PODSTAWY MATEMATYCZNE

PODSTAWY MATEMATYCZNE

ALGEBRA WEKTORÓW I TENSORÓW Baza ortonormalna w E 3 : e 1, e 2, e 3 ( e, e ) j j 1 f j 0 f j Każdy wektor w E 3 może być wyrażony jako lnowa kombnacja wersorów bazowych a a e a e a e a e - konwencja sumacyjna (Enstena) 1 1 2 2 3 3 a [ a, a, a ] - kanonczne utożsamene (zomorfzm) E 3 R 3 1 2 3 ILOCZYN SKALARNY (WEWNĘTRZNY) WEKTORÓW Nech a ae b bj j e. Iloczynem skalarnym wektorów a b nazywamy lczbę ab a, b a b ( e, e ) a b a b j j j j Poneważ ( ae, ) a, zatem a ( a, e ) e

ILOCZYN WEKTOROWY Defnujemy operację w dzałanu na wersorach bazy w następujący sposób: e e e, e e e, e e e, 1 2 3 2 3 1 3 1 2 e e 0, e e j e j e ne sumujemy! Zakładając lnowość tek operacj względem obu argumentów, rozszerzamy tę operację na dowolne wektory z E 3 : ab a e b e a b e e ( a b a b ) e ( a b a b ) e ( a b a b ) e j j j j 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 Praktyczny sposób oblczana loczynu wektorowego e e e a a a a a a ab a a a e e e b b b 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 b2 b3 b1 b3 b1 b2 1 2 3

SYMBOL ALTERNUJĄCY (ALTERNATOR, SYMBOL LEVI-CIVITY) 0 gdy j lub k lub j k jk 1 gdy {, j, k} jest premutacją parzystą { 1, 2, 3} 1 gdy {, j, k} jest permutacją neparzystą { 1, 2, 3} Np. 213 1, 311 0, 231 1. Iloczyn wektorowy wektorów a and b może być zapsany w postac ab jk ab j k e Inna użyteczna operacja to loczyn meszany trójk wektorów a1 a2 a3 a ( bc ) b b b ab jc c c c 1 2 3 jk k 1 2 3 det A a1 a2 j Wyznacznk macerzy A (dm A = 3): jk,,, a 3 k

TENSORY KARTEZJAŃSKIE 2-EGO RZĘDU W E n Tensory jako dwulnowe przekształcena Dwulnowość oznacza: n n E E R Dla dowolnych wektorów x y możemy napsać równość Macerz T taka, że wybranym układze odnesena). Wybrane operacje na tensorach: Dodawane Mnożene przez skalar Iloczyn T( 1x1 2x2, y) 1T ( x1, y) 2T ( x2, y), T( x, y α y ) T( x, y ) T( x, y ). 1 1 2 2 1 1 2 2 T( x, y) T( x e, y e ) x y T( e, e ) t x y j j j j j j j j T t jest reprezentacją tensora w względem wybranej bazy w E n (w T T T T T T t t t T T t t T T T t t t 1 2 1 2 1 2 j j j 1 1 T T 1 j j 1 2 1 2 T T1T 2 j k kj 1 2 1 2 j j Iloczyn skalarny (Frobenusa) T : T : t t ( podwójne sumowane!)

Bazowe funkcjonały lnowe (kowektory) w 3 E R: e ( e ): j j Iloczyn tensorowy kowektorów bazowych (kowersorów): Możemy zapsać równość ( e e )( x, y): e ( x) e ( y) e ( x e ) e ( y e ) j j k k j x y e ( e ) e ( e ) x y x y k m k j m k m k jm j m m T( x, y) tjx y j tj ( e ej)( x, y ) lub T tj e ej. Morał: Przestrzeń tensorów 2-ego rzędu tworzy 9-wymarową przestrzeń lnową. Tensor symetryczny: T( x, y) T( y, x ) Tensor antysymetryczny (lub skośne symetryczny): T( x, y) T( y, x ) W dowolnej baze reprezentacja macerzowa tensora symetrycznego jest macerzą symetryczną ( t j t j ), a antysymetrycznego macerzą antysymetryczną ( t j t j ).

ORTOGONALNE TRANSFORMACJE UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH Nech e, e, e będą wersoram nnej bazy w E 3 1 2 3 (rysunek). Wersory te można przedstawć jako kombnacje lnowe wersorów bazy perwotnej (starej). e 3 Nech e zke k, ej z jme m. Warunek ortonormalnośc nowej bazy (prmowanej) to: 0 ( I) ( e, e) z z ( e, e ) z z j j j k jm k m k jm km T T z z ( ZZ ) ( Z Z) k jk j j. e 1 e 2 Wnoskujemy, że transformacja bazy (układu współrzędnych) zachowuje ortonormalność 1 T wtedy tylko wtedy, gdy defnująca tę transformację macerz Z spełna warunek Z Z, czyl jest macerzą ortogonalną. Jasnym jest, że transformacja zadana przez taką macerz to de facto sztywny obrót.

Każdy wektor x z E 3 może być przedstawony jako kombnacja wersorów z bazy starej lub nowej x xe x e. Wobec tego j j j j x x e xz e x z e, co oznacza, że ( T x z x Z ) x ( Z 1 ) x x ( Z ) x. j j j j j j j j Otrzymalśmy regułę transformacj współrzędnych wektora przy zmane bazy. Rozważmy tensor T jego reprezentacje względem obu baz starej nowej. Mamy Mamy ( ZT Z ) T( xy, ) tjx y j tj x yj. T( xy, ) t x y t z x z y x z t z y j j j k k mj m k k j mj ( ZT ) T T x ( ZT) ( Z ) y x ( ZT Z ) y x t y k kj jm m k km m k km m T km t km kj m

Z przeprowadzonego rachunku wynka, że macerz reprezentująca T względem nowej bazy wyraża sę wzorem T Z T Z Z T Z T 1 Otrzymalśmy w ten sposób regułę transformacj reprezentacj macerzowych dla tensorów kartezjańskch 2-ego rzędu.

TENSORY 2-EGO RZĘDU JAKO TRANSFORMACJE LINIOWE Rozważmy tensor T dwa dowolne wektory x and y. Mamy T(, ) x t y x w xy ( xw, ). j j w loczyn skalarny E E 3 3 Zauważmy, że wektor w może być zapsany jako wynk dzałana pewnej transformacj T, a manowce w T y. 3 3 Transformacja T : E E jest lnowa może być zdefnowana poprzez swoje dzałane na wersory bazy Istotne, dla każdego wektora w mamy T e j t e j w Ty T( y e ) y T e t y e we. j j j j j j Równoważność pomędzy tensoram 2-ego rzędu a odwzorowanam lnowym wynka z następujących formuł TT: T( x, y): ( x, T y), TT: T y: T( e, y) e.

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE TENSORA 2-EGO RZĘDU. NIEZMIENNIKI TENSORA. Zagadnene na wartośc wektory własne: 1-sze sformułowane: wyznacz 2-ge sformułowane: wyznacz dla każdego wektora x z E 3. Równoważne, mamy C nezerowy wektor w take, że T w w, lub C nezerowy wektor w take, że T( x, v) ( x, v ) ( t v v ) e 0 p ( ) det( T I ) 0. j j T Wartośc własne są perwastkam welomanu charakterystycznego p T (λ). Ważna własność: Wartośc własne tensora symetrycznego są lczbam rzeczywstym. Ponadto, wektory własne odpowadające różnym wartoścom własnym takego tensora są ortogonalne (prostopadłe). Weloman charakterystyczny jest nezmennkem, tj. ne zależy od wyboru bazy! p T 1 1 ( ) det( TI) det( ZT Z I) det [ Z( TI) Z ] 1 1 det Z det ( T I) det Z det Z det( T I) (det Z) det( T I)

3 2 W przypadku 3D mamy p ( ) J J J T 1 2 3 którego współczynnk zwane są nezmennkam tensora J trt t t t t ( tr znaczy trace, po polsku ślad ), 1 : 11 22 33 2 2 J 1 [( trt ) trt ] 2 2 J3 dett. Zachodzą następujące zwązk pomędzy nezmennkam tensora, a jego wartoścam własnym (wzory Vete a dla welomanu 3-ego stopna) J1 1 2 3, J2 1 2 1 3 23, J3 1 23.

TWIERDZENIE CAYLEYA-HAMILTONA Każda kwadratowa macerz A spełna swój własny weloman charakterystyczny p AI w tym sense, że ma mejsce równość p ( A) 0. A ( ) det( ) Dowód: Dla dowolnej macerzy neosoblwej M mamy 1 T M det M ( cof M ). Zatem M ( cof M) T det M I. Nech M AI. Wówczas B( ): [ cof ( AI )] T jest welomanem macerzowym stopna ne wyższego nż n -1 (n wymar A) Wobec tego n1 n1 B( ) B B... B B n1 n1 1 0 n1 n1 ( AI) B B... B B n1 n1 1 0 n n1 det( A I) I ( c... c c ) I n1 1 0 A 1 Powyższa równość jest spełnona dla każdej lczby, zatem współczynnk macerzowe po obu stronach równośc muszą być dentyczne.

Z porównana wynka, że Bn 1I Bk 1 ABk ck I, k n 1, n 2,.., 1 AB c I 0 0 n n1 Pomnóżmy (z lewej strony) perwszą równość przez A, drugą - przez A tak dalej, pozostawając bez zman ostatną. Następne dodajmy stronam wszystke otrzymane w ten sposób równośc. Zauważmy, że po lewej strone pojawą sę pary składnków różnących sę tylko znakem! Ostateczne otrzymamy: zgodne z dowodzoną formuła. n n 1 0 A c A... c A c I p ( A ) n1 1 0 A Dla macerzy o wymarze równym 3 mamy w szczególnośc T J T J T J I 0. 3 2 1 2 3 Relację tę można wykorzystać do oblczana macerzy odwrotnej (jak?). Jej prawdzwe znaczene polega jednak na tym, że mplkuje ona możlwość wyrażena trzecej wyższych potęg macerzy A przez I, A and A 2.

WAŻNA TOŻSAMOŚĆ jk k Dowedzemy, że j j Dówód: Zacznjmy od oczywstej tożsamośc 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 0 1 0 1. 0 0 1 Permutujemy wersze 1 2 3 j1 j 2 j3 jk k1 k 2 k3. a następne kolumny.. j j j k k k. jk

Połóżmy teraz k = α zsumujmy... Oto rezultat k jk j j jk k kk k k, czyl ( ) ( ) ( ) jk k k j k k j jk k kk j jk k kk j 3 3 3 3 j j j j j j j j Ćwczene: Wykorzystując powyższą tożsamość udowodnj, że a( bc) ( a, c) b ( a, b) c

WAŻNE OPERATORY RÓŻNICZKOWE (KARTEZJAŃSKI UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH) Gradent pola skalarnego f f ( t, x ) - operator nabla f f f f f,, x x x x 1 2 3 e (wektor!) Dywergencja pola wektorowego w w( t, x) e 1 2 3 formalny loczyn skalarny 1 2 3 w w w wj dv w w (skalar!) x x x x j

Rotacja pola wektorowego w w( t, x) e (wektor!) jk formalny loczyn wektorowy k j jk j k w w w w w w rot w w e e e x x x x x x w x e w x Gradent pola wektorowego w w( t, x) e 3 2 1 1 3 2 2 1 3 2 3 3 1 1 2 e Grad w w w e e j (tensor 2-ego rzędu!) x formalna dada j Dywergencja pola tensorowego T t ( t, x) e e j j DvT tj T e (wektor!) x formal loczyn macerzwektor j

Laplasjan pola skalarnego f f ( t, x ) f f f f x x x x x 2 2 2 2 2 f ( f ) f 2 2 2 1 2 3 k Laplasjan pola wektorowego w w( t, x) w ( t, x) e 2 wj Δw ( w) ( w) ( w) w e e x x dywergencja tensora w k j j j Laplasjan k k pola skal. w UWAGA: tylko w kartezjańskm układze współrzędnych składowe Laplasjanu pola wektorowego są równe skalarnym Laplasjanom składowych tego pola! j

UŻYTECZNE FORMUŁY RACHUNKU OPERATORÓW RÓŻNICZKOWYCH 1) ( ) 2) ( w) w w 3) ( w) w w 4) ( uw) w( u) u( w ) 5) ( uw) uw wu ( w) u( u) w 6) ( uw) uw w u u( w) w( u ) 2 7) ( 1 2u ) 1 2( uu) uu u( u ) 2 8) 9) 0, ( w ) 0 10) Δw ( w) ( w ) Ćwczene: wykazać prawdzwość podanych formuł posługując sę rachunkem ndeksowym.

WAŻNE TWIERDZENIA CAŁKOWE TWIERDZENIE GREENA-GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO (GGO) Rozważmy pole wektorowe w w( x ) zdefnowane w trójwymarowym obszarze Ω ogranczonym dostateczne regularnym brzegem Ω. Wówczas ma mejsce równość ( w, n) ds w wnw n Strumen pola przez brzeg w dywergencja pola w d Istneje dualna wersja tego twerdzena, a manowce n wds w d rotacja pola w ĆWICZENIE: wyprowadź dualne twerdzena GGO z jego formy podstawowej.

TWIERDZENIE STOKESA Rozważmy pole wektorowe w w( x ), zamknętą lnę (pętlę) γ oraz dowolny (ale dostateczne regularny) płat powerzchn S rozpęty (jak bańka mydlana) na tej ln. Wówczas prawdzwa jest równość ( w, τ) dl ( w) n ds wτ w cyrkulacja pola w wzdluż ln S strumeń rotacj pola w przez S

RACHUNEK W BIEGUNOWYM I CYLINDRYCZNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA Położene: x Rcos, y Rsn, z z Wersory: Gradent p. s. f : 1 2 2 R x y, arctan y x er ex cosey sn e ex sn ey cos ez ez f f e f e f e R R R z f 2 2 1 1 ( R f) f 2 f 2 Laplasjan p. s. f : 2 R R R R Dywergencja p. w. R R z z Rotacja p. w. R R z z 1 1 u u e u e u e : u ( Ru ) u u z z R R R R z u u e u e u e : 1 1 ( u u z ) R ( u u R z ) R[ R( Ru u ) u e e ] e R z z R R z u u e u e u e : 1 2 2 1 ( u u u R 2 R 2 ) R ( u Δu u 2 R 2 u ) u e e e z Laplasjan p.w. R R z z R R R R z z

RACHUNEK W SFERYCZNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA Położene: x r cos sn, y r sn sn, z r cos y x 2 2 2 2 2 x y r x y z, arctg, arctg( ) Wersory: Gradent p. s. f : 1 1 Laplasjan p. s. f : Dywergencja p.w. r r er ex sn cos ey sn sn ez cos e exsn eycos e ex cos cos ey cos sn ez sn f f e f e f e r r R rsn f r f f f 2 2 [ ( ) (sn ) 2 2 ] 2 1 2 1 1 r r r sn sn u u e u e u e : u ( r u ) [ ( u sn ) u ] 1 2 1 2 r r r rsn z

Rotacja p.w. r r u u e u e u e : u [ ( u sn ) u ) e [ u ( ru )] e [ ( ru ) u ] e 1 1 1 1 rsn r r sn r r r r r Laplasjan p.w. r r u u e u e u e : Δu [ u u ( u sn ) u ] e 2 2 2 2 r r sn r sn r 2 r 2 2 r ( u u u u ) e 2 2 1 2cos r r r sn r sn 2 2 2 2 2 ( u u u u ) e 2 2 2cos 1 r sn r sn r sn 2 2 2 2 2