Przykładowe zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Zad.. Określić ilość kursów poszczególnych środków transportu, przy których koszty przewozu gotowych wyrobów z przedsiębiorstwa do hurtowni będą najniższe. Opis sytuacji decyzyjnej: - przedsiębiorstwo ma do wyboru rodzaje środków transportu do przewozu własnych wyrobów do hurtowni: transport kolejowy i transport samochodowy - przedsiębiorstwo musi przesłać na dobę ton ładunku (dobowy strumień ładunków = t/dobę) - środki transportu kolejowego umożliwiają przewiezienie jednym kursem ton produktu - środki transportu samochodowego umożliwiają przewiezienie jednym kursem ton produktu - koleje są w stanie zrealizować kursy na dobę - transportem samochodowym jest możliwość zrealizowania kursów na dobę - koszty transportu kolejowego wynoszą zł / kurs - koszty transportu samochodowego wynoszą zł / kurs Zad.. Opis sytuacji decyzyjnej (dot. okresu miesiąca): dealer samochodowy sprzedaje typów pojazdu: A, B, C, D i E pojazdy typu A i B sprzedają się najlepiej cena hurtowa pojazdu jest zróżnicowana: cena hurtowa pojazdu A: tys., cena hurtowa pojazdu B: tys. jednostkowy zysk ze sprzedaży pojazdów jest zróżnicowany zysk netto ze sprzedaży A wynosi zysk netto ze sprzedaży B wynosi czas przygotowania i sprzedaży pojazdu jest zróżnicowany godz. dla pojazdu A godz. dla pojazdu B dealer posiada ograniczone zasoby czasu pracy personelu: godz. zasobów finansowych: tys. - maksymalna dostępna liczba pojazdów typu A: szt. Określenie problemu: ile sprzedawać pojazdów typu A i B, aby maksymalizować zysk ze sprzedaży tych pojazdów? Zad.. Firma ForkLift Service (FLS) jest jednym z dystrybutorów wózków widłowych. Miedzy innymi oferuje do sprzedaży dwa typy wózków: S i H. Na zakup u producenta (firma Clark) wózków widłowych firma FLS może przeznaczyć maksymalnie zł/rok. Cena jednostkowa zakupu wózków typu S wynosi - zł, zaś wózków H zł. Firma sprzedaje wózki na rynku ze stopą zysku wynoszącą: % - dla wózków typu S oraz % - dla wózków typu H. Ponadto wiadomo, że maksymalny fundusz czasu pracy, jaki pracownicy firmy mogą poświęcić na sprzedaż wózków wynosi rbh/rok. Proces przygotowania sprzedaży wózka typu S wymaga h czasu pracy pracowników, zaś dla wózków typu H h czasu pracy. Maksymalna dostępność liczby wózków obu typów u producenta przedstawia się następująco: wózki typu S szt., wózki typu H szt. Analiza rynkowego popytu na wózki widłowe pokazuje, że jest zapotrzebowanie na co najmniej szt. wózków typu S i szt. typu H. Ustalić optymalny plan zakupu wózków obu typów, który maksymalizuje zyski firmy FLS, przy istniejących ograniczeniach zasobów. Zad.. Pewien hurtownik dysponuje m powierzchni magazynowej oraz zł miesięcznie. Hurtownik kupuje u producenta dwa typy produktów A i B. Produkt A kosztuje zł i wymaga m powierzchni, produkt B kosztuje zł i wymaga m powierzchni, Wiadomo także, że hurtownik będzie mógł kupić u producenta co najwyżej jednostek produktu B. Zakładając, że hurtownik spodziewa się osiągnąć zysk na sprzedaży jednostkowej poszczególnych produktów w wysokości odpowiednio: i zł. Określić takie wielkości zakupu poszczególnych produktów, które gwarantują maksymalny zysk hurtownika, przy istniejących ograniczeniach.
Zad.. Przedsiębiorstwo transportowe dysponuje ciężarówkami o ładowności t. Klient zlecił przedsiębiorstwu przewóz ładunków w opakowaniach po t, ładunków w opakowaniach po,t. W jaki sposób należy załadować towar na wszystkie ciężarówki, aby zminimalizować łączną liczbę ciężarówek niezbędną do przewozu towarów? Jaka liczba ciężarówek jest niezbędna do zrealizowania zamówienia? Ile wynosi łączna niewykorzystana ich ładowność? Zad.. Trzech importerów hurtowych: H,H,H zaopatruje co dni w banany cztery sklepy spożywcze: S, S, S, S. W czasie transportu część bananów ulega zepsuciu. Procentowy poziom ubytków bananów, zależny od czasu transportu, ofertę (podaż) dostawców A i (w kg) oraz zgłaszane zapotrzebowanie sklepów B j (w kg) zawiera tabela. Odbiorcy A i Dostawcy S S S S H,,,, H,,,, H,,,, B j Zaplanować taki plan dostaw, który zapewni minimalizację zepsutych bananów. Zad.. Trzy kopalnie: K, K, K dostarczają węgiel do pięciu składów opału: S, S, S, S, S położonych w różnych miejscowościach. Każdy ze składów może przyjąć ton węgla miesięcznie. Natomiast możliwości wydobywcze kopalń wynoszą: K ton, K i K po ton miesięcznie. Koszty wydobycia tony węgla w kopalniach wynoszą odpowiednio:,, i zł miesięcznie, natomiast jednostkowe koszty transportu w zł za tonę (zależne od odległości) podano w tabeli. Składy opału Kopalnie S S S S S K K K Ustalić plan przewozów węgla mający na celu minimalizację łącznych kosztów wydobycia i transportu węgla. Zad.. Do siedmiu stacji kolejowych nadchodzą i są odprawiane przesyłki całowagonowe. Wielkości przewozu p i i wywozu w i oraz odległości pomiędzy stacjami podano w tabeli Stacja p i kolejowa w i Opracować plan przewozu pustych wagonów, tak aby łączny wagonokilometraż pustych przebiegów był możliwie najmniejszy.
Zad.. Przedsiębiorstwo transportowe odnajmuje ciężarówki o jednakowej ładowności, które przewożą towary pomiędzy siedmioma miastami. Przewidywany przewóz masy towarowej pomiędzy miastami (wyrażony liczbą pełnych ciężarówek) oraz odległości pomiędzy miastami (w km) podaje tabela. Przewóz z miasta i do miasta j (liczba ciężarówek) j i d ij Znaleźć taki plan przewozu pustych ciężarówek, przy którym samochodokilometraż pustych przebiegów będzie minimalny. Zad.. Pewna firma spedycyjna dysponuje trzema samochodami dostawczymi. Ponieważ samochody te są już eksploatowane od kilku lat, postanowiono wymienić je na nowe. Równocześnie postanowiono, że stare zostaną zaproponowane na korzystnych warunkach do odsprzedaży. Ogłoszono przetarg, do którego zgłosiło się klientów, którzy złożyli ofertę ich zakupu. Oferty z propozycją ceny (w tys. zł) podaje tabela: Oferta Samochody klienta S S S K K K K Znaleźć optymalny przydział samochodów poszczególnym klientom, tak aby zmaksymalizować dla firmy przychód ze sprzedaży samochodów. Podać wysokość tego przychodu. Zakładamy, że każdy klient może zakupić tylko jeden samochód. Zad.. O godzinie : w magazynie rozpocznie się rozładunek samochodów z różnymi materiałami. Wolne będą w tym czasie fronty przeładunkowe F, F, F, F. Przyjęte do magazynu zapasy będą przechowywane w różnych częściach strefy składowania S, S, S. Odległości frontów od tych części strefy składowania przedstawiono w tabeli: S S S F F F F Przydzielić samochody do poszczególnych frontów tak, aby przy przemieszczaniu zapasów pokonać możliwie najmniejszą odległość. Zakładamy, że do każdego frontu może być przydzielony tylko jeden samochód oraz, że każdy samochód będzie obsługiwał tylko jeden front przeładunkowy.
Zad.. Czterech pracowników magazynowych może pracować przy kompletacji typów zamówień. W tabeli podano nakłady czasu pracy każdego pracownika przy kompletacji poszczególnych typów zamówień (w godz. / jedn. zamówienia) Pracownicy Typy zamówień T T T T P,, P,, P, P,,, Zakładając, że każdy pracownik będzie w ciągu dnia mógł pracować przy kompletacji tylko jednego typu zamówień oraz, że każde zmówienie będzie kompletowane tylko przez jednego pracownika, określić optymalny przydział pracowników z punktu widzenia: - minimalizacji łącznych nakładów pracy - maksymalizacji ilości zrealizowanych zamówień. Zad.. Firma spedycyjna zamierza zakupić nowe typy samochodów do realizacji dostaw na wybranych trasach dostaw. W tabeli podano jednostkowe koszty eksploatacji samochodów [w zł] (w przeliczeniu na jednostkę ładunku): Samochody Trasy dostaw T T T T S S S Zakładając, że każdy typ samochodu będzie obsługiwał tylko jedną trasę dostaw oraz, że na każdej trasie będą jeździły tylko samochody jednego typu, określić optymalny przydział poszczególnych typów samochodów do odpowiednich tras dostaw z punktu widzenia minimalizacji łącznych kosztów ich eksploatacji. Zad.. Przedsiębiorstwo przemysłowe korzysta z dwóch bocznic: własnej i PKP. Koszty (w tyś zł) związane z postojem wagonów na bocznicach wyraża następująca funkcja: K ( t, t).t t.t t, K( t, t) gdzie: t - czas trwania wyładunku na bocznicy własnej, t - czas trwania wyładunku na bocznicy PKP. Pociągi towarowe wożące surowce do przedsiębiorstwa mają w swym składzie wagonów. Dzienna zdolność przeładunkowa bocznicy własnej wynosi wagonów, a bocznicy PKP wagonów. Jak należy rozdzielić wagony między obie bocznice, aby koszt związany z postojem był możliwie najniższy? Ile dni wobec tego będzie trwał wyładunek na bocznicy własnej, a ile na bocznicy PKP? Podać koszt postojowego przy optymalnym rozłożeniu wagonów między obie bocznice. (Zakładamy, że postojowe liczy się do momentu zakończenia wyładunku ostatniego z wagonów na każdej z bocznic). Zad.. Planowane są prace modernizacyjne w trzech kopalniach. Rezultatem tych prac ma być łącznie tyś ton przyrostu dziennego wydobycia. Koszty prac modernizacyjnych w zależności od planowanego przyrostu wydobycia w poszczególnych kopalniach (odpowiednio zmienne x, x, x ) wyraża funkcja: K ( x, x, x ) x x x x x x
Zaplanować wielkości przyrostu wydobycia dla poszczególnych kopalń tak, aby koszty prac modernizacyjnych były możliwie najniższe. Podać wysokość tych kosztów. Zad.. Należy przetransportować produkty z magazynów Gdańska (G), Poznania (P), Kielc (K) oraz Rzeszowa (R), w których producenci wytwarzający produkty zgromadzili następujące ilości produktów (w tonach): G, P, K, R do odbiorców hurtowych posiadających hurtownie w: Hadze (H), Mińsku (M), Berlinie (B) oraz Lwowie (L). Odbiorcy złożyli zamówienie na następujące ilości produktów: H, M, B, L. Możliwości dotyczące ładowności (w tonach) aktualnie dostępnych w firmie środków transportowych na poszczególnych trasach przedstawia tabela: H (Haga) M (Mińsk) B (Berlin) L (Lwów) G (Gdańsk) P (Poznań) K (Kielce) R (Rzeszów) Zaplanować plan transportowy firmy spedycyjnej, aby w tym samym okresie czasu w ramach dostępnych środków przetransportować od producentów do odbiorców jak największą ilość produktów (zysk firmy istotnie zależy od ilości przetransportowanych towarów do miejsca przeznaczenia oraz od czasu realizacji zlecenia). Zad.. Na rysunku podana jest sieć Forda Fulkersona ilustrująca pewną sieć transportową. W nawiasach kwadratowych (na łukach sieci) podano maksymalne przepustowości danego kanału transportowego w tonach, zaś w nawiasach okrągłych aktualny przepływ przez ten kanał. Stosując procedury właściwe dla algorytmu poszukiwania maksymalnego przepływu w podanej sieci transportowej należy wyznaczyć maksymalny przepływ w tej sieci. Określić minimalny przekrój w badanej sieci oraz wartość tego minimalnego przekroju.
Zad.. Rozważany jest system dystrybucji ropy naftowej. Ropa naftowa jest wydobywana w dwóch platformach wiertniczych znajdujących się na otwartym morzu i przesyłana rurociągami do dwóch przepompowni znajdujących się na wybrzeżu. Z przepompowni ropa jest dostarczana rurociągami do dwóch rafinerii. Możliwości wydobywcze platform wynoszą: i (mln baryłek dziennie), wydajności obu przepompowni odpowiednio: i, zaś zdolności przerobowe obu rafinerii: i. Maksymalne przepustowości rurociągów podane są w tabelach. Przepompownie Rafinerie Platformy Przepompownie Na podstawie powyższych danych utworzono następującą sieć transportową w sensie Forda-Fullkersona (zob. rysunek). W nawiasach kwadratowych podano maksymalny przepływ na danym kanale transportowym. Przepływy na łukach (,) i (,) interpretujemy jako maksymalne możliwości wydobycia platform. Przepływy po łukach (,) i (,) jako wydajności przepompowni, zaś przepływu (,) i (,) określają maksymalne wielkości przerobu w rafineriach. Opracować taki plan wydobycia - dystrybucji - przerobu ropy, który gwarantuje maksymalny strumień produkcji wyrobu gotowego, wypływającego z obu rafinerii do odbiorcy końcowego (wierzchołek w sieci). [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] Zad.. Trzy miasta K,L i M są zaopatrywane w wodę [tys. m ] z dwóch źródeł: A i B. Dzienne zasoby poszczególnych źródeł wynoszą: A -, B.
Rysunek przedstawia strukturę sieci wodociągów. Na łukach podane są informacje o maksymalnych przepustowościach rurociągów. A K B L M Szacuje się, że maksymalne zapotrzebowanie na wodę dla poszczególnych miast wynosi: K -, L -, M. Miasto planuje w przyszłości rozbudowę sieci wodociągowej. a) Zbadać, czy przy obecnym stanie wodociągów miasta mogą otrzymać wymagane zapotrzebowanie na wodę? b) Określić ile wynosi optymalny strumień przepływu wody. c) Czy miasta "L" i "M" otrzymają wymagane zapotrzebowanie na wodę? d) Jeżeli nie, to jakie muszą być przepustowości poszczególnych rurociągów oraz jakie przepływy, aby każde z miast otrzymało wymagane zapotrzebowanie na wodę? Zad.. Dana jest macierz incydencji Dij w sieci przepływu typu Forda-Fulkersona oraz macierz maksymalnych przepustowości Cij na łukach tej sieci. Narysować graf tej sieci oraz wyznaczyć maksymalny przepływ w tej sieci oraz podać wartość minimalnego przekroju tej sieci? D, C,