BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na kierunek ramion paraboli a>0 ramiona do góry, a<0 ramiona na dół) - jeśli funkcja występuje w postaci kanonicznej wierzchołek odczytaj, nie przekształcaj szkoda czasu 2. Oblicz miejsca zerowe funkcji 3. Rozwiąż równania i nierówności: d) e) f) g) h) i) j) k) l) ł) m) n) o) p) r) s) t) u) w) z) ż) ź) 4. Wykres funkcji jest symetryczny do wykresu funkcji kwadratowej względem osi OY. Zatem funkcję opisuje wzór: 5. Zapisz równania osi symetrii wykresów funkcji: d) e) 6. Oblicz największą i najmniejsza wartość funkcji w przedziale 7. Oblicz najmniejsza wartość funkcji w przedziale 8. Zapisz wzór funkcji, która powstanie po przekształceniu wykresu funkcji przez symetrię względem osi OX. 9. Wykres funkcji przesunięto równolegle wzdłuż osi OX o 1 w kierunku ujemnym i wzdłuż osi OY o 4 w kierunku dodatnim; otrzymano wykres funkcji o wzorze. 10. Do wykresu funkcji kwadratowej należy punkt, a dla argumentu 10 funkcja przyjmuje wartość równą 2. Wyznacz wzór funkcji w postaci ogólnej. 11. Funkcja kwadratowa przyjmuje największą wartość dla argumentu 0,25. Wyznacz wartość b, a następnie oblicz. 12. Wyznacz największa wartość funkcji w przedziale. WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE 1.Rozłóż na czynniki możliwie najniższego stopni b) c) j) k) l) m) 2. Rozwiąż równania: b) c) j) k) l)
3. Liczby -2 i 3 są rozwiązaniami równania. Wyznacz wartości współczynników. 4. Określ ile rozwiązań mają poniższe równania: d) e) 5. Określ dziedzinę poniższych funkcji/ wyrażeń wymiernych d) e) f) k) l) ł) m) 6. Narysuj wykres funkcji. Przesuń go o 3 jednostki w lewo i 2 jednostki w dół. Podaj wzór otrzymanej funkcji i opisz jej własności. 7. Znajdź punkty przecięcia wykresów funkcji z osiami układu współrzędnych prostokątnych d) e) f) g) h) 8. Funkcję g(x) przesunięto wzdłuż osi układu współrzędnych prostokątnych i otrzymano funkcję f(x) A. Podaj wzór funkcji g(x) i w jaki sposób została ona przesunięta. B. Podaj wzór funkcji, która powstanie po zastosowaniu symetrii wykresu funkcji względem osi OY. C. Podaj wzór funkcji, która powstanie po zastosowaniu symetrii wykresu funkcji względem osi OX. 9. Podaj wzory asymptot funkcji: 10. Oblicz miejsca zerowe funkcji: d) e) f) g) h) 11. Które liczby ze zbioru nie należą do dziedziny wyrażenia? 12. Zapisz wyrażenia w jak najprostszej postaci: b) c) d) e) f) g) h) 13. Wykonaj działania: d) e) f) ` g) h) i) j) k) l) ł) m) 14. Rozwiąż równania: ) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 15. Wyrażenie zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów. 16. Określ najmniejszy wspólny mianownik wyrażeń:
17. Zapisz wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla. 18. Ustal dziedzinę i sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie. 19. Wyznacz dziedzinę wyrażenia a następnie je uprość. Oblicz wartość wyrażenia dla. d) 20. Wyznacz miejsca zerowe funkcji LOGARYTMY I FUNKCJA WYKŁADNICZA 1. Oblicz: d) e)* f) j) k) l) l) m) n) o) p) r) 2. Wykaż, że liczba jest liczbą wymierną. 3.Wykaż, że liczba jest liczbą całkowitą 4. Liczby dodatnie spełniają warunek:. Oblicz. 5. Wiedząc, że, a oblicz wartość wyrażenia. 6. Wiedząc, że i, oblicz. 7. Uporządkuj rosnąco liczby. 8.Podaj warunki istnienia logarytmów: d) 9. Dane są liczby: Która z liczb jest najmniejsza? 10. Wyznacz liczbę, wiedząc, że: a), b) 11. Jeśli, to jest równy: 12. Liczba jest równa: 13. Liczba jest równa: 14. Liczba jest równa: 0,5 log6 3 15. Oblicz: 36 2. 16. Rozwiąż równanie: 0,25log x 1 0. 3 17*. Oblicz, jeśli. 18*. Oblicz wartość liczby, dla której 19. Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych spełniające równanie. 20. Wskaż wzór funkcji rosnącej:
21. Funkcja określona jest wzorem, gdzie. Do jej wykresu należy punkt. Zatem: 22. Do wykresu funkcji należy punkt: A. B. C. D. 23. Funkcja A. jest malejąca i ma miejsce zerowe B. jest malejąca i nie ma miejsc zerowych C. jest rosnąca i ma miejsce zerowe 24. Do wykresu funkcji określonej wzorem należy punkt. Wynika stąd, że: 25. Zbiorem wartości funkcji jest 26. Narysuj wykres funkcji. Podaj jej miejsce zerowe. 27. Wyznacz wzór funkcji wykładniczej, której wykres przechodzi przez punkt. 28. Dana jest funkcja. Narysuj wykresy funkcji:, 29. Dana jest funkcja: a) Znajdź punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych prostokątnych b) Podaj wzór asymptoty funkcji. D. jest rosnąca i nie ma miejsc zerowych 30. Funkcję przesunięto. W wyniku tego przesunięcia otrzymano funkcję. Określ w jaki sposób dokonano przesunięcia. 31. Sporządź wykres funkcji Odczytaj z wykresu własności tej funkcji. 32. Oblicz miejsce zerowe funkcji : 33.Znajdź argument, dla którego wartość funkcji wynosi 34. Znajdź punkt przecięcia się wykresów funkcji: i. 35. Oblicz wartość funkcji wykładniczej dla argumentu. 36. Wykaż, że w wyniku przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej przez symetrię osiową względem osi OY otrzymamy wykres funkcji wykładniczej. 37. Dana jest funkcja:. Znajdź punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych prostokątnych. Podaj wzór asymptot funkcji. CIĄGI LICZBOWE 1. Ile wyrazów dodatnich ma ciąg? Podaj największy z nich. 2. Które wyrazy ciągu są równe zeru? 3. Które wyrazy ciągu są mniejsze od liczby m? 4. Zbadaj, czy poniższe ciągi są arytmetyczne. Uzasadnij odpowiedź 5. Wykaż, że ciąg jest arytmetyczny. Oblicz jego pierwszy wyraz i różnicę.
6. Wyznacz ciąg arytmetyczny, jeżeli: d) e) 7. Liczby w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x. 8. Liczby w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x, y i z. 9. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. 10. Oblicz sumy (stosując wzór na sumę wyrazów w ciągu): 11. Wyznacz x z równania, wiedząc że jego lewa strona jest suma wyrazów ciągu arytmetycznego: 12. Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 13. Suma kolejnych początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu. 14. Oblicz sumę stu kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 3, a drugi wyraz stanowi wyrazu dziesiątego. 15. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym 16. Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego. 17. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz rosnącego ciągu geometrycznego, w którym: 18. Zbadaj, czy poniższe ciągi są geometryczne. Uzasadnij odpowiedź d) 19. Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego jest równy a trzeci jest równy 1. Znajdź dziewiąty wyraz tego ciągu. 20. W ciągu geometrycznym dane są. Wyznacz sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu. 21. Liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz x 22. Liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz a i b. 23. Wyznacz x, tak aby liczby: tworzyły malejący ciąg geometryczny. 24. Wykaż, że ciąg jest ciągiem geometrycznym. 25. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem dla. Oblicz pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz. 26. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 26, różnica wyrazów czwartego i pierwszego wynosi 52. Oblicz piąty wyraz tego ciągu. 27.Nieskończony ciąg geometryczny jest określony wzorem, dla Oblicz iloraz tego ciągu. 28. Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego jest równy. Wyraz drugi, trzeci i czwarty spełniają warunek. a) oblicz iloraz ciągu b) określ, czy ciąg jest rosnący, czy malejący. TRYGONOMETRIA 1.Wiedząc, że jest kątem ostrym i oblicz 2. Wiadomo, że jest kątem ostrym i. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta. 3. Wiadomo, że jest kątem ostrym i. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta.
4. Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości. Oblicz tangens większego z kątów ostrych w tym trójkącie. 5. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta, jeżeli: a) sinus kąta ostrego jest dwa razy większy od jego cosinusa b) cosinus kąta ostrego jest trzy razy większy od jego sinusa 6. W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych spełniony jest warunek. Oblicz iloczyn cosinusów tych kątów. 7. Drzewo pochyliło się pod katem 30 do poziomu. Jego wierzchołek znajduje się 4 m nad ziemią. Po pniu drzewa wspina się ślimak, podążający z prędkością 10 cm na minutę. Ile minut zajmie ślimakowi droga do wierzchołka drzewa, jeżeli znajduje się w połowie pnia? A. B. 80 C. 120 D. 8. Dłuższa przekątna rombu ma miarę 12 cm, a jego kąt rozwarty 120. Oblicz pole oraz wysokość rombu. 9. Pole trapezu równoramiennego jest równe cm 2. Ramię długości cm tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze 30. Oblicz obwód trapezu. 10. Kąt wzniesienia baszty, zmierzony w odległości 80 m od jej podstawy, ma miarę 48. Jaką wysokość ma wieża? 11. Kolejka prowadząca na szczyt Gubałówki pokonuje na drodze długości ok. 1340 m różnicę zniesień ok. 300 m. Zakładając, że kolejka porusza się wzdłuż linii prostej, oblicz, pod jakim kątem wznoszą się tory kolejki. 12. Sprawdź, czy poniższe równości są tożsamościami trygonometrycznymi, wiedząc że c) 13. Wiedząc, że i jest katem ostrym, oblicz wartość wyrażenia. 14. Wiedząc, że jest kątem ostrym oraz oblicz wartość wyrażenia. 15. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego jeżeli.. 16. Oblicz wartość wyrażenia, jeżeli i jest kątem ostrym. 17. Wiedząc, że jest kątem ostrym i oblicz. 18. Kąt jest ostry oraz. Oblicz wartość wyrażenia. 19. Wiedząc, że Oblicz. 20. Kąt jest ostry i Oblicz. 21. Kąt jest ostry oraz Oblicz. Część zadań pochodzi ze strony internetowej http://www.zadania.info. Można tam znaleźć rozwiązania.