Budownictwo i Architektura 14(2) (2015) 113-121 Lokalne wyboczenie ścianki wpornikowej elementu cienkościennego przy wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń Katedra Mechaniki, Kontrukcji Metalowych i Metod Komputerowych, Wydział Budownictwa i Architektury, Politechnika Świętokrzyka, e mail: azychow@tu.kielce.pl Strezczenie: W pracy przedtawiono wyniki badań tateczności prężyście zamocowanych ścianek (płyt) wpornikowych przy wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń. Przyjęto liniowy rozkład naprężeń w kierunku zerokości ścianki (płyty) oraz liniowy lub nieliniowy (wg paraboli 2. topnia) rozkład naprężeń na jej długości. Wyznaczono wykrey wpółczynników wyboczeniowych (k) dla różnie podpartych i różnie obciążonych płyt wpornikowych, których nie znaleziono w literaturze. Słowa kluczowe: pręty cienkościenne, przekrój otwarty, ścianki wpornikowe, prężyte zamocowanie, wzdłużna i poprzeczna zmienność naprężeń 1. Wprowadzenie Pręty cienkościenne o przekroju otwartym należą do grupy elementów, których nośność graniczna jet warunkowana zjawikami lokalnymi zachodzącymi na długości egmentu pręta. Segment pręta cienkościennego zdefiniowano w [1] jako odcinek pręta pomiędzy uztywnieniami poprzecznymi (żebrami, przeponami itp.) zapewniającymi ztywny kontur przekroju. W złożonych tanach obciążenia (np. przy dwukierunkowym zginaniu poprzecznym) w płakich ściankach wpornikowych może wytępować wzdłużna (po długości egmentu) i poprzeczna (po zerokości ścianki) zmienność naprężeń normalnych. Ścianka wpornikowa jet na ogół prężyście zamocowana w tzw. ściance przęłowej (np. w środniku), dla której obie krawędzie wzdłużne ą podparte. Należy tutaj podkreślić, że pod względem tateczności lokalnej, ścianki wpornikowe charakteryzują ię znacznie mniejzą odpornością na naprężenia ścikające w tounku do ścianek przęłowych. Takie ścianki można w praktyce traktować jak płyty wpornikowe (półki) prężyście zamocowane w płytach przęłowych (środnikach). W przypadku ścianki wpornikowej, naprężenia krytyczne wyboczenia lokalnego zależą od jej mukłości, wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń oraz topnia prężytego zamocowania na obrót krawędzi podpartej. W normie [2] do analizy wyboczenia lokalnego pręta cienkościennego zbudowanego z płakich ścianek przyjęto model eparacji ścianek (płyt kładowych) wobodnie podpartych na wzdłużnych krawędziach łączenia płyt. W tym modelu obliczeniowym, o nośności krytycznej z warunku lokalnego wyboczenia decyduje najłabza ścianka. W rzeczywitości wyboczenie lokalne elementu cienkościennego wytępuje jednocześnie dla wzytkich ścianek, przy czym ścianka najłabza, np. wpornikowa jet prężyście zamocowana na obrót w ściance ąiedniej (przęłowej) co podnoi jej naprężenia krytyczne. Lokalne wyboczenie elementu cienkościennego o przekroju otwartym można w praktyce analizować w oparciu o eparację ścianek z uwzględnieniem prężytego
114 zamocowania na obrót płyty łabzej (uztywnianej) w płycie mocniejzej (uztywniającej). Poprawne wyznaczenie naprężeń krytycznych dla tak podpartych i obciążonych ścianek (płyt) kładowych pręta cienkościennego łuży do dokładniejzego zacowania nośności granicznej w oparciu o teorię zerokości efektywnej. Statecznością płyt wpornikowych zajmowało ię wielu autorów wymienionych w [3]. W tej znakomitej monografii podano m.in. wykrey i wzory aprokymacyjne płytowych wpółczynników wyboczeniowych (k) dla oiowo ścikanych płyt wpornikowych, prężyście zamocowanych na krawędzi podłużnej, przy tałej intenywności naprężeń na długości płyty. Korzytając z tych wzorów należy jednak pamiętać, że opiują one pierwzą półfalę wyboczenia płyty. Dla dłużzych płyt (np. tanowiących ścianki kładowe prętów cienkościennych) potać wyboczenia charakteryzuje ię wieloma półfalami tworzącymi ię na ich długości. W celu wyznaczenia wpółczynników k z uwzględnieniem kolejnych półfal wyboczenia należy wyznaczyć kolejne gałęzie wykreu np. wg procedury zamiezczonej w [4]. Jednak najczęściej toowanym w praktyce poobem jet przyjęcie k = k min dla pierwzej półfali wyboczenia, co jednocześnie odpowiada wartości wpółczynnika dla niekończenie długiej płyty. W pracach [5, 6] analizowano m.in. wpływ wzdłużnej zmienności naprężeń na tateczność i nośność oiowo ścikanych płyt wpornikowych dla granicznych warunków brzegowych (przegub, utwierdzenie) na krawędzi podpartej. Zaproponowano przybliżoną formułę obliczania płytowego wpółczynnika wyboczeniowego (k). W pracy [1] przedtawiono wyniki badań tateczności mimośrodowo ścikanych płyt wpornikowych przy wzdłużnej zmienności naprężeń dla granicznych przypadków podparcia krawędzi podłużnej (podparcie przegubowe lub pełne utwierdzenie). Wyprowadzono wzory na pracę ił zewnętrznych przy obciążeniu wywołującym wzdłużny rozkład naprężeń wg funkcji liniowej oraz wg paraboli 2. topnia. Wyznaczono wykrey wpółczynników wyboczeniowych (k) dla różnie obciążonych płyt wpornikowych. Z kolei w pracy [7] przedtawiono wyniki badań teoretycznych jednotronnie prężyście zamocowanych i oiowo ścikanych płyt wpornikowych przy wzdłużnej zmienności naprężeń. Do technicznego rozwiązania wielu zagadnień wyboczenia lokalnego oraz nośności granicznej (zacowanej wg metody zerokości efektywnej) otwartych prętów cienkościennych w złożonych tanach naprężenia brakuje rozwiązań tanu krytycznego prężyście zamocowanych płyt wpornikowych przy wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń. 2. Wyboczenie lokalne płyty wpornikowej Na ry. 1 pokazano przykładowy chemat tatyczny elementu cienkościennego przy dwukierunkowym zginaniu poprzecznym. W takim przypadku naprężenia normalne zmieniają ię na długości egmentu oraz na zerokości półki ścikanej. Ry. 1. Wydzielona płyta wpornikowa przy wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń
Lokalne wyboczenie ścianki wpornikowej elementu cienkościennego... 115 2.1. Warunki brzegowe Założono, że ścikana półka przekroju zachowuje ię jak płyta wpornikowa, prężyście zamocowana na obrót w środniku (płycie przęłowej). Druga, równoległa krawędź jet wobodna (nie podparta) i nie zawiera odgięcia uztywniającego. Poprzeczne krawędzie płyty na końcach egmentu przyjęto jako wobodnie podparte. Stopień prężytego zamocowania na obrót podłużnej krawędzi płyty (y = 0) opiano za pomocą wpółczynnika e wg [3] oraz wkaźnika k wg [8] w natępującej potaci: e = C b D q (1) - ( 1 2D ( bc )) 1 q k = + (2) gdzie: C q ztywność obrotowa krawędzi podpartej równa momentowi zginającemu powtałemu podcza obrotu o kąt jednotkowy, b zerokość płyty, D płytowa ztywność zginania. Wpółczynnik e wg wzoru (1) zmienia ię od e = 0 dla podparcia przegubowego do e = µ dla pełnego utwierdzenia, natomiat wkaźnik k wg wzoru (2), od k = 0 (przegub) do k = 1 (pełne utwierdzenie). Pomiędzy wkaźnikiem k a wpółczynnikiem e zachodzi natępująca zależność [7]: ( 2 ) k = e + e Przybliżone wzory do zacowania ztywności obrotowej C qj krawędzi podłużnej półki ścikanej prężyście zamocowanej na obrót w środniku zginanego pręta cienkościennego o przekroju otwartym podano m.in. w pracach [9, 10]. Sztywność obrotową uzależniono od geometrii ścianki podpierającej (środnika) oraz jej tanu obciążenia. Przy korzytaniu z tych wzorów należy jednak pamiętać, że podcza analizy lokalnej utraty tateczności przekroju cienkościennego, za długość wyboczeniową (l d ) należy podtawiać przewidywaną długość półfali wyboczenia lokalnego półki, a nie długość wyboczenia dytoryjnego. 2.2. Funkcja ugięcia Do aprokymacji potaci wyboczenia prężyście zamocowanej płyty wpornikowej przy wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń przyjęto funkcję potaci (4): 2 p i é æ p y æ y ö ö æ y ö ù æip x ö w ( x, y ) = t fi 1- + + fip in i= 1 ê ç b è b ø p= 3 è b ø ú è l ë è ø û ø o o åê ç 2 ( k ) k ç å ç ú ç (4) gdzie: t, l, b grubość, długość, zerokość płyty (ścianki ), f ip bezwymiarowe, wobodne parametry funkcji ugięcia. Funkcja ugięcia (4) pełnia warunki brzegowe na wzdłużnej krawędzi podpartej, natomiat warunki brzegowe na krawędzi wobodnej nie ą pełnione tożamościowo. W pracy [1] wykazano jednak, iż ze wzrotem topnia p o wielomianu funkcji (4), moment zginający M y oraz zatępcza iła Kirchhoffa Q ky na wobodnej krawędzi płyty dążą do zera, minimalizując tym amym całkowitą energię potencjalną układu. 2.3. Stan naprężenia W przypadku analizy tateczności płyty (ścianki) wpornikowej tanowiącej część kładową pręta cienkościennego o przekroju otwartym, w której akceptuje ię hipotezę (3)
116 płakich przekrojów lub hipotezę deplanacji przekroju (w zależności od tanu obciążenia pręta), rozkład naprężeń normalnych (ry.1) można przedtawić w potaci: y x x = æ oç 1-a öæ ç 1-m ö è b øè l ø dla liniowego rozkładu naprężeń na długości płyty, oraz: (5) 2 y x x = æ oç 1-a öæ ç 1-m ö 2 è b øè l ø dla nieliniowego rozkładu naprężeń na długości płyty, gdzie: m = - 1 1 o Zmienność rozkładu naprężeń normalnych na długości płyty wpornikowej wg wzorów (5, 6) można uzykać przez wprowadzenie naprężeń tycznych lub wzdłużnych ił maowych (ry. 1) o rozkładzie dobranym w zależności od poobu obciążenia pręta cienkościennego. Spoób zatąpienia naprężeń tycznych odpowiednim rozkładem ił maowych w płytach wpornikowych opiano w pracy [1]. 2.4. Naprężenia krytyczne Naprężenia krytyczne ( cr ) wyboczenia lokalnego płyty wpornikowej przy wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń odnieiono do najbardziej ścikanej krawędzi płyty (por.ry.1) i wyrażono w potaci klaycznego wzoru: cr = k E gdzie: E naprężenia Eulera dla płyty wg [3]. Płytowe wpółczynniki wyboczeniowe (k) do wzoru (8) wyznaczono metodą energetyczną. Całkowita energia potencjalna układu wynoi: U = V + V -L,1,2 gdzie: V,1 energia prężyta zginania płyty, V,2 energia prężytego zamocowania krawędzi podłużnej (y = 0), L praca ił zewnętrznych. Z uwagi na fakt, że funkcję ugięcia płyty zapiano zeregiem inuowo wielomianowym potaci (4), energię prężytą (V,1 ) wyznaczono w poób zaproponowany w pracy [11], a funkcję pracy ił zewnętrznych (L ) przy obciążeniu płyty wg ry. 1 wyznaczono z ekwencji wzorów wyprowadzonych w pracy [1]. Natomiat energię prężytego zamocowania (V,2 ) krawędzi podłużnej wyznaczono ze wzoru (10) wg [3]: V,2 l 2 C é q æ w ö ù = dx 2 ò êç ú y 0 êëè øy = 0 úû Płytowe naprężenia krytyczne obliczono z układu równań: U f = 0 ip prowadzając zagadnienie do problemu wyznaczania wartości i wektorów włanych. Do obliczenia wpółczynników (k) naprężeń krytycznych jednotronnie prężyście zamocowanej płyty wpornikowej przy wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń (6) (7) (8) (9) (10) (11)
Lokalne wyboczenie ścianki wpornikowej elementu cienkościennego... 117 opracowano w środowiku pakietu Mathematica [12] program obliczeniowy "Ncr_płyta_w-pręż-(2).nb". Program umożliwia tablicowanie wpółczynników oraz graficzną prezentację wyników obliczeń (wykrey, potacie wyboczenia). Funkcję ugięcia płyty aprokymowano zeregiem (4), przy narzuceniu wartości początkowych wkaźnika utwierdzenia wg wzoru (2) od k = 0 dla krawędzi podłużnej wobodnie podpartej do k = 1 dla krawędzi utwierdzonej. Parametr i o określający ilość półfal funkcji inu w kierunku oi x zeregu (4) dobierano w zależności od tounku wymiarów płyty (l /b ), rozkładu naprężeń działających w jej płazczyźnie oraz wkaźnikak. Na podtawie analizy zbieżności wyników (analogicznej do przedtawionej w pracy [1]), do obliczeń wpółczynników k jednotronnie prężyście zamocowanych płyt przęłowych o l /b 8 oraz wartości parametrów: 0 m 1 oraz 0 k 1 przyjęto w praktyce i o = 10 co daje wytarczającą dokładność z technicznego punktu widzenia przy jednoczenej redukcji ilości obliczeń. Prezentowane w dalzej części pracy wykrey wpółczynników k wyznaczono dla wartości parametrów E = 205 GPa oraz n = 0,3. W tabeli 1 podano przyporządkowanie numeru krzywej na pozczególnych wykreach (ry. 2 7) do wpółczynnika e oraz wkaźnika k wg wzorów (1, 2). Tabela 1. Przyporządkowanie numeru krzywej na ry. 2 7 do wpółczynnika e oraz wkaźnika k. Nr krzywej 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 0 0,15 0,3 0,6 1 2 3 5 10 20 10 4 k 0 0,07 0,13 0,231 0,33 0,5 0,6 0,714 0,83 0,909 1 3. Wykrey płytowego wpółczynnika wyboczeniowego k Na ry. 2 do ry. 7 pokazano wykrey wpółczynnika k dla wybranych (poprzecznych i podłużnych) rozkładów naprężeń w funkcji l /b oraz wkaźnika k wg Tabeli 1. Rozkład naprężeń w płycie wpornikowej pokazano na chematach na każdym z wykreów. Ry. 2. Wpółczynnik k dla liniowego w kierunku poprzecznym (a = 2) i liniowego w kierunku podłużnym (m = 1) rozkładu naprężeń w funkcji l /b oraz k wg tab. 1.
118 Ry. 3. Wpółczynnik k dla liniowego w kierunku poprzecznym (a = 10 4 ) i liniowego w kierunku podłużnym (m = 0,5) rozkładu naprężeń w funkcji l /b oraz k wg tab. 1. Ry. 4. Wpółczynnik k dla liniowego w kierunku poprzecznym (a = 1) i liniowego w kierunku podłużnym (m = 0,5) rozkładu naprężeń w funkcji l /b oraz k wg tab. 1 Ry. 5. Wpółczynnik k dla liniowego w kierunku poprzecznym (a = -1) i nieliniowego w kierunku podłużnym (m = 0,5) rozkładu naprężeń w funkcji l /b oraz k wg tab. 1
Lokalne wyboczenie ścianki wpornikowej elementu cienkościennego... 119 Ry. 6. Wpółczynnik k dla liniowego w kierunku poprzecznym (a = 3) i nieliniowego w kierunku podłużnym (m = 1) rozkładu naprężeń w funkcji l /b oraz k wg tab. 1 Ry. 7. Wpółczynnik k dla liniowego w kierunku poprzecznym (a = 10 4 ) i nieliniowego w kierunku podłużnym (m = 0,5) rozkładu naprężeń w funkcji l /b oraz k wg tab. 1 Ry. 8. Wpółczynnik k dla liniowego rozkładu naprężeń w kierunku podłużnym (m = 1) oraz różnych rozkładach naprężeń (w kierunku poprzecznym) w funkcji l /b.
120 Na ry. 8 porównano wpółczynnik k dla prężyście zamocowanej (e = 2, k = 0,5) płyty wpornikowej przy liniowym rozkładzie naprężeń w kierunku podłużnym (m = 1) oraz różnych (liniowych) rozkładach w kierunku poprzecznym (a = -1, 0, 2, 3, 10 4 ). Na ry. 9 porównano wpółczynnik k dla prężyście zamocowanej (e = 0,6, k = 0,231) płyty wpornikowej przy liniowym rozkładzie naprężeń w kierunku poprzecznym (a = 2) oraz liniowym rozkładzie naprężeń w kierunku podłużnym dla parametru m = 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1. Ry. 9. Wpółczynnik k dla liniowego w kierunku poprzecznym (a = 2) i liniowego w kierunku podłużnym (m = 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1) rozkładu naprężeń w funkcji l /b. 4. Podumowanie Funkcja ugięcia płyty wpornikowej w potaci zeregu wielomianowo inuowego (4) umożliwia modelowanie warunków brzegowych na wzdłużnej krawędzi podpartej oraz aprokymację potaci wyboczenia przy wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń. Uwzględnienie prężytego zamocowania krawędzi płyty (ścianki) w egmencie pręta cienkościennego oraz wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń prowadzi do dokładniejzego ozacowania naprężeń krytycznych wyboczenia lokalnego. Dotyczy to zwłazcza płyt wpornikowych (półek), dla których zapay lokalnej nośności krytycznej wynikające ze prężytego zamocowania wzdłużnej krawędzi podpartej ą więkze niż dla obutronnie prężyście zamocowanych płyt przęłowych (środników). Ze wzrotem wkaźnika utwierdzenia krawędzi płyty k wg wzoru (2) oraz parametru wzdłużnego rozkładu naprężeń m wg (7) roną naprężenia krytyczne prężyście zamocowanych płyt wpornikowych. Mniejze wpółczynniki k przy tych amych wartościach parametrów k, a, m oraz l /b uzykano dla nieliniowego rozkładu naprężeń normalnych na długości płyty (por. ry. 3 i 7). Literatura 1 Szychowki A. The tability of eccentrically compreed thin plate with a longitudinal free edge and with tre variation in the longitudinal direction. Thin-Walled Structure 46(5) (2008) 494-505. 2 PN-EN 1993-1-3. Eurokod 3. Projektowanie kontrukcji talowych. Część 1-3: Reguły uzupełniające dla kontrukcji z kztałtowników i blach profilowanych na zimno.
Lokalne wyboczenie ścianki wpornikowej elementu cienkościennego... 121 3 Bulon P.S. The tability of flat plate. Chatto and Windu, London 1970. 4 Timohenko S.P., Gere J.M. Theory of elatic tability. Part II. McGraw-Hill, New York, N.Y. 1961. 5 Yu C, Schafer BW. Effect of longitudinal tre gradient on elatic buckling of thin plate. J Eng Mech ASCE 133(4) (2007) 452-63. 6 Yu C, Schafer BW. Effect of longitudinal tre gradient on the ultimate trength of thin plate. Thin-Walled Structure 44 (2006) 787-799. 7 Szychowki A. Stateczność prężyście zamocowanych płyt wpornikowych przy wzdłużnej zmienności naprężeń. 56 KN KILiW PAN i KN PZITB, Kielce - Krynica 2010. 8 Rykaluk K. Pozotające naprężenia pawalnicze w wybranych tanach granicznych nośności. Prace Naukowe Intytutu Budownictwa Politechniki Wrocławkiej, 29, eria: Monografie 11, Wrocław 1981. 9 Hancock G.J. Deign for ditortional buckling of flexural member. Thin-Walled Structure 27(1) (1997) 3-12 10 Roger C.A., Schuter R.M. Flange/web ditortional buckling of cold-formed teel ection in bending. Thin-Walled Structure 27(1) (1997) 13-29 11 Jakubowki S. Macierzowa analiza tateczności i drgań włanych ścian dźwigarów cienkościennych. Archiwum Budowy Mazyn XXXIII(4) (1986) 357-375. 12 Wolfram S. Mathematica. Cambridge Univerity Pre. Local buckling of cantilever wall of thin-walled member with longitudinal and tranvere tre variation Department of Mechanic, Metal Structure and Computer Method, Faculty of Civil Engineering and Architecture, Kielce Univerity of Technology, e mail: azychow@tu.kielce.pl Abtract: The paper preent reult of the invetigation into the tability of elatically retrained cantilever wall (plate) with longitudinal and tranvere tre variation. A linear ditribution of tree in the direction of the wall (plate) width and the linear or nonlinear (in accordance with parabola 2 0 ) ditribution of tree along the wall length were aumed. Plot of plate buckling coefficient (k) for variouly upported and variouly loaded cantilever plate, which are not found in the literature, were determined. Keyword: thin-walled bar, open cro-ection, cantilever wall, elatically retrained, longitudinal and tranvere tre variation.