Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy funkcję liczbową, którą można określić wzorem postaci f (x) = g(x), gdzie g, h R[x] i przy tym h 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór h(x) R \ A, gdzie A jest zbiorem miejsc zerowych wielomianu h. Uwaga. W powyższej definicji zapis h 0 oznacza, że h nie jest wielomianem zerowym. Zbiór wszystkich funkcji wymiernych zmiennej x i o współczynnikach rzeczywstych oznaczamy przez R(x). Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k l gl + hk =, () hl = gk hl. () Powyższe wzory są takie same jak wzory określające dodawanie i mnożenie liczb wymiernych. Równania wymierne Zadanie. Rozwiązać równanie Zadania na zajęcia x 0 x x 3 + 3x 8 x 3x + 0 = x x x 0. (3) Zadanie. Rozwiązać równanie x 3 8 + 3 x + x + = 0 x + x 6. () Zadanie 3. Rozwiązać równanie: b) Zadania domowe x + x + 6x + 8 = 6 x + 3x 0 ; x 7 x 7x + + 3x 3 x + x 0 = x + 7 x + x ;
x 6 x 0 + x x x 3x = x 6 x 9x + 0 ; d) x 3 x 3x + + x + x + x 6 = x 3 x + x 3 ; x 9 x 8x + + x + 6 x 9x + 8 = x 8 x x + 30 ; f) x + x + x 0 + 3x + 7 x x 3 = x x x + 8 ; g) x + x + 3x + + x + 30 x + 6x + 63 = x + x + x + ; h) x 0 x + x + x + x + x = x + 6 x + 9x + 0 ; i) x 7 x 6x + 63 + x 6 x x + = 3x x x + 3 ; j) x 3x + x x x + x 6 = x 9 x 7x + 0 ; k) x 6 x x + 3 + x x x = 7x 9 x x ; l) x + 3 x x + + x + x + 3x 8 + x + 0 x x 77 = 0; ł) x 0 x 7x + 7 + x 7 x 0x + 99 = x x 9x + 88 ; m) n) o) x 7 x 9x + 0 + x 9 x x + 8 + x 6 x x + 3 = 0; x 6 x x + 30 + 7x x x = 8x + x x 0 ; x 3 x 3x + 0 + 3x x 6x + = x 9 x 9x + 88. Zadanie. Rozwiązać równanie: x 3x + + x x + = x 7x + 0 ; b) x + x + 6 x 9 = 3 x + x + 7 ; x x + 8 + x 8x + = x 9x + 0 ; d) x 7x + + 3 x x + 7 = x 6x + 63 ; x 8x + + x x + 3 + x 6x + 63 = 3 x x + 7 ; f) x x + + x x 3 = 3 x x 36. Zadanie. Rozwiązać równanie:
9 x 3 7 + x + 3x + 9 = x 9 ; b) x x + + x x 6 = x 3 + 8 ; x 3 8 x 3 + 8 = x + x + 6. Nierówności wymierne Zadania na zajęcia Zadanie 6. Rozwiązać nierówność Zadanie 7. Rozwiązać nierówność Zadanie 8. Rozwiązać nierówność (x + 3)(x 7) 0. (x + ) (x ) x + x > x. x x x + 9 < x 3 x x + 7. Zadanie 9. Rozwiązać nierówność: Zadania domowe x 6 x 3 0; b) (x 7)(x + ) < 0; x (x + )(x ) (x 3)(x ) 0; d) (x + 3)(x ) 0; (x )(x 6) x(x )(x + ) (x )(x 7)(x + ) > 0; f) (x )(x + 6) 3 (x + 9) 0. (x ) (x + )(x + ) Zadanie 0. Rozwiązać nierówność: x + x 3 > 0; b) x > x ; x + 8 x + x + ; d) x + 3. x 3 Zadanie. Rozwiązać nierówność: x 8 x 8x + 0 > ; b) x x + x + 8 x + 0x + 6. Uwaga. Należy bardzo uczulać studentów na to, że nie można mnożyć nierówności stronami przez wyrażenie, które dla pewnych dwóch argumentów przyjmuje wartości różnych znaków (chyba, że wyjściowa nierówność to 0 0). Rozkład funkcji wymiernej na sumę wielomianu i ułamków prostych (nieobowiązkow Teoria 3
W punkcie tym ograniczamy się wyłącznie do funkcji wymiernych o współczynnikach rzeczywistych. Przypomnijmy więc ważne oznaczenia: R[x] zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych, R(x) zbiór wszystkich funkcji wymiernych zmiennej x i o współczynnikach rzeczywstych. Twierdzenie. Dla każdej funkcji wymiernej f (x) g(x) R(x) istnieją wielomiany q(x), r(x) R[x] takie, że f (x) r(x) = q(x) + g(x) g(x) oraz st r(x) < st g(x). Powyższe twierdzenie wynika natychmiast z twierdzenia o dzieleniu z resztą dla wielomianów. Można je wysłowić następująco: Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej takiej, że stopień jej licznika jest mniejszy od stopnia jej mianownika. Przypomnijmy pewne ważne twierdzenie z arytmetyki wielomianów o współczynnikach rzeczywistych: Twierdzenie. Każdy wielomian f (x) R[x] stopnia dodatniego ma następujący rozkład na iloczyn wielomianów nierozkładalnych o współczynnikach rzeczywistych: f (x) = (x a ) k... (x a m ) k m (x + b x + c ) l... (x + b n x + c n ) l n, gdzie m, n N {0}, a,... a m R, b,..., b n R, c,..., c n R oraz j = b j c j < 0 dla j =,..., n. W wielu zagadnieniach (np. przy całkowaniu funkcji wymiernych) ważną rolę odgrywają pewne specjalne funkcje wymierne zwane ułamkami prostymi. Definicja. Ułamkiem prostym o współczynnikach rzeczywistych nazywamy każdą funkcję wymierną postaci A Bx + C lub (x k (x + bx +, l gdzie k, l N, A, B, C, a, b, c R oraz b c < 0. Ułamkami prostymi o współczynnikach rzeczywistych są np. funkcje wymierne: x, 7 (x + 6), 8x 3 x + x +, x 9 i (x x + 7) 3 (x x + 9) 6. Twierdzenie 3. Każdą funkcję wymierną, której licznik ma niższy stopień niż mianownik, można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych. Z powyższego twierdzenia i z twierdzenia wynika następujący wniosek: Wniosek. Każda funkcja wymierna rozkłada się na sumę wielomianu i ułamków prostych. Zadania na zajęcia Zadanie. Rozłożyć na sumę ułamków prostych daną funkcję wymierną: x x (x ) 3 ; b) x + 30x + 6 (x + )(x + )(x 3) ;
x + 39x + (x ) (x + ) ; d) x + x (x )(x + x + ). Zadanie 3. Rozłożyć na sumę wielomianu i ułamków prostych daną funkcję wymierną: x 3 x + 7x + ; b) x x + 6x x 3 + 8x x + 3 x 3. Zadania domowe Zadanie. Rozłożyć na sumę ułamków prostych daną funkcję wymierną: d) g) j) x + x ; b) x + 3 x + x + ; 7x + 7x 8 ; x 3 x x + 9x + 7 (x + )(x + )(x + 3) ; x + x ; f) (x + ) 3 x + x + 6 ; h) x (x + 3) x 7x + 7 (x ) 3 ; 3x + (x + ) (x + ) ; i) 3x 3 x + 3 x (x ) ; 8x + x + 6 (x 3)(x + ) ; k) x 3 + x x + (x + ) (x x + ) ; l) x 3 x + x + (x + ). Zadanie. Rozłożyć na sumę wielomianu i ułamków prostych daną funkcję wymierną: x 3 + 6x + x + 3 ; b) (x + )(x + ) x 3 + 7x + 8x + (x + ). Zadanie 6. Wykorzystując rozkłady na ułamki proste składników poniższej sumy, obliczyć tę sumę: s = (x + )(x + ) + (x + )(x + 3) +... + (x + 0)(x + ). Liczne przykłady tytułowych rozkładów można znaleźć w tych podręcznikach do analizy matematycznej, w których omawia się całkowanie funkcji wymiernych. Kilka przykładów jest też zamieszczonych na stronach -9 w mojej książce Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Odpowiedzi 3. 3; b) 7; 3, 8; d) ; x R \ {3,, 6}; f) 6; g), 8; h) 7; i) brak rozwiązań; j), 7; k) brak rozwiązań; l) 6; ł) brak rozwiązań; m) 6, 8; n) brak rozwiązań; o) 9.. 3, 6; b) 6, ; brak rozwiązań; d) ; x R \ {3,, 7, 9}; f) brak rozwiązań.. ; b) ; ; ±6. 6. x 3; ) ( ; ) 7, ). 8. x (; ). 9. x 6; 3); b) x (, ) (; 7); x (, ; 3) (, ); d) x 3; (6; ); x ( ; ) (0; ) (7, ); f) x (, 9 6, ) (, ), ). 0. x (, ) (3, ); b) x (, ) (, 7); x (, ) 0; ) 6, ); d) x (3; (, 6.. x (, ) (7, ); b) x 7.. x x + ; b) x + 3 x + ; 3 x x + + 8 x ; d) x + x + + 8 x + 3 ; x + + (x + ) (x + ) ; f) 3 x (x ) (x ) ; g) 3 x + x + x + 3 ;
h) x + 3 (x + ) x + ; i) x + x + x (x ) ; j) x + x + + 7 x 3 ; k) x + 3 (x + ) + x x x + ; l) x x + + 3x + 8.. x + + (x + ) x + ; x + b) x + x + +. (x + ) 6. Zachodzą równości: s = ( x + ) ( + x + x + ) ( ) +... + x + 3 x + 0 x + = x + x + = 0 x + x +. 6