Geometria Różniczkowa I

Geometria Różniczkowa I wykład trzynasty Na poprzednim wykładzie zajmowaliśmy się różniczkowaniem pól tensorowych wzdłuż pola wektorowego,czylipochodnąliegol X.WartośćpochodnejLiegozależywsposóbbardzo istotny od pola wektorowego wzdłuż którego różniczkujemy. Zależność ta jest poważniejsza niż tylkozależnośćodkierunkuiwartościpolawdanympunkcieq,alewogóleodtegojakiejest polewotoczeniuq.żebysięotymprzekonaćwystarczyporównaćl X zl fx dlagładkiejfunkcji f. Do tej pory mnożyliśmy przez funkcje tylko argument pochodnej. Dla pola wektorowego Y otrzymaliśmy L X (fy)=[x,fy]=f[x,y]+(xf)y=fl X Y+(L X f)y (1) adlaformyα L X (fα)=(l X f)α+fl X α (2) Obawzory(1)i(2)nazywaliśmyregułąLeibniza.Terazsprawdźmycosiędzieje,topoleX pomnożymy przez funkcję. Najpierw pochodna Liego pola wektorowego potem pochodna formy L fx Y=[fX,Y]=f[X,Y] (Yf)X=fL X Y df,y X (3) L fx α=ı(fx)dα+d(ı(fx)α)=fı(x)dα+d(fı(x)α)= =fı(x)dα+df ı(x)α+fdı(x)α=fl X α+df ı(x)α (4) Wobuwzorach(3)i(4)pojawiasięróżniczkafunkcjif,cowskazujenazależnośćodwartości polawotoczeniuq,aniejedyniewpunkcieq.narozmaitościbezdodatkowejstrukturyjestto nieuniknione. Dzisiaj zajmiemy się różniczkowaniem w innym sensie wprowadzimy dodatkową strukturę, dzięki której różniczkowanie zależne będzie jedynie od wektora w kierunku którego różniczkujemy. Różniczkowanie to nazywa się pochodną kowariantną a dodatkowa struktura od której pochodzi to koneksja lub powiązanie. Zaczniemy od wprowadzenia powiązania w wiązce wektorowej a dopiero potem użyjemy tego pojęcia w szczególnej wiązce wektorowej: wiązce stycznej. Na pierwszy rzut oka może się to wydawać trudniejsze, wiązkę styczną już przecież dobrze znamy, a z dowolnymi wiązkami wektorowymi dotychczas nie pracowaliśmy. Jednak w ostatecznym rozrachunku sądzę, że taki sposób będzie jednak łatwiejszy! Niechwięcζ:E Mbędziewiązkąwektorową.PrzydadząnamsięteżwspółrzędnewE. PonieważEjestwiązkąwektorowąwspółrzędnebędziemyokreślaćwζ 1 (O),gdzieOjest dziedzinąukładuwspółrzędnych(x i )wm.wkażdymwłókniee q dlaq Owybieramybazę (e 1 (q),e 2 (q),...,e n (q))wtakisposób,abykażdee i byłonieznikającymcięciemwiązkiζ.układ cięć(e i )nazywaćbędziemybazącięć.współrzędneliniowewewłókniee q związanezwybraną baząoznaczaćbędziemyy a.indeksi 1..mnumerujewspółrzędnewM,zaśindeksa 1..n 1

współrzędnewewłóknie.formalnierzeczbiorącwspółrzędne(x i )namiwspółrzędne(x i ) stanowiąceczęśćukładu(x i,y a )sąinne,gdyżtepierwszesąfunkcjaminamatedrugiena E. Nie będziemy ich jednak odróżniać, gdyż wartość tych drugich zależy jedynie od rzutu punktu e E na M. Rozróżnianie ich w notacji byłoby niepotrzebnym mnożeniem oznaczeń. PowiązaniejesttorozkładprzestrzenistycznejT e Ewkażdympunkciee Enaczęśćpionową ipoziomąwzględemrzutuζ.częśćpionowajestdanakanonicznieitworząjątewektoryzt e E, któresąstycznedowłóknae q (ζ(e)=q).częśćhoryzontalnazatopodlegatejsamejdowolności co przestrzeń dpełniająca do podprzestrzeni wektorowej w danej przestrzeni wektorowej. Część pionowąoznaczasięzazwyczajv e E.Ponieważtworząjąwektorystycznedowłókna,czyli styczne do przestrzeni wektorowej, to istnieje naturalne utożsamienie V e E E q. PonieważdimT e E=n+madimV e E=dimE q =ntodopełniającaprzestrzeńpowinnabyć wymiarum,oznaczmyjąh e E.IstnienierozkładuprzestrzeniwektorowejT e E=V e E H e E oznacza,żekażdywektorv T e Erozłożyćmożemyjednoznacznienaczęśćpionowąv v i poziomąv h : v=v v +v h. Przyjrzyjmy się rzutowi stycznemu wektora v na TM: Tζ(v)=Tζ(v v +v h )=Tζ(v v )+Tζ(v h )=0+Tζ(v h )=Tζ(v h ). SamwektorvijegoczęśćpoziomamajątakiesamerzutynaT q M,odwzorowanieTζobcięte doh e Ejestizomorfizmem.JakkolwiekwybórprzestrzenidopełniającejHEwjednympunkcie jest dość dowolny, jednak powiązanie musi spełniać pewne dodatkowe warunki: po pierwsze rozkład ten musi gładko zależeć od punktu, po drugie musi być zgodny ze strukturą wiązki liniowej. Oba te warunki należy oczywiście doprecyzować. Najpierw gładkość: zamiast mówić o rozkładzie przestrzeni stycznej możemu mówić o rozkładzie wektorów na składowe. Rozkład ten jest odwzorowaniem T e E V e E H e E KorzystajączizomorfizmuH e E T q Morazzfaktu,żeprzytakimrozkładziewektorstyczny można oddzielić od jego punktu zaczepienia, po zebraniu rozkładów punkt po punkcie w E otrzymujemy odwzorowanie Γ:TE E M E M TM, v (τ E (v),v v,tζ(v h )) (5) Ponieważ odwzorowanie to pochodzi od rozkładu na część pionową i poziomą na wektorach pionowych powinno być identycznością. Powiązanie jest gładkie jeśli powyższe odwzorowanie jest gładkie. Część niebieska to punkt zaczepienia wektora, część czerwona to wektor pionowy utożsamiony ze stosownym elementem włókna. Z wcześniejszych rozważań wynika, że powiązanie musizachowywaćrzutnae(niebieskie),tznγ pr 1 =τ E orazrzutnatm,czyliγ pr 3 =Tζ. Trochę trudniej jest wypowiedzieć warunek zgodności ze strukturą wiązki wektorowej(zgodność ta nazywana jest też liniowością powiązania. Zauważmy, że wiązka styczna jest wiązką wektorową na dwa sposoby. Pierwszy z nich jest oczywisty: wektory styczne są wektorami, tzn wiązka τ E :TE E 2

jest wiązką wektorową. Okazuje się jednak, że także Tζ:TE TM jest wiązką wektorową. Okazuje się, że można dodać do siebie dwa wektory zaczepione w różnych punktach ale mające ten sam rzut styczny. Niezbędny jest obrazek: E v v+w w M ζ Tζ(v)=Tζ(w) Jeśliwektoryviwmajątensamrzutstyczny,toistniejątakiekrzyweγ v iγ w,doktórych tewektorysąstyczneiktóremająjednakowerzutynam,tznζ γ v =ζ γ w.dlakażdej wartościparametrutpunktyγ v (t)iγ w (t)sąwtymsamymwłókniewiązkiζ,możnawięcje dodać korzystając z wektorowej struktury włókien otrzymując nową krzywą t γ v (t)+γ w (t). Wektor styczny do tej nowej krzywej jest sumą wektorów stycznych do E względem drugiej struktury wiązki wektorowej. To drugie dodawanie oznaczać będziemy +. Obejrzyjmy oba dodawania we współrzędnych. W TE mamy współrzędne pochodzące od współrzędnych w E: (x i,y a,ẋ j,ẏ b ),czyliwektorstycznynapisaćmożemyjako podobnie v=ẋ i (v) x i+ẏa (v) y a w=ẋ i (w) x i+ẏa (w) y a. Jeśliviwzaczepionesąwtymsamympunkcietomożemyznaleźćv+wwzwykłymsensie, co można napisać v+w=(ẋ i (v)+ẋ i (w)) x i+(ẏa (v)+ẏ a (w)) y a. JeślizaśviwzaczepionesąwróżnychpunktachtegosamegowłóknaE q imajątensamrzut nat q M,czyliẋ i (v)=ẋ i (w),tomożnajedodaćwdrugimsensieotrzymującwektor v +w=(ẋ i (v)) x i+(ẏa (v)+ẏ a (w)) y a 3

zaczepionywpunkciewłóknae q będącegosumąpunktówzaczepieniawektorówviw,czyli y a (v +w)=y a (v)+y a (w). Dodawanie zwykłe odbywa się w trzeciej i czwartej współrzędnej, podczas gdy pierwsza i druga muszą być równe: (x i,y a,ẋ i,ẏ a ), dodawanie w drugim sensie odbywa się w drugiej i czwartej współrzędnej, podczas kiedy pierwszaitrzeciamusząbyćrówne: (x i,y a,ẋ i,ẏ a ). W obrazie odwzorowania(5) też są dwie struktury wiązki wektorowej: jedna nad E adruganadtm E M E M TM E E M E M TM TM Powiązanie Γ( patrz(5)) jest liniowe jeśli jest izomorfizmem liniowym ze względu na obie struktury wiązki wektorowej. Po tej dość długiej dyskusji jesteśmy w stanie sformułować w sposób kompletny definicję powiązania liniowego w wiązce wektorowej: Definicja 1 Powiązaniem liniowym w wiązce wektorowej ζ: E M nazywamy odwzorowanie gładkie Γ Γ:TE E M E M TM zachowujące rzuty na E i TM oraz liniowe ze względu na obie struktury wiązki wektorowej oraz identycznościowe na wektorach pionowych. Powyższa definicja oznacza między innymi, że przemienny jest diagram TE τ E Tζ 5 5555555 E TM id Γ E M E M TM pr 1 pr 3 E TM id (6) Zapiszmy odwzorowanie Γ we współrzędnych, uwzględniając identyczności na E i TM: Γ(x i,y a,ẋ j,ẏ b )= ( x i,y a,f b (x i,y a,ẋ i,ẏ a ),ẋ i) LiniowośćzewzględunastrukturęwiązkinadEoznacza,żefunkcjeF b musząmiećpostać F b (x i,y a,ẋ i,ẏ a )=G b j (xi,y a )ẋ j +H b c (xi,y a )ẏ c Dalej,liniowośćzewzględunastrukturęwiązkinadTM oznacza,żefunkcjeh b c niemogą zależećody a,zaśfunkcjeg b j(x i,y a )ẋ j musząmiećpostać G b aj (xi )y a ẋ j. 4

Jeślidołączmywarunek,abynawektorachpionowych(ẋ i =0)odwzorowaniebyłoidentycznościąotrzymamyH b c =δb c iostatecznie Γ(x i,y a,ẋ i,ẏ a ),ẋ i )=(x i,y a,g b aj (xi )y a ẋ j +ẏ b,ẋ i ) TradycjakażefunkcjeG b aj oznaczaćraczejγb aj inazywaćsymbolamichristofela. Pochodnakowariantna.Wwiązcewektorowejζ :E MzpowiązaniemliniowymΓ zdefiniowanajestpochodnakowariantnacięćwiązkiζ.niechσ:m Ebędziecięciemζ.Dla v T q Mdefiniujemy ( v σ)(q)=pr 2 (Γ(Tσ(v))) Wzór wygląda być może s dpodób skomplikowany, ale procedurę wyznaczania wartości pochodnej cięcia w punkcie q w kierunku wektora v wypowiedzieć można prosto: wektor v podnosimy do wektora stycznego do E w punkcie σ(q) przy pomocy odwzorowania Tσ a następnie bierzemy jego część pionową względem powiązania. Część pionowa jako styczna do włókna może być utożsamiona z elementem włókna, tzn wartość pochodnej kowariannej cięcia w punkcie q jest elementeme q.mającpolewektorowexnammożemyobliczyćpochodnącięciaσwkażdym punkcie otrzymując nowe cięcie X σ:m E. Policzmy pochodną kowariantną używając współrzędnych. Niech σ będzie dane przez funkcje σ a,tzn σ(q)=σ a (q)e a v=ẋ i (v) x i Tσ(v)=ẋ i (v) (v) x i+ σa x kẋk y a iwkońcu ( v σ)(q)= ( σ a x kẋk (v)+γ a kb σb (q)ẋ k (v) ) e a Oto podstawowe własności pochodnej kowariantnej: Fakt1(1)Pochodnakowariantnajestliniowazewzględunav,tzn. λv σ=λ v σ, v+v σ= v σ+ v σ; (7) (2) Pochodna kowariantna jest różniczkowaniem, tzn, jeśli f jest funkcją na M a σ cięciem, to v (fσ)=f v σ+(vf)σ. (8) Działanie pochodnej kowariantnej na funkcjach zadać możemy wzorem v f=vf (9) 5

i wtedy wzór(8) przyjmuje postać v (fσ)=f v σ+( v f)σ. Dowód: Wzory(7) wynikają wprost z definicji pochodnej kowariantnej: v+v σ=pr 2 (Γ(Tσ(v+v ))= odwzorowanie styczne jest odwzorowaniem liniowym, więc =pr 2 (Γ(Tσ(v)+Tσ(v ))= Γ też jest odwzorowaniem liniowym(używamy tu zwykłej liniowości nad E) =pr 2 (Γ(Tσ(v))+Γ(Tσ(v ))=pr 2 (Γ(Tσ(v)))+pr 2 (Γ(Tσ(v ))= v σ+ v σ. Wzoru dotyczącego pochodnej względem λv dowodzimy podobnie. We wzorze(8) podnosimy wektor do cięcia σ pomnożonego przez funkcję f. Potrzebujemy więc informacji na temat odwzorowania T(f σ): T(fσ)(v)=f(q)Tσ(v)+(vf)(q)σ(q) vert gdzieσ(q) vert jestpionowympodniesieniemelementuσ(q)dowektorastycznegodowłókna E q wpunkcieσ(q).ogólniej,jeślie E q toe vert jestwektoremstycznymdokrzywejt e + te. W wykładzie dotyczącym pól wektorowych podawaliśmy przykład pola Eulera na wiązce wektorowej.jeszczeinaczejmożnapowiedzieć,żee vert jestwartościątegopolawpunkciee. Terazmożemypoliczyć v (fσ) v (fσ)=pr 2 (Γ(T(fσ)(v))) =pr 2 (Γ(f(q)Tσ(v)+(vf)(q)σ(q) vert )) =f(q)pr 2 (Γ(Tσ(v))+(vf)(q)pr 2 (Γ(σ(q) vert )) Γ na wektorach pionowych jest identycznością, więc =f(q)pr 2 (Γ(Tσ(v))+(vf)(q)σ(q)=f(q) σ +(vf)(q)σ(q) Jeśli założymy, że pochodna kowariantna spełnia regułę Leibniza, możemy rozszerzyć ją na cięcia dowolnych wiązek tensorowych związanych z E. W szczególności na cięcia wiązki dualnej E M.Wzórnapochodnąkowariantnącięciaαwiązkidualnejwyprowadzimyużywając współrzędnych. Niech σ=σ a e a, α=α a ɛ a, v=ẋ i x i, gdzieɛ a tocięciawiązkie Mtworzącewkażdympunkciebazędualnądo(e a ).Ewaluacja cięciaαnacięciuσjestfunkcjąnam Zgodnie z zasadami powinno więc być: α,σ =α a σ a, v α,σ = v α,σ(q) + α(q), v σ. 6

Liczymy używając współrzędnych ( v α,σ =ẋ i x i(α aσ a )=ẋ i αa x iσa )+ẋ i ( α a σ a x i ) (10) v α,σ(q) =( v α) b σ b (11) ( ) σ b α(q), v σ =α a +Γ b x iẋi kc σc ẋ k (12) Dodajemy(11)do(12)iporównujemyz(10) ( ( ẋ i αb )+ẋ i σ b ) ( ) σ α x iσb b =( x i v α) b σ b b +α b +Γ b x iẋi kc σc ẋ k, wyznaczamy szukaną wielkość i korzytamy z dowolności σ ( ) ( v α) b σ b =ẋ i αb Γ b x iσb kc σc ẋ k α b ( v α) b = α b x iẋi Γ a kbẋ k α a No i co dalej? Najczęściej pojawiającą się koneksją jest koneksja w wiązce stycznej, zwłaszcza koneksja związana z metryką. O tym będzie w przyszłym semestrze! 7