POMIARY I NIEPEWNOŚCI Oto kilka powodów dla których ten dział jest interesujący: fizyka jest nauką przyrodniczą i dlatego podstawową sprawą jest pomiar i ocena jego niepewności, zagadnienia przedstawione w tym dziale mogą być pomocne przy opracowywaniu danych na pracowni fizycznej, jest bardzo różnorodny, ponieważ zawiera zagadnienia nie tylko z różnych dziedzin fizyki, ale także z zakresu statystyki, ma szerokie znaczenie praktyczne i to nie tylko w fizyce Podstawowe rozważania o pomiarach i niepewnościach Niezależnie od tego jak elegancka jest teoria w fizyce zawsze czeka ją konfrontacja z rzeczywistością, czyli z doświadczeniem (chyba, że postąpimy jak w dowcipie krążącym na wydziale teorii fizyki: jeżeli jakaś teoria nie potwierdza się w doświadczeniu to tym gorzej dla doświadczenia). Przeprowadzając, zaś eksperymenty i wykonując w nich pomiary musimy mieć świadomość, że niezależnie od tego jak dokładnymi przyrządami dysponujemy to nigdy nie wyznaczymy danej wielkości fizycznej jednoznacznie, pomimo iż mierzona wielkość może posiadać konkretną wartość (choć i to występuje nieczęsto) Mając tą świadomość nie musimy starać się za wszelką cenę wykonywać jak najdokładniejszych pomiarów. Ważniejszą rzeczą jest umiejętność oszacowania niepewności pomiarowej. Słowo niepewność jest o tyle lepsze ponieważ mówiąc błąd sugerujemy, że coś wykonaliśmy źle (przykładowo najnowsze i najdokładniejsze pomiary stałej Hubble a mają dużą niepewność ale błędne nie są). Mierząc daną wielkość fizyczną poprzez porównanie jej z odpowienim wzorcem dokonujemy pomiaru bezpośredniego (np. pomiar długości pokoju), natomiast z pomiarem pośrednim mamy do czynienia wówczas, gdy wyznaczana wielkość jest jakąś funkcją wielkości mierzonych (np. pomiar pola powierzchni pokoju polega na zmierzeniu jego długości i szerokości i przemnożeniu ich przez siebie) W pomiarach istotną sprawą jest pojęcie wzorca danej wielkości fizycznej. Określa się go najczęściej korzystając z takich zjawisk fizycznych w krórych jedna 1
z wielkości fizycznych jest stała (np. za wzorzec sekundy służy okres promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przy przejściu elektronu pomiędzy odpowiednimi orbitami w atomie cezu). Na podstawie wzorca skaluje się przyrządy pomiarowe (np. emitowany z Hamburga na falach długich sygnał wzorca czasu może synchronizować zegary) które porównują mierzoną wielkość fizyczną z wzorcem i wyznaczają jej wartość (np. to że czas trwania ruchu wynosi 3s) Analizując niepewności pomiarowe najważniejszą sprawą jest charakter ich występowania i dlatego możemy je podzielić na: 1. niepewności systematyczne 2. niepewności przypadkowe Ad. 1 Tego rodzaju niepewności występują wówczas gdy np. dany przyrząd jest uszkodzony i zawyża lub zaniża mierzoną wielkość fizyczną. Przykładowo jeżeli zegar kwarcowy upadnie to może się zdarzyć że stabilizujący drgania kryształ kwarcu obluzuje się i dzięki temu zegar będzie np. dodawał 1 sekundę na godzinę (systematycznie) Tego typu niepewności, jeśli nie są za duże i jeśli nie mamy możliwości pomiary innym przyrządem, są bardzo trudne do wyeliminowania. Ad. 2 Z tego rodzaju niepewnościami mamy do czynienia gdy wartości wielkości mierzonej zmieniają się przypadkowo w skutek niemożliwych do oszacowania czynników. Przykładowo mierząc czas trwania jakiegoś zjawiska możemy włączyć i wyłączyć stoper dokładnie ale możemy się pomylić aż o 0.4s i nie ma możliwości oszacowania refleksu osoby obsługującej stoper. Tego typu niepewności są trudne do oszacowania ale bardzo łatwe do wyeliminowania; wystarczy po prostu daną wielkość zmierzyć kilka razy i wyciągnąć średnią arytmetyczną. Wykonując dany pomiar na jego niepewność składa się wiele czynników, które można sklasyfikować następująco: 1. Czynniki związane z przyrządem 2. Czynniki związane z odczytem 3. Czynniki zewnętrzne 2
Ad. 1 Będą to najczęściej niepewności systematyczne zależne od wykonania przyrządu lub jego stanu technicznego. Przykładowo analogowy miernik napięcia ma skrzywioną wskazówkę i wskutek tego zawyża wartość mierzonego napięcia i 1V. Ad. 2 W zależności od sposobu odczytu wielkości fizycznej mogą pojawiać najczęściej niepewności przypadkowe. Przykładowo odczytując wartość napięcia z miernika analogowego możemy patrzeć na wskazówkę pod różnymi kątami i za każdym razem otrzymywana wartość napięcia będzie nieco inna (jest to tzw. błąd paralaksy i aby go ograniczyć umieszcza się pod wskazówką lusterko i odczytując należy uważać aby wskazówka pokryła się ze swoim odbiciem) Ad. 3 W tym przypadku mogą występować zarówno niepewności systematyczne jak i przypadkowe w zależności jak warunki zewnętrzne oddziałują na pomiar. Przykładowo miernik napięcia wyskalowany w temperaturze 20 o C ale mierzący przy 40 o C będzie wprowadzał trudną do oszacowania niepweność systematyczną, natomiast gdy podczas pomiaru nastąpi zakłócenie (np. choćby poprzez docierające do nas stale cząstki promieniowania kosmicznego) to będziemy mieć do czynienia z niepewnością przypadkową. Niepewności względne i bezwzględne Przypuśćmy, że wykonujemy pomiar długości deski przymiarem stolarskim mającym podziałkę co 0.5cm i uzyskujemy wynik: 84cm, jednak koniec naszej deski leży trochę pomiędzy sąsiednimi działakami przymiaru (84cm a 84.5cm) 80 81 82 83 84 Z powodu braku dokładnej podziałki możemy przyjąć, że niepewność wyznaczenia długości deski wynosi 0.5cm w wynik naszego pomiaru będzie następujący: l = (84.0 ± 0.5)cm 3
Oznacza to, że w wyniku pomiaru otrzyaliśmy nie liczbę a przedział gdzie mierzona wielkość powinna się zawierać: l (83.5,84.5)cm Oszacowana wartość niepewności nazywa się niepewnością bezwzględną wyznacza ona zatem przedział w którym powinna znaleźć się mierzona wielkość fizyczna, a zatem w ogólności gdy mierzymy wielkość x, to wynik tego pomiaru zapisujemy następująco: x = x np ± x gdzie: x np to wynik pomiaru (wielkość najbardziej prawdopodobna), x niepewność bezwzględna, Niepewność bezwzględna wyznaczająca przedział w którym powinna znaleźć się mierzona wielkość jest bardzo użyteczna przy porównywaniu i mamy dwa rodzaje takiego porównywania: 1. ocena rozbieżności porównywanie dwóch wyników pomiaru tej samej wielkości fizycznej, 2. porównanie wielkości zmierzonej z uznaną (np. tablicową) Ad. 1 Rozważmy doświadczenie w którym dwie osoby mierzą tą samą rezystancję otrzymując następujące wyniki: R = (40 ± 5)Ω R = (42 ± 8)Ω Rożnica (rozbieżność) 2Ω jest mniejsza niż mniejsza z niepewności pomiarowych (5Ω) a zatem nie jest znacząca i pomiary są spójne Ad. 2 4
W tym przypadku rozważmy doświadcznie w którym mierzono prędkość dźwięku w powietrzu i otrzymano wynik: v = (329 ± 5) m s Po odszukaniu wielkości tablicowej okazało się że wynosi ona: 331 m s, mieści się ona w przedziale wyznaczonym przez niepewność bezwzględną ((324, 334)) więc wynik pomiaru można uznać za zadowalający. Warto w tym miejscu przytoczyć dwie reguły, użyteczne przy wyznaczaniu niepewności bezwzględnych: reguła podawania niepewności na pracowni wstępnej niepewności powinny być zwykle zaokrąglane do jednej cyfry znaczącej, reguła podawania odpowiedzi ostatnia cyfra znacząca w kążdym wyniku powinna zwykle być tego samego rzędu co niepewność Powyższe reguły wyjaśnimy na przykładzie. Niech nasze doświadczenie polega na wyznaczeniu przyspieszenia ziemskiego (g) i otrzymano w nim wynik: g = 9.8233454 ± 0.02385 m s 2 Stosując regułę podawania niepewności nasz wynik należy zapisać jako: g = 9.8233454 ± 0.02 m s 2 ale wówczas odpowiedź należy podać w następującej formie: g = (9.82 ± 0.02) m s 2 Analizując wartość niepewności bezwzględnej możemy ocenić czy pomiar jest dobry czy nie ale musimy znać wartość wielkości mierzonej, ponieważ niepewność bezwzględna x = 1cm przy pomiarze długości deski to niezbyt dobry pomiar, zatomiast wyznaczając z taką niepewnością odległość Ziemia-Księżyc 5
nasz pomiar będzie bardzo dobry. Widzimy więc że dobrze by było wprowadzić taki rodzaj niepewności który uwzględnia wartość mierzonej wielkości fizycznej; jest to niepewność względna definiowana następująco: NW x = x x np 100% Pokazuje ona nam (procentowo) jak dokładny jest rozważany pomiar, nie oznacza to jednak że pomiary z dużą niepewnością względną są z definicji bezużuteczne. Istnieją bowiem wielkości fizyczne które można zmierzyć łatwo i dokładnie oraz takie których pomiar jest trudny i niepewności względne są duże. Przenoszenie niepewności w pomiarach pośrednich Przypuśćmy że dokonukemy pomiaru pola powierzchni pokoju w kształcie prostokąta; jest to pomiar pośredni, ponieważ najpierw należy zmierzyć długość i szerokość a następnie pomnożyć uzyskane liczby przez siebie. Posługujemy się przymiarem na którym minimalny odstęp między działkami wynosi 0.5cm i oceniamy, że taka właśnie będzie nasza niepewność bezwzględna pomiaru. Uzyskane przez nas wartości są następujące: a = (100.0 ± 0.5)cm b = (200.0 ± 0.5)cm Pole powierzchni naszego pokoju wynosi zatem S np = ab = 20000cm 2, ale istotnym jest pytanie: jaka jest niepewność usyskanego wyniku, czyli jak niepewności a i b przeniosły się na obliczonie pole powierzchni? Określają to następujące reguły przenoszenia niepewności. Jeżeli dane są wyniki pomiarów... x = x np ± x i y = y np ± y... przy pomocy których obliczamy sumę, różnicę, iloczyn, iloraz oraz wyrażenie potęgowe: s = x + y, r = x y, m = x y, d = x y, p = xα 6
to niepewności tych obliczeń są następujące: s = x + y, r = x + y, m m np = x x np + y y np, d = x + y, d np x np y np p = α x p np x np Widać zatem, że niepewność bezwzględna sumy lub różnicy jest sumą niepewności bezwzględnych, a niepewność względna iloczynu lub ilorazu jest sumą niepewności względnych. Zastosujmy teraz nasze reguły do przykładu z pokojem. Mamy do czynienia z niepewnością iloczynu więc najpierw obliczmy niepewności względne czynników: a a np = 0.5 100 = 0.005 b b np = 0.5 200 = 0.0025 Korzystając z reguły przenoszenia niepewności dla iloczynu, mamy: S S np = a a np + b b np = 0.005 + 0.0025 = 0.0075 Zatem niepewność bezwzględna wynosi: S = 0.0075 20000 = 150 I ostateczna odpowiedż jest następująca: S = S np ± S = (20000 ± 150)cm 2 W przypadku gdy pomiary wielkości służących do obliczeń sumy, różnicy iloczynu lub ilorazu są niezależne okazuje się, że podane powyżej wzory przeszacowują nieco niepewności; można powiedzieć że są to reguły najmniej korzystnego przypadku. Lepszym oszacowaniem jest wzięcie pierwiastka z sumy kwadratów i wówczas odpowiednie reguły przenoszenia błędów są następujące: 7
s = ( x) 2 + ( y) 2, r = ( x) 2 + ( y) 2, m m np = ( x ) 2 + y x np y np ) 2 d d np = ( x ) 2 + y x np Niepewności przypadkowe. Rozkład normalny Wykonując jakiś pomiar który posiada dużą niepewność przypadkową (np. wspominany już wcześniej pomiar czasu stoperem) najłatwiej jest zmniejszyć niepewność tego pomiaru wykonując go np. kilkanaście razy i jako wynik (wartość najbardziej prawdopodobną) podać średnią artymetyczną. Jeżeli dany jest zbiór n wyników pomiaru: {x 1,x 2,...,x n } wówczas taką średnią obliczamy oczywiście następująco: y np ) 2 x np =< x >= x 1 + x 2 +... + x n n Należy jednak pamiętać, że możemy tak postąpić jeżeli: pomiary były niezależne pomiary były przeprowadzane w tych samych warunkach pomiary były przeprowadzane tym samym przyrządem W przeciwnym razie sprawa się komplikuje, bo np. gdy pomiary przeprowadzane są z różną dokładnością to należy używać tzw. średniej ważonej w której największy wpływ na wynik mają pomiary o jak najmniejszej niepewności. Sama jednak średnia arytmentczna nie mówi nam jednak nic o tym czy wyniki pomiarów są bliskie sobie, czy też są porozrzucane i dlatego wprowadza się pojęcie odchylenia standardowego, które określamy następująco: σ = (x 1 < x >) 2 + (x 2 < x >) 2 +... + (x n < x >) 2 n 1 8
Wyznacza ona tzw. przedzały ufności określone następująco. Jeżeli wykonaliśmy n pomiarów i na ich podstawie obliczyliśmy < x > i σ to wykonując następmy pomiar mamy: 68% szansę, że znajdzie się w przedziale: (< x > σ, < x > +σ) 95% szansę, że znajdzie się w przedziale: (< x > 2σ, < x > +2σ) 99.5% szansę, że znajdzie się w przedziale: (< x > 3σ,< x > +3σ) Wykorzystując odchylenie standardowe można także obliczyć także niepewność względną średniej arytmetycznej; wynosi ona: x = σ n A zatem ostateczny wynik naszej serii pomiarów wynosi: x = x np ± x =< x > ± σ n Analizując pomiary z niepewnością przypadkową można zauważyć, że najwięcej jest tych, które są bliskie średniej arytmetycznej, zaś tych które różnią się od średniej jest stosunkowo mało. Podobną sytuację mamy gdy np. analizujemy jak wysokie są osoby w danej grupie (np. w klasie) i okazyje się, że tych bardzo wysokich i bardzo niskich jest niewiele, zaś najwięcej jest osób średniego wzrostu. Ta ogólna prawidłowość opisana jest rozkładem normalnym (Gaussa), który jest zależnością prawdopodobieństwa (dokładniej gęstości prawdopodobieństwa) występowania danej cechy od ilości członków grupy którzy tą cechę posiadają. Opisuje ją następujący wzór: f <x>,σ = 1 σ x <x> 2Π e 2σ gdzie liczba e to podstawa logarytmu naturalnego jest ona niewymierna i wynosi: e = lim n ( 1 + 1 n) n = 2.718 9
Zaś wykres tej zależności przypomina przypomina dzwon (dlatego nazywa się krzywą dzwonową) i wygląda następująco: f <x> σ σ σ x <x> Funkcja e x <x> 2σ jest dosyć nieprzyjemna analitycznie, ponieważ nie istnieje wzór na jej całkę nieoznaczoną, jednak da się obliczyć całkowite pole pod jej wykresem i okazuje się, że wcale nie jest nieskończone tylko wynosi: σ 2Π i nazywa się czynnikiem normalizacyjnym. Widać, zatem że pole pod wykresem funkcji f <x>,σ wynosi 1 co jest bardzo ważne dla funkcji opisującej prawdopodobieństwo. Zaznaczanie niepewności na wykresie. Regresja liniowa. Większość praw fizycznych to od strony matematyki funkcje, a zatem mają one konkretne wykresy, które da się sprawdzać doświadczalnie. Przykładowo analizując rozładowanie kondensatora bada się zależność natężenia prądu płynącego w obwodzie od czasu i zgodnie z teorią zależność ta powinna mieć postać: I(t) = I 0 e t τ ( ) gdzie: τ = RC to stała czasowa obwodu rozładowania kondensatora a fizycznie jest to czas po którym natężenie prądu w obwodzie spadnie e = 2.718 krotnie. Przypuśćmy, że badaliśmy rozładowanie kondensatora mierząc natężenie prądu po kolejnych odcinkach czasu (np. co 4 sekundy) wraz z niepewnościami i 10
otrzymaliśmy następującą zależność: I I t t Niepewności pomiarowe (bezwzględne) przedstawiamy za pomocą krzyżyków lub prostokątów o długościacch równych podwójnej niepewności. Wyznaczają one obszar w którym powinien znaleźć się punkt na wykresie. Trudnym zadaniem jest jednak odpowiednie połączenie punktów pomiarowych i tu mamy kilka możliwości: za pomocą łamanej sposób najprostszy ale otrzymana figura nie ma żadnego znaczenia fizycznego, szczególnie gdy rozrzut punktów pomiarowych jest duży za pomocą krzywej dopasowanej przez metody statystyczne sposób najlepszy; znając charakter zależności (w naszym przypadku krzywa typu Ae Bx ) można tak dopasować parametry A i B aby jak najlepiej pasowała ona do otrzymanych w doświadczeniu punktów. za pomocą krzywej dopasowanej ręcznie mając np. krzywik do odpowiedniego typu krzywych można narysować taką krzywą aby była mnej więcej w równej odległości od każdego z punktów pomiarowych Niezależnie jaką metodę łączenia punktów wybierzemy to określenie, czy otrzymane w doświadczeniu punkty pomiarowe układają się na danej krzywej nie jest zadaniem łatwym i dlatego można postąpić w inny sposób; przekształćmy w tym celu równanie ( ) ( ) I(t) = e t τ I(t) ln I 0 I 0 ( ) = ln e t τ ( ) I(t) ln = t τ Jeżeli zaznaczymy na osi (OY) ln I(t) I 0, zaś na osi OX czas powinniśmy otrzymać 11 I 0
linię prostą, co pozwala łatwo ocenić, czy pomiary układają się na prostej czy nie, w naszym przypadku będzie ona następująca: ln I I 0 t Oprócz szybkiej oceny czy punkty wyznaczone z pomiarów leżą na prostej możemy statystycznie wyznaczyć prostą najlepiej dopasowaną do otrzymanych w doświadczeniu punktów. Procedurę tą nazywamy regresją liniową 12