Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ."

Transkrypt

1 Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet wierzchołkowych, ϕ: V Σ - funkcja etykietowania wierzchołków. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ. Dla g = (V, E, Σ, ϕ) graf nieetykietowany zwany grafem podstawowym h = (V, E) otrzymujemy przez usunięcie etykiet wierzchołkowych, oznaczamy und(h) (underlying graph). Def. Gramatyka grafowa jest piątką G= (V, Σ, P, C, X), gdzie: V alfabet ogólny gramatyki, Σ alfabet terminalny, P zbiór produkcji C transformacja osadzenia, X G Σ graf początkowy zwany aksjomatem. Def. Produkcja gramatyki grafowej jest uporządkowaną parą π=(α,β), α- lewa strona π, β- prawa strona π, (α β) Przepisanie w grafie g za pomocą produkcji α β: 1) znaleźć podgraf α w g izomorficzny z α (α musi być podgrafem indukowanym przez wierzchołki α tzn. jeśli

2 wierzchołki x, y α i (x,y) jest krawędzią g to (x,y) α ) α graf matka, 2) ustalić obszar osadzenia (embedding area) podzbiór wierzchołków reszty grafu. ZaleŜy on od rozwaŝanej gramatyki wierzchołki, które będą połączone z wstawianym grafem, 3) usunąć α z g (wraz krawędziami incydentnymi z wierzchołkami α ), 4) zastąpić α przez β izomorficzny z β. β graf córka. Wierzchołki β muszą być rozłączne z wierzchołkami g-α (aby uniknąć niewłaściwej identyfikacji), 5) osadzić β w g-α poprzez dodanie krawędzi pomiędzy niektórymi wierzchołkami β i obszaru osadzenia. Osadzenie zaleŝy od typu uŝywanej gramatyki grafowej Def. g bezpośrednio wyprowadza h za pomocą π, g h, jeśli h jest otrzymywane z g w 5 powyŝszych krokach. Def. P- zbiór produkcji, g wyprowadza h za pomocą P albo g=h albo n 1 i ciąg grafów g 0, g 1,, g n, taki, Ŝe g 0 = g, g n = h i 1 i n, g i-1 bezpośrednio generuje g i za pomocą π i P (g * h). W takiej gramatyce grafowej nie ma warunków stosowalności, czyli kaŝdy podgraf g izomorficzny z lewą stroną produkcji moŝe być grafem matką. Wywód jest sekwencyjny, w bezpośrednim wyprowadzeniu przepisywany jest tylko jeden podgraf g.

3 Np. π 1 : Osadzenie: dodajemy krawędź (x,y), x β, y EA x i y są stopnia trzeciego i mają tę samą etykietę. Gramatyka grafowa NLC (node-label controlled) jest gramatyką grafową gdzie: 1) lewa strona produkcji jest grafem jednowierzchołkowym, 2) obszar osadzenia wszystkie wierzchołki reszty grafu incydentne z grafem matką, 3) osadzenie określone poprzez binarną relację C na zbiorze etykiet wierzchołków (connection relation). Dla kaŝdej pary etykiet (σ 1, σ 2 ) C dodawana jest krawędź (x, y) pomiędzy kaŝdym wierzchołkiem x grafu wstawianego etykietowanym σ 1 i kaŝdym wierzchołkiem y obszaru osadzenia etykietowanym przez σ 2. Produkcję moŝemy zapisać jako: σ β, gdzie σ - etykieta wierzchołka lewej strony (lewa strona ma tylko jeden wierzchołek). Gramatyka NLC wybór grafu matki i ustalenie krawędzi osadzenia zaleŝy tylko od etykiet wierzchołków.

4 Def. NLC gramatyka grafowa jest systemem G=(Σ,, P, C, Z), gdzie: Σ - skończony niepusty zbiór zwany alfabetem ogólnym, - niepusty podzbiór Σ zwany alfabetem terminalnym, P skończony zbiór produkcji będących parami postaci (σ, α), σ Σ, α G Σ, C podzbiór Σ Σ - relacja połączeń, Z G Σ - aksjomat. Język generowany przez NLC gramatykę grafową. Def. G=(Σ,, P, C, Z) gramatyka grafowa NLC. 1) Język wyczerpujący dla G: S(G) = {g G Σ Z * g} 2) Język terminalny dla G: L(G) = {g G Z * g} 3) Język spójny dla G: L con (G) = {g G Z * g i g jest spójny} 4) Nieetykietowany język dla G: und(l(g)) = {und(g) g L(G)} Np. Gramatyka NLC G=(Σ,, P, C, Z), gdzie: = {a, a, b, b, c, c, d, d }, Σ = {S, S }, P i C jak w poprzednim przykładzie, Z = g z poprzedniego przykładu. Ograniczony przypadek przepisywania wierzchołków: graf usuwany składa się tylko z jednego wierzchołka. Jeśli osadzenie wykonane jest takŝe w sposób lokalny (poprzez połączenie grafu wstawianego z wierzchołkami pozostałej części, które są blisko usuwanego wierzchołka) to jest to lokalna transformacja grafowa. Gramatyki grafowe oparte na przepisywaniu wierzchołków iteracja transformacji lokalnych prowadzi do globalnej transformacji grafu.

5 Zastępowanie wierzchołków definiuje skończony zbiór produkcji, a mechanizm osadzenia skończona liczba instrukcji połączeń. Produkcje i instrukcje łączone są w reguły przepisywania. KaŜda taka reguła składa się z jednej produkcji i skończonej liczby instrukcji połączeń. Gramatyki NLC przepisywane są nieskierowane grafy o etykietowanych wierzchołkach. Proces przepisywania jest lokalny (w osadzeniu rozwaŝane są tylko wierzchołki sąsiednie dla usuwanego wierzchołka). Instrukcje połączeń są uporządkowanymi parami relacja połączeń ((δ, µ) stwórz krawędź między kaŝdym wierzchołkiem wstawianego grafu o etykiecie δ i kaŝdym wierzchołkiem o etykiecie µ w sąsiedztwie usuwanego wierzchołka). Np. Produkcja: Osadzenie {(a,c), (b,b), (A, b)} Niech ciąg α 1,...,α n, α i (terminalne), n 1 oznacza nieskierowany graf etykietowany wierzchołkowo z wierzchołkami x 1,...,x n i krawędziami {x i, x i+1 }, 1 i n-1, gdzie x i ma etykietę α i 1 i n. α oznacza graf jednowierzchołkowy z etykietą α. Np. G=(Σ,, P, C, Z), L(G)= {(abc) + z krawędziami między wszystkimi wierzchołkami o etykiecie b}. Σ = {A, a, b, c}, = {a, b, c}, C= {(a,c),(b,b),(a,b)}, Z = A, P: produkcja powyŝsza i A abc. Pośrednie wyprowadzane grafy mają postać (abc)*a z dodatkowymi krawędziami między wszystkimi wierzchołkami A i b.

6 Gramatyka grafowa NLC jest bezkontekstowa, reguły działają lokalnie (jeden wierzchołek po lewej stronie) i nie ma predykatów stosowalności. Ogólnie nie posiada jednak (w przeciwieństwie do ciągowych gramatyk bezkontekstowych) własności zapewniającej, Ŝe wynik wywodu jest niezaleŝny od kolejności stosowania produkcji (własność ta zapewnia istnienie drzew wywodu odzwierciedlających rekursywną naturę gramatyk bezkontekstowych). Gramatyka grafowa posiadająca tę własność jest gramatyką niezaleŝną od kolejności. Np. Graf początkowy S, S AB, A a, B b. Jako gramatyka ciągowa ma 1 drzewo wywodu. L(G)={ab}. Niech C={(a,B), (b, a)}. L(G) = {ab, g}, g jest grafem z dwoma wierzchołkami bez krawędzi. g powstaje jeśli najpierw zastosujemy B b, a potem A a, ab jeśli zastosujemy produkcje w odwrotnej kolejności. Jedno drzewo wyprowadzenia, ale dwa sposoby przechodzenia po nim. NiezaleŜność od porządku jest własnością rozstrzygalną. MoŜna nałoŝyć na gramatykę ograniczenia zapewniające tę niezaleŝność. Np. ograniczenie graniczne Gramatyka grafowa B-NLC nie ma dwóch wierzchołków o etykietach nieterminalnych połączonych krawędzią (w grafie początkowym i prawych stronach produkcji). Gramatyka generująca język {(abc) + z krawędziami między wszystkimi wierzchołkami o etykiecie b} jest gramatyką B-NLC a nawet jest liniowa (tylko jeden nieterminal). Cecha gramatyki NLC: jeśli w wywodzie dostaniemy graf pośredni z wierzchołkami x i y nie połączonymi krawędzią to w dalszym procesie wywodu Ŝaden

7 wierzchołek pochodzący od x nigdy nie będzie połączony z Ŝadnym wierzchołkiem pochodzącym od y. Połączenia mogą być usuwane ale nie ponownie dodawane. Gramatyka B-NLC zapewnia, Ŝe w kaŝdym grafie pośrednim wierzchołki o etykietach nieterminalnych nie są połączone - stąd wywód nie zaleŝy od kolejności stosowania produkcji. Rozszerzenia gramatyk grafowych 1) Odwołanie w instrukcji połączeń do poszczególnych wierzchołków prawych stron produkcji. Instrukcja ma postać (x, µ), x wierzchołek prawej strony ma być połączony z wierzchołkami etykietowanymi przez µ w sąsiedztwie usuwanego wierzchołka. Np. Zastępujemy wierzchołek m grafem: moŝemy mieć (x,b) albo (y,b) (choć x i y mają taką samą etykietę). Taka gramatyka to NCE gramatka grafowa (neighbourhood controlled embedding) lokalny proces osadzenia. NCE gramatyka generuje taką samą klasę języków grafowych jak gramatyka NLC.

8 Def. NCE gramatyka grafowa jest systemem G = (Σ,, Z, R), gdzie: Σ,, Z zdefiniowane jak poprzednio, R skończony zbiór reguł postaci (A d, C), gdzie A d produkcja, C relacja połączenia dla d, czyli C V d Σ, V d - zbiór wierzchołków d. 2) Rozszerzamy dziedzinę przepisywania grafów na grafy skierowane i grafy posiadające etykietowane krawędzie. Graf skierowany zamiast relacji połączeń C uŝywamy dwóch relacji połączeń C in, C out dla krawędzi wchodzących i wychodzących z usuwanego wierzchołka. Instrukcja (δ, µ) C out oznacza, Ŝe osadzenie powinno wprowadzić krawędź od kaŝdego wierzchołka o etykiecie δ wstawianego grafu do kaŝdego wierzchołka o etykiecie µ w sąsiedztwie usuwanego wierzchołka m, do którego dochodziła krawędź z m. (δ, µ) C in nowa krawędź od kaŝdego wierzchołka µ w sąsiedztwie usuwanego wierzchołka m, od którego dochodziła krawędź do m, do kaŝdego wierzchołka δ w nowym grafie. Gramatyka zachowuje skierowanie, krawędzie wchodzące do wierzchołka m są zastępowane krawędziami wchodzącymi do grafu d, a wychodzące z m wychodzącymi z grafu d. Skierowanie krawędzi i ich etykietowanie w grafie pozwala rozróŝniać wierzchołki o takich samych etykietach naleŝące do sąsiedztwa m.

9 Np. Zastępując m, proces osadzenia moŝe róŝnić wierzchołki x i y gdyŝ prowadzące do nich krawędzie mają róŝne etykiety (nie moŝna rozróŝniać po nazwach wierzchołków bo nie wiadomo ile ich będzie). W ten sposób sąsiedztwo m moŝna podzielić na kilka róŝnych typów, w zaleŝności od etykiet krawędziowych. Osadzenie moŝe zmieniać typ tego sąsiedztwa. Instrukcja połączenia postaci (δ, q, µ, p), gdzie q i p są etykietami krawędzi a δ i µ etykietami wierzchołków oznacza, Ŝe osadzenie powinno wprowadzić krawędź etykietowaną q między kaŝdym wierzchołkiem o etykiecie δ wstawianego grafu i wierzchołkiem o etykiecie µ w sąsiedztwie m połączonego z µ krawędzią etykietowaną p (p-sąsiedztwo). Mamy gramatyki dnlc, enlc, ednlc, d oznacza grafy skierowane, e osadzenie sterowane przez etykiety krawędziowe.

Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego. Gramatyka

Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego. Gramatyka Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G =

Bardziej szczegółowo

Gramatyki rekursywne

Gramatyki rekursywne Gramatyki bezkontekstowe, rozbiór gramatyczny eoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyki rekursywne Niech będzie dana gramatyka bezkontekstowa G =

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego

2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego 2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

Gramatyka operatorowa

Gramatyka operatorowa Gramatyki z pierwszeństwem operatorów Teoria kompilacji Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka operatorowa Definicja: G = G BK jest gramatyką operatorową (i) (ii) G jest gramatyką

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie CP-grafów do generacji siatek

Zastosowanie CP-grafów do generacji siatek Zastosowanie CP-grafów do generacji siatek 1 Cel zajęć Celem zajęć jest praktyczne zaznajomienie się z pojęciem CP-grafu i gramatyk grafowych, przy pomocy których można je tworzyć i nimi manipulować. Jako

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4

Wykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4 Wykład Drzewa zbalansowane AVL i -3-4 Drzewa AVL Wprowadzenie Drzewa AVL Definicja drzewa AVL Operacje wstawiania i usuwania Złożoność obliczeniowa Drzewa -3-4 Definicja drzewa -3-4 Operacje wstawiania

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową

Bardziej szczegółowo

Gramatyki atrybutywne

Gramatyki atrybutywne Gramatyki atrybutywne, część 1 (gramatyki S-atrybutywne Teoria kompilacji Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyki atrybutywne Do przeprowadzenia poprawnego tłumaczenia, oprócz informacji

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Języki, automaty i obliczenia

Języki, automaty i obliczenia Języki, automaty i obliczenia Wykład 12: Gramatyki i inne modele równoważne maszynom Turinga. Wstęp do złożoności obliczeniowej Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 20 maja 2015 Plan 1 Gramatyki 2 Języki

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Programowanie w Logice Gramatyki metamorficzne. Przemysław Kobylański na podstawie [CM2003] i [SS1994]

Programowanie w Logice Gramatyki metamorficzne. Przemysław Kobylański na podstawie [CM2003] i [SS1994] Programowanie w Logice Gramatyki metamorficzne Przemysław Kobylański na podstawie [CM2003] i [SS1994] Gramatyki bezkontekstowe Gramatyką bezkontekstową jest uporządkowana czwórka G = Σ, N, S, P, gdzie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Indukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3

Indukowane Reguły Decyzyjne I. Wykład 3 Indukowane Reguły Decyzyjne I Wykład 3 IRD Wykład 3 Plan Powtórka Grafy Drzewa klasyfikacyjne Testy wstęp Klasyfikacja obiektów z wykorzystaniem drzewa Reguły decyzyjne generowane przez drzewo 2 Powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 1

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 1 Języki formalne i automaty Ćwiczenia Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... Wstęp teoretyczny... 2 Wprowadzenie do teorii języków formalnych... 2 Gramatyki... 5 Rodzaje gramatyk... 7 Zadania...

Bardziej szczegółowo

Hierarchia Chomsky ego

Hierarchia Chomsky ego Hierarchia Chomsky ego Gramatyki nieograniczone Def. Gramatyką nieograniczoną (albo typu 0) nazywamy uporządkowaną czwórkę G= gdzie: % Σ - skończony alfabet symboli końcowych (alfabet, nad którym

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programowania języki i gramatyki formalne. dr hab. inż. Mikołaj Morzy

Wprowadzenie do programowania języki i gramatyki formalne. dr hab. inż. Mikołaj Morzy Wprowadzenie do programowania języki i gramatyki formalne dr hab. inż. Mikołaj Morzy plan wykładu wprowadzenie gramatyki podstawowe definicje produkcje i drzewa wywodu niejednoznaczność gramatyk hierarchia

Bardziej szczegółowo

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 4

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 4 Języki formalne i automaty Ćwiczenia 4 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Sposób tworzenia deterministycznego automatu skończonego... 4 Intuicyjne rozumienie konstrukcji

Bardziej szczegółowo

JĘZYKIFORMALNE IMETODYKOMPILACJI

JĘZYKIFORMALNE IMETODYKOMPILACJI Stefan Sokołowski JĘZYKIFORMALNE IMETODYKOMPILACJI Inst. Informatyki Stosowanej, PWSZ Elbląg, 2009/2010 JĘZYKI FORMALNE reguły gry Wykład1,2X2009,str.1 Zasadnicze informacje: http://iis.pwsz.elblag.pl/

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Języki i gramatyki formalne

Języki i gramatyki formalne Języki i gramatyki formalne Języki naturalne i formalne Cechy języka naturalnego - duża swoboda konstruowania zdań (brak ścisłych reguł gramatycznych), duża ilość wyjątków. Języki formalne - ścisły i jednoznaczny

Bardziej szczegółowo

Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}

Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11} Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy

Bardziej szczegółowo

(j, k) jeśli k j w przeciwnym przypadku.

(j, k) jeśli k j w przeciwnym przypadku. Zadanie 1. (6 punktów) Rozważmy język słów nad alfabetem {1, 2, 3}, w których podciąg z pozycji parzystych i podciąg z pozycji nieparzystych są oba niemalejące. Na przykład 121333 należy do języka, a 2111

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów dłoni za pomocą gramatyk klasy ETPL(k) w systemach wizyjnych analizy języka migowego.

Rozpoznawanie obrazów dłoni za pomocą gramatyk klasy ETPL(k) w systemach wizyjnych analizy języka migowego. Rozpoznawanie obrazów dłoni za pomocą gramatyk klasy ETPL(k) w systemach wizyjnych analizy języka migowego. Autor: Afiliacja: Promotor pracy: Recenzenci: mgr inŝ. Szymon Myśliński Katedra Systemów Informatycznych

Bardziej szczegółowo

Lingwistyka Matematyczna Języki formalne i gramatyki Analiza zdań

Lingwistyka Matematyczna Języki formalne i gramatyki Analiza zdań Katedra Informatyki Stosowanej Politechnika Łódzka Lingwistyka Matematyczna Języki formalne i gramatyki Analiza zdań dr hab. inŝ. Lidia Jackowska-Strumiłło Historia rozwoju języków programowania 1955 1955

Bardziej szczegółowo

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie 7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach

Bardziej szczegółowo

JĘZYKI FORMALNE I METODY KOMPILACJI

JĘZYKI FORMALNE I METODY KOMPILACJI Stefan Sokołowski JĘZYKI FORMALNE I METODY KOMPILACJI Inst Informatyki Stosowanej, PWSZ Elbląg, 2015/2016 JĘZYKI FORMALNE reguły gry Wykład1,str1 Zasadnicze informacje: http://iispwszelblagpl/ stefan/dydaktyka/jezform

Bardziej szczegółowo

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 3

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 3 Języki formalne i automaty Ćwiczenia 3 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Algorytm LL(1)... 2 Definicja zbiorów FIRST1 i FOLLOW1... 3 Konstrukcja tabeli parsowania

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewa AVL i 2-3-4

Wykład 8. Drzewa AVL i 2-3-4 Wykład 8 Drzewa AVL i 2-3-4 1 Drzewa AVL Ø Drzewa AVL Definicja drzewa AVL Operacje wstawiania i usuwania Złożoność obliczeniowa Ø Drzewa 2-3-4 Definicja drzewa 2-3-4 Operacje wstawiania i usuwania Złożoność

Bardziej szczegółowo

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

KaŜdemu atrybutowi A przyporządkowana jest dziedzina Dom(A), czyli zbiór dopuszczalnych wartości.

KaŜdemu atrybutowi A przyporządkowana jest dziedzina Dom(A), czyli zbiór dopuszczalnych wartości. elacja chemat relacji chemat relacji jest to zbiór = {A 1,..., A n }, gdzie A 1,..., A n są artybutami (nazwami kolumn) np. Loty = {Numer, kąd, Dokąd, Odlot, Przylot} KaŜdemu atrybutowi A przyporządkowana

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Definicja układu kombinacyjnego była stosunkowo prosta -tabela prawdy. Opis układu sekwencyjnego jest zadaniem bardziej złożonym.

Definicja układu kombinacyjnego była stosunkowo prosta -tabela prawdy. Opis układu sekwencyjnego jest zadaniem bardziej złożonym. 3.4. GRF UTOMTU, TBELE PRZEJŚĆ / WYJŚĆ Definicja układu kombinacyjnego była stosunkowo prosta -tabela prawdy. Opis układu sekwencyjnego jest zadaniem bardziej złożonym. Proste przypadki: Opis słowny, np.:

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów 17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich. Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też. A = (A, Q, q I, F, δ)

Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też. A = (A, Q, q I, F, δ) Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też L = {vw : vuw L dla pewnego u A takiego, że u = v + w } Rozwiązanie. Niech A =

Bardziej szczegółowo

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 8

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 8 Języki formalne i automaty Ćwiczenia 8 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Konwersja NFA do DFA... 2 Minimalizacja liczby stanów DFA... 4 Konwersja automatu DFA do

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy składniowej. Bartosz Bogacki.

Wprowadzenie do analizy składniowej. Bartosz Bogacki. Wprowadzenie do analizy składniowej Bartosz Bogacki Bartosz.Bogacki@cs.put.poznan.pl Witam Państwa. Wykład, który za chwilę Państwo wysłuchają dotyczy wprowadzenia do analizy składniowej. Zapraszam serdecznie

Bardziej szczegółowo

Efektywny parsing języka naturalnego przy użyciu gramatyk probabilistycznych

Efektywny parsing języka naturalnego przy użyciu gramatyk probabilistycznych Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wydział Matematyki i Informatyki Paweł Skórzewski nr albumu: 301654 Efektywny parsing języka naturalnego przy użyciu gramatyk probabilistycznych Praca magisterska na kierunku:

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 2

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 2 Języki formalne i automaty Ćwiczenia 2 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Metoda brute force... 2 Konwersja do postaci normalnej Chomskiego... 5 Algorytm Cocke a-youngera-kasamiego

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

A B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t

A B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t B: 1 Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych 1. ZałóŜmy, Ŝe zmienna A oznacza stęŝenie substratu, a zmienna B stęŝenie produktu reakcji chemicznej

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 05 Biologia i gramatyka Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 07/04/2016 1 / 40 1 Nieformalne określenie fraktali. 2 Wymiar pudełkowy/fraktalny. 3 Definicja fraktali.

Bardziej szczegółowo

Imię, nazwisko, nr indeksu

Imię, nazwisko, nr indeksu Imię, nazwisko, nr indeksu (kod) (9 punktów) Wybierz 9 z poniższych pytań i wybierz odpowiedź tak/nie (bez uzasadnienia). Za prawidłowe odpowiedzi dajemy +1 punkt, za złe -1 punkt. Punkty policzymy za

Bardziej szczegółowo

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x

(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x 2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)

Bardziej szczegółowo

JIP. Analiza składni, gramatyki

JIP. Analiza składni, gramatyki JIP Analiza składni, gramatyki Książka o różnych językach i paradygmatach 2 Polecam jako obowiązkową lekturę do przeczytania dla wszystkich prawdziwych programistów! Podsumowanie wykładu 2 3 Analiza leksykalna

Bardziej szczegółowo

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik

Grafika 2D. Animacja Zmiany Kształtu. opracowanie: Jacek Kęsik Grafika 2D Animacja Zmiany Kształtu opracowanie: Jacek Kęsik Wykład przedstawia podstawy animacji zmiany kształtu - morfingu Animacja zmiany kształtu Podstawowe pojęcia Zlewanie (Dissolving / cross-dissolving)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010 Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów

Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów Drzewa: Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node).

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Algorytmy grafowe

Wykład 7. Algorytmy grafowe Wykład Algorytmy grafowe Algorytmy grafowe i podstawowe algorytmy przeszukiwania Problem Definicje i własności Reprezentacja Przeszukiwanie wszerz (Breadthirst Search) Przeszukiwanie w głąb (Depthirst

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do maszyny Turinga

Wprowadzenie do maszyny Turinga Wprowadzenie do maszyny Turinga Deterministyczna Maszyna Turinga (DTM) jest pewną klasą abstrakcyjnych modeli obliczeń. W tej instrukcji omówimy konkretną maszynę Turinga, którą będziemy zajmować się podczas

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Translacja sterowana składnią

Wykład 10. Translacja sterowana składnią Wykład 10 Translacja sterowana składnią Translacja sterowana składnią Z konstrukcjami języków programowania wiąże się pewną informację przez dołączenie atrybutów do symboli gramatyki reprezentujących te

Bardziej szczegółowo

Wyrażenia regularne.

Wyrażenia regularne. Teoretyczne podstawy informatyki Wykład : Wyrażenia regularne. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs.2.202 Wyrażenia regularne Wyrażenia regularne (ang. regular expressions) stanowią algebraiczny sposób definiowania

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków grafu

Kolorowanie wierzchołków grafu Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Symbol, alfabet, łańcuch

Symbol, alfabet, łańcuch Łańcuchy i zbiory łańcuchów Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Symbol, alfabet, łańcuch Symbol Symbol jest to pojęcie niedefiniowane (synonimy: znak, litera)

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Dopełnienie to można wyrazić w następujący sposób:

Dopełnienie to można wyrazić w następujący sposób: 1. (6 punktów) Czy dla każdego regularnego L, język f(l) = {w : każdy prefiks w długości nieparzystej należy do L} też jest regularny? Odpowiedź. Tak, jęsli L jest regularny to też f(l). Niech A będzie

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Przygotowanie teoretyczne

Wstęp. Przygotowanie teoretyczne Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie LORATORIUM Teoria Automatów Temat ćwiczenia: Hazardy L.p. Imię i nazwisko Grupa ćwiczeniowa: Poniedziałek 8.00 Ocena Podpis 1. 2. 3. 4. Krzysztof

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących

Bardziej szczegółowo

1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie

1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 04 Systemy Lindenmayera Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 19/10/2016 1 / 37 1 L-Systemy 2 GroIMP i XL ALife 2 / 37 L-Systemy L-systemy czyli systemy Lindenmayera.

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo