Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Podobne dokumenty
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Zaawansowane metody numeryczne

Iteracyjne rozwiązywanie równań

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

1 Równania nieliniowe

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Elementy metod numerycznych

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Optymalizacja ciągła

Metody numeryczne Wykład 7

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Obliczenia iteracyjne

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Zaawansowane metody numeryczne

Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Zwięzły kurs analizy numerycznej

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Metody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk

Modyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji

Optymalizacja ciągła

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

SVM: Maszyny Wektorów Podpieraja cych

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Zaliczenie na ocenę 1 0,5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do Modelu Standardowego

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Elementy inteligencji obliczeniowej

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów

( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Materiały wykładowe (fragmenty)

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

2. Definicja pochodnej w R n

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

1.3. Optymalizacja geometrii czasteczki

1 Pochodne wyższych rzędów

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

Interpolacja. Interpolacja wykorzystująca wielomian Newtona

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Układy równań liniowych

KADD Minimalizacja funkcji

x y

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Sztuczna Inteligencja Tematy projektów Sieci Neuronowe

Podstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości

Układy równań i równania wyższych rzędów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Transkrypt:

9 - Rozwiązywanie układów równań nieliniowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec Radosław Kazior Rafał Stachura

Outline 1 Wstęp 2 Metoda iteracyjna dla układów równań nieliniowych 3 Metoda Newtona-Raphsona dla układów równań nieliniowych 4 Modyfikacje metody N-R dla układów równań nieliniowych

Wstęp Wstęp Sformułowanie zadania Dane: m równań o m niewiadomych: f i (x 1, x 2,..., x j,..., x m ) = 0; i = 1, 2,... m ( ) Warunek: f ( x) = 0 Rozwiązanie układu: liczby α j, j = 1, 2,..., m takie że: f i (α 1, α 2,..., α j,..., α m ) = 0; i, j = 1, 2,..., m Uwaga: Nie ma dobrych, ogólnych metod rozwiązania(*) np. m = 2

Wstęp Wstęp f (x, y) = 0 g(x, y) = 0 }

Wstęp Wstęp Problemy: kontury zerowe podział płaszczyzny, f, g dowolne kontury bardzo złożone, liczba zer nie jest znana a priori, dla x > 2 hiperpłaszczyzny, jak wybrać punkty startowe? kiedy zakończyć poszukiwanie miejsc zerowych? konieczność wyboru rozwiązania, którego poszukujemy nie szukamy wszystkich Uwaga: Wykorzystujemy wiedzę z analizy matematycznej, geometrii, algebry!!!

Wstęp Wstęp Przykładowe układy równań nieiniowych - wizualizacja: https://www.symbolab.com/solver/ non-linear-system-of-equations-calculator Zastosowanie układów równań nieliniowych: kinetyka reakcji chemicznych, badanie równowagi termodynamicznej układu, przewidywanie istnienia związków chemicznych sterowanie elektrycznymi silnikami prądu stałego badanie dynamiki samolotów (nieliniowe zależności prędkości, kątów,wysokości...) układy automatyczne, problem utrzymania równowagi w układach niestabilnych - drony...

Metoda iteracyjna dla układów równań nieliniowych Metoda iteracyjna dla układów równań nieliniowych zapisujemy jako: co sugeruje metodę iteracyjną: x (n) i f ( x ) = 0 x i = ϕ i (x 1, x 2,..., x m ), i = 1, 2,..., m = ϕ i (x (n 1) 1, x (n 1) 2,..., x m (n 1) ), i = 1, 2,..., m x (n) = ϕ ( x (n 1) ) ( )

Metoda iteracyjna dla układów równań nieliniowych Kryterium zbieżności Niech: - α = ϕ ( α ) - istnieją d ij ( x ) = ϕ i ( x ) x j, i, j = 1, 2,..., m dla x R m = { x : x α < ρ} D-macierz o elementach d ij

Metoda iteracyjna dla układów równań nieliniowych Kryterium zbieżności Wtedy: - warunek wystarczający zbieżności ( ) dla x 0 R m D( x ) L < 1, x R m : (ϕ - odwzorowanie zwężające (contraction mapping) dla dowolnych x, y : ϕ ( x ) ϕ ( y ) L x y ) - warunek konieczny zbieżności ( ) promień spektralny ρ(d) 1 prędkość zbieżności - zależna liniowo od L

Metoda Newtona-Raphsona dla układów równań nieliniowych Metoda Newtona-Raphsona dla układów równań nieliniowych Wprowadzenie: W przypadku równania skalarnego, f : IR IR, metoda Newtona-Raphsona rozwiązania równania f (x) = 0 jest dana jako: x k+1 = x k f (x k) f (x k ) Przez analogię uogólniamy wzór, aby wygenerować wielowymiarową metodę: F : IR N D IR N x k+1 = x k F (x k ) 1 F (x k ) gdzie F (x k ) byłoby macierzą pochodnej F w punkcie x k

Metoda Newtona-Raphsona dla układów równań nieliniowych Idea metody: {x (n 1) j } - przybliżenie pierwiastków {α j } α j = x (n 1) j + h j f i ( x (n 1) + h ) = 0 szereg Taylora: f i ( m x (n 1) ) + ( f i ) n 1 h j + O(δx 2 ) = 0 ( ) x j=1 j }{{} pomijamy gdzie ( f i x j ) n 1 - oznacza obliczone w α (n 1)

Metoda Newtona-Raphsona dla układów równań nieliniowych Jako kolejne przybliżenie α bierzemy x (n) = x (n 1) + h przy czym h - wyznaczamy z ( ) Można to zapisać: J (n 1) h (n 1) = f (n 1) x (n) = x (n 1) + h (n 1) } - układ równań liniowych Stosujemy jakobian: J (n 1) i,j = ( f i x i ) (n 1)

Metoda Newtona-Raphsona dla układów równań nieliniowych Trudności wybór x (0), sprawa zbieżności - trudna w przypadku ogólnym, złożoność obliczeniowa - J m 2 elementów: formalnie różniczkowanie, wprowadzanie do programu - w każdej iteracji - J - na nowo, - h - z rozwiązania układu równań liniowych.

Modyfikacje metody N-R dla układów równań nieliniowych Modyfikacje metody N-R dla układów równań nieliniowych 1) damped iterates F (n) = m [f (n) i ] 2 i=1 gdy F (n) < F (n 1) x (n) - akceptujemy w przeciwnym razie próbujemy: x (n) = x (n 1) + ρ h (n 1) 0 < ρ < 1, zwykle kolejno ρ = 1 2, 1 4, 1 8

Modyfikacje metody N-R dla układów równań nieliniowych 2) J-duża złożoność obliczeniowa J (n 1) używamy dla p iteracji: J (n 1) h (n 1+k) = f (n 1+k) x (n+k) = x (n 1+k) + h (n 1+k), k = 0, 1,..., p 1 dobór p?

Modyfikacje metody N-R dla układów równań nieliniowych 3) x (n) = x (n 1) [J (n 1) ] 1 f (n 1) }{{} ( ) ( ) H (n 1) przez przybliżenie i : H (n) = H (n 1) + D (n 1) }{{} ( ) ( ) człon korekcyjny