA ŁUKU ZWARCIOWEGO PRZEMIESZCZAJĄCEGO SIĘ WZDŁUŻ SZYN ROZDZIELNIC WYSOKIEGO NAPIĘCIA dr hab. inż. Roman Partyka / Politechnika Gdańska mgr inż. Daniel Kowalak / Politechnika Gdańska 1. WSTĘP
Zwój nad przewodzącą płytą
Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której
MECHANIKA PŁYNÓW Płyn
MECHANIKA PŁYNÓW Płyn - Każda substancja, która może płynąć, tj. pod wpływem znikomo małych sił dowolnie zmieniać swój kształt w zależności od naczynia, w którym się znajduje, oraz może swobodnie się przemieszczać
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA Wydział Mechaniczny Katedra Pojazdów Mechanicznych i Transportu LABORATORIUM TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA Wydział Mechaniczny Katedra Pojazdów Mechanicznych i Transportu LABORATORIUM TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ Instrukcja do ćwiczenia T-06 Temat: Wyznaczanie zmiany entropii ciała
[ ] ρ m. Wykłady z Hydrauliki - dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne
WYKŁAD 1 1. WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne Płyn - ciało o module sprężystości postaciowej równym zero; do płynów zaliczamy ciecze i gazy (brak sztywności) Ciecz - płyn o małym współczynniku ściśliwości,
POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA
POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 1 Temat: Wyznaczanie współczynnika
. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest porównanie na drodze obserwacji wizualnej przepływu laminarnego i turbulentnego, oraz wyznaczenie krytycznej licz
ZAKŁAD MECHANIKI PŁYNÓW I AERODYNAMIKI ABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW ĆWICZENIE NR DOŚWIADCZENIE REYNODSA: WYZNACZANIE KRYTYCZNEJ ICZBY REYNODSA opracował: Piotr Strzelczyk Rzeszów 997 . Cel ćwiczenia Celem
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW
Ćwiczenie numer 2 Pomiar współczynnika oporu liniowego 1. Wprowadzenie Stanowisko służy do analizy zjawiska liniowych strat energii podczas przepływu laminarnego i turbulentnego przez rurociąg mosiężny
Statyka płynów - zadania
Zadanie 1 Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości. Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej siły
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 13: Współczynnik lepkości
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 13: Współczynnik lepkości Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika lepkości gliceryny metodą Stokesa, zapoznanie się z własnościami cieczy lepkiej. Literatura
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW
Ćwiczenie numer Pomiar współczynnika oporu liniowego 1. Wprowadzenie Stanowisko służy do analizy zjawiska liniowych strat energii podczas przepływu laminarnego i turbulentnego przez rurociąg mosiężny o
Statyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał
Statyka Cieczy i Gazów Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał 1. Podstawowe założenia teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał: Ciała zbudowane są z cząsteczek. Pomiędzy cząsteczkami
Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3
Andrzej J. Osiadacz Maciej Chaczykowski Łukasz Kotyński Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3 Andrzej J. Osiadacz, Maciej Chaczykowski, Łukasz Kotyński,
4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)
Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)185 4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu
Modelowanie i symulacja zagadnień biomedycznych PROJEKT BARTŁOMIEJ GRZEBYTA, JAKUB OTWOROWSKI
Modelowanie i symulacja zagadnień biomedycznych PROJEKT BARTŁOMIEJ GRZEBYTA, JAKUB OTWOROWSKI Spis treści Wstęp... 2 Opis problemu... 3 Metoda... 3 Opis modelu... 4 Warunki brzegowe... 5 Wyniki symulacji...
Zasady oceniania karta pracy
Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.
Materiały pomocnicze do laboratorium z przedmiotu Metody i Narzędzia Symulacji Komputerowej
Materiały pomocnicze do laboratorium z przedmiotu Metody i Narzędzia Symulacji Komputerowej w Systemach Technicznych Symulacja prosta dyszy pomiarowej Bendemanna Opracował: dr inż. Andrzej J. Zmysłowski
J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1
J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 Warstwa przyścienna jest to część obszaru przepływu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opływanego ciała. W warstwie przyściennej znaczącą rolę
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW
Ćwiczenie numer 3 Pomiar współczynnika oporu lokalnego 1 Wprowadzenie Stanowisko umożliwia wykonanie szeregu eksperymentów związanych z pomiarami oporów przepływu w różnych elementach rzeczywistych układów
Płyny newtonowskie (1.1.1) RYS. 1.1
Miniskrypt: Płyny newtonowskie Analizujemy cienką warstwę płynu zawartą pomiędzy dwoma równoległymi płaszczyznami, które są odległe o siebie o Y (rys. 1.1). W warunkach ustalonych następuje ścinanie w
Grupa 1 1.1). Obliczyć średnicę zastępczą przewodu o przekroju prostokątnym o długości boków A i B=2A wypełnionego wodą w 75%. Przewód ułożony jest w
Grupa 1 1.1). Obliczyć średnicę zastępczą przewodu o przekroju prostokątnym o długości boków A i B=2A wypełnionego wodą w 75%. Przewód ułożony jest w taki sposób, że dłuższy bok przekroju znajduje się
Ćw. M 12 Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa i za pomocą wiskozymetru Ostwalda.
Ćw. M 12 Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa i za pomocą wiskozymetru Ostwalda. Zagadnienia: Oddziaływania międzycząsteczkowe. Ciecze idealne i rzeczywiste. Zjawisko lepkości. Równanie
WYKŁAD 10 METODY POMIARU PRĘDKOŚCI, STRUMIENIA OBJĘTOŚCI I STRUMIENIA MASY W PŁYNACH
WYKŁAD 10 METODY POMIARU PRĘDKOŚCI, STRUMIENIA OBJĘTOŚCI I STRUMIENIA MASY W PŁYNACH Pomiar strumienia masy i strumienia objętości metoda objętościowa, (1) q v V metoda masowa. (2) Obiekt badań Pomiar
Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych
Ryszard Myhan Modelowanie zjawiska tarcia suchego Suwaka porusza się w poziomych prowadnicach, gdzie x=x(t) oznacza przesunięcie suwaka względem nieruchomej prowadnicy w kierunku zgodnym z kierunkiem siły
Podstawy fizyki wykład 5
Podstawy fizyki wykład 5 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Grawitacja Pole grawitacyjne Prawo powszechnego ciążenia Pole sił zachowawczych Prawa Keplera Prędkości kosmiczne Czarne
Aerodynamika i mechanika lotu
Prędkość określana względem najbliższej ścianki nazywana jest prędkością względną (płynu) w. Jeśli najbliższa ścianka porusza się względem ciał bardziej oddalonych, to prędkość tego ruchu nazywana jest
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW
Ćwiczenie numer 5 Wyznaczanie rozkładu prędkości przy przepływie przez kanał 1. Wprowadzenie Stanowisko umożliwia w eksperymentalny sposób zademonstrowanie prawa Bernoulliego. Układ wyposażony jest w dyszę
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA
ĆWICZENIE 8 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA Cel ćwiczenia: Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa
MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
4.2 Analiza fourierowska(f1)
Analiza fourierowska(f1) 179 4. Analiza fourierowska(f1) Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla sygnałów okresowych. Zagadnienia do przygotowania: szereg Fouriera; sygnał
ROZCHODZENIE SIĘ POWIERZCHNIOWYCH FAL LOVE A W FALOWODACH SPREśYSTYCH OBCIĄśONYCH NA POWIERZCHNI CIECZĄ LEPKĄ (NEWTONOWSKĄ)
1 ROZCHODZENIE SIĘ POWIERZCHNIOWYCH FAL LOVE A W FALOWODACH SPREśYSTYCH OBCIĄśONYCH NA POWIERZCHNI CIECZĄ LEPKĄ (NEWTONOWSKĄ) Dr hab. Piotr Kiełczyński, prof. w IPPT PAN, Dr inŝ. Andrzej Balcerzak, Mgr
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów
Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe
MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM
MECANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM Ćwiczenie nr 4 Współpraca pompy z układem przewodów. Celem ćwiczenia jest sporządzenie charakterystyki pojedynczej pompy wirowej współpracującej z układem przewodów, przy różnych
Destylacja z parą wodną
Destylacja z parą wodną 1. prowadzenie iele związków chemicznych podczas destylacji przy ciśnieniu normalnym ulega rozkładowi lub polimeryzacji. by możliwe było ich oddestylowanie należy wykonywać ten
Obliczenia polowe silnika przełączalnego reluktancyjnego (SRM) w celu jego optymalizacji
Akademia Górniczo Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Studenckie Koło Naukowe Maszyn Elektrycznych Magnesik Obliczenia polowe silnika
Ma x licz ba pkt. Rodzaj/forma zadania
KARTOTEKA TESTU I SCHEMAT OCENIANIA - szkoła podstawowa - etap rejonowy Nr zada nia Cele ogólne 1 I. Wykorzystanie pojęć i wielkości 2 III. Planowanie i przeprowadzanie obserwacji lub doświadczeń oraz
Rodzaj/forma zadania. Max liczba pkt. zamknięte 1 1 p. poprawna odpowiedź. zamknięte 1 1 p. poprawne odpowiedzi. zamknięte 1 1 p. poprawne odpowiedzi
KARTOTEKA TESTU I SCHEMAT OCENIANIA - gimnazjum - etap rejonowy Nr zada Cele ogólne nia 1 I. Wykorzystanie wielkości fizycznych 2 I. Wykorzystanie wielkości fizycznych 3 III. Wskazywanie w otaczającej
METODA ELEMENTÓW SKOŃOCZNYCH Projekt
METODA ELEMENTÓW SKOŃOCZNYCH Projekt Wykonali: Maciej Sobkowiak Tomasz Pilarski Profil: Technologia przetwarzania materiałów Semestr 7, rok IV Prowadzący: Dr hab. Tomasz STRĘK 1. Analiza przepływu ciepła.
PROFIL PRĘDKOŚCI W RURZE PROSTOLINIOWEJ
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Ćwiczenie N 7 PROFIL PRĘDKOŚCI W RURZE PROSTOLINIOWEJ . Cel ćwiczenia Doświadczalne i teoretyczne wyznaczenie profilu prędkości w rurze prostoosiowej 2. Podstawy teoretyczne:
J. Szantyr Wyklad nr 6 Przepływy laminarne i turbulentne
J. Szantyr Wyklad nr 6 Przepływy laminarne i turbulentne Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i turbulentnego, odkrył Osborne Reynolds (1842 1912) w swoim znanym eksperymencie
Człowiek najlepsza inwestycja FENIKS
Człowiek najlepsza inwestycja ENIKS - długofalowy program odbudowy, popularyzacji i wspomagania fizyki w szkołach w celu rozwijania podstawowych kompetencji naukowo-technicznych, matematycznych i informatycznych
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, INSTYTUT INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ I POMIAROWEJ LABORATORIUM POMIARÓW WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH I-21
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, INSTYTUT INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ I POMIAROWEJ LABORATORIUM POMIARÓW WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH I-21 Ćwiczenie nr 5. POMIARY NATĘŻENIA PRZEPŁYWU GAZÓW METODĄ ZWĘŻOWĄ 1. Cel ćwiczenia
1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH
1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH Ośrodki materialne charakteryzują dwa rodzaje różniących się zasadniczo od siebie wielkości fizycznych: globalne (ekstensywne) przypisane obszarowi przestrzeni fizycznej,
WIROWANIE. 1. Wprowadzenie
WIROWANIE 1. Wprowadzenie Rozdzielanie układów heterogonicznych w polu sił grawitacyjnych może być procesem długotrwałym i mało wydajnym. Sedymentacja może zostać znacznie przyspieszona, kiedy pole sił
W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie
Prędkości cieczy w rurce są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów rurki.
Spis treści 1 Podstawowe definicje 11 Równanie ciągłości 12 Równanie Bernoulliego 13 Lepkość 131 Definicje 2 Roztwory wodne makrocząsteczek biologicznych 3 Rodzaje przepływów 4 Wyznaczania lepkości i oznaczanie
Obliczenia osiągów dyszy aerospike przy użyciu pakietu FLUENT Michał Folusiaak
Obliczenia osiągów dyszy aerospike przy użyciu pakietu FLUENT Michał Folusiaak WSTĘP Celem przeprowadzonych analiz numerycznych było rozpoznanie możliwości wykorzystania komercyjnego pakietu obliczeniowego
METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Studia stacjonarne I stopnia PROJEKT ZALICZENIOWY METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Krystian Gralak Jarosław Więckowski
Modelowanie numeryczne oddziaływania pociągu na konstrukcje przytorowe
KRÓL Roman 1 Modelowanie numeryczne oddziaływania pociągu na konstrukcje przytorowe Aerodynamika, oddziaływania pociągu, metoda objętości skończonych, CFD, konstrukcje kolejowe Streszczenie W artykule
MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Oddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze.
Siły w przyrodzie Oddziaływania Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze. Występujące w przyrodzie rodzaje oddziaływań dzielimy na:
KONKURS FIZYCZNY dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 27 stycznia 2012 r. zawody II stopnia (rejonowe) Schemat punktowania zadań
Maksymalna liczba punktów 60 85% 5pkt KONKURS FIZYCZNY dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 7 stycznia 0 r. zawody II stopnia (rejonowe) Schemat punktowania zadań Uwaga!. Za poprawne rozwiązanie
Wykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne
Modele matematyczne procesów, podobieństwo i zmiana skali
Modele matematyczne procesów, podobieństwo i zmiana skali 20 kwietnia 2015 Zadanie 1 konstrukcji balonu o zadanej sile oporu w ruchu. Obiekt do konstrukcji (Rysunek 1) opisany jest następującą F = Φ(d,
prędkości przy przepływie przez kanał
Ćwiczenie numer 5 Wyznaczanie rozkładu prędkości przy przepływie przez kanał 1. Wprowadzenie Stanowisko umożliwia w eksperymentalny sposób zademonstrowanie prawa Bernoulliego. Układ wyposażony jest w dyszę
Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH
METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w
Ćwiczenie 3: Wyznaczanie gęstości pozornej i porowatości złoża, przepływ gazu przez złoże suche, opory przepływu.
1. Część teoretyczna Przepływ jednofazowy przez złoże nieruchome i ruchome Przepływ płynu przez warstwę luźno usypanego złoża występuje w wielu aparatach, np. w kolumnie absorpcyjnej, rektyfikacyjnej,
Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL
Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość
Ruch drgający i falowy
Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch
Laboratorium. Hydrostatyczne Układy Napędowe
Laboratorium Hydrostatyczne Układy Napędowe Instrukcja do ćwiczenia nr Eksperymentalne wyznaczenie charakteru oporów w przewodach hydraulicznych opory liniowe Opracowanie: Z.Kudżma, P. Osiński J. Rutański,
dn dt C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt Przepływ gazu Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A , p 1 , S , p 2 , S E C B
Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A, p 2, S E C B, p 1, S C [W] wydajność pompowania C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt dn dt dn / dt - ilość cząstek przepływających w ciągu
PROJEKT MES COMSOL MULTIPHYSICS 3.4
POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWY MASZYN I ZARZĄDZANIA PROJEKT MES COMSOL MULTIPHYSICS 3.4 Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. nadz. Wykonali: Dawid Weremiuk Dawid Prusiewicz Kierunek: Mechanika
2. Zapoczątkowanie kawitacji. - formy przejściowe. - spadek sprawności maszyn przepływowych
J. A. Szantyr Wykład 22: Kawitacja Podstawy fizyczne Konsekwencje hydrodynamiczne 1. Definicja kawitacji 2. Zapoczątkowanie kawitacji 3. Formy kawitacji - kawitacja laminarna - kawitacja pęcherzykowa -
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Zadanie 1. Zadanie 2.
Zadanie 1. Określić nadciśnienie powietrza panujące w rurociągu R za pomocą U-rurki, w której znajduje się woda. Różnica poziomów wody w U-rurce wynosi h = 100 cm. Zadanie 2. Określić podciśnienie i ciśnienie
Spis treści. Wykaz ważniejszych oznaczeń. Przedmowa 15. Wprowadzenie Ruch falowy w ośrodku płynnym Pola akustyczne źródeł rzeczywistych
Spis treści Wykaz ważniejszych oznaczeń u Przedmowa 15 Wprowadzenie 17 1. Ruch falowy w ośrodku płynnym 23 1.1. Dźwięk jako drgania ośrodka sprężystego 1.2. Fale i liczba falowa 1.3. Przestrzeń liczb falowych
Projekt Metoda Elementów Skończonych. COMSOL Multiphysics 3.4
Projekt Metoda Elementów Skończonych w programie COMSOL Multiphysics 3.4 Wykonali: Dawid Trawiński Wojciech Sochalski Wydział: BMiZ Kierunek: MiBM Semestr: V Rok: 2015/2016 Prowadzący: dr hab. inż. Tomasz
J. Szantyr Wykład nr 26 Przepływy w przewodach zamkniętych II
J. Szantyr Wykład nr 6 Przepływy w przewodach zamkniętych II W praktyce mamy do czynienia z mniej lub bardziej złożonymi rurociągami. Jeżeli strumień płynu nie ulega rozgałęzieniu, mówimy o rurociągu prostym.
09 - Dobór siłownika i zaworu. - Opór przepływu w przewodzie - Dobór rozmiaru zaworu - Dobór rozmiaru siłownika
- Dobór siłownika i zaworu - Opór przepływu w przewodzie - Dobór rozmiaru zaworu - Dobór rozmiaru siłownika OPÓR PRZEPŁYWU W ZAWORZE Objętościowy współczynnik przepływu Qn Przepływ oblicza się jako stosunek
Politechnika Poznańska
Poznań, 19.01.2013 Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika i Budowa Maszyn Technologia Przetwarzania Materiałów Semestr 7 METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH PROJEKT Prowadzący: dr
DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE. ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej
LABORATORIUM POMIARY W AKUSTYCE ĆWICZENIE NR 4 Pomiar współczynników pochłaniania i odbicia dźwięku oraz impedancji akustycznej metodą fali stojącej 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody
Ćwiczenie laboratoryjne Parcie wody na stopę fundamentu
Ćwiczenie laboratoryjne Parcie na stopę fundamentu. Cel ćwiczenia i wprowadzenie Celem ćwiczenia jest wyznaczenie parcia na stopę fundamentu. Natężenie przepływu w ośrodku porowatym zależy od współczynnika
Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych.
Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie ma następujące części: 1 Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma, metoda najmniejszych kwadratów. 2 Pomiar średnicy pręta.
KARTOTEKA TESTU I SCHEMAT OCENIANIA - szkoła podstawowa - etap wojewódzki. Ma x licz ba pkt. Rodzaj/forma zadania. zamknięte 1 1 p. poprawna odpowiedź
Nr zada nia Cele ogólne 1 I. Wykorzystanie pojęć i 2 I. Wykorzystanie pojęć i 3 I. Wykorzystanie pojęć i 4 I. Wykorzystanie pojęć i 5 II. Rozwiązywanie problemów Cele szczegółowe IX.4. Uczeń posługuje
Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów. Schemat punktowania zadań
1 KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów 18 stycznia 018 r. zawody II stopnia (rejonowe) Schemat punktowania zadań Maksymalna liczba punktów 60. 85% 51pkt. Uwaga! 1. Za poprawne rozwiązanie
SPRĘŻ WENTYLATORA stosunek ciśnienia statycznego bezwzględnego w płaszczyźnie
DEFINICJE OGÓLNE I WIELKOŚCI CHARAKTERYSTYCZNE WENTYLATORA WENTYLATOR maszyna wirnikowa, która otrzymuje energię mechaniczną za pomocą jednego wirnika lub kilku wirników zaopatrzonych w łopatki, użytkuje
POMIAR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONANSU I METODĄ SKŁADANIA DRGAŃ WZAJEMNIE PROSTOPADŁYCH
Ćwiczenie 5 POMIR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONNSU I METODĄ SKŁDNI DRGŃ WZJEMNIE PROSTOPDŁYCH 5.. Wiadomości ogólne 5... Pomiar prędkości dźwięku metodą rezonansu Wyznaczanie prędkości dźwięku metodą
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA. Poszukiwanie optymalnej średnicy rurociągu oraz grubości izolacji
POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA Instytut Maszyn Cieplnych Optymalizacja Procesów Cieplnych Ćwiczenie nr 3 Poszukiwanie optymalnej średnicy rurociągu oraz grubości izolacji Częstochowa 2002 Wstęp. Ze względu
Warunki izochoryczno-izotermiczne
WYKŁAD 5 Pojęcie potencjału chemicznego. Układy jednoskładnikowe W zależności od warunków termodynamicznych potencjał chemiczny substancji czystej definiujemy następująco: Warunki izobaryczno-izotermiczne
KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów. Schemat punktowania zadań
KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów 9 stycznia 05 r. zawody II stopnia (rejonowe) Schemat punktowania zadań Maksymalna liczba punktów 60 85% 5pkt Uwaga!. Za poprawne rozwiązanie zadania
Metoda Elementów Skończonych
Projekt Metoda Elementów Skończonych w programie COMSOL Multiphysics 3.4 Wykonali: Helak Bartłomiej Kruszewski Jacek Wydział, kierunek, specjalizacja, semestr, rok: BMiZ, MiBM, KMU, VII, 2011-2012 Prowadzący:
Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
ANALIZA PRZEKAZYWANIA CIEPŁA I FORMOWANIA SIĘ PROFILU TEMPERATURY DLA NIEŚCIŚLIWEGO, LEPKIEGO PRZEPŁYWU LAMINARNEGO W PRZEWODZIE ZAMKNIĘTYM Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie obserwacja procesu formowania
MODELOWANIE WSPÓŁZALEŻNOŚCI PARAMETRÓW FAZY KOŃCOWEJ DOJU MASZYNOWEGO KRÓW
Problemy Inżynierii Rolniczej nr 4/2007 Henryk Juszka, Stanisław Lis, Marcin Tomasik, Piotr Jezierski Katedra Energetyki Rolniczej Akademia Rolnicza w Krakowie MODELOWANIE WSPÓŁZALEŻNOŚCI PARAMETRÓW FAZY
Aparatura Chemiczna i Biotechnologiczna Projekt: Filtr bębnowy próżniowy
Aparatura Chemiczna i Biotechnologiczna Projekt: Filtr bębnowy próżniowy Opracowanie: mgr inż. Anna Dettlaff Obowiązkowa zawartość projektu:. Strona tytułowa 2. Tabela z punktami 3. Dane wyjściowe do zadania