Przewodnik do ćwiczeń ze statystyki

Podobne dokumenty
wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB I. 2. Plan laboratorium I techniki statystyki opisowej

STATYSTYKA OPISOWA. Statystyka. Losowanie (pomiar)

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

Wyrażanie niepewności pomiaru

Instrukcja do wykonania zadania. Masa ciała. Wys. Ciała

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Analityka chemiczna. Podstawy statystyki. Marek Kręglewski tel

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

1 Dwuwymiarowa zmienna losowa

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Niepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

. Wtedy E V U jest równa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I PRACOWNIA FIZYCZNA INSTYTUT FIZYKI UJ BIOLOGIA 2016

Średnia harmoniczna (cechy o charakterze ilorazu np. Prędkość, gęstość zaludnienia)

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Miary średnie. Średnią arytmetyczną nazywamy sumę wartości zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzieloną przez liczbę tych jednostek.

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

Statystyka Inżynierska

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pierwszym etapem analizy danych jest wykonanie szeregu rozdzielczego prostego (w skrócie nazywany szeregiem rozdzielczym) i kumulacyjnego

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

Statystyka Opisowa Wzory

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. I Pracownia IF UJ Marzec 2017

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

STATYSTYKA I stopień ZESTAW ZADAŃ

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

METODY OPISU STRUKTURY ZBIOROWOŚCI

Badania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Analiza danych pomiarowych

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 6

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

ZJAZD 1. STATYSTYKA OPISOWA wstępna analiza danych

KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA

Wykład 2 Elementy statystyki.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Statystyka opisowa. Stawia się pytania: pytanie co? poprzedza pytanie jak?. Najpierw potrzebna jest miara, potem można badać zmiany tej miary.

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

Porównanie dwu populacji

IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

Statystyczna analiza danych przedziały ufności

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

ZAJĘCIA 2. Metody opisu struktury i natężenia, metody opisu tendencji centralnej, klasyczne metody opisu dyspersji. i n

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Średnia harmoniczna Za pomocą średniej harmonicznej obliczamy np. średnią prędkość jazdy samochodem.

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Transkrypt:

Przewodk do ćwczeń ze tatytyk Podtawowe defcje Próbka loowa, tatytycza Próbką loową jet ograczoy zbór oberwacj dokoay a pewej hpotetyczej lub realej zborowośc zwaej populacją. Waże jet, że oberwacje ą ezależe wzytke mają jedakową zaę wytąpea. Przy loowym wyborze daych z populacj, wartośc w poblżu średej powy pojawać ę częścej. Dokładość Im wękza dokładość, tym mejza różca wytępuje mędzy wartoścą prawdzwą średą wartoścą merzoą. W praktyce wartośc prawdzwej częto e zamy. Precyzja Im blżej względem ebe położoe ą wyk oberwacj, tym wękza jet precyzja pomarów (ozaczeń). Marą precyzj jet waracja lub odchylee tadardowe. Im mejza jet waracja tym bardzej precyzyje ą wyk aaltycze. precyzja dokładość Rozkład ormaly Najważejzym rozkładem w tatytyce jet rozkład ormaly Gaua-Laplace a. Jego fukcja gętośc prawdopodobeńtwa określoa dla wzytkch rzeczywtych wartośc wyraża ę wzorem: Fukcja rozkładu prawdopodobeńtwa fukcja p() określoa a pewym zborze X, taka, że X PX p p cągłej. p oraz dla zmeej loowej kokowej oraz f dla zmeej loowej Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa

f M e M ozacza wartość oczekwaą zmeej - to odchylee tadardowe zmeej. Grafcza prezetacja reguły 3σ Jedym z ważych twerdzeń opartym a założeu o rozkładze ormalym zmeej X jet tzw. reguła trzech gm. Mów oa, że realzacje zmeej loowej e będą ę różły ( plu a mu) od wartośc oczekwaej węcej ażel o trzy odchylea tadardowe, co opuje rówae: P M 3 X M 3 0. 9973 Geerowae lczb loowych o zadaych rozkładach możlwe jet w Ecelu dzęk arzędzu aalzy daych Geerowae lczb peudoloowych. Podobe jak Htogram 3 (arzędze umożlwające grafcze przedtawee rozkładów), Statytyka opowa, Próbkowae e ależą do paketu Aaly Toolpak z dodatków Ecela. (patrz: zadaa do rozwązaa). Oblczae ektórych parametrów dla daych populacj lub próby op fukcj dotępych w programe Ecel: (Wtaw->Fukcje->Statytycze) Średa arytmetycza próbk 4 ŚREDNIA(zakre) Zmea loowa fukcja określoa a zborze zdarzeń elemetarych, przyporządkowująca każdemu zdarzeu elemetaremu pewą lczbę. Zmee loowe ozaczamy zazwyczaj dużym lteram X, Y, Z 3 Htogram grafcza metoda przedtawaa rozkładu zmeej loowej, czyl wykre, a którym prawdopodobeńtwa p k przedtawoe ą jako pola protokątów. 4 Na podtawe wartośc średej próbk wokujemy o wartośc średej populacj wartośc prawdzwej. W zwązku z powzechym wytępowaem błędów loowych wartość średej próbk praktycze e może być rówa wartośc prawdzwej. Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa

Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 3 Waracja 5 z próby WARIANCJA(zakre) Iy zap Waracja dla całej populacj 6 WARIANCJA.POPUL(zakre) Iy zap (wartość jet zaa) μ Odchylee tadardowe dla próby ODCH.STANDARDOWE(zakre) Iy zap Odchylee tadardowe dla populacj ODCH.STANDARD.POPUL(zakre) Iy zap (wartość jet zaa) μ Odchylee średe d ODCH.ŚREDNIE(zakre) 5 Waracja jet marą rozprozea wyków czy też precyzj. W zależośc od tego czy mamy do czyea z populacją, czy próbką. Warto zwrócć uwagę a fakt, że ze wzrotem różca pomędzy dwoma welkoścam mu zakać. 6 Populacja zbór elemetów, zborowość tatytycza, której pewe cechy ą badae za pomocą arzędz metod tatytyczych.

Odchylee kwadratowe, to aczej uma kwadratów odchyleń daych puktów od średej arytmetyczej z próby. d ODCH.KWADRATOWE(zakre) Błąd tadardowy (wartośc średej) S E =ODCH.STANDARDOWE(zakre)/PIERWIASTEK() Wyzukwae elemetu o ajwękzej ajmejzej wartośc MAX(zakre) MIN(zakre) Oblczae krotośc wytępowaa elemetów CZĘSTOŚĆ(tabela dae, tabela przedzały) Oblczee lośc daych w zborze ILE.LICZB(zakre) Oblczee elemetu wytępującego ajczęścej (mody, modalej, domaty) WYST.NAJCZĘŚCIEJ(zakre) Oblczae meday MEDIANA(zakre) Geerowae fukcj rozkładu ormalego ROZKŁAD.NORMALNY(zmea, średa, odch.tad, fukcja) gdze fukcja = 0, dla fukcj gętośc, dla dytrybuaty oblczoa fukcja rozkładu ormalego dla 0, 3,3 zotała umezczoa w komórkach B:B6 atępująco: {=ROZKŁAD.NORMALNY(A:A6;0;;0)} Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 4

Przedzały ufośc Ry. 5. Ilutracja P X Z / Są to przedzały, w których ezay parametr zajdze ę z zadawalającym prawdopodobeńtwem. Wraz ze wzrotem pozomu ufośc 7 zwękza ę rozpętość przedzału ufośc. Prawdopodobeńtwo zwązae z przedzałam ufośc azywa ę pozomem ufośc. Jet oo podawae w jedej z dwóch form: p lub p, gdze to pozom totośc (ryzyko błędu) Najczęścej określaym pozomem ufośc jet pozom dla 0. 05 (5%). Natomat z teoretyczego puktu wdzea pozom ufośc może być dowoly. Im mejze jet, tym przedzał ufośc będze wękzy. Spoób określaa przedzału ufośc zależy od welu czyków. Należą do ch rodzaj rozkładu, zae ezae parametry rozkładu lczebość próby. Model I W programe Ecel jet tylko jeda fukcja dotycząca określaa przedzału ufośc ( Z ) (gdze Z-jet oblczoą ufoścą) dla średej z populacj (podajemy a fukcja lczy ufość wykorzytując jak pokazao a ry. 5) dla rozkładu ormalego: UFNOŚĆ(alfa; odch.tadardowe; lczebość) Z Z - odchylee tadardowe dla populacj Z - jet wartoścą tatytyk odczytaą z tablc rozkładu ormalego, przy zadaym prawdopodobeńtwe w Ecelu moża wykorzytać fukcję ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobeńtwo) lczebość próby powa być wękza od 30 prawdopodobeńtwo podajemy. Korzytając z powyżzej fukcj dodatkowo ależy oblczyć średą arytmetyczą dla daych z próby, a wówcza otrzymamy lewy ( Z ) oraz prawy ( Z ) koec przedzału ufośc. Powyżze oblczea moża przeprowadzć gdy wartość średa dla populacj jet ezaa (oblczamy średą z daych) a odchylee tadardowe populacj jet zae). 7 Pozom ufośc prawdopodobeńtwo, z jakm wartość ezaego parametru ma ę zaleźć w zukaym przedzale ufośc p. Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 5

Model II Populacja geerala ma rozkład ormaly. Wartość średa oraz odchylee tadardowe w populacj ą ezae. A próba lczy mej ż 30 elemetów 30. Końce przedzału ufośc oblcza ę atępująco: Lewy koec przedzału ( t ), prawy ( t ), odchylee tadardowe z próby, P t t. t - ma rozkład t-tudeta o - topach wobody, atomat Wartość t oblcza ę za pomocą fukcj: ROZKŁAD.T.ODW(prawdopodobeńtwo; tope_wobody) Stope_wobody podtawamy -, prawdopodobeńtwo podajemy. Model III Populacja geerala ma rozkład dowoly. Wartość średa oraz odchylee tadardowe w populacj ą ezae. A próba lczy węcej ż 30 elemetów 30. Końce przedzału ufośc oblcza ę atępująco: Z Z - odchylee tadardowe dla próby Z - jet wartoścą tatytyk odczytaą z tablc rozkładu ormalego, przy zadaym prawdopodobeńtwe w Ecelu moża wykorzytać fukcję ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobeńtwo) - lczebość próby powa być wękza od 30 prawdopodobeńtwo podajemy. Błąd względy zacuku B Z 00% - średa oblczoa a potawe próby - odchylee tadardowe populacj geeralej, Z - wartość tadaryzowaej zmeej loowej rozkładu ormalego dla zadaego wpółczyka ufośc, lczebość badaej próby ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobeńtwo) Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 6

Błąd makymaly zacuku wartośc średej t d - odchylee tadardowe z próby, t - wartość zmeej loowej rozkładu t-studeta dla zadaego wpółczyka ufośc - top wobody, ROZKŁAD.T.ODW(prawdopodobeńtwo; tope_wobody) lczebość badaej próby Lczebość próby Z N d - odchylee tadardowe populacj geeralej, Z - wartość tadaryzowaej zmeej loowej rozkładu ormalego dla zadaego wpółczyka ufośc, ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobeńtwo) d makymaly błąd zacuku średej. Tet a wykryce błędu grubego Błąd gruby objawa ę teem jedego wyku zacząco odtającego od pozotałych uzykaych w daej er pomarów. Źródłem tego błędu może być eoczekwae zaburzee układu pomarowego lub czyto ludzka pomyłka (p. podcza zapywaa daej). Błęda decyzja o pozotaweu lub odrzuceu tego rezultatu ( podejrzaego pomaru ) będze mała egatywy wpływ a końcową wartość średej. Dlatego moża połużyć ę odpowedm tetem tatytyczym p. tetem Doa, aby a gruce tatytyk utalć czy podejrzay wyk ależy, czy też e, do tego amego rozkładu ormalego co pozotałe rezultaty. Przed wykoaem tetu ależy uporządkować zbór wyków według wzratających wartośc: 3.... Błędem grubym może być obarczoa albo ajwękza ( ), albo ajmejza wartość ( ) w próbce. Natępe oblcza ę wartośc parametrów m ma w zależośc od lczby wykoaych pomarów według wzorów:. dla 3, 7 m oraz ma. dla 8, 3. dla 3, 40 m m 3 oraz oraz ma ma 3 Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 7

Natępym krokem jet wybrae do dalzych oblczeń parametru m (jeśl m ma ozacza to, że epewym pomarem jet ) lub ma (jeśl ma m, dla podejrzaego ). Z tabel odczytuje ę wartość parametru kryt dla odpowedej lczby pomarów porówuje ę ją z wybraą wartoścą ma lub m. Jeżel kryt ma to podejrzay ależy pozotawć, jeśl kryt ma to ależy odrzucć, albo wykoać dodatkowe pomary poowe przeprowadzć oblczea od początku dla wzytkch pomarów. Jeżel kryt m to podejrzay ależy pozotawć, jeśl kryt m to ależy odrzucć, albo wykoać dodatkowe pomary poowe przeprowadzć oblczea od początku dla wzytkch pomarów. Tabela. Lczba pomarów () Wartość krytycza parametru Lczba pomarów () Wartość krytycza parametru 95% 99% 95% 99% 3 0.970 0.994 0.468 0.544 4 0.89 0.96 3 0.459 0.535 5 0.70 0.8 4 0.45 0.56 6 0.68 0.740 5 0.443 0.57 7 0.569 0.680 6 0.436 0.50 8 0.608 0.77 7 0.49 0.50 9 0.564 0.67 8 0.43 0.495 0 0.530 0.635 9 0.47 0.489 0.50 0.605 30 0.4 0.483 0.479 0.579 3 0.407 0.477 3 0.6 0.697 3 0.40 0.47 4 0.586 0.670 33 0.397 0.467 5 0.565 0.647 34 0.393 0.46 6 0546 0.67 35 0.388 0.458 7 0.59 0.60 36 0.384 0.454 8 0.54 0.594 37 0.38 0.450 9 0.50 0.580 38 0.377 0.446 0 0.489 0.567 39 0.374 0.44 0.478 0.555 40 0.37 0.438 Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 8

Dodatek Przykłady zatoowaa oblczeń tatytyczych zawartych w pakece Dae -> Aalza daych -> Geerowae lczb peudoloowych, Statytyka opowa oraz Htogram Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 9

W wydruku oblczoym za pomocą paketu Statytyka opowa pojawają ę dodatkowe pojęca take jak: Tryb oblcza wartość modalą odp. fukcj WYST.NAJCZĘŚCIEJ() Kurtoza jet cechą rozkładu ymetryczego, ale dalekego od ormalego wzorca, gdy jet bardzej wymukły lub bardzej płak ż prawdzwa krzywa ormala. Skośość kośe rozkłady mają wartośc, których czętośc kupają ę z jedej troy rozcągają ę z drugej. Dokoała krzywa rozkładu ormalego ma kośość rówą 0. Lewotroa kośość ma wartość dodatą, a prawotroa - ujemą. Lteratura. Regel W.: Ćwczea z podtaw tatytyk w Ecelu, Mkom, Warzawa 003.. Obecy A.: Statytyka matematycza w Ecelu dla zkól ćwczea praktycze, Helo, Glwce 003. 3. Hyk W., Strojek Z.: Aalza tatytycza w laboratorum aaltyczym, WCh UW, Warzawa 006. Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 0