4 IAPGOŚ 3/05 p-iss 083-057 e-iss 39-676 DOI: 0.5604/083057.66546 ZASTOSOWAIE METODY ELEMETÓW BRZEGOWYCH DO ROZWIĄZYWAIA PROBLEMÓW PROSTYCH W OBSZARACH STREFOWO IEJEDORODYCH WZGLĘDEM PRZEWODICTWA WŁAŚCIWEGO Paweł Tchórzewsk et-art Dzał R&D ul. Zwązkowa 6 0-48 Lubln Streszczene. Przedstawam rozwązane problemu prostego dla pola elektrycznego otrzymane z wykorzystanem metody elementów brzegowych. Funkca opsuąca rozkład przewodnctwa właścwego na rozważanym obszarze przymue dwe różne nezerowe wartośc. Proponowane podeśce może zostać wykorzystane przy wyznaczanu rozwązana zagadnena odwrotnego w systeme przeznaczonym do montorowana stanu wałów przecwpowodzowych. Dzałane tego systemu opera sę na mpedancyne tomograf komputerowe. Słowa kluczowe: symulaca numeryczna metoda elementów brzegowych zagadnene proste SOLUTIOS OF FORWARD PROBLEMS OBTAIED VIA BOUDARY ELEMET METHOD FOR OHOMOGEEOUS DOMAIS I REGARD TO ELECTRICAL CODUCTIVITY Abstract. I present soluton of the forward problem for electrc feld obtaned through the boundary element method. The functon whch descrbes electrcal conductvty dstrbuton on the doman possesses two dfferent nonzero values. Proposed approach can be utlsed n order to obtan soluton of the nverse problem n the flood embankment control system. Such system reles on the electrcal mpedance tomography. Keywords: numercal smulaton boundary element method forward problem Wstęp umeryczne metody rozwązywana równań różnczkowych ch układów stanową bardzo stotny obszar współczesne nauk. Pozwalaą one na uzyskane rozwązana maącego charakter przyblżony w przypadku gdy ścsłe rozwązane ne est możlwe do otrzymana za pośrednctwem metod analtycznych. Brak możlwośc otrzymana ścsłego rozwązana est bardzo częstym przypadkem dla model opsuących zawska fzyczne w sposób realstyczny. Take modele są neednokrotne dość złożone pod względem matematycznym są przeważne reprezentowane poprzez układy równań różnczkowych. Dokładne rozwązane otrzymuemy zwykle edyne dla problemów akademckch gdze mamy do czynena z odpowedno uproszczonym podeścam do opsu złożonych zawsk. Otrzymane numerycznego rozwązana równana różnczkowego albo układu takch równań est neednokrotne zadanem wymagaącym wele wysłku uż na etape proektowana odpowednego algorytmu. Wybór konkretne metody rozwązana zależy od typu równana a nawet od postac warunków brzegowych. Czasam pomocna stae sę możlwość wykorzystana odpowednego paketu numerycznego który z reguły dedykowany est dla wąske grupy problemów z określone dzedzny badawcze. W przypadku pewnych zadań szczególnym wyzwanem est opracowane algorytmów charakteryzuących sę stablnoścą numeryczną. Brak stablnośc numeryczne powodue znaczące znekształcene końcowego wynku oblczeń. Zdarzaą sę też zagadnena źle uwarunkowane. Wówczas małe zmany w danych początkowych w zasadnczy sposób zmenaą końcowe rozwązane. Z taką sytuacą mamy do czynena mędzy nnym przy zagadnenu (probleme) odwrotnym w mpedancyne tomograf komputerowe (ITK). Celem pracy badawcze est rozwązane zagadnena prostego dla pola elektrycznego w ITK. Można przyąć że tak postawone zadane sprowadza sę do problemu brzegowego dla równana różnczkowego cząstkowego które opsue staconarny przepływ prądu elektrycznego w ośrodku strefowo neednorodnym względem przewodnctwa właścwego. Przyęto że ośrodek ten posada dwa wymary przestrzenne. Z punktu wdzena specyfk problemu odwrotnego kluczowe znaczene posadaą welkośc fzyczne określone na brzegu badanego obszaru to est potencał pola elektrycznego oraz ego pochodna w kerunku normalnym do wspomnanego brzegu. Z tego względu zasadne wydae sę skorzystane z metody elementów brzegowych. Opsany sposób podeśca do rozwązana problemu prostego est użyteczny ze względu na swoe potencalne zastosowana praktyczne. Przykładowo wymenć można tuta system przeznaczony do kontrol stanu wałów przecwpowodzowych. Koncepca dzałana systemu opera sę na wykorzystanu ITK [7]. W procese automatycznego przetwarzana zebranych danych pomarowych ważną rolę odgrywa wybór odpowednego modelu geometrycznego który będze reprezentował fragment wału przecwpowodzowego. Istotny est także właścwy wybór warunków brzegowych. W nnesze pracy została przedstawona propozyca rozwązana wymenonych powyże problemów. Kolena część artykułu zawera zwęzłe omówene zastosowanego formalzmu. W ostatne częśc zaprezentowane zostały wybrane rozwązana zagadnena prostego.. Metoda elementów brzegowych Pomysł na rozwązane opsanego we wstępe problemu prostego w ITK opera sę na odpowednm wykorzystanu metody elementów brzegowych (MEB). Technka ta pozwala na otrzymane przyblżonego rozwązana w przypadku takch równań różnczkowych cząstkowych które są możlwe do przedstawena w postac całkowe. Aby można było używać MEB dla wybranego równana w sposób efektywny koneczne stae sę ścsłe wyznaczene funkc Greena. Tak węc w przypadku MEB oblczena do określonego etapu wykonywane są w sposób analtyczny. Ponadto należy zauważyć że ne przeprowadzamy dyskretyzac całego obszaru a edyne brzegu. Prawdłowość ta ułatwa sporządzene modelu badanego obektu. Pewne trudnośc mogą poawć sę podczas prób oblczena charakterystycznych dla MEB całek z funkc osoblwych. Jednak w rozważanym przypadku sytuaca taka ne będze mała mesca ze względu na wykorzystane tak zwanych elementów stałych. Punktem wyśca do analzy loścowe est uogólnone prawo Ampère a: D H. () t Wektor H oznacza natężene pola magnetycznego D est wektorem ndukc elektryczne natomast oznacza gęstość prądu. Poneważ rozważamy zawsko kwazstaconarne (wolnozmenne) węc gęstość prądu przesunęca z dobrym przyblżenem wynos zero. artykuł recenzowany/revsed paper IAPGOS 3/05 4-8
p-iss 083-057 e-iss 39-676 IAPGOŚ 3/05 5 Dlatego po oblczenu dywergenc lewe prawe strony równana () otrzymuemy: 0. () W ośrodku zotropowym oraz strefowo neednorodnym względem przewodnctwa właścwego mamy: u (3) gdze konduktywność σ est wyrażona poprzez funkcę skalarną. Potencał pola elektrycznego został oznaczony symbolem u. Problem prosty w ITK opsany est równanem różnczkowym cząstkowym: u 0. (4) a równane (4) nakładane są odpowedne warunk brzegowe... Ośrodk ednorodne W ośrodku zotropowym oraz ednorodnym względem przewodnctwa właścwego (σ est stałe) równane (4) sprowadza sę do równana Laplace a: x y) x y) 0 (5) x y gdze (x y) Ω. W prosty sposób można wykazać że postać całkowa równana różnczkowego (5) est następuąca: u g dxdy q g d u hd 0. (6) Krzywa Γ stanow brzeg obszaru Ω. Symbol dγ oznacza nfntezymalny element długośc krzywe. Pochodna potencału elektrycznego w kerunku prostopadłym do krzywe Γ została oznaczona poprzez q. W MEB za g oberamy funkcę Greena która spełna równane różnczkowe [4]: g ( r r ) 0. (7) (r ) oznacza tuta deltę Draca. a funkcę g ne nakładamy warunków brzegowych. Dla dwuwymarowe przestrzen mamy: A r ) ln π (8) r r gdze A est dodatną lczbą rzeczywstą. Funkca h est określona na krzywe Γ oznacza pochodną funkc Greena w kerunku normalnym do te krzywe: n( ( r r ) h( r ) n( r r ). (9) π r r Wspomnany kerunek normalny est zdefnowany poprzez unormowany wektor n (r ). Wektor ten est skerowany na zewnątrz obszaru Ω. Po wykorzystanu właścwośc funkc Greena delty Draca równane całkowe (6) przymue postać: c( r ) r ) h( r ) d q( r ) d. (0) Tak ak to uż zostało wspomnane krzywą Γ aproksymuemy korzystaąc z elementów stałych. Oznacza to że w ramach przyętego przyblżena welkośc u oraz q są stałe wzdłuż dowolnego elementu brzegowego. Ponadto każdy element brzegowy est odcnkem proste. Równane wektorowe -tego elementu brzegowego (Γ ) posada następuącą postać: r ( ) r( m) r( l) r( f ) () gdze ξ < + >. Wektory wodzące oraz r ( f ) r ( l ) r ( m ) reprezentuą odpowedno: perwszy werzchołek ostatn werzchołek oraz węzeł elementu brzegowego (rys. ). Poneważ węzeł może znadować sę tylko w środku danego elementu brzegowego dlatego funkca c obecna w równanu (0) przymue tuta tylko trzy wartośc. Jeżel dany punkt znadue sę na krzywe Γ to wartość funkc c wynos 05. Gdy dany punkt leży wewnątrz obszaru Ω to wartość funkc c wynos natomast w pozostałych przypadkach funkca c przymue wartość równą 0. ależy zauważyć że w formule (0) krzywa Γ została podzelona na elementów. Infntezymalny element długośc dany est ogólnym wzorem: dr ( ) dr ( ) d d. () d d Korzystaąc z równana () w naszym przypadku dostaemy: d L d (3) gdze L oznacza długość -tego elementu brzegowego: L r r. (4) ( l) ( f ) Aby podczas oblczeń numerycznych zastnała możlwość wykorzystana wzoru (0) należy wprowadzć eszcze pewne modyfkace zgodne z założenam właścwym dla stałych elementów brzegowych. ech punkt określony wektorem wodzącym r będze położony na krzywe Γ. Po przeprowadzenu odpowednch przyblżeń otrzymuemy: r ) r ) ( ) ( ) ( ). h r r d q r g r r d (5) W równanu (5) za r możemy przyąć wektor wodzący dowolnego węzła. Wprowadzamy następuące oznaczena: H G r ) d h( r ) d. (6) Symbol oznacza deltę Kroneckera. Dagonalne elementy macerzy H oraz G są wyrażone poprzez ścsłe wzory: L A G ln L (7) H. W przypadku elementów brzegowych wyższych rzędów wyznaczane elementów dagonalnych wymusza koneczność numerycznego oblczena całek z funkc osoblwych [8]. Rys.. Struktura geometryczna stałego elementu brzegowego Korzystaąc z wprowadzonych powyże oznaczeń równane (5) możemy zapsać ako: H r ) G q( r ). (8) W ten sposób otrzymuemy układ składaący sę z lnowych równań algebracznych na neznane (ne określone poprzez warunk brzegowe) wartośc potencału u oraz ego pochodne q na węzłach elementów brzegowych. Układ ten mus zostać przekształcony w sposób tożsamoścowy do postac macerzowe A x = b gdze x est newadomą natomast A oraz b są znane. Dopero po otrzymanu rozwązana lnowego układu równań możemy przystąpć do oblczena potencału oraz ego gradentu w punktach położonych wewnątrz rozpatrywanego obszaru: q( r ) d r ) h( d. (9)
6 IAPGOŚ 3/05 p-iss 083-057 e-iss 39-676.. Ośrodk strefowo neednorodne W ośrodku zotropowym oraz strefowo neednorodnym względem przewodnctwa właścwego potencał pola elektrycznego est opsany równanem (4). Przymmy teraz że domenę Ω można podzelć na dwa podobszary na których konduktywność σ est stała. Wówczas na każdym z tych podobszarów potencał spełna równane Laplace a. Zatem dla każdego z nch można zastosować opsany w poprzednm podrozdzale pracy formalzm obecny w MEB. Rys.. Granca mędzy ośrodkam o różnych przewodnctwach właścwych. Punkt W oznacza węzeł elementu brzegowego. Wektor normalny est skerowany na zewnątrz odpowadaącego mu ośrodka Osobne analzy wymaga natomast zwązek mędzy welkoścam fzycznym na grancy ośrodków o różnych przewodnctwach właścwych. ależy zauważyć że na każdym z węzłów leżących na wspomnane grancy ne są znane wartośc lczbowe dla u oraz dla q. Możlwa est ednak elmnaca nadmerne lczby newadomych. ech u () oraz q () oznaczaą welkośc fzyczne w -tym ośrodku przypsane do ednego węzła wybranego elementu brzegowego położonego na grancy (rys. ). Poneważ potencał pola elektrycznego oraz wektor gęstośc prądu są reprezentowane poprzez funkce cągłe dlatego zachodzą następuące relace: () () u u (0) () () q q 0 gdze σ est przewodnctwem właścwym -tego podobszaru.. Oblczena numeryczne Wszystke welkośc fzyczne obecne na poszczególnych wykresach znaduących sę w tym rozdzale pracy wyrażone są w ednostkach układu SI. Ponadto zakładamy że dodatna stała obecna we wzorze (8) przymue wartość: A = m. Aby przeprowadzć oblczena numeryczne w oparcu o założena sformułowane w poprzednm rozdzale pracy został napsany odpowedn program komputerowy. Implementaca MEB w warance dla ośrodka strefowo neednorodnego została wykonana w środowsku Matlab R0a. Wybór ten podyktowany był względam praktycznym. W środowsku Matlab wspomnaną mplementacę MEB można wykonać w stosunkowo krótkm czase. Utworzony program pozwala na wykonane oblczeń dla ośrodków strefowo neednorodnych z dwoma nezerowym różnym od sebe współczynnkam konduktywnośc. Dopuszczalny est także przypadek gdze eden podobszar est zawarty wewnątrz drugego. e zostały uwzględnone tak zwane elementy neskończone. Z tego względu każda krzywa opsuąca dowolny podobszar mus być krzywą zamknętą. Omawany program dzała w sposób sekwencyny. Porządek kluczowych etapów oblczeń został przedstawony na rys. 3. Elementy macerzowe (6) zaweraące całk krzywolnowe nezorentowane z funkc Greena oraz z e pochodne oblczono za pomocą kwadratury Gaussa-Legendre a. Wykorzystano pęć par składaących sę z węzła nterpolac oraz odpowadaące mu wag. Dla przypadku = (elementy dagonalne) wyprowadzono wzory analtyczne (7). Rys. 3. Schemat blokowy wykonane mplementac MEB.. Rozwązane zagadnena testowego W celu sprawdzena poprawnośc dzałana rozważanego programu za ego pomocą został rozwązany pewen problem testowy. Przyęto że współczynnk przewodnctwa właścwego przymuą wartośc: σ = Sm - oraz σ = 4 Sm -. Dla prostokątne domeny (rys. 4) warunk brzegowe zostały zdefnowane w następuący sposób: 6V dla { ( x y ) : x 0 0 y m} V dla { ( x y ) : x m 0 y m} () q( 0 dla { ( x y ) : 0 x m y 0 y m}. Po prostych oblczenach otrzymuemy ścsły rezultat: x 6 4 V dla{ ( x y ) : 0 x m 0 y m } ( ) m u a r. () x 3 V dla { ( x y ) : m x m 0 y m } m Wzór () wykorzystano podczas wyznaczana błędu procentowego dla rozwązana otrzymanego za pomocą MEB. Błąd ten został oblczony zgodne z formułą: us ua u % 00% (3) u gdze u s reprezentue wynk symulac komputerowe natomast u a oznacza wartość ścsłą. a
p-iss 083-057 e-iss 39-676 IAPGOŚ 3/05 7 Dyskretyzaca obszaru Ω została pokazana na rys. 4. a brzegu każdego z podobszarów zaznaczono wszystke węzły elementów brzegowych a także wektory normalne (w wybranych punktach). Dany wektor normalny est zawsze skerowany na zewnątrz podobszaru z którym est powązany. Rozwązane otrzymane numeryczne przedstawa rys. 5 natomast błąd procentowy został pokazany na rys. 6. Brzeg każdego z podobszarów został podzelony na 00 elementów. Wdzmy że przy tak wybrane dyskretyzac potencał pola elektrycznego został wyznaczony w dość dokładny sposób. Wspomnany błąd est newelk ne przekracza 05 %. Przestrzenny rozkład błędu est w przyblżenu ednorodny poza dwoma newelkm obszaram zlokalzowanym w otoczenu punktów gdze spotykaą sę trzy elementy brzegowe. Podczas przeprowadzana badań nad zagadnenem prostym dla pola elektrycznego w perwsze kolenośc należy wprowadzć odpowedn model geometryczny. Jest on zależny przede wszystkm od sposobu rozmeszczena elektrod wchodzących w skład systemu opartego na EIT. Wyróżnamy elektrody prądowe (polaryzuą badany obsza oraz elektrody napęcowe (zapewnaą możlwość pomarów napęca mędzy określonym punktam). Elektrody mogą być położone w edne płaszczyźne prostopadłe do koryta rzek [7]. Do takego przypadku odnos sę dwuwymarowy model uszkodzonego wału przecwpowodzowego zaprezentowany na rys. 7. Zaznaczono tuta przekró poprzeczny wału. Ponadto na rys. 8 mamy pokazaną dyskretyzacę badanego obszaru. a brzegu każdego z podobszarów domeny Ω zaznaczono węzły wszystkch elementów brzegowych oraz wektory normalne (w wybranych punktach). Podobszar () reprezentue wspomnane uszkodzene. Wybór kształtu domeny ne est ednak sprawą ednoznaczną. W ogólnośc dopuszczalna est także taka możlwość że brzeg modelowanego obszaru będze opsany krzywą otwartą. Wymusza to ednak zastosowane neskończonych elementów brzegowych. Koleną kwestą wymagaącą rozstrzygnęca est wybór wartośc przewodnctwa właścwego dla każdego z podobszarów. Konduktywność gleby zależy mędzy nnym od e rodzau oraz struktury [6]. Ponadto czynnkem maącym stotny wpływ na przewodnctwo właścwe gleby est także e wlgotność. Wynk badań zameszczone w publkac [6] pokazuą że przewodnctwo właścwe gleby est rosnącą funkcą e wlgotnośc obętoścowe. W przyętym modelu wału przecwpowodzowego podobszar () charakteryzue sę znaczne wększą wlgotnoścą w porównanu do podobszaru (). a potrzeby nneszego artykułu można przyąć że uśrednone konduktywnośc wynoszą [6]: σ = 0 ms m - oraz σ = 5 ms m -. Rys. 4. Model testowy utworzony w celu weryfkac poprawnośc dzałana programu Rys. 7. Przekró poprzeczny koryta rzek oraz wału przecwpowodzowego Rys. 5. Przestrzenny rozkład potencału pola elektrycznego dla modelu testowego otrzymany za pomocą MEB Rys. 6. Przestrzenny rozkład błędu procentowego otrzymany dla numerycznego rozwązana zagadnena testowego.. Rozwązane problemu prostego Rys. 8. Model częścowo uszkodzonego wału przecwpowodzowego Pozostae eszcze określene warunków brzegowych. Zgodne z rys. 7 krzywą brzegową dla domeny Ω est trapez. a dłuższe podstawe trapezu kładzemy u = 0 (ednorodny warunek Drchleta). Identyczny warunek wyberamy na dolne połowe lewego ramena trapezu z tego względu że na tym odcnku wał przecwpowodzowy posada kontakt z rzeką. Poza dwoma wybranym
8 IAPGOŚ 3/05 p-iss 083-057 e-iss 39-676 węzłam które wyznaczaą położene elektrod prądowych na pozostałe częśc krzywe Γ przymuemy ednorodny warunek eumanna (q = 0). Pomędzy elektrodam prądowym przyłożone est napęce wynoszące 0 V. a potrzeby oblczeń numerycznych dokonano dyskretyzac brzegu podobszaru () na 6 elementy natomast brzegu podobszaru () na 5 elementów (rys. 8). Wynk oblczeń numerycznych dla dwóch przykładowych położeń par elektrod prądowych zostały pokazane na rys. 9. Poneważ potencał pola elektrycznego dla tych elektrod wynos ±5 V węc na te podstawe można łatwo ustalć ch lokalzacę na omawanym rysunku. Podczas wykonywana badana tomografcznego obekt est polaryzowany na klka lub klkanaśce różnych sposobów. Ma to na celu zwększene dokładnośc zobrazowana ego struktury wewnętrzne []. Rys. 9 przedstawa rozkłady potencału pola elektrycznego na całym obszarze. Jednak podczas rozwązywana problemu odwrotnego wystarczy oblczyć welkośc charakteryzuące pole elektryczne tylko na brzegach obu podobszarów. 3. Podsumowane Implementaca MEB która została wykorzystana do rozwązana problemu prostego est częścą systemu przeznaczonego do badana stanu wałów przecwpowodzowych za pomocą ITK. Zarys koncepc dzałana tego systemu został opsany w pracy [5]. Przedstawone w nneszym artykule wynk pokazuą że zagadnene proste dla pola elektrycznego w ośrodku strefowo neednorodnym może zostać skuteczne rozwązane za pomocą odpowedne mplementac MEB. Stwarza to możlwość zastosowana opracowane mplementac przy rozwązywanu problemu odwrotnego w ITK. W tym podeścu oprócz wspomnane uż MEB wykorzystywana est także metoda zborów pozomcowych oraz metoda gradentowa [ 7]. Aby zastnała możlwość rozwązana zagadnena odwrotnego planowane est odpowedne uogólnene programu. Uogólnene to będze przeprowadzone w tak sposób aby w równanu (4) możlwe było uwzględnene członu źródłowego. Potrzeba wprowadzena take modyfkac wynka stąd że metoda gradentowa w każdym kroku teracynym zakłada rozwązane dodatkowego równana (zwanego równanem sprzężonym) które zawera tego typu wyraz []. Lteratura [] Beer G.: Programmng the Boundary Element Method. An Introducton for Engneers. John Wley & Sons Eastbourne 00. [] Flpowcz S.F. Rymarczyk T.: Tomografa Impedancyna - pomary konstrukce metody tworzena obrazu. BEL Studo Warszawa 003. [3] Grffths D.J.: Podstawy elektrodynamk. Wydawnctwo aukowe PW Warszawa 006. [4] Kythe P.K.: An ntroducton to Boundary Element Methods. CRC Press USA 995. [5] Olchowy D.: System mpedancyne tomograf komputerowe bazuący na procesorze sygnałowym o nskm poborze mocy. Informatyka Automatyka Pomary w Gospodarce Ochrone Środowska 3/03 57-58. [6] Rutkowsk K. n.: Ocena zmennośc przestrzenne wlgotnośc gleby na podstawe map konduktywnośc elektryczne. Część II. Inżynera Rolncza 8/007 5-3. [7] Rymarczyk T. Rymarczyk P.: ondestructve Method for Montorng Flood Embankment System. IIPHDW 03 Brno Czech Republc September 03. [8] Skora J.: umeryczne metody rozwązywana zagadneń brzegowych. Poltechnka Lubelska Lubln 0. [9] Weleba P.: Otwarta obektowa bbloteka metody elementów brzegowych do rozwązywana zagadneń tomograf dyfuzyne - Rozprawa doktorska. Instytut Elektrotechnk Warszawa 00. Mgr Paweł Tchórzewsk e-mal: pawel.tchorzewsk87@gmal.com Rys. 9. Przestrzenne rozkłady potencału pola elektrycznego stanowące przykładowe rozwązana problemu prostego w ITK dla struktury pokazane na rys. 7 (wał przecwpowodzowy). Wynk otrzymano dla dwóch różnych położeń par elektrod prądowych Absolwent Unwersytetu Mar Cure-Skłodowske w Lublne na kerunku fzyka (specalność: fzyka teoretyczna). Aktualne podczas pracy zawodowe realzue zadana o proflu rozwoowo-badawczym w dzedzne numerycznych metod rozwązywana równań różnczkowych cząstkowych. otrzymano/receved: 07.0.04 przyęto do druku/accepted: 09.06.05