Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż

Transkrypt

1 Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż Piotr Bańbuła Katedra Rynków i Instytucji Finansowych, KES 5 marca 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa

2 Dwa podejścia w wycenie Dwa podejścia do problemu wyceny: Wycena aktywów od podstaw, odwołująca się do funkcji preferencji i użyteczności, oczekiwań, technologii To domena ekonomii finansowej Wycena biorąca część cen jako dane (tzw. aktywów bazowych akcji, obligacji, walut, surowców) i wyceniająca inne aktywa (pochodne) względem nich To domena matematyki finansowej Inżynieria finansowa jest obszarem zastosowań matematyki finansowej oraz metod ilościowych, w tym statystyki i programowania

3 Inżynieria finansowa Wycena instrumentu wymaga określenia/oszacowania: A. Wypłat `x w różnych stanach w przyszłości Wagi poszczególnych stanów `m z punktu widzenia dobrobytu Prawdopodobieństw `p wystąpienia tych stanów LUB B. Wypłat `x w różnych stanach w przyszłości Prawdopodobieństw `q wystąpienia tych stanów, na które to `q składają się (w niepotrzebny do określenia sposób) prawdopodobieństwa `p oraz wagi `m poszczególnych stanów Inżynieria finansowa stosuje to drugie podejście

4 Dwa podejścia w wycenie Absolutna wycena Oczekiwania (prawdopodobieństwa), preferencje technologia (wypłaty) NA/LOOP NA/LOOP Stochastyczny czynnik dyskontujący/ceny przestrzeni stanów Względna wycena Obserwacja cen istniejących papierów Zasada braku arbitrażu LOOP Określ cenę dowolnego aktywu Określ cenę aktywów poprzez istniejące

5 Inżynieria finansowa Celem inżynierii finansowej jest przede wszystkim: Wycena instrumentów (pochodnych) Szacowanie ryzyka Wycena ryzyka Zarządzanie ryzykiem Tworzenie nowych instrumentów Wszystkie powyższe działania są powiązane

6 Cena = wartość oczekiwana wypłat? Zgromadziliśmy 10 mln PLN majątku: W t =10 mln Czego spodziewamy się w przyszłości? P W t+1 = 0 = 1% P W t+1 = W t = 98% P W t+1 = 2W t = 1% Stany natury i przypisane im prawdopodobieństwa 1% 98% 1% Wypłaty

7 Cena = wartość oczekiwana wypłat? Oferuje się nam instrumenty U i D, gdzie U wypłaca 10 mln w pozytywnym scenariuszu, a D 10 mln w negatywnym. Stany natury i przypisane im prawdopodobieństwa 1% 98% 1% Wypłaty D Pytanie: Czy za instrument U i D bylibyśmy skłonni zapłacić tyle samo? U

8 Cena wartość oczekiwana wypłat Źródło: J.Siegel (2007, s.6)

9 WZÓR wyceny aktywów Cena p = E(m x) Wypłaty Oczekiwania (prawdopodobieństwo) Stochastyczny czynnik dyskontujący Asset prices should equal expected discounted cashflows John Cochrane, JoF (2011)

10 Risk-neutral valuation - intuicja Ceny A-D miara risk-neutral Wypłata Cena = Prawdopodobieństwo Użyteczność, czynnik dyskontujący 3.5 Źródło: Opracowanie własne

11 Plan wykładu Podstawowe pojęcia, statyczna replikacja Zasada braku arbitrażu w ujęciu statycznym Ceny terminowe Stopy procentowe Swapy Opcje Dynamiczna replikacja, wycena w oparciu o miary martyngałowe Model rynku i procesu cenowego Model dwumianowy Wycena opcji i model Blacka Scholesa Miary martyngałowe Praktyka

12 Zasada braku arbitrażu Arbitraż w ekonomii finansowej (teoretyczny) Portfel inwestycyjny, który: nic nie kosztuje, nie może przynieść strat może przynieść zyski Innymi słowy: z niczego może my wytworzyć nieograniczone bogactwo bez żadnego ryzyka (tzw. money pump) Arbitraż na rynkach finansowych Portfel inwestycyjny, który: bardzo niewiele nie kosztuje, straty wystąpią z małym prawdopodobieństwem najprawdopodobniej przyniesie zyski

13 Arbitraż (statystyczny) Wyszukiwanie możliwości arbitrażowych jest czasochłonne i przez to kosztowne w rzeczywistości angażowany jest kapitał ludzki i technologia vs. Five years ago it would have taken $500,000 and 12 people to do what today takes a few computers and two co-workers. I'm executing 1,500 to 2,000 trades a day and monitoring 1,500 pairs of stocks. My software can automatically execute a trade within 20 milliseconds - five times faster than it would take for my finger to hit the buy button. Luis Morgan, hedge fund managing director (akurat nie ten pan na zdjęciu)

14 Wycena pochodnych - Przykład 1 Akcja Bieżąca cena akcji notowanej na giełdzie to S t = 100 PLN. Stopa, po których możemy aktualnie pożyczać i lokować to 5% Uważamy (jesteśmy wręcz pewni), że w ciągu roku cena wzrośnie do 125 PLN (wartość oczekiwana, inaczej E(S t+1 ) = 25% ). Akcja dawałyby więc stopę oczekiwaną stopę zwrotu E(r t+1 ) = 25% Nie mamy teraz gotówki, ale możemy kupić akcję w transakcji terminowej: dziś ustalamy cenę, po której kupimy bądź sprzedamy papier w terminie zapadalności umowy. Jaką cenę w transakcji terminowej powinniśmy zaakceptować? Rozpiętość cen?

15 Przykład 1 - c.d. Prawdopodobne przedziały cen akcji w przyszłości < % 10% 20% 40% 15% 10% Po jakiej cenie bylibyśmy skłonni kupować, jeśli E(S)=125? Cena terminowa 125? Cena terminowa 120? Cena terminowa 110? Cena terminowa 105? Cena terminowa 100?

16 Przykład 1 - c.d. Prawdopodobne przedziały cen akcji w przyszłości < % 10% 20% 40% 15% 10% Po jakiej cenie bylibyśmy skłonni kupować, jeśli E(S)=125? Cena terminowa 125? Cena terminowa 120? Cena terminowa 110? (Załóżmy ) Cena terminowa 105? Cena terminowa 100?

17 Przykład 1 c.d. Cena terminowa to 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie rocznej 5%. t PLN: pożyczka t1

18 Przykład 1 c.d. Cena terminowa 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie rocznej 5%. Za uzyskane środki kupuje akcje. t PLN: pożyczka -100 PLN: zakup akcji t1

19 Przykład 1 c.d. Cena terminowa 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie 5%. Za uzyskane środki kupuje akcje. Trzyma je przez rok. t PLN: pożyczka -100 PLN: zakup akcji t1

20 Przykład 1 c.d. Cena terminowa 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie 5%. Za uzyskane pieniądze kupuje akcje. Trzyma je przez rok. Sprzedaje Państwu te akcje po 110. t PLN: pożyczka t PLN: sprzedaż akcji -100 PLN: zakup akcji

21 Przykład 1 c.d. Cena terminowa 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie 5%. Za uzyskane pieniądze kupuje akcje. Trzyma je przez rok. Sprzedaje Państwu te akcje po 110. Spłaca pożyczkę, która z odsetkami wynosi 105. t PLN: pożyczka t PLN: sprzedaż akcji -100 PLN: zakup akcji -105 PLN: spłata pożyczki Zostaje 5 PLN za każde 100 PLN.

22 Przykład 1 c.d. Jakie ryzyko podjęła druga strona (załóżmy, że są Państwo wiarygodni i na pewno dopełnią warunków umowy)? Inaczej, czy wynik jej transakcji zależy od ceny akcji na rynku w momencie wykonania umowy? Cena na rynku w czasie t1: 125 Wynik: (Zysk/Strata na sprzedaży akcji)-koszt pożyczki ( ) 5 = 5

23 Przykład 1 c.d. Jakie ryzyko podjęła druga strona (załóżmy, że są Państwo wiarygodni i na pewno dopełnią warunków umowy)? Inaczej, czy wynik jej transakcji zależy od ceny akcji na rynku w momencie wykonania umowy? Cena na rynku w czasie t1: 125 Wynik: +5 Cena na rynku w czasie t1: 150 Wynik: ( ) 5 = 5 Cena na rynku w czasie t1: 100 Wynik: ( ) 5 = 5 Wynik drugiej strony nie zależy od ceny na rynku (choć nasz już tak)

24 Przykład 1 podsumowanie t PLN: pożyczka t PLN: sprzedaż akcji -100 PLN: zakup akcji -105 PLN: spłata pożyczki Czy druga strona angażowała jakikolwiek swój kapitał? Nie, tylko pożyczała. Czy mogła stracić? Nie (abstrahujemy od ryzyka kredytowego kontrahenta). Czy mogła zyskać? Tak, niezależnie od okoliczności 5 PLN. To był arbitraż (przeprowadzony niestety na nas, a nie przez nas). Wycena pochodnych jest oparta o zasadę braku arbitrażu.

25 Spekulacja, zabezpieczanie, arbitraż Spekulacja Zwiększamy naszą ekspozycję na pewne ryzyko np. kurs walutowy, stopę procentową, ceny akcji tym samym zwiększamy niepewność co do przyszłych wypłat, ale liczymy, że przyniesie nam to zysk (choć może także straty) Zabezpieczenie (hedging) Zmniejszamy (eliminujemy) naszą ekspozycję na pewne ryzyko i tym samym zmniejszamy (eliminujemy) zmienność wypłat (stają się one niemal pewne). Pozbywamy się możliwości zysku, ale i straty. Arbitraż Kupujemy i sprzedajemy papiery, które dają identyczne wypłaty, ale mają różne ceny osiągamy zysk nie ponosząc ryzyka. Sprawiedliwa wycena, w tym wycena derywatów, ma sprawiać, że do takich sytuacji nie dochodzi.

26 Spekulacja, zabezpieczanie, arbitraż Spekulacja Długa pozycja Krótka pozycja Zabezpieczenie (hedging) Efekt netto=0 Pierwotna długa pozycja Pierwotna krótka pozycja Zabezpieczenie Efekt netto=0 Zabezpieczenie Arbitraż Efekt netto>0 1 pozycja Efekt netto>0 2 pozycja 2 pozycja 1 pozycja

27 Przykład 1 - Spekulacja Spekulacja Uważamy, że cena akcji banku A wynosząca 100 jest za niska i sądzimy, że wzrośnie bardziej niż inne ceny na rynku akcji. 100

28 Przykład 1 - Spekulacja Spekulacja Uważamy, że cena akcji banku A wynosząca 100 jest za niska i sądzimy, że wzrośnie bardziej niż inne ceny. kupujemy dziś tą akcję po cenie rynkowej, lub Kupujemy ją w transakcji terminowej po dziś ustalonej cenie, lub Kupujemy opcję na zakup akcji po określonym kursie 100

29 Przykład 2 - Spekulacja Spekulacja 2 Uważamy, że cena akcji banku A wynosząca 100 jest za niska, natomiast banku B wynosząca 75 za wysoka. Co możemy zrobić, jeśli nie wiemy co stanie się z cenami akcji w ogóle i nie chcemy na to spekulować?

30 Przykład 2 - Spekulacja Spekulacja Uważamy, że cena akcji banku A wynosząca 100 jest za niska, natomiast banku B wynosząca 75 za wysoka. Co możemy zrobić, jeśli nie wiemy co stanie się z cenami akcji w ogóle i nie chcemy na to spekulować? Kupujemy akcji A (ewentualnie na termin) za Sprzedajemy akcji B (ewentualnie na termin) za Dla uproszczenia r=0%, zatem cena terminowa równa się obecnej

31 Przykład 2 obie ceny rosną, A bardziej. Kupione 75 tys. akcje A za 7,5 mln sprzedajemy na rynku za: tys. = 11,25 mln Wynik: 7,5 mln + 11,25 mln = 3,75 mln Aby sprzedać 100 tys. akcji B za 7,5 mln kupujemy ja za: tys. = 9 mln Wynik: 7,5 mln 9mln = 2,5 mln Netto: +1,25 mln

32 Przykład 2 obie ceny rosną, B bardziej Kupione 75 tys. akcje A za 7,5 mln sprzedajemy na rynku za: tys. = 9 mln Wynik: 7,5 mln + 9 mln = 2,5 mln Aby sprzedać 100 tys. akcji B za 7,5 mln kupujemy ja za: tys. = 11 mln Wynik: 7,5 mln 11 mln = 3,5 mln Netto: 1,0 mln

33 Przykład 2 obie ceny spadają, A mniej Kupione 75 tys. akcje A za 7,5 mln sprzedajemy na rynku za: 60 75tys. = 4,5 mln Wynik: 7,5 mln + 4,5 mln = 3,0 mln Aby sprzedać 100 tys. akcji B za 7,5 mln kupujemy ja za: tys. = 3 mln Wynik: 7,5 mln 3 mln = 4mln Netto: +1,0 mln

34 Przykład 3 Zabezpieczenie pozycji Zabezpieczenie przed ryzykiem Dane: Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5% Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4% Za rok będziemy potrzebować 1 mln PLN na inwestycje weźmiemy kredyt Nie wiemy jak zmienią się stopy procentowe i nie chcemy na to spekulować. Czy możemy przeprowadzić transakcję, która sprawi, że koszt kredytu (oprocentowanie depozytu) ustalimy dziś i będzie ono niezależne od tego co stanie się w przyszłości?

35 Przykład 3 Weźmy pożyczkę na 2Y, a uzyskane pieniądze złóżmy na 1Y depozyt Co w ten sposób otrzymujemy? Syntetyczny roczny kredyt za 1Y. Pytania: Jaką jest stopa naszego kredytu? Czy zależy od tego jakie będą stopy procentowe w przyszłości? t mln PLN: pożyczka +1,04mln PLN: depo t1 t mln PLN: depozyt -1,06 mln PLN: spłata pożyczki

36 Przykład 3 Jakiej wielkości musi być dzisiejszy depozyt, by za 1Y mieć 1 mln? X 1,04 = 1 X = 0.961mln Tyle musimy pożyczyć. Ile będziemy musieli spłacić za 2Y? X 1 + r 0,2 2 = = 1.06mln Ile wynosi stopa procentowa dla stworzonego przez nas kredytu? 1, mln = 1,06mln 1, mln = 1,0mln = 1,06 = R = 1 + r r = 6% t mln PLN: pożyczka +1,04mln PLN: depo t1 t mln PLN: depozyt -1,06 mln PLN: spłata pożyczki

37 Przykład 4 Wycena a zabezpiecznie Wycena i zabezpieczanie się Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5% Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4% Co by było, gdyby ktoś oferował stopę pożyczki 1Y za rok (1x2) w wysokości 5,5%? Podpowiedź: taka pożyczka jest relatywnie tania w stosunku do pożyczki/depozytu, który można (statycznie) zreplikować.

38 Przykład 4 c.d. Wycena i zabezpieczanie się Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5% Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4% Co by było, gdyby ktoś nam oferował stopę pożyczki 1Y za rok (1x2) w wysokości 5,5%? Zaciągamy tę pożyczkę (1x2) i syntetyzujemy depozyt 1x2: Zakładamy depozyt na 2Y i zaciągamy pożyczkę na 1Y +1 mln PLN: pożyczka +1,04mln PLN: pożyczka +1,10mln t1 t2 PLN: depozyt -1mln PLN: depozyt -1,04 mln PLN: pożyczka -1,097 mln PLN: spłata pożyczki

39 Przykład 4 c.d. +1 mln PLN: pożyczka t1-1,04 mln PLN: pożyczka t2 t1 t2 +1,10mln PLN: depozyt -1mln PLN: depozyt +1 mln PLN: pożyczka +1,04mln PLN: pożyczka +1,10mln t1 t2 PLN: depozyt -1mln PLN: depozyt -1,04 mln PLN: pożyczka -1,097 mln PLN: spłata pożyczki

40 Przykład 4 - c.d. Wycena, arbitraż i zabezpieczanie się Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5% Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4% Co by było, gdyby ktoś nam oferował stopę pożyczki 1Y za rok (1x2) w wysokości 5,5%? Zaciągamy tę pożyczkę (1x2) i syntetyzujemy depozyt 1x2: Zakładamy depozyt na 2Y i zaciągamy pożyczkę na 1Y Zarabiamy 2800 PLN przy umowach na 1 mln +1 mln PLN: pożyczka +1,04mln PLN: pożyczka +1,10mln t1 t2 PLN: depozyt -1mln PLN: depozyt -1,04 mln PLN: pożyczka -1,097 mln PLN: spłata pożyczki

41 Zajęcia Ocena końcowa: Egzamin 100% (Wykłady, praca własna z literaturą, rozwiązanie zadań i zagadnień w Niezbędniku) Literatura: Salih Neftci Principles of Financial Engeneering, Elsevier (rozdziały 1-15) Weron i Weron Inżynieria Finansowa Kontakt: pbanbu@sgh.waw.pl Materiały: Poza wykładami warto zaznajomić się z zamieszczonymi zagadnieniami i zadaniami do rozwiązania