Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa

Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa warunki: (i) 1 x = x dla wszystkich x X, (ii) g (h x) = (gh) x dla dowolnych g, h G oraz x X. Gdy ustalimy element grupy, uzyskamy przekszta lcenie µ(g, ) = ϕ g : X X, ϕ g (x) = g x. Zauważmy, że z warunków (i), (ii) wynika, że (ϕ g 1 ϕ g )(x) = g 1 (g x) = (g 1 g) x = 1 x = x = id X (x). Zatem wszystkie przekszta lcenia ϕ g sa bijekcjami zbioru X na siebie. Niech S(X) oznacza grupe wszystkich bijekcji zbioru X na siebie, czyli permutacji zbioru X. Dzia lanie grupy G na X zadaje zatem funkcje ϕ: G S(X), ϕ(g) = ϕ g. Ponadto mamy ϕ(gh) = ϕ(g) ϕ(h), czyli ϕ jest homomorfizmem grup. Mamy wie c równoważna definicje. 1. Definicja. Dzia laniem grupy na zbiorze X nazywamy homomorfizm ϕ: G S(X). 2. Przyk lad. Dla dowolnej grupy G oraz X = G rozważmy dzia lanie µ: G G G dane wzorem µ(g, h) = gh (mnożenie w grupie G). Otrzymujemy homomorfizm ϕ: G S(G). Zauważmy, że ϕ jest monomorfizmem. Istotnie, jeśli ϕ(g) = id G, to gx = x dla dowolnego x G, a sta d g = 1. Tak udowodniliśmy 3. Twierdzenie Cayleya. Każda grupa jest podgrupa grupy permutacji zbioru swoich elementów. Jest prostym ćwiczeniem sprawdzenie, że jeśli zbiory X i Y sa równoliczne, to grupy permutacji S(X) oraz S(Y ) sa izomorficzne. W szczególności, jeśli zbiór X jest skończony oraz X = n, to S(X) S({1, 2,..., n}). Te ostatnia grupe be dziemy oznaczać S n. W szczególności, twierdzenie Cayleya mówi, że każda grupa skończona jest podgrupa pewnej grupy S n. Niech grupa G dzia la na zbiorze X. 4. Definicja. Orbita punktu x X nazywamy podzbiór O(x) = {g x : g G} X. 5. Stwierdzenie. Orbity zadaja rozbicie zbioru X na parami roz la czne podzbiory. Dowód. Rozważmy naste puja ca relacje w zbiorze X: powiemy, że x y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element g G taki, że g x = y. Latwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności. Jest oczywiste, że orbity dzia lania grupy G sa klasami abstrakcji tej relacji. Zawsze x O(x). W przypadku, gdy O(x) = {x} mamy g x = x dla dowolnego elementu g G. Taki punkt x nazywamy punktem sta lym dzia lania grupy G. Zbiór wszystkich punktów sta lych dzia lania grupy G na zbiorze X oznaczamy X G. 1

6. Definicja. Grupa izotropii punktu x X nazywamy podgrupe G x = {g G : g x = x} G. Nie ulegaja c sugestywnej nazwie, należy sprawdzić, że istotnie podzbiór G x jest podgrupa G jest to bardzo proste ćwiczenie. Poje cia orbity punktu oraz jego grupy izotropii sa ze soba ściśle zwia zane, jak pokazuje naste puja cy 7. Lemat. Niech grupa G dzia la na zbiorze X. Dla dowolnego punktu x X istnieje bijekcja pomie dzy zbiorem warstw lewostronnych G/G x jego grupy izotropii i jego orbita O(x). Dowód. Rozważmy funkcje α: G/G x O(x) dane wzorem α(gg x ) = g x. Ta funkcja jest dobrze określona, bo jeśli g 2 G x = g 1 G x, to g 2 = g 1 h dla pewnego h G x. Ponieważ h x = x, mamy g 2 x = (g 1 h) x = g 1 (h x) = g 1 x. Oczywiście funkcja α jest na : dowolny punkt g x orbity O(x) jest postaci α(gg x ). By sprawdzić różnowartościowość, za lóżmy, że α(g 1 G x ) = α(g 2 G x ). Wynika sta d, że g 1 x = g 2 x, zatem (g2 1 g 1) x = x. Wobec tego g2 1 g 1 G x, czyli g 1 g 2 G x, co implikuje g 1 G x = g 2 G x. 8. Wniosek. Jeśli skończona grupa G dzia la na zbiorze X, to wszystkie orbity sa skończone oraz dla dowolnego punktu x X zachodzi równość G x O(x) = G. Kolejny wniosek jest podstawa wielu zastosowań kombinatorycznych. 9. Wniosek. Jeśli skończona grupa G dzia la na zbiorze X, to moc każdej orbity jest dzielnikiem G. Szczególnie prosty i bogaty w zastosowania jest przypadek, gdy rza d G jest pote ga liczby pierwszej. 10. Definicja. Niech p be dzie liczba pierwsza. Skończona p-grupa nazywamy grupe G, dla której G = p n dla pewnej liczby naturalnej n 1. Jeśli skończona p-grupa dzia la na zbiorze X, to moc każdej orbity jest jedna z liczb p k, gdzie 0 k n. 11. Stwierdzenie. Jeżeli skończona p-grupa dzia la na skończonym zbiorze X, to X X G (mod p). Dowód. Niech O(x 1 ),..., O(x n ) be dzie pe lna lista orbit dzia lania skończonej p-grupy G na zbiorze X. Zatem X = O(x 1 ) O(x n ) oraz zbiory O(x i ) sa parami roz la czne. Wobec tego X = O(x 1 ) + + O(x n ). Niech O(x i ) = p k i. Jeśli k i 1, to O(x i ) 0 (mod p). Pozosta le orbity sa jednopunktowe, wie c suma ich mocy jest równa liczbie punktów sta lych dzia lania G na X. Zatem X X G (mod p). Powyższe stwierdzenie ma wiele zastosowań. Oto dwa przyk lady. 2

12. Przyk lad (Ma le Twierdzenie Fermata). Niech p be dzie liczba pierwsza. Dla dowolnej liczby naturalnej n mamy n p n (mod p). Dowód. Rozważmy zbiór X = {(a 1,..., a p ) : 1 a i n} Z p. Oczywiście X = n p. Grupa C p = x dzia la na zbiorze X przesuwaja c cia gi cyklicznie: x (a 1,..., a p ) = (a p, a 1,..., a p 1 ). Cia g (a 1,..., a p ) jest punktem sta lym tego dzia lania, jeśli x (a 1,..., a p ) = (a 1,..., a p ), tj. gdy (a p, a 1,..., a p 1 ) = (a 1,..., a p ). Wynika sta d, że a p = a 1 = a 2 = = a p 1. Wobec tego mamy dok ladnie n punktów sta lych: (a, a,..., a), 1 a n. Sta d n p = X X C p = n (mod p). 13. Przyk lad. Wykazać, że jeśli p jest liczba pierwsza, to ( ) p k m p m (mod p). k Rozwia zanie. Rozważmy zbiór X zero-jedynkowych macierzy o p k wierszach i o m kolumnach, które zawieraja dok ladnie p k jedynek. Każda taka macierz definiuje p k -elementowy podzbiór p k m-elementowego zbioru wszystkich pól macierzy, wie c X = ( p k m p k ). Grupa cykliczna G = C p k dzia la na zbiorze X przez cykliczne przesunie cia wierszy. Zauważmy, że macierz jest punktem sta lym tego dzia lania wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jedynki sa ustawione w jednej kolumnie. Zatem ( p k ) m = X X G = m (mod p). Naste pne twierdzenie ma dziesia tki zastosowań w kombinatoryce. p k 14. Twierdzenie Burnside a. Niech grupa skończona G dzia la na skończonym zbiorze X. Wtedy liczba orbit n tego dzia lania wyraża sie wzorem gdzie F ix(g) oznacza zbiór {x X : g x = x}. n = 1 G F ix(g), g G Dowód. Obliczymy sume g G F ix(g). Zauważmy, że zliczamy punkty zbioru X, z tym że punkt x X może wysta pić w tej sumie wiele razy. Dok ladnej, punkt x powtórzy sie dok ladnie tyle razy, w ilu zbiorach F ix(g) wyste puje, to jest dok ladnie G x razy. Wobec tego Niech O(x 1 ),..., O(x n ) be dzie pe lna lista orbit. F ix(g) = G x. g G x X Ustawmy sk ladniki naszej sumy w takiej kolejności, by punkty należa ce do tej samej orbity wyste powa ly obok siebie. Zatem n G x = G x. x X i=1 x O(x i ) Ale dla x O(x i ) mamy O(x) = O(x i ) wie c G x = G / O(x) = G / O(x i ) = G xi. Zatem n n n n G x = G xi = O(x i ) G xi = G = n G. i=1 x O(x i ) i=1 x O(x i ) i=1 i=1 3

Istnieje wiele interesuja cych sposobów, w jaki grupa G może dzia lać na sobie lub na swoich podzbiorach. Oto kilka przyk ladów. 15. Przyk lad. Dowolna grupa G dzia la na sobie (X = G) poprzez automorfizmy wewne trzne: g x = gxg 1. Orbitami tego dzia lania sa klasy sp żoności Cl(x) elementów grupy G. W szczególności, moc każdej klasy sp żoności jest dzielnikiem du grupy. Grupa izotropii elementu x G przy tym dzia laniu nosi nazwe jego centralizatora: C G (x) = {g G : gxg 1 = x}. Zbiór punktów sta lych, to centrum grupy: Z(G) = {x G : gxg 1 = x dla każdego g G}. Latwo sprawdzić, że Z(G) jest podgrupa grupy G. Zarówno centrum, jak i każda jego podgrupa, jest podgrupa normalna. Latwo wykazać, że jest to nawet podgrupa charakterystyczna: dowolny automorfizm φ : G G zachowuje Z(G). Stwierdzenie 11, zastosowane do tego dzia lania, daje 16. Twierdzenie. Skończona p-grupa ma nietrywialne centrum. Dowód. Niech G = p n, n 1. Grupa G dzia la na X = G przez automorfizmy wewne trzne, zatem, na mocy Stwierdzenia 11, mamy Z(G) = X G X = G = p n 0 (mod p). Zatem p jest dzielnikiem du grupy Z(G), wie c Z(G) 1. 17. Przyk lad. Dowolna grupa G dzia la poprzez automorfizmy wewne trzne na zbiorze X swoich podgrup. Grupa izotropii elementu H X, czyli podgrupy H G, nosi nazwe jej normalizatora: N G (H) = {g G : ghg 1 = H}. Punkty sta le tego dzia lania to podgrupy normalne grupy G. 18. Przyk lad. Niech H be dzie ustalona podgrupa grupy G. Wtedy grupa G dzia la na zbiorze lewych warstw podgrupy H: g xh = gxh. To dzia lanie na tylko jedna orbite, gdyż każda warstwa jest postaci gh = g 1H. Grupa izotropii warstwy 1H jest {g G : gh = H}, czyli sama podgrupa H. Otrzymujemy w ten sposób homomorfizm ρ H : G S(G/H), zwany reprezentacja regularna grupy G na warstwach H. Zauważmy, że dla H = 1 otrzymujemy reprezentacje Cayleya z Przyk ladu 2. Jeśli H < G oraz g G \ H, to ρ H (g) = gh 1H, czyli ρ H (g) id. Zatem dla H < G homomorfizm ρ H jest nietrywialny. Ja dro homomorfizmu ρ H sk lada sie z tych elementów g G dla których g xh = xh dla wszystkich x G, czyli gxh = xh, x 1 gxh = H, x 1 gx H, g xhx 1 dla wszystkich x G. W efekcie, ker(ρ H ) = xhx 1. x G Jest to najwie ksza podgrupa normalna grupy G, zawarta w H. 4

Gdy H jest podgrupa skończonego indeksu w G, n = [G : H], to S(G/H) S n. Zatem ρ H (G) S n jest także grupa skończona, która, na mocy twierdzenia o homomorfizmie, jest izomorficzna z grupa ilorazowa G/ker(ρ H ). Zatem ker(ρ H ) ma skończenie wiele warstw w G, czyli jest podgrupa skończonego indeksu. Zatem, reprezentacja regularna pozwala nam udowodnić 19. Twierdzenie. Jeśli grupa G ma podgrupe skończonego indeksu, to G ma także podgrupe normalna skończonego indeksu. Dok ladniej, jeśli [G : H] = n, to [G : ker(ρ H )] jest dzielnikiem n!. Zastosowanie dzia lania grup pozwala udowodnić jedno z najważniejszych twierdzeń o strukturze grup skończonych. Twierdzenie Lagrange a mówi, że jeśli H G, to H jest dzielnikiem G, ale nie gwarantuje istnienia podgrupy H du d dla każdego dzielnika d liczby G. W rzeczywistości taka podgrupa zwykle nie istnieje, a najmniejszym przyk ladem takiej sytuacji jest d = 6 oraz G = A 4. Takiego kontrprzyk ladu nie znajdziemy jednak, gdy G jest skończona p-grupa. 20. Stwierdzenie. Jeśli G = p r, to w grupie G istnieja podgrupy du p k dla 0 k r. Dowód. Prowadzimy indukcje wzgle dem r. Dla r = 1 mamy G = C p ta grupa oczywiście ma podgrupy du p 0 = 1 oraz p 1 = p. Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grup du p r i niech G = p r+1. Z Twierdzenia 16 wynika, że Z(G) 1. Wybierzmy dowolny element z Z(G) du p; generuje on podgrupe normalna w G izomorficzna z C p. Niech π: G G/ z be dzie przekszta lceniem naturalnym. Ponieważ G/ z = p r, na mocy za lożenia indukcyjnego, w grupie G/ z istnieje podgrupa L du p k dla k = 0,..., r. Niech L = π 1 (L ). Wówczas, na mocy twierdzenia o homomorfizmie, L/ z L, wie c L = z L = p p k = p k+1. Znaleźliśmy zatem podgrupy G dów p k dla k = 1,..., r + 1. Dla k = 0 taka podgrupa jest 1. Naste puja ce twierdzenie mówi, że powyższa obserwacja uogólnia sie na dowolne grupy skończone. 20. Twierdzenie Sylowa. Niech G be dzie grupa skończona du p r m, gdzie p m. (i) Grupa G ma podgrupe du p r. Każda taka podgrupe nazywamy p-podgrupa Sylowa grupy G. (ii) Każda p-podgrupa grupy G jest zawarta w pewnej p-podgrupie Sylowa. (iii) Każde dwie p-podgrupy Sylowa sa sp żone w grupie G. (iv) Liczba p-podgrup Sylowa przystaje do 1 modulo p oraz jest dzielnikiem m. Dowód. (i) Rozważmy zbiór X wszystkich p r -elementowych podzbiorów grupy G. Grupa G dzia la na zbiorze X przez lewe przesunie cia: jeśli S X oraz g G, to g S = {gx : x S}. Mamy, na mocy Przyk ladu 13, ( ) ( G p r ) m X = = m 0 (mod p) p r p r zatem nie wszystkie orbity dzia lania G na X maja moc podzielna przez p. Istnieje zatem S X o tej w lasności, że p O(S) ; niech G S be dzie grupa izotropii zbioru S. Ponieważ p r G = O(S) G S, mamy p r G S. Z drugiej strony, jeśli x S, to elementy gx, g G S sa parami różnymi elementami zbioru S. Zatem G S S = p r. Wobec poprzedniej uwagi mamy G S = p r, wie c G S jest szukana p-podgrupa Sylowa. 5

(ii) oraz (iii): Niech H be dzie dowolna nietrywialna p-podgrupa grupy G, zaś P p-podgrupa Sylowa w G. Grupa H dzia la na zbiorze warstw Y podgrupy P w G. Ponieważ Y H Y = [G : P ] = m 0 (mod p) istnieje punkt sta ly tego dzia lania, tj. warstwa gp o tej w lasności, że HgP = gp, g 1 HgP = P, g 1 Hg P, H gp g 1. Gdy H jest także p-podgrupa Sylowa, mamy H = P = gp g 1, wie c H = gp g 1. (iv): Niech s p oznacza liczbe p-podgrup Sylowa grupy G. Niech P be dzie jedna z tych podgrup i niech Q 2,..., Q sp be dzie lista wszystkich pozosta lych. Rozważmy dzia lanie grupy P na zbiorze Z = {Q 2,..., Q sp } przez automorfizmy wewne trzne: g Q i = gq i g 1 dla g P. Przypuśćmy, że to dzia lanie ma punkt sta ly Q i, to znaczy że gq i g 1 = Q i dla wszystkich g P. Oznacza to, że P N G (Q i ). Wobec tego P, Q i sa dwiema p-podgrupami Sylowa w grupie N G (Q i ). Skoro tak, na mocy punktu (iii) istnieje element x N G (Q i ), który sp ga te podgrupy: P = xq i x 1. Ale xq i x 1 = Q i, z definicji normalizatora. Wynika sta d, że P = Q i, wbrew za lożeniu. Wobec tego wszystkie orbity dzia lania P na zbiorze Z maja moc podzielna przez p, zatem p Z = s p 1. W końcu, wszystkie p-podgrupy Sylowa sa sp żone w G, wie c s p jest moca orbity dzia lania G na zbiorze tych podgrup przez automorfizmy wewne trzne. Wobec tego s p dzieli G = p r m i nie dzieli sie przez p. Wynika sta d, że s p m. A oto przyk lad zastosowania twierdzenia Sylowa. Wiemy, że grupa A 5 jest prosta oraz A 5 = 60. 21. Stwierdzenie. Każda grupa prosta du 60 jest izomorficzna z A 5. Dowód. Niech G be dzie grupa prosta du 60. Zauważmy, że G nie ma podgrupy indeksu n 4, bo wtedy reprezentacja regularna grupy G na jej warstwach dawa laby zanurzenie G w zbyt ma la grupe S n. Natomiast wykażemy, że grupa prosta du 60 ma podgrupe indeksu 5. Przypuśćmy, że takiej podgrupy nie ma. Niech n p oznacza liczbe p-podgrup Sylowa w grupie G. Z twierdzenia Sylowa wynika, że n 2 {1, 3, 5, 15}, n 3 {1, 4, 10} oraz n 5 {1, 6}. Ponieważ jednak liczba n p jest równa indeksowi normalizatora p-podgrupy Sylowa, z naszych za lożeń wynika, że n p > 5, zatem n 2 = 15, n 3 = 10 oraz n 5 = 6. Ponieważ pary p-podgrup Sylowa dla p = 3, 5 przecinaja sie trywialnie, elementy dów 1, 3 lub 5 zajmuja w grupie G la cznie 1 + 10 2 + 6 4 = 35 miejsc. Pozostaje zatem 25 miejsc na nietrywialne elementy 2-podgrup Sylowa. Gdyby te podgrupy też przecina ly sie parami trywialnie, zajmowa lyby wie cej, bo aż 15 3 = 45 miejsc. Istnieje zatem para 2-podgrup Sylowa taka, że K 1 K 2 = H 1. Wtedy K 1 K 2 N G (H) < G, zatem 4 = K 1 N G (H) G oraz N G (H) > K 1 = 4, ska d grupa N G (H) jest du 12 lub 20, czyli indeksu 5 sprzeczność. Niech N be dzie podgrupa indeksu 5 w grupie G. Reprezentacja regularna G na warstwach N zadaje izomorfizm G z podgrupa G S 5. Ponieważ G A 5 G, to G A 5 jest albo grupa trywialna, albo ca la grupa G. Pierwszy przypadek nie jest możliwy, gdyż wtedy rzutowanie S 5 S 5 /A 5 Z 2 by loby różnowartościowe na 60-elementowej grupie G. Wobec tego mamy G = G A 5 A 5. Z równości dów wynika że G = A 5. Na koniec ważna techniczna uwaga, cze sto użyteczna w rozumowaniach w teorii grup. 22. Lemat (argument Frattiniego). Niech P be dzie p-podgrupa Sylowa podgrupy normalnej H G. Wtedy G = H N G (P ). Dowód. Weźmy dowolny element g G. Wtedy gp g 1 ghg 1 = H, gdyż H G. Zatem P, gp g 1 sa dwiema podgrupami Sylowa w H. Na mocy twierdzenia Sylowa, istnieje element h H taki, że hp h 1 = gp g 1. Zatem (h 1 g)p (h 1 g) 1 = P, czyli h 1 g = k N G (P ). Wobec tego g = hk H N G (P ). 6