Matematyczne Podstawy Informatyki



Podobne dokumenty
Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyka dyskretna

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

TEORIA GRAFÓW I SIECI

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

Algorytmiczna teoria grafów

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Digraf. 13 maja 2017

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Graf. Definicja marca / 1

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Algorytmiczna teoria grafów

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

TEORIA GRAFÓW I SIECI

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

1 Automaty niedeterministyczne

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

Matematyczne Podstawy Informatyki

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

Kolorowanie wierzchołków

Podstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje. Plan. Wstęp. Teoria grafów Graf skierowany. Notatki. Notatki. Notatki. Notatki.

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

Ogólne wiadomości o grafach

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Matematyczne podstawy informatyki Mathematical Foundations of Computational Sciences. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

AiSD zadanie trzecie

Matematyczne Podstawy Informatyki

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka

Algorytmy z powracaniem

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyczne Podstawy Informatyki

Algebra liniowa z geometrią

Opracowanie prof. J. Domsta 1

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

TEORIA GRAFÓW I SIECI

Z-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics. Przedmiot podstawowy Wybieralny polski Semestr III

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

Matematyczne Podstawy Informatyki

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zbiory wypukłe i stożki

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

1 Macierze i wyznaczniki

1 Zbiory i działania na zbiorach.

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

10. Kolorowanie wierzchołków grafu

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Teoria grafów dla małolatów

Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa

10. Wstęp do Teorii Gier

Opis przedmiotu: Badania operacyjne

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów

Metody numeryczne Wykład 4

Transkrypt:

Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014

Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój 144. 2. Ćwiczenia tablicowe: dwa kolokwia w ciągu semestru, kolokwium zbiorcze na ostatnich zajęciach. 3. Wykład: test na przedostatnich zajęciach, wpisy i kolokwium poprawkowe na zajęciach ostatnich.

Zakres materiału 1. Wprowadzenie do teorii grafów 2. Języki formalne 3. Automaty skończone 4. Elementy teorii obliczeń 5. Elementy kombinatoryki

Wprowadzenie do teorii grafów 1. Mapy drogowe 2. Sieci komputerowe 3. Dokumenty hipertekstowe 4. Obwody elektryczne, hydrauliczne itp. 5. Struktura programu

Grafy prosty, ogólny i digraf Grafy Graf prosty to niepusty zbiór skończony wierzchołków V (G) i skończony zbiór krawędzi E(G) łączących pary tych wierzchołków. Określoną parę wierzchołków łączy co najwyżej jedna krawędź. Graf, w którym dopuszczalne jest występowanie więcej niż jednej krawędzi łączącej dwa wierzchołki a także krawędzie łączące wierzchołek ze samym sobą (pętle) to graf ogólny. Graf skierowany (digraf) to niepusty, skończony zbiór wierzchołków (V (D)) i skończona rodzina A(D) par uporządkowanych elementów ze zbioru V (D) (pary te są często nazywane łukami).

Grafy prosty

Grafy ogólny

Graf skierowany - digraf

Dalsze definicje Stopień wierzchołka to liczba krawędzi wychodzących z danego wierzchołka. Trasa (ścieżka) jest to linia, po której można przejść z jednego wierzchołka do innego. Droga (ścieżka prosta) to taka trasa na której żaden wierzchołek nie występuje więcej niż raz. Cykl to taka droga, w której pierwszy i ostatni wierzchołek są takie same.

Przykłady grafów Graf pusty - graf, w którym zbiór krawędzi jest zbiorem pustym, każdy wierzchołek jest w nim izolowany. Oznaczany jest symbolem N n, gdzie n jest liczbą wierzchołków.

Przykłady grafów Graf pełny - graf, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią. Oznaczany jest symbolem K n, gdzie n jest liczbą wierzchołków.

Przykłady grafów Grafe cykliczny - to graf spójny, regularny stopnia 2 (oznaczany C n, gdzie n jest liczbą wierzchołków). Jeżeli zostanie usunięta jedna krawędź z grafu cyklicznego to powstanie graf liniowy (oznaczany P n, gdzie n jest liczbą wierzchołków). Jeżeli zostanie utwrzony graf z grafu C n 1 poprzez wstawienie jednego wierzchołka i połączenie go z wszystkimi pozostałymi to powstanie graf nazywany kołem (oznaczany W n, gdzie n jest liczbą wierzchołków).

Przykłady grafów Graf regularny - graf, w którym każdy wierzchołek ma ten sam stopień. Grafem regularnym stopnia r (grafem r-regularnym) nazywany jest graf, w którym każdy wierzchołek ma stopień r.

Przykłady grafów Graf dwudzielny - graf, w którym zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory, tak aby każda krawędź łączyła parę wierzchołków wziętych z jednego i drugiego zbioru. Oznaczany jest K m,n, gdzie m to liczba wierzchołków czarnych a n białych (na rysunku jest graf K 2,3 ).

Izomorfizm Izomorficzność grafów Grafy są izomorficzne jeżeli istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy ich wierzchołkami taka, że liczba krawędzi łączących dane dwa wierzchołki z jednego grafu jest równa liczbie krawędzi łączących odpowiadające im wierzchołki z drugiego grafu.

Izomorfizm

Spójność Istnieje możliwość połączenia dwóch grafów, jeżeli oznaczy się pierwszy graf jako G 1 natomiast drugi jako G 2 i założy się, że zbiory ich wierzchołków są rozłączne to można wówczas przedstawić graf, którego wierzchołki i krawędzie będą wierzchołkami i krawędziami z obu grafów. Graf jest spójny, gdy nie można go przedstawić w postaci sumy grafów (w przeciwnym razie jest niespójny).

Sąsiedztwo Dwa wierzchołki grafu G - x i y są sąsiednie, jeżeli istnieje krawędź xy, która je łączy (x i y są incydentne z tą krawędzią). Dwie krawędzie są sąsiednie jeśli mają wspólny wierzchołek.

Podgrafy Podgraf Podgraf grafu G to graf, którego wszystkie wierzchołki należą do V (G), a krawędzie należą do E(G).

Reprezentacja macierzowa Reprezentacja w postaci rysunku nie jest zawsze wygodna, szczególnie, gdy istnieje potrzeba przechowywania dużych grafów. Graf można przestawić w postaci macierzy sąsiedztwa o wymiarze n n (n jest liczbą wierzchołków), każda komórka z wiersza i-tego i j-tej kolumny tej tablicy pokazuje ile jest krawędzi łączących i z j. Można również przedstawienie macierzy incydencji. Komórka z wiersz i-tego i j-tej kolumny w tej macierzy pokazuje czy wierzchołek i jest incydentny z krawędzią j (zazwyczaj wpisuje się 1 jeśli jest albo 0 jeśli nie jest).

Reprezentacja macierzowa 1 1 2 6 5 7 2 4 M = 4 A = 3 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 0 1 1 2 1 1 3 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

Reprezentacja grafów w postaci komputerowej 1. Przykład prezentuje graf zapisany za pomocą języka C++. 2. Zaimplementowano klasę Graph. 3. Graf jest przechowywany w pamięci komputera jako wektor wektorów liczb całkowitych dodatnich. 4. W celu oszczędzenia pamięci przechowywana jest w pamięci górna macierz trójkątna (dlaczego jest to możliwe?).

Literatura Do napisania materiałów wykorzystano: 1. R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów, PWN 2008 2. R. Sedgewick Algorytmy w C++ - grafy, Wydawnictwo RM 2003