Inżynieria Finansowa: 6. Wycena martyngałowa, dynamiczna replikacja i model dwumianowy Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Kwiecień 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa
Wycena pochodnych: ułatwiona Stworzenie statycznego portfela replikującego służącego do określenia ceny pewnego instrumentu wymaga: Istnienia odpowiedniej ilości płynnych aktywów bazowych Liniowej zależności pomiędzy ceną instrumentu replikowanego i aktywów użytych do replikacji Jeśli cena instrumentu pochodnego zmienia się liniowo wraz ze zmianą ceny aktywu bazowego możliwa jest statyczna replikacja, gdyż wartość portfela replikującego zmienia się proporcjonalnie do zmian cen bazowego
Wycena pochodnych: utrudniona Kiedy: Istnieje odpowiednia ilość płynnych aktywów bazowych, ale Zależności pomiędzy ceną instrumentu replikowanego i aktywów bazowych (używanych do replikacji) jest nieliniowa zmiany cen obydwu nie są stabilnie proporcjonalne Konieczna jest dynamiczna replikacja.
Przykład: zabezpieczenie pozycji opcyjnej Wystawiliśmy opcję kupna 100 akcji o terminie zapadalności 1Y, K=105, przy cenie bieżącej S0=100. Stopa procentowa wynosi 5%. Chcemy zabezpieczyć ryzyko, jakie generuje pozycja opcyjna (koszt tego zabezpieczenia powie nam jednocześnie ile opcja powinna kosztować). Rozważmy trzy strategie zabezpieczenia: 1. Kupujemy 100 akcji już dziś za pożyczone pieniądze 2. Brak zakupu jakichkolwiek akcji 3. Kupujemy 50 akcji już dziś za pożyczone pieniądze (np. szacujemy, że istnieje 50% szans na wykonanie kontraktu) Przy trzech scenariuszach zmiany cen: 1. Cena wzrośnie do 120 2. Cena pozostanie bez zmian 3. Cena spadnie do 80
Przykład: zabezpieczenie pozycji opcyjnej Wyniki z poszczególnych strategii są następujące: 1. π T = max S T K, 0 + S T K e rτ S t0 100 2. π T = max S T K, 0 100 3. π T = max S T K, 0 100 + S T K e rτ S t0 50 100% 0% 50% S T =120 0-15 -7,5 S T =100-5 0-2,5 S T =80-25 0-12,5 Wniosek: żadna ze strategii nas nie zabezpieczyła (zabezpieczenie oznaczałoby, że niezależnie od scenariusza nasz wynik pozostaje taki sam i wynosi 0)
Dynamiczna replikacja Portfel replikujący: Dokładnie odzwierciedla końcowe wypłaty z wycenianego instrumentu Nie wymaga wypłat ani wpłat pieniędzy Zwykle ma zmienną strukturę na przestrzeni czasu Ta metoda wymaga określenia charakteru współzależności pomiędzy cenami instrumentu wycenianego (replikowanego) i aktywu bazowego Model (drzewo) dwumianowe Równania różniczkowe cząstkowe Stochastyczne równania różniczkowe
Jednookresowy model dwumianowy - schemat p S T,U = S t0 U S t0 1 p S T,D = S t0 D t0 T
Jednookresowy model dwumianowy - założenia Rozpatrujemy tylko dwa punkty w czasie: t0 (w skrócie 0) oraz T Dwa aktywa na rynku: pozbawiona ryzyka obligacja zerokuponowa B(0,T), która jest także utożsamiana z rachunkiem bankowym i daje deterministyczny dochód B 0, T = DF 0, T = 1/(1 + Lr) = e rτ gdzie τ = (0, T) Aktywo obarczone ryzykiem, którego wartość (cena) w chwili obecnej jest znana: S 0 nie przynosi dochodu w okresie [0,T] i ma losową wartość (cenę) w T: gdzie 0 < D < U S T = ቊ S 0U z prawdopodobieństwem "p" S 0 D z prawdopodobieństwem "1 p"
Jednookresowy model dwumianowy - założenia Wartość ryzykownego aktywu w momencie T możemy także zapisać jako: S T = S 0 Z gdzie Z jest zmienną losową: Z = ቄ U D z prawdopodobieństwem "p" z prawdopodobieństwem "1 p" Wartość europejskiego instrument pochodnego X wystawionego na aktywo S w terminie zapadalności jest zmienną losową opisanego pewną funkcją φ: X T = φ(s T ) Np. dla opcji kupna ta funkcja ma postać: X T = φ(s T ) = max S T K, 0 = max S 0 Z K, 0
Model dwumianowy - przykład 0.7 35.1 U = 35.1 1.17 = 41 35.1 0.3 35.1 D = 35.1 0.85 = 30 Bieżąca cena obligacji wolnej od ryzyka: B 0, T = 0.965 Cena obligacji w terminie zapadalności (pewna): B T = 1 B 0, T = 1/(1 + r) zatem stopa wolna od ryzyka: r = 3.6% Jak jest oczekiwana stopa zwrotu z ryzykownego aktywu?
Przykład c.d. 0.7 S T = 35.1 U = 35.1 1.17 = 41 B(T) = 1 S 0 = 35.1 B(0, T) = 0.965 0.3 E P S T = 0.7 41 + 0.3 30 = 37.7 stąd: p = 35.1 < e 0.036 37.7 36.4 Cena S 0 jest niższa niż bieżąca wartość oczekiwana wypłat e r E P S T : Jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z akcji? S T = 35.1 D = 35.1 0.85 = 30 B(T) = 1 E P R S = p S 0U S 0 + 1 p S 0D = 0.7 41 30 + 0.3 S 0 35.1 35.1 R S = 1 + r = 7.4% = 0.7 1.17 + 0.3 0.85 = 1.074
Cena = wartość oczekiwana wypłat? Zgromadziliśmy 10 mln PLN majątku: W t =10 mln Czego spodziewamy się w przyszłości? P W t+1 = 0 = 1% P W t+1 = W t = 98% P W t+1 = 2W t = 1% Stany natury i przypisane im prawdopodobieństwa 1% 98% 1% Wypłaty
Cena = wartość oczekiwana wypłat? Oferuje się nam instrumenty U i D, gdzie U wypłaca 10 mln w pozytywnym scenariuszu, a D 10 mln w negatywnym. Stany natury i przypisane im prawdopodobieństwa 1% 98% 1% Wypłaty D Pytanie: Czy za instrument U i D bylibyśmy skłonni zapłacić tyle samo? U
WZÓR wyceny aktywów Cena p i = E(mx i ) Oczekiwania (prawdopodobieństwo) Czynnik dyskontujący Wypłaty Asset prices should equal expected discounted cashflows John Cochrane, JoF (2011) Co jest ważne? Wypłaty x Mechanizmy oczekiwań E Czynnik dyskontujący m (zależny od preferencji stochastic discount factor, zwany zależnie od okoliczności także state-price density, pricing kernel)
Przykład Przestrzeń stanów S=(załamanie gospodarcze, kryzys, stagnacja, wzrost, silny wzrost) π S = (2%, 10%, 20%, 50%, 18%) x 1 obligacja bez ryzyka x 2 obligacja korporacyjna o ratingu A x 3 akcja x 4 ubezpieczenie x 5 venture capital X = x 1s1 x 1s5 = x 5s1 x 5s5 1 1 1 0 0.6 1.2 0 2 0 0.3 0.5 0 1.1 0 0 1 1 1.2 1.2 1.5 1.9 0 0 1.3 2.5
Wycena - przykład Preferencje Co jest dla nas ważne (zwykle z punktu widzenia majątku/konsumpcji)? S=(załamanie gospodarcze, kryzys, stagnacja, wzrost, silny wzrost) M S = 1.4 1.1 1 0.95 0.9 Ceny p x 1 = E mx 1 = π s m s x 1s = = 0.02 1.4 1 + 0.1 1.1 1 + + 0.18 0.9 1 = = 0.975 p X = 0.975 1.070 1.273 0.111 1.023 s
Przykład c.d. Ceny cd. Ile kosztowałyby papiery, gdyby patrzeć tylko na wartość oczekiwaną? Jak obie ceny mają się do siebie? p x 1 = E x 1 = π s x 1s = = 0.02 1 + 0.1 1 + + 0.18 1 = 1 p X = 1 1.116 1.342 0.09 1.1 p X p X = 1.026 1.043 1.054 0.811 1.076 = (1 + r) Ich relacja określa oczekiwaną stopę zwrotu z aktywu, która stanowi kompensację za ryzyko s
Równoważne spojrzenia na równanie wyceny Stochastyczny czynnik dyskontujący p(x) = E(mx) Ceny przestrzeni stanów (Arrow-Debreu) p(x) = pc s x s Miara martyngałowa (equivalent martingale measure, risk-neutral valuation) p(x) = 1 1+r f E Q (x) gdzie π Q s = R f pc s
Ceny przestrzeni stanów (AD) Niech S będzie zmienną losową opisującą przyszłe stany natury, a s ich realizacjami Instrument Arrow-Debreu wypłaca 1 jeśli wystąpi stan s i 0 w przeciwnym wypadku. Cena takiego instrumenty to pc(s). Ile kosztuje instrument, który wypłaca x(s)? Zdefiniujmy pc s = m s π(s) 1, wtedy p(x) = π s m s x s = pc s x(s) Cena aktywu jest sumą cen składających się na niego instrumentów A-D. Inżynieria finansowa wydobywa ceny AD z cen rynkowych.
Ceny przestrzeni stanów (AD) A gdybyśmy chcieli stworzyć aktywa, które wypłacają 1 w pewnym stanie i 0 w pozostałych? Portfel je opisujący byłby macierzą jednostkową XX 1 = I = 1 0 1 0 1 Ile by te aktywa kosztowały? p = X q q = X 1 p q = 0.028 0.11 0.2 0.475 0.162 Ceny q są iloczynem prawdopodobieństw każdego ze stanów i przypisywanej mu wagi. p(x) = pc s x s = π s m(s) x s Mając je możemy wycenić dowolny papier
Wycena arbitrażowa Ile kosztowałoby aktywo dające poniższe wypłaty? x 6 = 4 1 0.5 0 0 Zwrócimy uwagę, że składa się ona z 4 instrumentów A-D dla pierwszego stanu, 1 dla drugiego i 0.5 dla trzeciego. Mając ceny A-D q = 0.028 0.11 0.2 0.475 0.162 przykładamy je do składu dowolnego portfela p(x 6 ) = 4 1 0.5 0 0 0.028 0.11 0.2 0.475 0.162 i otrzymujemy cenę tegoż portfela p(x 6 ) = 0.322 W jakich warunkach możemy w jednoznaczny sposób uzyskać ceny A-D?
Kompletny rynek Rynek jest kompletny jeśli za pomocą odpowiedniego portfela inwestycyjnego można otrzymać dowolną wypłatę we wszystkich stanach Warunek konieczny i wystarczający: rz(m) = S (tzn. J S) X = 1 1 1 0 0 0.6 0.3 1.2 1.1 2 0 0.5 0 0 0 1 1 1.2 1.2 1.5 1.9 0 0 1.3 2.5 Jeśli rynek jest kompletny możemy jednoznacznie odtworzyć ceny A-D. Portfel je opisujący byłby macierzą jednostkową XX 1 = I = 1 0 1 0 1 Jeśli nie jest kompletny, nie można odwrócić macierzy, a równanie opisujące ceny A-D ma wiele rozwiązań (jest nieoznaczone): wiele kombinacji cen A-D daje ceny rynkowe
Risk-neutral valuation Zdefiniujmy q s jako: q s = R f m s π s = R f pc s = pc s /E(m) q s spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa: Jest wszędzie dodatnie, mniejsze (równe) 1 i sumuje się do 1 Zapiszmy równanie dla ceny jeszcze raz: p x = pc s x s = 1 q s x s = EQ x R f R f Cena równa się zdyskontowanej wartości oczekiwanej (liczonej wg nowej miary prawdopodobieństwa) Nazywa się ją także ekwiwalentną miarą martyngałową, gdyż deflując ceny ryzykownych aktywów ceną obligacji : p x = E Q x 1 + r f
Risk-neutral valuation - intuicja Ceny A-D (EMM) Risk-neutral measure Wypłata Cena = 0 3.5 4 4.5 3.5 4 4.5 Prawdopodobieństwo Użyteczność, czynnik dyskontujący 3.5 4 4.5 3.5 4 4.5 Źródło: Opracowanie własne 8
Model dwumianowy i risk-neutral pricing - przykład? 35.1 U = 35.1 1.17 = 41 35.1 1? 35.1 D = 35.1 0.85 = 30 Czy możemy znaleźć takie wartości prawdopodobieństwa dla których cena bieżąca będzie równa zdyskontowanej wartości oczekiwanej przyszłych cen? S 0 = 1 R f E Q X T Te nowe prawdopodobieństwa zawierałyby łączny wpływ obiektywnego prawdopodobieństwa i premii za ryzyka różnych stanów.
Model dwumianowy - rozwiązanie Szukamy takich q U, D by: S 0 = 1 R f E Q S T = 1 R f (q U S 0 U + q D S 0 D) Uprościmy zapis q U = q U pamiętając, że q U = 1 q D 35.1 = 1 1.036 (qu 35.1 1.17 + (1 q U ) 35.1 0.85) Dzielimy obie strony przez S 0, mnożymy przez 1 + r f : 1 + r f = q U U + (1 q U ) D q U = 1 + r f D U D = 1.036 0.85 1.17 0.85 = 0.58 q D = 1 1 + r f D U D = U 1 + r f U D = 1.17 1.036 1.17 0.85 = 0.42
Dwa prawdopodobieństwa zmiana miary Jak te wartości miały się do obiektywnych prawdopodobieństw? q U = 0.58 podczas gdy p U = 0.7 q D = 0.42 podczas gdy p D = 0.3 Dzięki zmianie miary, tak by nowe prawdopodobieństwo uwzględniało zarówno prawdopodobieństwo zajścia, jak i wagę poszczególnych zdarzeń aktywa możemy wyceniać w formie wartości oczekiwanej. E Q X T 1 + r f = E P mx T
Model dwumianowy inne spojrzenie Nasz rynek możemy przedstawić jako (wiersze to aktywa, kolumny to wypłaty w poszczególnych stanach): 0.965 35.1 = 1 1 30 41 pc D pc U (Rynek jest kompletny, bo liczba stanów równa się liczbie niezależnych aktywów i można odwrócić macierz portfela) pc D pc U = 1 1 30 41 1 0.965 35.1 pc D pc U = 0.560 0.405 Jak ceny AD wiążą się z prawdopodobieństwami R-N? q s = R f pc s q D q U = 0.58 0.42 = pc D pc U R f = 0.560 0.405 1.036
Wycena instrumentu pochodnego Chcemy wycenić roczną opcję z kursem wykonania K=35.1 Ile powinna kosztować? S 0 = 35.1 B 0, T = 0.965 S T = 35.1 U = 35.1 1.17 = 41 B(T) = 1 C T = max S T K, 0 = 5. 9 C 0 (K = 35. 1, T) S T = 35.1 D = 35.1 0.85 = 30 B(T) = 1 C T = max S T K, 0 = 0
Wycena risk-neutral (EMM) Każdy instrument możemy wycenić stosując prawdopodobieństwa martyngałowe (risk-neutral): X 0 = 1 R f E Q X T C 0 = 1 R f q U C T (U) + q D C T (D) C 0 = 1 1.036 qu 5.9 + q D 0 Jak wcześniej policzyliśmy q U = 0.58 a q D = 0.42 C 0 = 1 1.036 0.58 5.9 + 0.42 0 = 3.3 Przy okazji: jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z opcji E P C T? E P C T /C 0 = 0.7 5.9 3.3 + 0.3 0 = 1.252 r = 25.2% 3.3
Risk-neutral valuation - intuicja Aktywo 1 Aktywo 2 (np. risk-free) P up Q = p up m up S T,U = S t0 U P up Q = p up m up B T,U = 1 S t0 B t0 Q P down = p down m down S T,D = S t0 D Q P down = p down m down B T,D = 1 Prawdopodobieństwo Użyteczność, czynnik dyskontujący 3.5 4 4.5 3.5 4 4.5 Źródło: Opracowanie własne 8
Risk-neutral valuation - intuicja Aktywo 1 Aktywo 2 (np. risk-free) P up Q = p up m up S T,U = S t0 U P up Q = p up m up B T,U = 1 S t0 B t0 Q P down = p down m down S T,D = S t0 D Q P down = p down m down B T,D = 1 Zupełny rynek: liczba stanów = liczbie niezależnych instrumentów, można jednoznacznie wyznaczyć ceny A-D i miarę martyngałową. Nasz rynek: dwa stany, dwa instrumenty Dwa równania, dwie niewiadome = jedno rozwiązanie 0.965 35.1 = 1 1 1 R f 30 41 P up Q Q P down 8
Model dwumianowy - warunek braku arbitrażu Jeśli zachodzi: 1 + r f = q U U + q D D To spełnione jest również: D < 1 + r f < U A na rynku nie jest możliwy arbitraż.
Portfel - definicja Portfel rynkowy h definiujemy jako parę: h = (x, y) gdzie x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilość ryzykownego aktywu; x, y (, + ) Przykład: Portfel h=(-50,50): pożyczamy 50 i kupujemy 50 akcji Portfel h=(10,-50): sprzedajemy 50 akcji i składamy depozyt Wartość portfela w czasie t0: V 0 h = x + ys 0 Wartość portfela w czasie T jest zmienną losową zależną od Z: V T h = x(1 + Lr) + ys 0 Z L to operator przenoszący roczną stopę na czas trwania kontraktu
Portfel arbitrażowy To portfel rynkowy h(x,y) spełniający trzy warunki: Koszt jego utworzenia wynosi 0: V 0 h = 0 Na pewno nie przyniesie strat: P(V T h 0) = 1 Być może przyniesie zysk: P(V T h > 0) > 0
Brak arbitrażu - dowód Konstruujemy portfel ( y S 0 to ilość akcji w portfelu, czyli ich wartość to y) V 0 h( y, y S 0 ) = 0 W terminie zapadalności jego wartość wyniesie: V T h = y (U 1 + r f ) y (D 1 + r f ) w stanie"u" w stanie"d" Jeśli 1 + r f D U V T h = y (U 1 + r f ) 0 y (D 1 + r f ) 0 w stanie"u" w stanie"d" Czyli mamy arbitraż. (jeśli D U 1 + r f konstruujemy odwrotny portfel)
Wycena na bazie replikacji-przykład Rozpatrzmy portfel składający się z: Δ jednostek aktywu bazowego S 0 sprzedanego instrumentu pochodnego X T po cenie Π 0 (X T ) (opcji kupna K=35.1) Wartość portfela w terminie zapadalności wynosi: V T h = S 0U φ(s 0 U) S 0 D φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D" 41 5.9 V T h = ቄ 30 0 w stanie"u" w stanie "D" Chcemy by portfel był pozbawiony ryzyka, tj. by jego wartość była taka sama niezależnie od stanu rynku: S 0 U φ(s 0 U) = S 0 D φ(s 0 D) 41 5.9 = 30
Wycena na bazie replikacji - przykład c.d. Rozwiążmy z uwagi na Δ: = φ(s 0U) φ(s 0 D) S 0 (U D) = 5.9 11 = 0.53 Przy ilości Δ zakupionego aktywu bazowego zmiany ceny obydwu składników portfela wzajemnie się znoszą Koszt utworzenia portfela w czasie 0 wynosi: V 0 h = S 0 Π 0 (X T ) Jako pozbawiony ryzyka (bo jego wartość jest taka sama niezależnie od stanu natury w przyszłości) musi dawać dochód równy obligacji B(0,T): 1 + Lr f V 0 h = V T h 1 + Lr f S 0 π X 0 = S 0 U φ(s 0 U) = S 0 D φ(s 0 D)
Wycena na bazie replikacji - przykład c.d. Rozwiązujemy równanie z uwagi na Π X 0 : 1 + Lr f S 0 Π 0 (X T ) = S 0 U φ(s 0 U) = S 0 D φ(s 0 D) Π 0 (X T ) = S 0 1 1 + r f (S 0 U φ(s 0 U)) Używając naszego przykładu liczbowego: Π 0 (X T ) = 35.1 0.53 0.965(41 0.53 5.9) = 3.3 czyli tyle samo ile stosując wycenę risk-neutral!
Wycena na bazie replikacji - założenia Cenę instrumentu pochodnego Π t (X) powinna być równa kosztowi jego replikacji, dokonywanej w oparciu o aktywa bazowe: Π t X = V t h gdzie h = x, y, x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilością ryzykownego aktywu, czyli V 0 h = x + S 0 y Instrument pochodny jest osiągalny jeśli: P(V T h = Π T X ) = 1 Portfel h(x) nazywamy replikującym, a h zabezpieczającym Aby instrument był osiągalny konieczne jest by: V T h = φ(s 0U) φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D"
Wycena na bazie replikacji - założenia Z warunku: V T h = φ(s 0U) φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D" oraz V T h = 1 + Lr f x + S 0 Zy wynika, że (przyrównujemy wypłat w obydwu stanach (Rów. 1) z wartością portfela (Rów. 2)): 1 + Lr f x + S 0 Uy = φ(s 0 U) 1 + Lr f x + S 0 Dy = φ(s 0 D) Rozwiązując układ równań otrzymujemy: x = 1 Uφ(S 0 D) Dφ(S 0 U) = 15.1 1 + Lr f (U D) y = φ(s 0U) φ(s 0 D) = = 0.525 S 0 (U D)
Wycena na bazie replikacji inne spojrzenie Nasz rynek możemy przedstawić jako: 0.965 35.1 = 1 1 30 41 pc D pc U Gdzie wiersze odpowiadają poszczególnym aktywów, a kolumny stanom. Zapisujemy każdy aktyw jak zbiór instrumentów AD Jeśli mamy sprzedać obligacji za 15.1, to ile ich mamy sprzedać? 15.1 0.965 = 15.65 Tworzymy portfel przy kupując i sprzedając odpowiednie ilości x i y: 15.65 0.525 0.965 35.1 = 15.1 + 18.4 = 3.3
Replikacja a risk-neutral Jak jest relacja pomiędzy dwiema metodami? Zacznijmy od replikacji: Π 0 X = x + S 0 y = 1 Uφ(S 0 D) Dφ(S 0 U) φ(s 0 U) φ(s 0 D) + S 1 + Lr f (U D) 0 S 0 (U D) Mnożymy drugi wyraz przez 1 + Lr f i porządkujemy zmienne φ(s 0 D): = 1 1 + Lr f D φ(s 1 + Lr f U D 0 U) + U 1 + Lr f U D φ(s 0 D) = 1 1 + Lr f q U φ(s 0 U) + q D φ(s 0 D) = 1 1 + Lr f E Q (φ(s T )) = 1 R f E Q X T
Dwa spojrzenia Przy założeniu kompletności rynku inżynieria finansowa sprowadza się do: Wydobywania z cen aktywów na rynku cen AD i używaniu ich do wyceny dowolnego instrumentu, którego wypłaty w różnych stanach możemy określić (risk-neutral valuation) lub do tworzenia portfela, którego skład (pod względem instrumentów AD) dokładnie odzwierciedla skład replikowanego instrumentu (replikacja) Koncepcyjnie wydają się różne, ale (przy założeniu zupełnego rynku) dają ten sam rezultat.
Wycena martyngałowa Co musimy znać, by wyznaczyć miarę martyngałową? Cenę bieżącą i cenę (wypłatę) w przyszłych stanach. Innymi słowy musimy znać charakterystykę procesu, który opisuje zmiany ceny. Jeśli przyjmiemy złe założenia co do powyższego procesu, to wycena będzie niepoprawna i może prowadzić do arbitrażu. Czego nie musimy znać? Prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych stanów.