Analiza Matematyczna 3

[wersja z 5 X ] Analiza Matematyczna 3 Konspekt wykładu dla studentów II r. fizyki Uniwersytet Jana Kochanowskiego / Wojciech Broniowski

Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Aleandra Butelka Kleina

3

Całki wielowymiarowe (powtórka) Uogólnienie calki Riemanna: P = [ a, b ] [ a, b ]... [ a, b ] P = ( b a )... ( b a ) δ = ( b a ) +... + ( b a ) n n Dokonujemy podzialu prostokąta n m = inf{ f ( ) : P}, M = sup{ f ( ) : P} i i i i s = m P +... + m P, S = M P +... + M P k k * * n n n Rozważamy normalny ( δ ) ciąg podzialów n n n s = lim s calka dolna, S = lim S calka górna funkcji f na prostokącie P n * * Jeżeli s = S to wielkosć tę nazywamy wielokrotną calka Riemanna n k k Notacja: P ddy f (, y), ddydz g(, y, z) P 4

Całka iterowana P = [ a, b ] [ a, b ] b b b b dy d f (, y), d dy f (, y) calki iterowane a a a a Tw. Fubiniego: Jeżeli f : P R jest ciągla, to obie calki iterowane są równe calce Riemanna ddy f (, y). P (analogicznie dla większej liczby wymiarów) Przyklad: P = [,] [, ] P y ddy ( y + ) = d dy ( y + ) = d ( + y) = d( + 4) = + 4 3 y= 3 y y dy d y + = dy ( + ) = ( ) 4 3 d + = + 3 3 = = ( ) 5

Całki po dowolnym obszarze A R n f ( ) dla A F( ) = dla P \ A ϕ, ψ :[ a, b] R A = {(, y) : a b, ϕ( ) y ψ ( )} zbiór normalny względem O Tw. Jeżeli f : A R jest ciągla, to jest calkowalna, oraz ψ ( ) ddy f (, y) = d dy f (, y) A a ϕ ( ) b Przyklad: A={(, y) :, y } trójkąt ddy d dy d y = y = ( ) = 4 A 6

Zastosowania całek wielokrotnych V = A ddydz A = {(, y, z) :, y,, + y + z }, y ustalone z y ustalone, szukamy największego możliwego y: y z, ponieważ najmniejsze z = y y ( ) V = d dy dz = d dy( y) = d ( ) = 6 Jest to tzw. objetosć sympleksu. W n wymiarach V = n! 7

Środek ciężkości = ddy y y ddy A = A A figura -wym. = ddydz, z z ddydz bryla V = V V A V Objętosć bryly obrotowej powstalej w wyniku obrotu regularnego zbioru A wokól O: V = π y ddy Reguly Guldina: V = πη A, η = y ddy, A Dla torusa V = π a π r Podobnie dla powierzchni powstalej w wyniku obrotu luku mamy S = πξ L, ξ = ydt - odleglosc srodka ciężkosci luku od osi obrotu L Dla torusa S = π a π r β α A A 8

Pole powierzchni r r Pole powierzchni równolegloboku rozpiętego na wektorach a i b r r wynosi S= a b. Z rysunku wynika, że r r a = ( d,, f d), b = (, dy, f dy), zatem iˆ ˆj kˆ S = d f d dy = if ˆ ddy ˆjf ddy + kddy ˆ = + f + f ddy y y f dy y y 9

z = f (, y), (, y) A f f S = ddy + + y A Wzór wynika z konstrukcji przybliżającej powierzchnię infinitezymalnymi równoleglobokami Przyklad: f (, y) = y A = {(, y) :, y, + y } S = ddy 3 = A 3

Zamiana zmiennych - dyfeomorfizm ϕ ( b) Pamiętamy, że dla jednej zmiennej dy f ( y) = d f ( ϕ( )) ϕ '( ), y = ϕ( ) ϕ ( a) n n Tw. bijekcja ϕ : X R Y R klasy C, ϕ i ϕ ciagle J ( ) = jakobian przeksztalcenia ϕ Wtedy Y ϕ ϕn n ϕ n ϕn... f ( y,.., y ) dy.. dy n n... f ( ϕ (,.., ),..., ϕ (,.., )) J (,.., ) d.. d, y = ϕ (,..., ) X = n n n n n i i n b a (Dowód: RR)

Podstawowe układy współrzędnych Współrzędne biegunowe (osiowe) Φ : R R Φ ( r, φ) Φ ( r, φ) = =, = r cos φ, y = r sinφ Φ y( r, φ) r(, y) y Φ (, y) =, r = + y, φ=arctg φ(, y) r φ cosφ r sinφ Φ '( r, φ) = = y y sinφ r cosφ r φ cosφ r sinφ J = = r (, ) ( (, ), (, )) sinφ r cosφ ddy f y = rdrdφ f φ y r φ Homeomorfizm regularny dla r, rząd Φ ' =. Dla r = jest osobliwosć, bo w tym punkcie nie można okreslić kąta

Przyklady: ddy y rdrdφ r π = = dr dφ = Rπ r + + y R r R I = e ddy = e rdrdφ = π rdre = π e = π πe I R = lim I = π R R y r r r R + y R r R R R y I = d e dy e = d e d e = π Całka Gaussa r= 3

Współrzędne eliptyczne = ar cosφ y = br sinφ a y + = = b r, J abr Współrzędne walcowe (cylindryczne) = r cosφ y = r sinφ z = z J = r Liniowa zmiana skali = a ' y = by ' z = cz ' J = abc 4

Współrzędna sferyczne (kuliste) Φ : R R 3 3 = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ θ [, π ] - kąt osiowy(szerokosć geogr.), φ [, π ) - kąt biegunowy (azymutalny, dlugosć geogr.) sinθ cosφ r cosθ cosφ r sinθ sinφ Φ ' = sinθ sinφ r cosθ sinφ r sinθ cosφ cosθ r sinθ J = r sinθ r = rz Φ ' = w srodku kuli nie można okreslić kątów θ = θ = π rz Φ ' = na biegunach nie można okrelić kąta φ 5

Przyklad: Objętosć kuli π π R π 3 R 4 3 V = ddydz = dr dθ dφr sinθ = dr d cosθ dφr = π = π R 3 3 + y + z < R ( d cosθ = sin θdθ ) R Srodek ciężkosci pólkuli: η = + y + z < R z> + y + z < R z> z ddydz ddydz R π / π dr d d r r 3 = θ φ sin θ cosθ = π R 3 R π 4 3 R 3 3 π R 3 3 3 = dr d cos θ dφ r cosθ = π = R π R 4 8 6

Równanie prostej i płaszczyzny 7

Płaszczyzna styczna Rozważmy powierzchnię gładką o równaniu f(,y,z)= w okolicy (, y, z ). f f f f ( +, y + y, z + z) = = = + = y + = z y z = = = y= y y= y y= y Dla punktów na plaszczyźnie (, y, z) = k( -, y y, z z ), więc f f f ( ) + ( y y ) + y y z= z z= z z= z y= y y= y y= y z= z z= z z= z ( z z ) = f f f Wektor =,, jest prostopadly (normalny) do = = y= y y z y= y y= y z= z z= z z= z powierzchni w punkcie (, y, z ). 8

Prosta prostopadla do powierzchni w tym punkcie ma więc równanie parametryczne f f f (, z, y) = t +, t + y, t + z y z = = = y= y y= y y= y z= z z= z z= z Dla sfery f = + y + z R ( ) (, z, y) = t +, y t + y, z t + z, więc prosta prostopadla ma równanie 9

Plaszczyzna styczna do powierzchni w punkcie jest przestrzenią liniową. Niech Φ : V R R, e, e,..., e tworzą bazę w R, oraz y = Φ( ). Wtedy u i k n k k = Φ '( ) e tworzą bazę w przestrzeni stycznej. i Przyklad: Dla powierzchni danej jako Φ (, y) = y mamy Φ'=, f (, y) f f y u = Φ ' e = =, v 'e = Φ = = f f y f f f y f y

Orientacja k Rozważmy bazy w przestrzeni R : ( v,..., v ) oraz ( w,..., w ). Bazy te powiazane są n i ij j j= k przeksztalceniem liniowym w = a v, przy czym musi zachodzić warunek a aby zachować liniową niezależnosć. Jeżeli a >, to mówimy, że bazy są zgodnie zorintowane, a gdy a <, to mówimy, że są zorientowane przeciwnie. k Dla k = mamy jedną bazę jednoelementową v = i drugą w =. Dla k = przykladowe bazy v =, v = i baza w =, w = są powiązane przeksztaceniem o macierzy a =, zatem a = > i bazy są zorientowane zgodnie, natomiast dla bazy u =, u =, a =, a = <, więc ta baza jest zorientowana przeciwnie do poprzednich. Orientację bazy kanonicznej nazywamy prawoskretną (zorientowaną dodatnio).

Wektor normalny 3 Niech M będzie powierzchnią dwuwymiarową w R, T plaszczyzną styczną do M w punkcie, a wektory ( u, v) bazą na plaszczyźnie stycznej. Wektor normalny definiujemy u v jako n =. Wektor ten wskazuje zewnętrzną (wewnętrzna) stronę powierzchni u v orientowalnej jesli baza jest prawoskrętna (lewoskrętna). c. d. przykladu: uv3 u3v f f u =, v =, u v = u3v uv3 = f y, n = f y f f f y uv uv + f y + y f = R y = z f = f = n = y z z + y + z z Dla górnej pólsfery,, y, Dla dolnej pólsfery f = R y = z wynik taki sam (jeż!)

Nieco inne wyprowadzenie: r r a b= if ˆ ddy ˆjf ddy + kddy ˆ = ( f, f,) ddy y y Po znormalizowaniu r r r a b n = r r = ( f, f y,) a b + f + f y 3

Powierzchnie orientowalne (mają stronę wewnętrzną i zewnętrzną) i nieorientowalne (nie można wyznaczyć strony) Wstęga Möbiusa Butelka Kleina 4

t t t = ( R + s cos ) cos t, y = ( R + s cos ) sin t, z = s sin t [, π ), s [ w, w] (M.C Escher) 5

Całka krzywoliniowa zorientowana F = ( F, F,..., Fk ), C - krzywa gladka I = F d + F d +... + F d = F d C k k C I = I + I, I = I C + C C C C C Tw. Calka IC nie zależy od parametryzacji krzywej b dy D: y( t) = ( ϕ( t)) F( y) dy = F( y( t)) dt = dt C a b β d( ϕ) dϕ d( ϕ) = F( ( ϕ( t))) dt = F( ( ϕ)) dϕ = F( ) d dϕ dt dϕ a α C (w konkretnej parametryzacji staje się zwyklą calką Riemanna) Przyklad: C : ( φ) = cos φ, y( φ) = sin φ, φ [, π ] (pólokrąg o promieniu jednostkowym) C π d y dy d d d + ( ) = [cos φ (cos φ) + cos φ φ sin φ (sin φ)] = φ = 3 π π cos sin φ π φ π = + = + 3 3 3 C 6

Całka krzywoliniowa niezorientowana b d dk JC = f ds = f ( ( t)) +... + dt dt dt C a J C C Tw. Związek z calką zorientowaną: F d = F ds, F = F +... + F cos α, α kąt miedzy d i F C = J C s s k Zastosowanie (fizyka): praca W = F ds = F d + F dy + F dz π C : = a cos φ, y = bsin φ, φ [, ] ćwiartka elipsy k F = sprężyna zamocowana w srodku ky C d = a φdφ dy = b φdφ F d + F dy = k a b φ φ dφ sin, cos, y ( )sin cos π / k W = k( a b ) cos φ d(cos φ) = ( a b ) s C y z 7

Nabla, operator Laplace a i dywergencja Operator to funkcja, która funkcji przyporządkowuje funkcję. Nabla Operator Laplace'a (laplasjan) = = = + + + = n i i i i... n i= f f (,..., ) = +... + n n 3 f (, y) y, f 4 6 = + + = + n n Dywergencja: g : U R R (pole wektorowe) g gn div g = igi = g = +... + (,, ) =, = + + yz g y z z y g z y f n 8

Elementy rachunku tensorowego dla i = j Delta Kroneckera: δij = dla i j tensor symetryczny : δ = δ, δ = n (wymiar przestrzeni) δ A = A, = δ i ij... j...... i... ij j Pseudotensor Levi-Civity (w 3 wymiarach): ε ε = ε = ε =, ε 3 = ε3 = ε3 =, pozostale = 3 3 3 ij ji ii tensor calkowicie (we wszystkich wskaźnikach) antysymetryczny εijkεilm = δ jlδ km δ jmδ kl, εijkεijm = δ km, εijkεijk = 6 Iloczyn wektorowy (a b) = ε a b i ijk j k iˆ ˆj kˆ równoważny zapis: a b = a a a 3 b b b 3 ijk 9

ε a ε b c = ε ε a b c = ( δ δ δ δ ) a b c ijk j klm l m kij klm j l m il jm im jl j l m = δ δ a b c δ δ a b c = a c b a b c a ( b c) = a c b a b c il jm j l m im jl j l m j j i j j i ( ) ( ) ε a b ε c d = ( δ δ δ δ ) a b c d = a c b d b c a d a b c d = a c b d a d b c ijk j k ilm l m jl km jm kl j k l m j j k k j j k k ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3

Rotacja 3 3 f : U R R rot f = f, rot f = ε f ( ) i ijk j k ε f = ε f = ε f = ( i j) = ε f = ε f i ijk j k ijk i j k jik i j k ijk j i ijk i j iεijk j fk = div (rot f ) = rot grad f = i ( u( ) fi ( )) = fi iu + u i fi div ( uf ) = f u + u f = f grad u + u div f 3

Tw. Greena Krzywą zamkniętą nazywamy konturem. Niech kontur C będzie brzegiem zbioru D. Kontur jest zorientowany dodatnio jeśli okala zbiór D w taki sposób, że D znajduje się po lewej stronie. Zbiór normalny D względem osi O to zbiór dający się zapisać jako D = {(, y) : f ( ) y f ( ), [ a, b]}, f, f :[ a, b] R Zbiór normalny D względem osi Oy to zbiór dający się zapisać jako D = {(, y) : g ( y) g Tw. Greena ( y), [ c, d]}, g, g :[ c, d] R D - zbiór normalny ze względu na O i Oy, C = D jego brzeg zorientowany dodatnio Q P Wtedy Pd + Qdy = ddy. y D D b f ( ) P P D: ddy = d dy = d[ P(, f ( )) (, ( ))] y y D a f ( ) a C C = Pd Pd = Pd C C D d g ( y) d b P f = Pd Pd = Q Q ddy = dy d = dt[ Q( g ( y), y) Q( g ( y), y)] = Qdy Qdy = Qdy D c g ( y) c K K D 3

33

Pole potencjalne V (, y) potencjal F V V V V F F =, Fy =, = = y y y y Fy F Fd + Fydy = ddy = Fd + Fydy = Fd + Fydy (rys.) y C D K K (Praca w polu potencjalnym nie zależy od drogi - można wprowadzić energię potencjalną. W poprzednim przykladzie z pracą na ćwiartce elipsy wynik jest wtedy natychmiastowy: W = V - V ) ( V ) (w powyższym wzorze zauważamy rot grad = ) z y 34

Całka powierzchniowa niezorientowana (wspólrzędne kartezjańskie) Plat regularny S = {(, y, z) : z = f (, y),(, y) D} Element powierzchni : ds = + f + f ddy y Pole powierzchni plata regularnego: S = + f + f ddy Calka powierzchniowa niezorientowana: S S g(, y, z) ds = g(, y, f (, y) + f + f ddy (wspólrzędne krzywoliniowe) D D y = ( u, v), y = y( u, v), z = z( u, v), ( u, v) D y g(, y, z) ds = g( ( u, v), y( u, v), z( u, v)) J + J + J dudv D ( y, z) (, z) (, y) J =, J =, J3 = ( u, v) ( u, v) ( u, v) 3 35

Przyklad (wspólrzędne kuliste) = r sinθ cos φ, y = r sinθ sin φ, z = r cosθ J J J 3 r cosθ sinφ r sinθ cosφ = = r r sinθ sin r cosθ cosφ r sinθ sinφ = = r r sinθ r cosθ cosφ r sinθ sinφ = = r r cosθ sinφ r sinθ cosφ J + J + J3 = r sinθ θ cosφ sin θ sinφ sinθ cosθ 36

Całka powierzchniowa zorientowana F S 3 : R - pole wektorowe S plat regularny n zewnętrzny wektor normalny Calka powierzchniowa zorientowana pola F lub strumień pola F: I = F(, y, z) n(, y, z) ds strumień S Niech F = ( F, F, F ). Wtedy oznaczamy I = S 3 y D 3 Jeżeli S dana jest równaniem z = f (, y), to n = ( f, f y,) + f + f F f F f y + F3 I = ds = ( F f F f y + F3 ) ddy + f + f S F dydz + F ddz + F ddy y 37

V Tw. Gaussa (Ostrogradskiego-Gaussa) div F ddydz = F n ds S Slownie: calka po objętosci V z dywergencji z pola F równa się strumieniowi wyplywającemu przez powierzchnie S ograniczającą V F F F3 + + ddydz = F dydz + F dd d dy dz z + F3 ddy V S D: Niech V będzie obszarem normalnym względem plaszczyzny Oy, ograniczonym funkcjami g(, y) i d(, y). Wtedy g (, y) F 3 F 3 I3 = ddydz = dz ddy F3 (, y, g(, y)) F3 (, y, d( dz = dz (, y)) ) ddy V D d (, y) D Oznaczmy S = S + S, gdzie S dana jest przez z = g(, y) a S przez z = d(, y). I ' = F ddy = F ddy ( ) F ddy = F (, y, g(, y)) ddy F (, y, d(, y)) ddy 3 3 3 3 3 3 S S S D D Znak (-) wynika z przeciwnej orientacji S. Zatem I = I '. Podobnie pokazujemy, że I = I ' oraz I = I 3 3 '. Jeżeli V nie jest normalny, to dzielimy go na podzbiory normalne. 38

Tw. Stokesa Tw. Niech K będzie regularnym konturem bedącym brzegiem plata regularnego S. Orientacje K i S są zgodne. Niech Fi mają ciągle pochodne. Wtedy F dl = rot F n ds K S Cyrkulacja pola F po krzywej zamkniętej K jest równa calce zorientowanej z rotacji pola F po placie S. Inna notacja: F F F F F F 3 3 F d + F dy + F3 dz = dydz + dzd + ddy y z z y K S 39

Formy różniczkowe (*) Różniczka zewnętrzna stopnia p : a(,..., ) d d... d, p n, wszystkie i różne i... i n i i i k d d = d d d d = i j j i i i Suma różniczek tego samego stopnia: forma różniczkowa zewnętrzna α = i... i p a p (,..., ) d d... d n i i i i... ip j... j p Przyklady: Pd + Qdy, Pdy dz + Qdz d + Rd dy, A d dy dz Dodawanie analogiczne do dodawania wielomianów. p+ q Mnożenie: α β = a b d... d d... d = ( ) β α q i... i j... j i i j p q p p p Różniczkowanie: α...... P Q Q P d( Pd + Qdy) = dy d + d dy = d dy y y d( Pdy dz + Qdz d + Rd dy) = ( P + Q + R ) d dy dz p ai... i ai... i d = d + + d d d i... i p n y z j q n i i p 4

ai... i a p i... ip = d( da) = k l l k α jest formą zupelną, jeżeli γ : α = dγ, α jest formą zamknietą, jeżeli dα = Zamiana zmiennych t: ( i,..., i ) a = a dt dt V p (,..., )... p i... i n p i... i ( t,..., t p ) p Calkowanie po hiperpowierzchni V: a = A( t) dt... dt = A( t) dt... dt (zwykla calka Riemanna) D p D Ogólne Tw. Stokesa: V hiperpowierzchnia zorientowana, V jej brzeg Jeżeli wspólczynniki formy a = to a = da V V i... i p a p i... i ( ) di... di są klasy C na V + V, p p Przyklady: Tw. Greena, Gaussa, Stokesa, także f ( ) d = F( b) - F( a), bo df( ) df( ) = d = f ( ) d, V = { a, b} d [ a, b] 4

Równania różniczkowe 4

Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe zwyczajne ma ogólną postać F(, y( ), y '( ),...) =, gdzie... oznaczają możliwosć wystąpienia wyższych pochodnych. Zmienna jest zmienną niezależną, a y( ) jest szukaną funkcją. Rząd równania to najwyższy rząd pochodnej. W szczególnosci, równanie różniczkowe rzędu pierwszego ma postać F(, y, y ') =. Równanie różniczkowe cząstkowe ma ogólną postać F(,,...,, y(,..., ), n n y(, n..., ) y(,..., n),...,,...) = (równaniami cząstkowymi nie bedziemy się zajmować) n Uklad równań różniczkowych zwyczajnych na n funkcji y ( ) ma postać F (, y ( ),..., y ( ), y '( ),..., y '( ),...) =, i =,..., n i n n i Model fizyczny/ekonomiczny/meteorologiczny... r. różniczkowe 43

Przykład: oscylator harmoniczny F( t, ( t), ( t), ( t)) = r. mechaniki f = ma prawo Newtona k k t = m t k m > = ω m t = ω ( ) ( ),,, oscylator harmoniczny ( ) ( t) r. różniczkowe do rozwiązania ( t) = Acos( ωt) + Bsin( ωt) ogólna postać rozwiązania t = Aω ωt + Bω ωt t = ω t Sprawdzenie: ( ) sin( ) cos( ), ( ) ( ) Warunki początkowe: ( t) =, ( t) = v A =, Bω = v v t = ωt + ωt ω ( ) cos( ) sin( ) rozwiązanie spelniające war. początkowe 44

Przykład: rozpad promieniotwórczy / wzrost populacji dn ( t) = λn( t), λ > dt (ubytek na jedn. czasu proporcjonalny do liczby atomów) Rozw.: N ( t) = N ep( λt) liczba nierozpadlych atomów po czasie t λ λ N( t) = N ep( λt) populacja w czasie t, prawo wzrostu Malthusa Bardziej realistyczne równanie: dn ( t) = λn t N t N dt = N N = λ * ( )[ ( ) / ], * / ( ) (nieliniowosć!) 45

Rozwiązanie równania populacji ( λ = ): d d = ( ) dt ln t C ep( t C) dt = = + = + ( ) = ep( C)ep( t) = C 'ep( t) ( t) = C 'ep( t) war. początkowy: ( t = ) = = C ' ( t) = + ep( t) + ep( t) ep( t) t ln, (,) (, ) (w t ln osobliwosć) = = ( t) = : lim ( t) = t 46

Ogólne uwagi i twierdzenia Rozwiązanie y( ) r.r. nazywamy calką r.r., a wykres (, y( )) krzywą calkową. Calka ogólna równania rzędu pierwszego jest postaci y( ) = f (, C), gdzie C jest stalą. Stalą tę wyznacza się z warunku poczatkowego y = f (, C). Rozwiązanie osobliwe to rozwiązanie, którego nie można uzyskać z postaci f (, C) dla żadnej wartosci C. y ' Przyklad: y ' = y = ( y )' = y = + C, + C y ( + C), C y( ) =, < C y( ) = rozw. osobliwe 47

Jednoznaczność rozwiązań Tw. (o jednoznacznosci rozwiązań) R. postaci y ' = f (, y), f (, y) i f (, y) ciagle w pewnym otoczeniu (, y ) y otoczenie ( a, + a), w którym jest okreslona dokladnie jedna funkcja φ( ) o wlasnociach: φ '( ) = f (, φ( )), φ( ) = y. 48

Równanie o zmiennych rozdzielonych dy p( y) y '( ) = q( ) p( y) = q( ) p( y) dy = q( ) d p( y) dy = q( ) d d P( y) = p( y) dy, Q( ) = q( ) d, P( y) = Q( ) + C, C pewna stala Rozwiązanie jest dane w postaci uwiklanej! 3 ' 3, ' d dy d d D: ( P( y( )) Q( ) C) = P( y) Q( ) = y ' p( y) q( ) = d d dy d Przyklad: 3 dy( t) y t 3 3 y = t y dy = tdt = + C y = t + 3C dt 3 3 C = C y = t + C 3 y t C ' 3 3 3 Warunek początkowy: y( t) = y = + y = ( t t ) + y 3 3 Z nieskończonej liczby rozwiązań z parametrem C warunek początkowy wybiera jedno! 49

Rozwiązanie równania populacji ( λ = ): d d = ( ) dt ln t C ep( t C) dt = = + = + ( ) = ep( C)ep( t) = C 'ep( t) ( t) = C 'ep( t) war. początkowy: ( t = ) = = C ' ( t) = + ep( t) + ep( t) ep( t) t ln, (,) (, ) (w t ln osobliwosć) = = ( t) = : lim ( t) = t 5

Jednoparametrowe rodziny krzywych R. populacji = ( ) ( t) = + ep( t) Inne równanie y y = t y( t) 3t = 3 + y 3 5

Równania sprowadzalne do równania o zmiennych rozdzielonych y ' = f ( a + by + c) u = a + by + c u ' = a + by ' = a + bf ( u) u ' = a + bf ( u) R. jednorodne w i y : y y '( ) = f y u( ) =, y = u, y ' = u ' + u u ' + u = f ( u) u ' =, f ( u) u, f ( u) u 5

Ciąg dalszy w notatkach i skryptach... 53