7.2. Rozwiąż problem z zadania 7.1 stosując Twierdzenie 7.16.

Transkrypt

1 Rozdział 7 Funkcje użyteczności 7 Rozważ model dwumianowy z cenami akcji S0 R { S S = U = S0 + U z prawdopodobieństwem p S D = S0 + D z prawdopodobieństwem p oraz walorem wolnym od ryzyka A0 = A = + r Zakładając funkcję użyteczności ux = e x oraz wielkość kapitału początkowego W znajdź portfel makzymalisujący oczekiwaną użyteczność przez bezpośrednie obliczenie maksimum z EV x 72 Rozwiąż problem z zadania 7 stosując Twierdzenie Rozważ model dwumianowy z S0 = 00 U = 0 D = 005 p = 3 4 oraz r = 005 Stosując wzory z rozwiązania zadania 7 znajdź w Excelu optymalną strategię maksymalizującą oczekiwaną użyteczność wypłaty dla ux = e x oraz Rozważ model dwumianowy zadania 73 Stosując wzory z rozwiązania zadania 72 znajdź w Excelu optymalną strategię maksymalizującą oczekiwaną użyteczność wypłaty dla ux = e x Porównaj wyniki z rozwiązaniem zadania Rozważ model dwumianowy z zadania 7 Zakładając funkcję użyteczności ux = lnx oraz wielkość kapitału początkowego W znajdź portfel maksymalizujący oczekiwaną użyteczność przez bezpośrednie obliczenie maksimum z EV x 4

2 42 ROZDZIAŁ 7 FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI 76 Rozwiąż problem z zadania 75 stosując Twierdzenie Rozważ model dwumianowy z S0 = 00 U = 02 D = 0 p = 3 5 oraz r = 005 Stosując wzory z rozwiązania zadania 75 znajdź w Excelu optymalną strategię maksymalizującą oczekiwaną użyteczność wypłaty dla ux = lnx oraz Rozważ model dwumianowy zadania 77 Stosując wzory z rozwiązania zadania 76 znajdź w Excelu optymalną strategię maksymalizującą oczekiwaną użyteczność wypłaty dla ux = lnx Porównaj wyniki z rozwiązaniem zadania Rozważ walor o cenie dzisiejszej S 0 = 94 i przyszłych cenach 30 z prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem 0 S = 00 z prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem 03 razem z walorem wolnym od ryzyka o cenach S 0 0 = oraz S 0 = 05 W arkuszu kalkulacyjnym Excela wyznacz optymalną strategie inwestycyjną dla funkcji użyteczności ux = ln x 70 Przyjmując dane z zadania 79 na podstawie wyliczonej w zadaniu 79 optymalnej strategii znajdź w Excelu mierę wolną od ryzyka 7 Na podstawie rozwiazania zadania 70 sprawdź własnośc martyngału dla S i znajdź w Excelu ceny Arrowa-Debreu 72 Rozważ model z czterema walorami ryzykownymi S S 2 S 3 oraz S 4 Załóżmy że ceny dziesiejsze są równe S 0 = 94 S 2 0 = 76 S 3 0 = 39 S 4 0 = 37 a przyszłe ceny kształtować się będą na poziomie = S S 2 S 3 S z prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem 03

3 7 ROZWIĄZANIA 43 Załóżmy że cena dzisiejsza waloru wolnego od ryzyka wynosi S 0 0 = 00 oraz że S 0 = 05 Znajdź miarę martyngałową 73 Rozpatrz dane z zadania 72 Znajdź optymalną oczekiwaną użyteczność oraz optymalną wypłatę dla u = lnx przy wartości początkowej inwestycji 000 Żeby uzyskać ostateczny liczbowy wynik obliczenia przeprowadź w Excelu Podpowiedź: Wyprowadzenie jest analogiczne do rozwiązania zadania Na bazie rozwiązania zadania 73 oblicz w Excelu optymalną strategię 75 Na bazie rozwiązania zadania 73 oblicz w Excelu ceny Arrowa-Debreu oraz optymalną oczekiwaną użyteczność 7 Rozwiązania 7 Wiemy że x 0 A0 + x S0 = W Przyjmując oznaczenia x = x mamy x 0 = W x S0 A0 = W xs0 Oczekiwana użyteczność wynosi fx = EV x = pu x 0 A + x S U + p u x 0 A + x S U = pe x 0A+x S U p e x 0 A+x S D = pe x 0+r+x S0+U p e x 0+r+x S0+D = pe +rw xs0+xs0+u +rw xs0+xs0+d p e = pe +rw +xs0u r +rw +xs0d r p e Szukamy maksimum f f x = S0 U r pe +rw +xs0u r +S0D r p e +rw +xs0d r

4 44 ROZDZIAŁ 7 FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI Mamy gdy f x = 0 U r pe +rw +xs0u r +rw +xs0d r = D r p e Logarytmując i upraszczając dostajemy ln U r p xs0 U r = ln D r p xs0 D r czyli Odpowiedź x = ln r D p ln U r p S0 D U x = ln r D p ln U r p S0 D U x 0 = W x S0 72 Znajdujemy miarę martyngałową q = p = r D U D q 2 = p Z Twierdzenia 76 wiemy że X = u q λ + Rp X 2 = u q 2 λ + R p + R q X + q 2 X 2 Skoro u x = e x dostajemy u x = ln x ponieważ wtedy u ux = ln e x = x i nasz układ możemy zapisać jako X = ln λ ln + Rp X q 2 2 = ln λ ln + R p + R q X + q 2 X 2 q

5 7 ROZWIĄZANIA 45 Stosując oznaczenie a = ln q +Rp a2 = ln q 2 +R p X = ln λ + a X 2 = ln λ + a 2 + R q + q 2 ln λ + q a + q 2 a 2 = + R ln λ + q a + q 2 a 2 Z trzeciego równania dostajemy ln λ = W + R q a q 2 a 2 Ponieważ potrafimy wyliczyć zarówno a a 2 jak i ln λ to wzory X = ln λ + a X 2 = ln λ + a 2 dają nam optymalną wypłatę Rozwiązaniem jest więc x = S X 73 Rozwiązanie w pliku Zadanie-7-03xls 74 Rozwiązanie w pliku Zadanie-7-04xls 75 Wiemy że x 0 A0 + x S0 = W Przyjmując oznaczenia x = x mamy x 0 = W x S0 A0 = W xs0 Oczekiwana użyteczność wynosi fx = EV x = pu x 0 A + x S U + p u x 0 A + x S U = p ln x 0 A + x S U + p ln x 0 A + x S D = p ln + r W + xs0 U r + p ln + r W + xs0 D r

6 46 ROZDZIAŁ 7 FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI Szukamy maksimum f f x = Rozwiązujemy ps0 U r + r W + xs0 U r + p S0 D r + r W + xs0 D r f x = 0 po elementarnych przekształceniach dostając Odpowiedź x = 76 Znajdujemy miarę martyngałową + r W r p D pu S0 D r U r x = + r W r p D pu S0 D r U r x 0 = W x S0 q = p = r D U D q 2 = p Z Twierdzenia 76 wiemy że X = u q λ + Rp X 2 = u q 2 λ + R p + R q X + q 2 X 2 Skoro u x = dostajemy x u x = ponieważ wtedy x u ux = = x i nasz układ możemy zapisać jako x X + Rp = λ q X + R p 2 = λ q 2 + R q X + q 2 X 2

7 7 ROZWIĄZANIA 47 Stosując oznaczenie a = +Rp q a 2 = +R p q 2 X = λa Z trzeciego równania dostajemy X 2 = λa 2 + R q λa + q 2 λa 2 λ = czyli optymalna wypłata to W + R q a + q 2 a 2 = W X + Rp = W q X 2 = W + R p q 2 Rozwiązaniem jest więc x = S X 77 Rozwiązanie w pliku Zadanie-7-07xls 78 Rozwiązanie w pliku Zadanie-7-08xls 79 Chcemy dobrać optymalną strategię x 0 x Musimy zmaksymalizować EuV x = = 5 p i ln V x i i= 5 p i ln x 0 S 0 + x S i i= przy ograniczeniu V x i = x 0 S 0 + x S i 0 V x 0 = x 0 S x S 0 = W W rozwiązaniu Zadanie-7-09xls wartosć EuV x znajduje się w komórce G3 a warunki ograniczające V x i 0 są w F8:F2

8 48 ROZDZIAŁ 7 FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI 70 Po wyznaczeniu optymalnej strategii x znamy również optymalną wypłatę V x Wiemy też że u x = lnx = x Miara martyngałowa jest wyznaczona wzorem q i = p iu V x i E u V x = Rozwiązanie w pliku Zadanie-7-0xls 7 Musimy sprawdzić czy + R p i V x i pk V x k 5 q i S i = S 0 i= Ceny Arrowa-Debreu są zadane wzorem π i = q i + R Rozwiązanie w pliku Zadanie-7-xls 72 Musi być spełniona własność 5 + R S k 0 = q i S k i dla k = 4 i= co w notacji macierzowej oznacza że dla S =S ik = S k i zachodzi dla S T q = + R s 0 q = + R S T s0 s 0 = S 0 0 S 4 0 Rozwiązanie w pliku Zadanie-7-2xls

9 7 ROZWIĄZANIA Żeby znaleźć optymalną wypłatę rozwiązujemy układ równań X i = u q i λ + Rp i qi u q i + R λ + Rp i Skoro u x = lnx = x dostajemy funkcję odwrotną u x = x ponieważ u u x = x Nasze równania są więc równoważne X i = λ + Rp i q i + R qi λ + Rp i q i = λ czyli skoro znamy λ = W p i R oraz mamy obliczone z rozwiązania zadania 72 q = + R S T s0 dostajemy wzór na X postaci X i = λ + Rp i q i = W p i ST s 0 Rozwiązanie numeryczne w pliku Zadanie-7-3xls 74 Ponieważ S iest odwracalna optymalna strategia x zadana jest wzorem x = S X Rozwiązanie numeryczne w pliku Zadanie-7-4xls 75 Ceny Arrowa-Debreu liczymy ze wzoru π i = + R q i Optymalna użyteczność jest wyznaczona wzorem EuX = p i u X i = p i ln X i Rozwiązanie numeryczne w pliku Zadanie-7-5xls i

10 50 ROZDZIAŁ 7 FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI