WYBRANE MIARY OCENY STOPNIA DYWERSYFIKACJI PORTFELI INWESTYCYJNYCH

Studa Ekoomcze. Zeszyty Naukowe Uwersytetu Ekoomczego w Katowcach ISSN 2083-86 Nr 340 207 Iformatyka Ekoometra 0 Agata Gluzcka Uwersytet Ekoomczy w Katowcach Wydzał Iformatyk Komukacj Katedra Badań Operacyjych agata.gluzcka@ue.katowce.pl WYBRANE MIARY OCENY STOPNIA DYWERSYFIKACJI PORTFELI INWESTYCYJNYCH Streszczee: Jedo z ajważejszych założeń w teor zarządzaa portfelem to dywersyfkacja. Jest to zarazem jede z podstawowych sposobów obżaa pozomu ryzyka zwązaego z daą westycją. Problem dywersyfkacj jest od welu lat aalzoway zarówo przez praktyków, jak teoretyków. Wcąż poszukuje sę uwersalego sposobu wyzaczaa portfela dobrze zdywersyfkowaego. W metodach zwązaych z dywersyfkacją wykorzystuje sę m.. mary zwązae z korelacją, spektrale mary ryzyka, elemety teor formacj czy rozkład ryzyka. Główym celem artykułu była prezetacja wybraych metod, pozwalających określć stopeń zdywersyfkowaa portfela. Słowa kluczowe: dywersyfkacja portfela westycyjego, portfel zdywersyfkoway, etropa, współczyk ryzyka, aalza składowych główych. JEL Classfcato: G, C6. Wprowadzee Zjawsko dywersyfkacj leży u podstaw owoczesej teor portfelowej. Mmo welu lat badań e udało sę do tej pory ustalć jedej defcj pojęca dywersyfkacja, a co za tym dze, e steje jeda, uwersala metoda, za pomocą której możlwe byłoby loścowe określae stopa zdywersyfkowaa portfela. Poszukwaa takej dealej mary dywersyfkacj to wcąż aktualy obszar badawczy w dzedze zarządzaa westycjam. Mary stopa zdywersyfkowaa kostruowae są za pomocą różych wskaźków czy różych metod, co wyka z faktu, że poszczególe jedostk w róży sposób postrzegają problem dywersyfkacj. Najprostsze mary zapre-

Wybrae mary ocey stopa dywersyfkacj portfel westycyjych 4 zetowae w artykule to zarazem jede z perwszych wprowadzoych wskaźków dywersyfkacj, do kostrukcj których stosowae były tylko lczba spółek portfela lub też welkośc udzałów poszczególych spółek występujących w portfelu. Koleja grupa deksów dywersyfkacj to mary kostruowae w oparcu o etropę. W tym celu ajczęścej stosowaa jest etropa Shaoa lub jej postać wykładcza. W ostatch latach temat zastosowaa mar etrop w probleme dywersyfkacj był poruszay welokrote, czego efektem są take mary, jak p. kwadratowa etropa Rao czy delta dywersyfkacja. Iym przykładem są mary kostruowae za pomocą aalzy składowych główych. Procedura ta jest stosowaa w celu przekształcea daych skorelowaych w odpowadający m zbór daych eskorelowaych, a jak wadomo, korelacja jest jedym z główych źródeł występowaa zjawska dywersyfkacj. Główym celem artykułu było omówee wybraych mar dywersyfkacj. Szczególą uwagę zwrócoo a te mary, które zostały wprowadzoe do badań w ostatch latach, ale e były dotychczas powszeche stosowae w aalzach polskego ryku westycyjego. Artykuł składa sę z dwóch częśc. Część perwsza teoretycza to zestawee defcj podstawowych własośc wybraych mar pozwalających oceć stopeń dywersyfkacj portfela. Prezetowae mary zostały podzeloe a pęć grup, w zależośc od sposobu ch defowaa. W częśc drugej przedstawoy został przykład empryczy, który jest lustracją stosowaa zaprezetowaych deksów dywersyfkacj. Celem badań empryczych była aalza zgodośc rakgów otrzymaych dla poszczególych merków stopa dywersyfkacj portfel westycyjych. Badaa te zostały poprzedzoe krótkm przykładem empryczym, lustrującym zmay poszczególych merków dywersyfkacj w zależośc od lczby spółek w portfelu oraz od sposobu kostrukcj portfela. Do kostrukcj portfel zastosowae zostały dae wybraych spółek z Gełdy Paperów Wartoścowych w Warszawe.. Wybrae metody pomaru stopa dywersyfkacj.. Określae stopa zdywersyfkowaa portfel a podstawe lczby spółek Najprostszym sposobem określaa stopa dywersyfkacj portfela jest podae lczby składków tego portfela. Badaa emprycze zwązae z aalzą wpływu lczby składków a ryzyko portfela pokazały, że ryzyko portfela zmejsza sę podczas zwększaa lczby strumetów fasowych w tym

42 Agata Gluzcka portfelu [Evas, Archer, 968; Fsher, Lore, 970]. Zwększae lczby spółek w portfelu przyczya sę do stopowego obżaa ryzyka całkowtego, do mometu osągęca takego pozomu ryzyka, który e może już być dalej redukoway, bez względu a dodatkowe akcje dodawae do portfela [Frahm, Wechers, 20]. Iformacje dotyczące lczby spółek a daym ryku oraz lczby spółek zajdujących sę w portfelu moża wykorzystać do określea maksymalej częśc potecjale dywersyfkowalego ryzyka. Ideks dywersyfkacj stosoway w tym celu został zapropooway przez Taga [2004] w astępującej postac: ( ) N ( N ) DI =, () gdze: DI wskaźk dywersyfkacj ozaczający część ryzyka dywersyfkowalego portfela; lczba spółek w portfelu; N całkowta lczba spółek a ryku..2. Mary dywersyfkacj portfela oparte o udzały spółek Szeroką gamę wskaźków stosowaych do określaa stopa dywersyfkacj portfela staową deksy defowae za pomocą udzałów poszczególych spółek portfela. Przykładem jest deks dywersyfkacj defoway jako dopełee deksu Herfdahla. Ideks Herfdahla to często stosowaa mara ekoomczej kocetracj. Ideks dywersyfkacj określay jest wzorem: DI 2 w = = HI =, (2) 2 gdze: HI Ideks Herfdahla; w udzał -tej spółk w portfelu ( =, 2,, ). Ideks dywersyfkacj DI 2 przyjmuje wartośc z przedzału [0, ]. Wartość 0 odpowada portfelow o całkowtym braku dywersyfkacj, czyl mamy wówczas do czyea z portfelem jedoskładkowym. Z kole portfel, dla którego deks DI 2 przyjmuje wartość rówą, uzaway jest za portfel o ajwyższym stopu zdywersyfkowaa.

Wybrae mary ocey stopa dywersyfkacj portfel westycyjych 43 Iy deks dywersyfkacj, defoway za pomocą udzałów spółek występujących w portfelu, aalzoway był w pracy Marfelsa [97]. W dekse tym zastosowao ragowae spółek według malejącego udzału w portfelu (-ta spółka pod względem welkośc udzału otrzymuje ragę ). Ideks te jest określay wzorem: DI. 2 w 3 = Iterpretacja wartośc tego deksu jest podoba jak dla deksu DI 2. = (3).3. Zastosowae mar etrop do określaa stopa zdywersyfkowaa Koleje mary służące do określaa stopa zdywersyfkowaa zostały określoe przy użycu pojęca etrop. Etropa uzawaa jest za stote arzędze w procese wyboru portfela oraz w arbtrażu ceowym. Najczęścej stosowaa jest etropa Shaoa, która w orygale defowaa jest dla rozkładu prawdopodobeństwa. Przyjmując jedak w mejsce prawdopodobeństw udzały poszczególych spółek portfela, otrzymujemy marę dywersyfkacj astępującej postac [Hart, 97]: = ( ) DI4 = w l, (4) w gdze l ozacza logarytm aturaly. Wartośc tak zdefowaego deksu e zawerają sę w przedzale [0, ]. Jedak powszeche wadomo, że m wyższy pozom etrop, tym wyższy stopeń dywersyfkacj portfela. Natomast Marfels [97] zapropoował deks dywersyfkacj, w którym zastosował wykładczą marę etrop : DI5 = w. (5) Słabą stroą przytoczoych deksów dywersyfkacj jest fakt, że żade z ch e uwzględa zależośc mędzy korelacją a ryzykem portfela, czyl zasadczego zwązku, który decyduje o stopu zdywersyfkowaa portfela, a co zwracał uwagę już sam Markowtz. Koleja mara dywersyfkacj to przykład mary etrop, w której możlwe jest róweż uwzględee zależośc korela- = w

44 Agata Gluzcka cyjej zachodzącej mędzy stopam zwrotu poszczególych składków portfela westycyjego. Kwadratowa etropa Rao, ozaczaa symbolem RQE od agelskej azwy Rao s Quadratc Etopy [Rao, 982a; 982b], została zapropoowaa jako mara różorodośc (rozmatośc). Przykłady zastosowań tej mary moża odaleźć m.. w statystyce (p. do uogóloej aalzy waracj) czy w ekolog (p. do określaa stopa boróżorodośc) [Rao, 982a; 982b]. Przegląd możlwośc zastosowaa tej mary w kotekśce dywersyfkacj portfela westycyjego przedstawoo w pracy Carmcheala, Boev Koumoa Moraa [205]. Mara ta może być róweż stosowaa jako jeda z fukcj celu (obok waracj, skośośc stopy zwrotu) w welokryteralym modelu wyboru portfela westycyjego. Dla portfela złożoego z składków o udzałach w dla =, 2,, stopeń zdywersyfkowaa moża określć jako: d j gdze [ ], j RQE = j, j = d w w, (6) = D = azywaa jest fukcją różorodośc merzącą różcę mędzy dwoma dowolym składkam portfela. O fukcj D zakładamy, że speła astępujące waruk: d 0 dla, j =, 2,,, j d j = d j dla, j =, 2,,, d = 0 dla =, 2,,. Fukcję różorodośc D moża zdefować m.. za pomocą delty Kroeckera czy macerzy kowaracj stóp zwrotu [Carmcheal, Boev Koumo, Mora, 205]. Rówe dobrze fukcja różorodośc może być określoa za pomocą macerzy korelacj stóp zwrotu w astępujący sposób: RQE = ( j ), j = j ρ w w, (7) gdze: ρ = ρ macerz korelacj stóp zwrotu składków portfela. [ ], j j = Podobe jak w przypadku etrop Shaoa, m wyższa wartość współczyka RQE, tym wyższy stopeń zdywersyfkowaa portfela. Marę RQE przyjmuje sę róweż jako kryterum wyboru portfela westycyjego. Maksymalzując marę RQE, przy stadardowych założeach o udzałach portfela, otrzymujemy portfel o mmalej kocetracj formacj, azy- j

Wybrae mary ocey stopa dywersyfkacj portfel westycyjych 45 way róweż portfelem maksymalzującym efektywą lczbę ezależych czyków ryzyka. W przedstawoej powyżej postac mara RQE jest malejącą fukcją zmeych ρ j. Dywersyfkacja portfela RQE zka w przypadku, gdy stopy zwrotu składków portfela są doskoale skorelowae. Stąd też tucyje stwerdzee, że ska korelacja stóp zwrotu mplkuje wyższy stopeń zdywersyfkowaa portfela. Należy róweż zauważyć, że jeśl zmeośc wszystkch składków portfela są take same, to portfel RQE staje sę ekwwaletem portfela mmalej waracj. Samuelso [967], jako jede z perwszych badaczy, zwrócł uwagę, że pomar dywersyfkacj za pomocą tylko dwóch perwszych mometów rozkładu stóp zwrotu e jest właścwy. Nestety wększość mar stosowaych do określea stopa zdywersyfkowaa jest w tak sposób defowaa. Przykładem mary uwzględającej wyższe momety rozkładu stóp zwrotu jest wprowadzoa przez Vermorkea, Meddę Schrodera [202] dywersyfkacja delta (delta dversfcato). Jest to mara defowaa jako współczyk średej ważoej etrop poszczególych składków portfela etrop całego portfela. Iym przykładem mary uwzględającej wyższe momety rozkładu jest etropa egatywa [Krcher, Zuckel, 20]..4. Współczyk dywersyfkacj Przedstawoy w dalszej częśc deks dywersyfkacj został skostruoway przy założeu, że efekt dywersyfkacj zwązay jest z różcą mędzy średą ważoą odchyleń stadardowych stóp zwrotu spółek, w które westujemy (spółk o ezerowych udzałach), a średą ważoą odchyleń stadardowych korelacj wszystkch potecjalych składków portfela (ryzyko portfela) [Cheg, Roulac, 2007; Chouefaty, Cogard 2008]. Współczyk dywersyfkacj DE określay jest jako współczyk średej ważoej zmeośc spółek dzeloej przez zmeość portfela. Cheg Roulac [2007] zdefowal marę dywersyfkacj jako loraz średej ważoej odchyleń stadardowych spółek o ezerowych udzałach odchylea stadardowego portfela: σ DE = a, (8) σ gdze: σ p odchylee stadardowe portfela; σ a średa ważoa odchyleń stadardowych spółek o ezerowych udzałach. p

46 Agata Gluzcka Postać średej ważoej odchyleń stadardowych aktywów o ezerowych udzałach jest detycza z formą odchylea stadardowego portfela, z wyjątkem tego, że przyjmujemy współczyk korelacj rówy, czyl: σ = σ, (9) a w = gdze: w udzał -tej spółk w portfelu; σ odchylee stadardowe -tej spółk, =, 2,,. Współczyk dywersyfkacj DE w perwszej kolejośc był stosoway w aalze efektu dywersyfkacj a ryku eruchomośc, w badaach dotyczących dywersyfkacj geografczej [Cheg, Roulac, 2007]. Następe współczyk DE zastosowao do pomaru efektu dywersyfkacj dla portfel, w skład których wchodzły róże strumety fasowe [Chouefaty, Cogard 2008]. Przeprowadzoe zostały róweż badaa zwązae z zastosowaem tego współczyka dla portfel a polskm ryku westycyjym [Gluzcka, 206]. Wskaźk DE przyjmuje wartośc wększe od, a zatem e moża za jego pomocą określć welkośc ryzyka redukowaego przy kostrukcj portfela. Przyjmujemy jedye założee, że wyższa wartość współczyka wskazuje a wyższy stopeń dywersyfkacj. Za pomocą przedstawoego wskaźka pozomu dywersyfkacj możlwa jest kostrukcja tzw. portfel ajbardzej zdywersyfkowaych (MDP the Most Dversfed Portfolo). Portfele o optymalym stopu dywersyfkacj kostruowae są poprzez rozwązae zadaa optymalzacyjego, w którym maksymalzujemy wartość współczyka dywersyfkacj DE, jedye przy założeach o sume eujemych udzałów wszystkch składków portfela rówej [Chouefaty, Cogard, 2008; Chouefaty, Frodure, Reyer, 203]. W tym podejścu portfel ajbardzej zdywersyfkoway maksymalzuje odległość mędzy dwoma defcjam zmeośc portfela, tz. odległość mędzy średą ważoą zmeośc aktywów portfela a zmeoścą całego portfela. W lteraturze przedmotu współczyk dywersyfkacj przedstawa sę w klku wersjach, w których odchylee stadardowe zastępowae jest ym maram. Neco wcześej ż zaprezetoway powyżej współczyk DE wprowadzoy został deks dywersyfkacj, ale zdefoway za pomocą współczyków beta [Tasche, 2006]. W ym przypadku w mejsce odchylea stadardowego do określea mary dywersyfkacj zastosowao marę Value-at- -Rsk [Pergo, Smth, 200].

Wybrae mary ocey stopa dywersyfkacj portfel westycyjych 47.5. Zastosowae aalzy składowych główych do określaa stopa dywersyfkacj W przypadku ryku eskorelowaego waracja portfela jest rówa sume ważoej waracj poszczególych składków tego portfela. Wówczas portfelem maksymale zdywersyfkowaym jest tak, dla którego udzały spółek są odwrote proporcjoale do waracj składków portfela. Jedak taka sytuacja e ma mejsca w rzeczywstym śwece westycyjym. Możemy jedak za pomocą odpowedch metod statystyczych przekształcać zbór skorelowaych daych w zbór czyków ezależych. Jedą z takch metod, z powodzeem wykorzystywaych róweż w kotekśce mar dywersyfkacj, jest aalza składowych główych. Mara dywersyfkacj, w której wykorzystao aalzę składowych główych, została zapropoowaa przez Ruda Morgaa [2006], którzy prowadzl badaa dotyczące portfel o rówych wagach oraz tzw. portfel główych (prcpal portfolos). Rozważmy portfel składający sę z spółek. Jeśl przez W=[w, w 2,, w ] ozaczymy wektor udzałów poszczególych spółek w portfelu, a przez Σ macerz kowaracj mędzy stopam zwrotu spółek portfela, to warację takego portfela oblczamy zgode ze wzorem: σ = 2 p W T ΣW. (0) Macerz kowaracj Σ możemy przekształcć do astępującej postac: T Σ = EΔE, () gdze E jest macerzą kwadratową stopa, złożoą z wektorów własych (e dla =, 2,, ) macerzy kowaracj Σ, a Δ jest dagoalą macerzą kwadratową stopa, której elemetam są wartośc włase (λ ) macerzy kowaracj Σ. Wektory włase defują zbór eskorelowaych portfel, azywaych portfelam główym, których stopy zwrotu są malejąco odpowedzale za losowość a ryku. Natomast wartośc włase λ odpowadają waracjom tych eskorelowaych portfel. Warację portfela moża zatem zapsać w rówoważej forme: 2 σ = W p T T EΔE W. (2) Welkość udzałów portfel główych oblczamy jako W ~ = E W. Natomast stopy zwrotu portfel główych otrzymujmy z zależośc R ~ = E R,

48 Agata Gluzcka gdze R ozacza wektor stóp zwrotu wyjścowego portfela. Warację portfela zatem moża zapsać w ostateczej forme: 2 W ~ T σ = ΔW ~. (3) p Korzystając z powyższej procedury, Rud Morga [2006] zapropoowal astępujący deks dywersyfkacj: gdze w k = λk dla k =, 2,,. λ = PDI = 2 kw k, (4) k = Ideks te merzy względą ważość składowych główych w portfelu. Jeśl orygale składk portfela są sle ze sobą skorelowae, to perwszych klka główych portfel jest oblczae dla wększośc waracj portfela, stąd powyższy deks będze mał ską wartość. Jeśl atomast wszystke składk portfela są eskorelowae, wówczas deks jest rówy lczbe składków, o le udzał każdej spółk będze tak sam rówy /. Ideks PDI może przyjmować wartośc od do, przy czym: dla portfela całkowce ezdywersyfkowaego, czyl zdomowaego przez pojedyczy składk, wartość deksu PDI jest rówa (w =, w = 0 dla = 2, 3,, ), jeśl wszystke aktywa portfela są doskoale eskorelowae, to mamy do czyea z portfelem deale zdywersyfkowaym, dla którego wartość PDI jest rówa (w k = / dla każdego k =, 2,, ), wartość PDI < bardzej odzwercedla współdzałae w różych aktywach; węcej zmeośc stóp zwrotu wyjaśae jest przez klka perwszych składowych główych. W ogólośc, deks PDI e merzy dywersyfkacj daego portfela jest to raczej mara dywersyfkacj potecjalego zboru składków, które mogą wchodzć w skład portfela awego parytetu. Wykorzystując to podejśce kostrukcj portfel główych za pomocą aalzy składowych główych, Meucc [2009] zdefował koleją marę dywersyfkacj. W perwszej kolejośc wprowadzł o defcję rozkładu dywersyfkacj (dversfcato dstrbuto):

Wybrae mary ocey stopa dywersyfkacj portfel westycyjych 49 p = w ~ 2 2 λ w ~, λ = 2 2 (5) dla =, 2,..,. Następe dla tak zdefowaego rozkładu dywersyfkacj zastosował wykładczą postać etrop Shaoa, dzęk czemu otrzymał marę dywersyfkacj zwaą efektywą lczbą składków (ENC Effectve Number of Costtuets) astępującej postac: N Et = exp p l( p ). (6) = Róweż ta mara przyjmuje wartośc wększe od. Nska wartość mary N Et ozacza, że efektywa lczba eskorelowaych czyków ryzyka jest ska, czyl portfel e jest zdywersyfkoway. Zdefowae etrop portfel główych może być osągęte jako jej maksymala wartość rówa lośc składków portfela. To ozacza, że portfel jest w peł zdywersyfkoway. Take portfele główe mogą być kostruowae a gracy średa dywersyfkacja. Podejśce, w którym do ocey dywersyfkacj portfela wykorzystuje sę aalzę składowych główych etropę Shaoa, zostało w dalszej kolejośc rozszerzoe do mary azywaej efektywą lczbą współczyków beta [Meucc, 2009; Meucc, Satagelo, Deguest, 204]. 2. Zależość pozomu dywersyfkacj od lczby spółek a podstawe wybraych mar dywersyfkacj Dla wybraych mar dywersyfkacj przeprowadzoo aalzę zma tych wskaźków w zależośc od sposobu kostrukcj portfela oraz od lczby spółek w portfelu. Na podstawe dzeych stóp zwrotu z okresu styczeń 202 grudzeń 206 dla deksów gełdowych reprezetujących bak skostruowao trzy róże portfele: portfel Markowtza, portfel awy, portfel mmalej waracj (mmalzacja ryzyka przy założeach dotyczących udzałów). Portfele kostruowae były dla różej lczby spółek od 2 do 9. Dla każdego portfela oblczoy został pozom zdywersyfkowaa według astępujących wskaźków: deks Herfdahla (DI 2 ), etropa Shaoa (DI 3 ), kwadratowa etropa Rao (RQE), współczyk dywersyfkacj (DE),

50 Agata Gluz zcka dekss PDI, wykładkk etrop Shaoa ( (N E t). Rys.. Zależośćć pozomu dywersyfkacj od o lczby spółek dla wybraychh mar dywersyfkacj Źródło: Opra cowae włase. Na podp dstawee otrzymaych wykóww (rys. ) ) moża wywoskować, że wartość każdk dego z zastosowaychh wskaźkóww wzrastaa wraz ze wzrostem lczby spółek w portfelu. Wyraźee wdać róweż dla pewych mar zgodość w oce- ach poz omu dywersyfkacj. W przypadku deksu Herfdahla, etrop oraz kwadratowejj etrop Shaoa dla daej lczby spółek portfel awy okazał

Wybrae mary ocey stopa dywersyfkacj portfel westycyjych 5 sę eco bardzej zdywersyfkoway ż portfel Markowtza czy portfel o mmalej waracj. Aalzując tempo zma pozomu zdywersyfkowaa poszczególych portfel, moża zaobserwować, że według deksów DE RQE ajwększe różce otrzymujemy dla portfel składających sę z 2 3 składków oraz dla portfel powyżej 7 składków. W przypadku deksów DI 2 DI 3 zależość wartośc pozomu dywersyfkacj od lczby spółek przypoma zależość wykładczą, atomast dla deksu PDI wyraźe wdać lową zależość mędzy lczbą spółek a pozomem zdywersyfkowaa. Dla mejszej lczby składków portfel Markowtza portfel mmalej waracj mają te sam pozom zdywersyfkowaa różce pojawają sę dopero dla portfel o 7-9 składkach. 3. Zastosowae wybraych mar do ocey stopa dywersyfkacj portfel a GPW w Warszawe Wybrae mary, przedstawoe w perwszej częśc artykułu, zastosowae zostały w krótkch badaach empryczych, zwązaych z aalzą dywersyfkacj portfel a polskm ryku westycyjym. Badaa te mały a celu ustalee zgodośc oce stopa zdywersyfkowaa według różych kryterów. Poadto aalze poddao wpływ zależośc mędzy stopem zdywersyfkowaa a ryzykem ym charakterystykam portfela. Aalza przeprowadzoa została dla portfel wyzaczoych zgode z klasyczym modelem Markowtza (mmalzacja waracj przy założeach o stope zwrotu portfela udzałach). Do kostrukcj portfel zastosowao dae w postac dzeych stóp zwrotu z okresu pęcoletego: styczeń 202 grudzeń 206. Aalze poddao 5 portfel, które skostruowao dla astępujących grup daych: Portfel P bak, Portfel P2 spółk wchodzące w skład deksu WIG20, Portfel P3 spółk wchodzące w skład deksu mwig40, Portfel P4 bak oraz spółk wchodzące w skład deksu WIG20, Portfel P5 spółk wchodzące w skład deksu WIG20, oblgacje oraz surowce. Dla każdej grupy daych wyzaczoo portfel Markowtza, dla którego astępe oblczoy został stopeń zdywersyfkowaa według astępujących mar: lczba spółek w portfelu, deks Herfdahla (DI 2 ), etropa Shaoa (DI 3 ), kwadratowa etropa Rao (RQE),

52 Agata Gluzcka współczyk dywersyfkacj (DE), deks PDI, wykładk etrop Shaoa (N Et ). Wartośc poszczególych wskaźków dywersyfkacj otrzymae dla wszystkch aalzowaych portfel przedstawoo w tabel. Na podstawe wartośc wskaźka DI 2 możemy stwerdzć, że wszystke portfele były portfelam wysoko zdywersyfkowaym wartośc wskaźka DI 2 dla wększośc portfel są blske 0,9. W tabel 2 przedstawoo portfele uporządkowae według rosącej wartośc daego deksu. Wszystke mary, poza N Et, wskazały jako ajmej zdywersyfkoway portfel P. Najbardzej zdywersyfkowaym portfelem okazał sę atomast portfel P3 lub w przypadku dwóch mar RQE N Et portfel P5. Należy zwrócć uwagę, że take merk, jak: lczba spółek, DI 2 DI 3, w podoby sposób oceają stopeń zdywersyfkowaa portfel. Te trzy mary dokłade w te sam sposób uporządkowały wszystke 5 portfel. Tabela. Wartośc współczyków dywersyfkacj dla skostruowaych portfel Portfel Lczba spółek DI DI3 RQE DR PDI N Et P 6 0,8945,6506,0657 35,76 5,9553,227 P2 3 0,9078 2,4662,474 93,39 9,7328,947 P3 24 0,9408 2,9479,6498 287,49 2,609,2240 P4 6 0,994 2,664,5289 27,26 3,735,266 P5 2 0,8229 2,0889,5885 376,90,92 3,3492 Źródło: Opracowae włase. Tabela 2. Uporządkowae portfel według rosącego stopa zdywersyfkowaa Mara Lczba spółek DI DI 3 RQE DE PDI N Et Źródło: Opracowae włase. Portfele według stopa zdywersyfkowaa P < P5 < P2 < P4 < P3 P < P5 < P2 < P4 < P3 P < P5 < P2 < P4 < P3 P < P2 < P4 < P3 < P5 P < P2 < P4 < P5 < P3 P < P2 < P5 < P4 < P3 P2 < P < P4 < P3 < P5 Porówując wyk otrzymae dla mar ależących do tej samej grupy czyl mary zdefowae za pomocą etrop (DI 3 RQE) zaobserwowao, że mary take e muszą wcale być zgode w ocee dywersyfkacj. Zgode z marą RQE portfel P5 okazał sę portfelem ajbardzej zdywersyfkowaym. Natomast według wskaźka DI 3 jest to portfel słabo zdywersyfkoway (4. mejsce w rakgu). Oceę zgodośc aalzowaych mar przeprowadzoo a podstawe współczyka korelacj (tabela 3). Dla wszystkch przypadków otrzymao do-

Wybrae mary ocey stopa dywersyfkacj portfel westycyjych 53 date współczyk korelacj, o wysokej wartośc. Pomjając rakg detycze, ajlepsze dopasowae otrzymao dla rakgów PDI z lczbą spółek oraz deksam DI 2, DI 3 DE. Rówe wysoke współczyk potwerdzły zgodość deksu RQE z deksam DE N Et. Tabela 3. Współczyk korelacj dla rakgów oce dywersyfkacj według różych mar l. sp. DI 2 DI 3 RQE DE PDI N Et l. sp. DI 2 DI 3 RQE 0,4 0,4 0,4 DE 0,7 0,7 0,7 0,9 PDI 0,9 0,9 0,9 0,7 0,9 N ENT 0,2 0,2 0,2 0,9 0,8 0,6 Źródło: Opracowae włase. Tabela 4. Podstawowe charakterystyk aalzowaych portfel Źródło: Opracowae włase. Portfel Ryzyko Stopa zwrotu P 0,0004 P2 0,00004,0000 P3 0,0000708,000538 P4 0,0000935 P5 0,0000458 W tabel 4 przedstawoo formacje o podstawowych charakterystykach wyzaczoych portfel, tj. wartośc ryzyka stóp zwrotu. Porządkując portfele według malejącej wartośc ryzyka, uzyskao astępujący rakg portfel: P < P2 < P4 < P3 < P5. W przypadku ryzyka otrzymuje sę zatem dokłade to samo uporządkowae portfel, co dla mary RQE. Dla pozostałych mar dywersyfkacj otrzymujemy rozbeżość w rakgach, główe ze względu a portfel P5, który okazał sę portfelem ajmej ryzykowym, a w rakgach według stopa dywersyfkacj zajmuje 4. mejsce. Natomast aalzując kolejość portfel według rosącej wartośc stóp zwrotu, otrzymao brak podobeństwa z którymkolwek rakgem dla deksów dywersyfkacj. Zatem a tym etape trudo zaleźć odpowedź a pytae urtujące welu westorów, czyl jak stopeń dywersyfkacj przekłada sę a zyskowość portfel. Zaprezetowae badaa emprycze zostały powtórzoe dla daych pochodzących z okresów wydłużoych o rok (20-206) oraz o dwa lata (200-206). Poadto aalzowao róweż dywersyfkację portfel wyzaczaych dla daych roczych. We wszystkch przypadkach otrzymao aalogcze wosk.

54 Agata Gluzcka Podsumowae Celem artykułu było omówee wybraych mar pozomu dywersyfkacj portfel westycyjych, ze szczególym uwzględeem mar prezetowaych w lteraturze przedmotu w ostatch latach. Omówoe zostały mary, które moża zalczyć do 5 grup, w zależośc od zastosowaych charakterystyk czy metod kostrukcj. Były to mary uwzględające lczbę spółek w portfelu oraz welkość udzałów tych spółek, mary oparte a etrop, współczyk ryzyka oraz mary kostruowae przy pomocy aalzy składowych główych. Prezetowae mary zastosowae zostały w krótkm przykładze empryczym, który moża podsumować astępującym woskam: wszystke mary, za wyjątkem deksu N Et, jedozacze wskazały portfel ajmej zdywersyfkoway; wększość mar jest zgodych odośe portfela ajbardzej zdywersyfkowaego, którym okazał sę portfel P3 kostruoway dla składków deksu mwig40; dwe mary RQE N Et jako portfel ajbardzej zdywersyfkoway wskazały portfel P5, czyl portfel, którego potecjalym składkam były spółk wchodzące w skład deksu WIG20, oblgacje oraz surowce; take deksy dywersyfkacj, jak lczba spółek, DI, DI 3, okazały sę zgode dla całego zboru portfel dla tych trzech mar otrzymao dokłade to samo uporządkowae portfel; w przypadku mar ależących do tej samej grupy mowa o marach opartych o etropę (DI 3, RQE) moża otrzymać zaczą rozbeżość w ocee stopa zdywersyfkowaa portfel. Zaprezetowae w artykule mary to tylko wybrae przykłady przyależących do określoych grup merków. Temat dywersyfkacj jest tematem wcąż aktualym w badaach aukowych, stąd też pojawające sę owe propozycje mar, czy też koleje modyfkacje mar już stejących. Plaowae jest przeprowadzee rozszerzoych badań dotyczących dywersyfkacj portfel, przy uwzględeu kolejych metod pozwalających oceć stopeń zdywersyfkowaa, jak róweż zastosowae tych merków do kostrukcj portfel zdywersyfkowaych. Lteratura Carmcheal B., Boev Koumo G., Mora K. (205), Ufyg Portfolo Dversfcato Measures Usg Rao s Quadratc Etropy, CIRPEE Workg Paper.

Wybrae mary ocey stopa dywersyfkacj portfel westycyjych 55 Cheg P., Roulac S.E. (2007), Measurg the Effectveess of Geographcal Dversfcato, Joural of Real Estate Maagemet, Vol. 3, s. 29-44. Chouefaty Y., Cogard Y. (2008), Toward Maxmum Dversfcato, Joural of Portfolo Maagemet, Vol. 35, s. 40-5. Chouefaty Y., Frodure T., Reyer J. (203), Propertes of the Most Dversfed Portfolo, Joural of Ivestmet Strategy, Vol. 2, No. 2, s. 49-70. Evas J., Archer S. (968), Dversfcato ad the Reducto of Dsperso, Joural of Face, Vol. 23, No. 5, s. 76-767. Fsher L., Lore J.H. (970), Some Studes of Varablty of Returs o Ivestmets Commo Stocks, The Joural of Busess, Vol. 43, No. 2, s. 99-34. Frahm G., Wechers C. (20), O the Dversfcato of Portfolos of Rsky Assets, Dscusso Papers Ecoometrcs ad Statstcs 2/, Uversty of Cologe Isttutel of Ecoometrcs ad Statstcs, Cologe. Gluzcka A. (206), Optymala dywersyfkacja a polskm ryku westycyjym, Studa Ekoomcze. Zeszyty Naukowe Uwersytetu Ekoomczego w Katowcach, r 297, s. 22-37. Hart P.E. (97), Etropy ad Other Measures of Cocetrato, Joural of the Royal Statstcal Socety, Vol. 34, s. 73-85. Krcher U., Zuckel C. (20), Measurg Portfolo Dversfcato, http://arxv.org/ pdf/02.4722.pdf. Marfels Ch. (97), Absolute ad Relatve Measures of Cocetrato Recosdered, Kyklos, Vol. 4, s. 753-766. Meucc A. (2009), Maagg Dversfcato, Rsk, Vol. 22, No. 5, s. 74-79. Meucc A., Satagelo A., Deguest R. (204), Measurg Portfolo Dversfcato Based o Optmzed Ucorrelated Factors, EDHEC Rsk Isttute Publcato. Pergo C., Smth D.R. (200), Dversfcato ad Value-at-Rsk, Joural of Bakg & Face, Vol. 34, No., s. 55-60. Rao R.C. (982a), Dversty: Its Measuremet, Decomposto, Apportomet ad Aalyss, Ida Joural of Statstcs, Vol. 44, s. -22. Rao R.C. (982b), Dversty ad Dssmlarty Coeffcets: A Ufed Approach, Theoretcal Populato Bology, Vol. 2, s. 24-43. Rud A.M., Morga J.S. (2006), A Portfolo Dversfcato Idex, The Joural of Portfolo Maagemet, Vol. 32, No. 2, s. 8-89. Samuelso P.A. (967), Geeral Proof that Dversfcato Pays, The Joural of Facal ad Quattatve Aalyss, Vol. 2, No., s. -3. Tag G.Y.N. (2004), How Effcet s Nave Portfolo Dversfcato? A Educatoal Note, The Iteratoal Joural of Maagemet Scece, Vol. 32, s. 55-60. Tasche D. (2006), Measurg Sectoral Dversfcato a Assumptotc Multfactor Framework, Joural of Credt Rsk, Vol. 2, No. 3, s. 33-55.

56 Agata Gluzcka Vermorke M.A., Medda F.R., Schroder T. (202), The Dversfcato Delta: A Hgher Momet Measure for Portfolo Dversfcato, Joural of Portfolo Maagemet, Vol. 39, No., s. 67-74. SELECTED MEASURES TO ASSESS THE LEVEL OF DIVERSIFICATION OF INVESTMENT PORTFOLIOS Summary: Oe of the most mportat assumptos the portfolo theory s dversfcato. Ths s also oe of the ma methods of reducg the level of rsk assocated wth a vestmet. For may years the problem of dversfcato has bee aalysed by both practtoers ad theorsts. The uversal method of costructg the well dversfed portfolo s stll sought. The dversfcato methods are used amog others: measures based o the correlato, spectral rsk measures, elemets of formato theory or rsk dstrbuto. I the artcle, selected measures of dversfcato were aalysed. Preseted measures were appled a short emprcal example for the portfolos of the Warsaw Stock Exchage. Keywords: dversfcato of vestmet portfolo, dversfed portfolo, etropy, rsk coeffcet, prcpal compoet aalyss.