Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej potwerdzaa jest poprawość wzoru Eulera określającego graczą wartość obcążea końca cęga opasującego eruchome krążk. 8.. Wprowadzee Przy rozpatrywau zachowaa sę l, taśm, szurów, pasów czy cęge współpracujących z całam, względem których mogą sę przesuwać (ślzgać), uwzględa sę sły tarca dzałające a powerzchach styku. Dzęk występowau sł tarca, możlwe jest przeoszee ruchu jedego cała a druge (tak jest w przypadku przekład pasowych), zmejszee prędkośc poruszającego sę cała utrzymywae cała w położeu rówowag (a przykład przy użycu hamulca taśmowego). W aalze zjawska tarca pomędzy dwoma całam zwykle zakłada sę, że współczyk tarca jest jedakowy a całej powerzch styku. Współczyk tarca określoy przy takm założeu jest uśredoym współczykem tarca. Isteją róże teore pozwalające a modelowae oddzaływań współpracujących ze sobą rzeczywstych cał, charakteryzujących sę, mędzy ym, chropowatoścą ch powerzch. W przypadku gdy kotakt cał jest bezpośred bez warstwy smarej (tzw. kotakt suchy lub tarce suche) do opsu zjawska często wykorzystywaa jest metoda zapropoowaa przez Coulomba. Zgode z hpotezą Coulomba w mejscach kotaktu cał, w których występuje względe ch przesuęce powstaje sła tarca rozwętego. ła tarca (składowa stycza reakcj wzajemego oddzaływaa cał) ma astępujące własośc: wartość gracza sły tarca jest proporcjoala do składowej ormalej reakcj (T gr = μ s N), wartość sły tarca e zależy od welkośc powerzch styku a względej prędkośc cał. Poadto: wartość współczyka tarca zależy od własośc materału stykających sę cał oraz stau ch powerzch. Hpoteza Coulomba jest wykorzystywaa mędzy ym do określea sł dzałających w taśmach (a także cęgach, pasach, lach) opasujących cała. µα Wyprowadzoa przez Eulera zależość ( = e ) określa graczą wartość sły w taśme po jedej stroe cała opasaego w zależośc od sły po drugej stroe oraz współczyka tarca µ kąta opasaa cała α. Wzór Eulera dotyczy cał o walcowych powerzchach opasaa. Obektem badań w opsywaym ćwczeu jest układ mechaczy składający sę z eruchomych kół (krążków) opasaych wotką lą. Przyprowadzae pomary sł, dzałających a końcach ly w graczym położeu rówowag, pozwalają a wyzaczee uśredoego współczyka tarca pomędzy lą a kołem. Dla określoych tą metodą wartośc współczyka tarca (μ s ) wyzacza sę a podstawe wzoru Eulera wartość sły graczej w eruchomej le opasującej układ kół. Wyk otrzymae a drodze eksperymetalej są porówywae z wykam oblczeń. Materaly dydaktycze Katedra Dyamk Maszy Autorzy ćwczea: J. trzałko, J. Grabsk
Tarce cęge o powerzchę walcową - wzór Eulera 8.3. Teoretyczy ops zjawska 8.3.. Wyprowadzee wzoru Eulera ły zewętrze dzałające a taśmę są pokazae a rys. 8.a, atomast a rys. 8.b są przedstawoe dodatkowo reakcje wzajemego oddzaływaa pomędzy walcem a taśmą. Reakcje te zostały przedstawoe jako obcążea cągłe: ormale (q N ) stycze (q T ) do powerzch styku cał. Rys. 8.. Taśma opasująca eruchomy walec (a) sły dzałające a taśmę oraz a walec (b) Przy wyprowadzau wzoru Eulera ależy rozpatrzyć rówowagę eskończee małego (elemetarego) wycka taśmy - przedstawoego a rys. 8.. Materaly dydaktycze Rys. 8.. ły dzałające a eskończee mały wycek taśmy Rówaa rówowag sł dzałających a eskończee mały wycek taśmy (rys. 8.) mają postać: x: ( + d) cos d θ dθ cos µ dn = 0, Po redukcj podstaweu dt = µ dn dθ dθ y: ( + d ) s 0 dn s =. d x: d cos µ dn = 0 θ, y: ( + θ d ) s d = 0 Dla kąta d θ 0 moża przyjąć: s d θ dθ, d θ cos, stąd: dn. Katedra Dyamk Maszy (8.) (8.) (8.3) (8.4) d µ dn = 0, (8.5)
+ dθ dn dθ d = 0. dθ Iloczy d moża pomąć (jako welkość mejszą o jede rząd od d θ d). Wówczas: Podstawając (8.7) do (8.8) możemy tę zależość przedstawć w forme Po scałkowau otrzymuje sę Ćwczee r 8 (8.6) d = µ dn, (8.7) dn = dθ. (8.8) d µ dθ (8.9) =. l = µ θ + c. tałą całkowaa c moża wyzaczyć wykorzystując jede z waruków: Na podstawe (8.) mamy θ = 0 =, θ = α =. l = c, a po podstaweu do (8.0) wykorzystau defcj logarytmu aturalego otrzymuje sę łę moża wyzaczyć a podstawe (8.4) waruku (8.) jako a zależość pomędzy obcążeam a końcach taśmy przedstawć w forme (8.0) (8.) (8.) (8.3) µ θ = e. (8.4) µ α = ( θ = α ) = e, (8.5) Materaly dydaktycze = e µ α. (8.6) Dla zadaego obcążea jedego końca taśmy (p. ) układ pozostaje w rówowadze, jeśl drug jej koec jest µ α obcążoy słą (> ), o wartoścach z przedzału e (przy czym jej wartość gracza µα = e ). Obszary zma sły w zależośc od kąta opasaa α dla trzech różych współczyków tarca zostały przedstawoe a rys. 8.3. Katedra Dyamk Maszy 3
Tarce cęge o powerzchę walcową - wzór Eulera Rys. 8.3. Obszary rówowag taśmy przy różych współczykach tarca W przypadku, gdy sła dzałająca a drug koec taśmy jest mejsza od (< ), to rówowaga jest możlwa µ α µ α dla sł o wartoścach ależących do przedzału e (wartość gracza = e ). Na podstawe zależośc (8.8) (8.4) moża określć rozkład wartośc reakcj ormalej (acsków a powerzch walca taśmy) jako µθ dn e q N = = =. (8.7) R dθ R R Przykładowy przebeg zma acsku taśmy a walec jest pokazay a rys. 8.4. Materaly dydaktycze Rys. 8.4. Rozkład acsków a powerzch walca opasaego taśmą ( > ) 8.4. Ops staowska badawczego Wdok staowska do badań jest przedstawoy a rys. 8.5. Katedra Dyamk Maszy 4
Ćwczee r 8 Rys. 8.5. taowsko używae do wyzaczaa graczego obcążea taśmy opasującej eruchome koło Baday układ staową eruchome koła, które są opasywae lą. Koła umeszczoe są a rame, przy czym ch położee może być zmeae. Dzęk możlwośc zmay puktu zamocowaa środka eruchomych kół oraz krążków prowadzących lę moża przeprowadzć pomary przy różych kątach opasaa cał. Przykłady różych kofguracj kół opasującej je ly są pokazae a rys. 8.6. Na kołach eruchomych umeszczoe są wyskalowae tarcze pozwalające a odczytae kąta opasaa każdego z cał. Pomary służące wyzaczeu współczyków tarca są przeprowadzae dla pojedyczych kół. Następe, dla układu złożoego z klku kół opasaych jedą lką wyzaczaa jest gracza wartość obcążea końca ly. Wartośc otrzymae z pomarów porówywae są z wartoścam wyzaczoym a podstawe wyprowadzoego przez Eulera wzoru (8.6). Końce ly są obcążae w tak sposób, aby układ pozostawał w graczym położeu rówowag. zalk zamocowae a końcach lk umożlwają zmaę obcążeń, a ruchome krążk pozwalają a zmaę kątów opasaa poszczególych kół. Pomary dokoywae a staowsku badawczym polegają a poszukwau wartośc graczych obcążeń końca ly w położeu rówowag układu. Wyk pomarów są porówywae z rezultatam oblczeń prowadzoych a podstawe aalzy rówań rówowag wzoru apsaego dla modelu fzyczego badaego układu. Parametry modelu fzyczego wyzaczae są a podstawe pomarów. Materaly dydaktycze Katedra Dyamk Maszy 5
Tarce cęge o powerzchę walcową - wzór Eulera Materaly dydaktycze Rys. 8.6. Przykładowe kofguracje kół opasującej je ly 8.5. Aalza modelu fzyczego badaego układu W przypadku, gdy badaa dotyczą wyzaczaa współczyka tarca pomędzy lą a kołem, modelem jest układ pokazay a rys. 8. opsay zależoścą (8.6). Przy badau polegającym a wyzaczeu sły graczej w le opasującej dwa koła wykorzystyway jest model przedstawoy a rys. 8.7 Katedra Dyamk Maszy Rys. 8.7. Model układu złożoego z dwóch kół opasaych lą 6
Ćwczee r 8 Na podstawe wzoru (8.6) przy założeu, że >, a w zwązku z tym > 3 > dla układów pokazaych a rys. 8.6b otrzymuje sę zależośc: z których uzyskuje sę µ α = e oraz 3 µ α = e, (8.8) 3 µ α µ α = e e. (8.9) W przypadku, gdy współczyk tarca dla obu kół są rówe ( µ = µ = µ ), wzór (8.9) ma formę µ ( α + α ) = e. (8.0) 8.6. Przebeg pomarów Pomary przeprowadzae są w dwóch etapach: ) wyzaczee współczyków tarca pomędzy lą a poszczególym kołam zgode z opsem podaym w pukce 8.6., ) określee graczego obcążea ly opasującej zestaw kół (których współczyk tarca zostały już wyzaczoe) zgode z opsem podaym w pukce 8.6.. Przed przystąpeem do pomarów ależy zaplaować kofgurację badaego układu (przykład układu złożoego z trzech kół jest pokazay a rys. 8.8a). Dla dokładego określea kątów opasaa każdego z kół ależy zmerzyć odległośc pomędzy kołam średce kół (zobacz rys. 8.8b). Materaly dydaktycze Rys. 8.8. chemat zaplaowaego układu (a) parametry układu (b) 8.6.. Wyzaczae współczyka tarca pojedyczego koła przy stałym kące opasaa Pomary opsae w tym pukce ależy wykoać dla każdego koła badaego układu kół. Wyk pomarów ależy wpsywać do tabel 8. (osoba tabela dla każdego z kół). Przebeg pomarów: ) Przełożyć lę przez wybrae koło zaotować kąt opasaa koła (α). ) Na końcach ly zawesć szalk - zaotować masę każdej szalk (odpowedo m m ). 3) Zwększać obcążee szalk o mase m aż do mometu, gdy astąp poślzg ly. Zaotować wartość tej masy. Uwaga: czas obserwacj ly ezbędy do stwerdzea, czy la porusza sę, czy pozostaje w spoczyku e powe być mejszy ż 0 sekud. Katedra Dyamk Maszy 4) Obcążyć szalkę o mase m dodatkową masą m. Zaotować całkowtą masę. 5) Czyośc wymeoe w pukce 3 4 powtórzyć welokrote. ` 7
Tarce cęge o powerzchę walcową - wzór Eulera Tabela 8.. Wyzaczae współczyka tarca pojedyczego koła przy stałym kące opasaa Lp () Koło... kąt opasaa α =... (... rad) m =m g m =m g / µ = l α -- kg N kg N - - - 3... = µ = 8.6.. Wyzaczae sły graczej dla układu kół przy stałym kące opasaa µ µ = = Po wyzaczeu współczyków tarca dla wybraych kół przeprowadza sę pomary sły graczej dla układu tych kół opasaych jedą lą. Wyk pomarów zapsywae są w tabel 8.. Przebeg pomarów: ) Przełożyć lę przez wybrae koła zaotować kąty opasaa poszczególych kół (α, α,...) wymary charakteryzujące baday układ (L, D, D,...). Uwaga: kąty opasaa moża odczytać korzystając ze skal umeszczoej a kołach, a dodatkowo, wyzaczyć a podstawe wymarów. ) Na końcach ly zawesć szalk - zaotować masę każdej szalk (odpowedo m m ). 3) Zwększać obcążee szalk o mase m aż do mometu, gdy astąp poślzg ly. Zaotować wartość tej masy. 4) Obcążyć szalkę o mase m dodatkową masą m. Zaotować całkowtą masę. 5) Czyośc wymeoe w pukce 3 4 powtórzyć welokrote. Materaly dydaktycze Tabela 8.. Wyzaczae sły graczej dla układu kół Lp m =m g m =m g / () ( / ) -- kg N kg N - - - 3 4... = ( / ) = teor Katedra Dyamk Maszy 8
8.7. Opracowae wyków pomarów sprawozdae 8.7.. Opracowae wyków pomarów dla pojedyczego koła Ćwczee r 8 Na podstawe wartośc mas (m m ), obcążających szalk w graczym położeu rówowag, ależy wyzaczyć wartośc sły a obu końcach ly (, ) oraz wartość współczyka tarca µ = l. α (8.) Poadto wyzacza sę wartość średą współczyka tarca (dla pomarów) jako Wyk tych oblczeń wpsywae są w tabel 8. (dla każdego koła jest jeda tabela). 8.7.. Wyzaczee epewośc pomarów współczyka tarca m µ = µ =. (8.) Nepewość pomaru będze obejmowała tylko te składowe wygeerowae w czase pomaru zjawska, które spostrzegł eksperymetator. Nepewość pomaru w tym przypadku opsuje zależość gdze: u (µ) epewość pomaru współczyka tarca, c lczba pomarów, µ wartość oblczoego współczyka tarca, µ uc ( µ ) = = = ( µ µ ) ( ) = µ wartość średa współczyka tarca. W celu wyzaczea epewośc rozszerzoej U ależy: przyjąć pozom ufośc p = 95% (α = 0,05), z tablcy 8.3 zaleźć wartość krytyczą zmeej losowej tudeta t, przyjąć współczyk rozszerzea k = t. Wartość epewośc rozszerzoej wyzacza sę z zależośc: µ, (8.3) Materaly dydaktycze Wyk pomaru ależy zapsać w postac: U = k ( ). 0,05; u c µ µ = µ ±U. Katedra Dyamk Maszy (8.4) (8.5) 9
Tarce cęge o powerzchę walcową - wzór Eulera Tabela 8.3. Wartośc kwatyl zmeej losowej t o rozkładze tudeta p 0,90 0,95 0,975 0,990 0,995 3,078 6,34,7 3,8 63,66,886,90 4,303 6,96 9,95 3,638,353 3,8 4,54 5,84 4,533,3,776 3,747 4,604 5,476,05,57 3,365 4,03 6,440,943,447 3,43 3,707 7,45,895,365,998 3,499 8,397,860,306,896 3,335 9,383,833,6,8 3,50 0,37,8,8,764 3,69 8.7.3. Opracowae wyków pomarów dla układu kół W tabel 8. zameszczoe są wyk pomarów sły graczej dla układu kół opasaych lą. Wartośc sł ( ) wyzacza sę a podstawe wartośc mas (m m ), a astępe oblcza sę loraz tych sł ( / ) dla każdego z pomarów. Dodatkowo wyzacza sę wartość średą tego lorazu / = =, (8.6) a także wartość teoretyczą otrzymaą a podstawe wzoru (8.0) µα + µ α + = e.... (8.7) Materaly dydaktycze Wyk otrzymae a drodze dośwadczalej, to zaczy wartość średa lorazu sł, określoa a podstawe wzoru (8.6) są porówywae z rezultatam wykającym z wzoru Eulera (8.7). 8.7.4. prawozdae prawozdae powo zawerać: a) rysuek badaego układu, b) wypełoe tabele 8. 8., c) wyk pomarów w forme wykresu ( = f( )) przedstawającego zależość pomędzy słam a obu końcach ly (dla jedego koła) w graczym położeu rówowag, d) krzywą regresj (w tym przypadku zależość jest lowa), e) aalzę epewośc pomarów dla wybraego koła podae wyku pomarów współczyka tarca tego koła z uwzględeem epewośc, f) obserwacje wosk wykające z przeprowadzoych badań. Katedra Dyamk Maszy 0
4 0 8.8. Pytaa sprawdzające 8 6 4 0 y = 0.4978x + 0.0 R = 0.990 0 5 0 5 0 5 30 Rys. 8.9. Przykładowy przebeg zma = f( ) z aesoą lą regresj Ćwczee r 8. Dlaczego sły a końcach taśmy opasującej egładk walec mają - w położeu rówowag - róże wartośc?. Czy: a) opuszczae cężaru przy pomocy ly przerzucoej przez chropowaty walec jest sesowe? b) podoszee cężaru przy pomocy ly przerzucoej przez chropowaty walec jest sesowe? 3. Wyzaczyć wartość sły jaka jest ezbęda do utrzymaa cała o mase 00 kg w rówowadze, o le wadomo, że kąt opasaa walca lą jest rówy80, a współczyk tarca μ=/3,4. 4. Wyzaczyć mmalą wartość sły jaka jest potrzeba do podesea cała o mase 00 kg, o le wadomo, że kąt opasaa walca lą jest rówy80, a współczyk tarca μ=/3,4. 5. Omówć zasadę dzałaa hamulca taśmowego. Materaly dydaktycze Katedra Dyamk Maszy