Moduł 1: Opcje wprowadzenie i przypomnienie
|
|
- Małgorzata Piasecka
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Styczeń 2018 Materiał e-learningowy w formie 2 modułów z dodatkowym zestawem pytań dotyczącym całego wykładu, mającym stanowić przygotowanie do egzaminu. Moduł 1: Opcje wprowadzenie i przypomnienie Opcja (standardowa, prosta, tzw. plain-vanilla) Definicja: opcja to kontrakt, którego nabywca ma prawo kupić (sprzedać) instrument, na który została wystawiona opcja (np. akcję, walutę, stopę procentową) po ustalonej cenie i w ustalonym terminie. Sprzedawca opcji ma obowiązek to żądanie wykonać. Opcja jest więc instrumentem asymetrycznym nabywca ma prawo wykonania kontraktu, a nie obowiązek jego wykonania. Za to prawo (w przeciwieństwie do obowiązku) płacimy w momencie zawierania kontraktu cenę opcji, zwaną premią. Ustalony kurs wykonania (cena, po której w ramach kontraktu opcyjnego można sprzedawać lub kupować instrument, na który opcja została wystawiona) to tzw. strike. W przeciwieństwie do kontraktów terminowych, gdzie istnieje tylko jeden nie-arbitrażowy poziom kursu wykonania (a dokładnie wąski przedział ceny z dokładnością do widełek kupna-sprzedaży) opcja może być wystawiona dla dowolnego kursu wykonania. Inny kurs wykonania będzie oznaczać inną cenę im taniej chcemy kupować w przyszłości, tym więcej musimy za takie prawo zapłacić. Koszt opcji będzie w przybliżeniu proporcjonalny do prawdopodobieństwa wykonania opcji i związanych z tym wypłat ze strony wystawcy opcji, czyli wartości oczekiwanej wypłat. Wartość oczekiwana jest jednak liczona wg sztucznego prawdopodobieństwa zwanego miarą neutralną wobec ryzyka (ang. risk-neutral measure) lub miarą martyngałową. Ta miara prawdopodobieństwa łączy w sobie obiektywne prawdopodobieństwo i premię za ryzyko. Inżynieria finansowa w znacznym stopniu sprowadza się do szacowania i kalibrowania tej miary w oparciu o historię cen instrumentu bazowego. Szerzej na ten temat w module 2. W niniejszym module pokazano zasady działania opcji. 1.zakładka Rodzaje opcji Typy opcji: Opcja europejska może być wykonana jedynie w terminie zapadalności T. Opcja amerykańska może być wykonana w dowolnym momencie przed terminem zapadalności T.
2 Opcje egzotyczne Azjatyckie kursem odniesienie w terminie realizacji jest średni kurs, a nie bieżący. Lookback kursem odniesienia jest minimalny lub maksymalny kurs w okresie. Barierowe aktywują bądź dezaktywują się, gdy w trakcie trwania kontraktu kurs osiągnie pewien poziom. Binarne stała wypłata (jeśli opcja zapadnie in-the-money) lub nic. Opcja przykład W październiku 2008 r. kupiliśmy za 30 zł opcję kupna na WIG20 z terminem wykonania T=1Y i kursem wykonania K=1500, czyli spekulujemy na wzrost cen akcji (lub bardziej ogólnie na wzrost wartości opcji, co jak pokażemy później oznacza także, lub przede wszystkim, spekulację na wzrost zmienności). W październiku 2009 r., czyli terminie zapadalności opcji, WIG20 wynosi Wartość opcji wynosi w tym momencie 500 jeśli wykonamy opcję kupimy za 1500 i natychmiast sprzedamy za 2000, zarabiając 500. Jaka byłaby wartość opcji gdyby WIG20 spadł do 1000 pkt? Wyniosłaby zero gdybyśmy ją wykonali stracilibyśmy 500. Opcja jest jednak prawem, a nie obowiązkiem, dlatego jej nie wykonujemy gdyż jest bezwartościowa (czyli ma wartość 0 ). Tu właśnie ujawnia się różnica w stosunku do kontraktów terminowych, gdzie istnieje obowiązek wykonania i kontrakt terminowy miałby wartość ujemną.
3 2.zakładka Wartość opcji w terminie zapadalności Wartość opcji w terminie zapadalności 1. Zakupiona opcja kupna (inaczej long call) Jak zapisać funkcję wypłaty, którą widzimy na wykresie? 0, S K < 0 C = max(s K, 0) = { = (S K)+ S K, S K > 0 Jeśli S-K<0: na rynku można kupić taniej niż wykorzystując opcję. Nie wykorzystujemy jej. Jeśli S-K>0: dzięki opcji kupujemy taniej o S-K. Wypłata sprzedawcy opcji (inaczej short call) jest symetryczna względem osi odciętych: max(s K, 0) 2. Zakupiona opcja sprzedaży (inaczej long put) Jak zapisać funkcję wypłaty, którą widzimy na wykresie? 0, K S < 0 P = max(k S, 0) = { = (K S)+ S K, K S > 0 Jeśli K-S<0: na rynku można sprzedać taniej niż wykorzystując opcję. Nie wykorzystujemy jej.
4 Jeśli K-S>0: dzięki opcji sprzedajemy drożej o K-S. Wypłata sprzedawcy opcji (inaczej short put) jest symetryczna: max(k S, 0) Do zapamiętania: wypłaty z opcji na wykresie poniżej (w pierwszym wierszu opcje kupna, w drugim sprzedaży, w pierwszej kolumnie pozycja długa (zakup opcji), w drugiej kolumnie pozycja krótka (sprzedaż opcji)). Sprzedający opcję w terminie zapadalności ma zdecydowanie mniej atrakcyjny profil wypłaty. Wynika to za faktu obowiązku wypłaty na żądanie kupującego. Kosztem dla kupującego jest jednak cena, którą musi za to prawo zapłacić. Sytuacja jest pod pewnymi względami podobna do ubezpieczenia ubezpieczyciel w najlepszych okolicznościach nie wypłaci ubezpieczenia, a w gorszych wypłaci; takie zobowiązanie ubezpieczyciela wymaga jednak zapłaty w momencie zawierania umowy. Podobnie jest z opcjami. 3.zakładka Terminologia ITM, ATM oraz OTM Terminologia ITM, ATM oraz OTM Zależnie od tego, jaka jest bieżąca cena instrumentu względem kursu wykonania opcje nazywamy In- The Money (ITM), At-The-Money (ATM) lub Out-of-The-Money (OTM).
5 In-The-Money Gdyby opcja wygasła przy bieżącym kursie zostałaby wykonana (jej wartość w momencie wykonania byłaby dodatnia). Long call: S>K Long put: S<K At-The-Money W przybliżeniu kurs bieżący jest bliski kursowi wykonania, S=K. Zależnie od konwencji rynkowej i zastosowania opcja ATM to także opcja o kursie wykonania równym kursowi terminowemu, lub opcja o kursie wykonania dającym deltę równą zero w strategii straddle (szerzej o deltcie w modelu Blacka-Scholesa). Out-of-The -Money Gdyby opcja wygasła przy bieżącym kursie nie zostałaby wykonana (jej wartość w momencie wykonania byłaby równa zero, a wykonanie generowałoby stratę). Long call: S<K Long put: S>K 4.zakładka Parytet kupna-sprzedaży (put-call parity) Parytet kupna-sprzedaży (put-call parity) Parytet kupna sprzedaży mówi o tym jaka jest zależność między opcjami kupna I sprzedaży z tymi samymi kursami wykonania I terminem zapadalności. Jeśli byłaby inna możliwy byłby arbitraż (w oparciu o portfel statyczny, a nie dynamiczny, z którym zwykle mamy do czynienia przy opcjach; a więc prostszy i przez to bardziej wiążący). Tworzymy portfel π : +1 akcja (kupujemy), +1 opcja sprzedaży (kupujemy), - 1 opcja kupna (wystawiamy)
6 π = S t + P t C t Wypłata w terminie zapadalności: π T = S T + max(k S T, 0) max( S T K, 0) = K Wypłata jest pewna, więc powinna dawać stopę zwrotu równą stopie wolnej od ryzyka, a jej bieżąca wartość to: π = e r(t t) K Z pierwszego i powyższego równania otrzymujemy put-call parity: C t P t = S t e r(t t) K 5. zakładka Strategie opcyjnie Strategie opcyjnie: Składając z sobą cztery podstawowe opcje można uzyskiwać bardzo zróżnicowane wypłaty. Wiele z nich na trwale utrwaliło się w praktyce rynkowej i są przedmiotem handlu jako samodzielne produkty. Long STRADDLE(K,T) = long put(k,t) + long call(k,t)
7 Long STRANGLE(K1,K2,T) = long put(k-δ:otm,t) + long call(k+δ:otm,t) Risk Reversal(K1,K2,T) = short put(k-δ: OTM,T) + long call(k+δ:otm,t) Opcja binarna(k,t) = Long call(k-h,t) + Short call(k+h:otm,t)
8 Long Butterfly(K1,K2,T) = long call(k-δ: OTM,T)+ 2 x short call(k,t) + longcall(k+δ:otm,t) Ile powinna kosztować opcja? Problem portfela replikującego i ceny-niearbitrażowej: patrz moduł 2.
9 Moduł 2: Model dwumianowy Opiszemy prosty model rynku, którego realistyczność można łatwo zwiększyć nie zmieniając podstawowych założeń modelu. Początkowo rozważymy model jednookresowy z dwoma możliwymi stanami na końcu. Następnie założymy, że w ramach tego samego okresu istnieje wiele podokresów, a w każdy z nich może być opisany modelem jednookresowym. W ten sposób otrzymamy drzewo oparte o model dwumianowy. Wizualnie można te modele przedstawić następująco: Model jednookresowy Model wielookresowy 1.zakładka Jednookresowy model dwumianowy założenia Jednookresowy model dwumianowy założenia Rozpatrujemy tylko dwa punkty w czasie: t0 (w skrócie 0) oraz T Dwa instrumenty na rynku: Pozbawiona ryzyka obligacja zerokuponowa B(0,T), która jest także utożsamiana z rachunkiem bankowym i daje deterministyczny dochód: B(0, T) = DF(0, T) = 1/(1 + Lr) gdzie L = (0, T) Akcja obarczone ryzykiem, której wartość (cena) w chwili obecnej jest znana: S 0 nie przynosi dochodu w okresie [0,T] i ma losową wartość (cenę) w T:
10 S T = { S 0U z prawdopodobieństwem "p" S 0 D z prawdopodobieństwem "1 p" gdzie 0 < D < U. Dla uproszczenia analizy czynimy następujące założenia, które można uchylać: Drzewo się rekombinuje, tzn. U D = 1 (kolejność zdarzeń wzrost:spadek lub spadek:wzrost nie ma znaczenia, co upraszcza analizę) Wolna od ryzyka stopa procentowa jest stała w czasie (moglibyśmy założyć, że zmienia się deterministycznie bądź losowo, na podobnej zasadzie jak wartość ryzykownego aktywu na drzewie, z tym że końcowe wypłaty z B we wszystkich stanach wynoszą 1) Skala wzrostów U i spadków D jest stała w czasie (dzięki temu prawdopodobieństwa martyngałowe na wszystkich gałęziach są takie same; moglibyśmy założyć, że się zmieniają) Prawdopodobieństwo (obiektywne) wzrostów i spadków jest stałe w czasie Wszystkie powyższe założenia można uchylać przybliżając model do rzeczywistości (kosztem pewnego skomplikowania) 2.zakładka Jak używamy modelu? Jak używamy modelu? Chcąc używać modelu w praktyce znacząco zwiększa się liczbę podokresów dla zadanego odcinka czasu. Chcąc przeanalizować np. wartość opcji o 1-miesięcznym terminie zapadalności i danym kursie wykonania K możemy przyjąć, że liczba podokresów to 1000, oczywiście odpowiednio przeskalowując wielkość zmiany w górę U oraz w dół D. W granicznym przypadku, gdy liczba okresów dąży do nieskończoności otrzymujemy model Blacka- Scholesa (1973) (model z czasem ciągłym). Pokazali to Cox, Ross i Rubinstein (1979), których wielookreoswy model dwumianowy studiujemy, a później przy mniej restrykcyjnych założeniach Hsia (1983). Jak dobieramy parametry U i D w modelu wielookresowym? Okazuje się, że choć na drzewie operujemy w kategoriach miary martyngałowej (wartość oczekiwana aktywu jest równa stopie wolnej od ryzyka), to zmienność cen aktywu w obydwu miarach
11 (martyngałowej i prawdziwej/subiektywnej) jest taka sama (wynika to z twierdzenia Girsanowa). Chcemy więc, by zmienność w modelu i zmienność rzeczywista były takie same. 3.zakładka Definicja portfela i arbitrażu Portfel rynkowy h definiujemy jako parę: h = (x, y) gdzie x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilość ryzykownego aktywu; x, y (, + ) Przykład: Portfel h=(-50,50): pożyczamy 50 i kupujemy 50 akcji Portfel h=(10,-50): sprzedajemy 50 akcji i składamy depozyt Wartość portfela w czasie t0: V 0 (h) = x + ys 0 Wartość portfela w czasie T jest zmienną losową zależną od Z: V T (h) = x(1 + Lr) + ys 0 Z L to operator przenoszący roczną stopę na czas trwania kontraktu Cena instrumentu pochodnego Π t (X) powinna być równa kosztowi jego replikacji, dokonywanej w oparciu o instrumenty bazowe: Π t (X) = V t (h) gdzie h = (x, y), x jest kwotą zainwestowaną w obligację, a y ilością ryzykownego aktywu, czyli V 0 (h) = x + S 0 y Instrument pochodny jest osiągalny jeśli: P(V T (h) = Π T (X)) = 1 Powyższe równanie mówi, że prawdopodobieństwo, że wypłaty z portfela replikującego będą równe wypłatom z instrumentu pochodnego jest równe jeden. Portfel h nazywamy replikującym, a h zabezpieczającym Aby instrument był osiągalny konieczne jest by:
12 V T (h) = { φ(s 0U) φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D" Portfel arbitrażowy to portfel rynkowy h(x,y) spełniający trzy warunki: Koszt jego utworzenia wynosi 0: V 0 (h) = 0 Na pewno nie przyniesie strat: P(V T (h) 0) = 1 Być może przyniesie zysk: P(V T (h) > 0) > 0 4.zakładka Sprawiedliwa cena portfel replikujący Sprawiedliwa cena nie jest równa wartości oczekiwanej wypłat Przyjmijmy, że znamy wszystkie parametry modelu (opisane na wykresie poniżej, gdzie zostały zaokrąglone do liczb całkowitych) i chcemy wycenić opcję kupna zapadająca za jeden okres z kursem wykonania 35,1, czyli równemu cenie bieżącej instrumentu. Dodatkowo wiemy, że r=3,6%. Opcja wypłaca max(s-k,0); dla stanu U wypłata wynosi 5,9, a dla stanu D wynosi 0. Jaka jest wartość oczekiwana wypłaty z opcji w terminie zapadalności? Wartość oczekiwana dana jest następującym wzorem, gdzie p oznacza prawdopodobieństwo, a x wypłatę: N E P (S T ) = p i x i = 0,7 5,9 + 0,3 0 = 4,13 i=1
13 Bieżąca wartość tej wypłaty zdyskontowana stopą wolna od ryzyka to 3,987 (tj. 4,13/1,036). Bieżąca wartość oczekiwanej wypłaty nie daje jednak nie-arbitrażowej ceny. Nie-arbitrażową cenę otrzymamy poprzez policzenie wartości oczekiwanej według innego rozkładu prawdopodobieństwa rozkładu, który zawiera w sobie zarówno prawdopodobieństwo obiektywne, jak i premię za ryzyko, które wpływają m.in. na bieżącą cenę instrumentu bazowego. Ten rozkład zwany jest miarą martyngałową lub miarą neutralną względem ryzyka. Dostrzeżenie, że możliwy jest arbitraż nie jest proste jeśli nie znamy formuły dającej nie-arbitrażową cenę. Przyjmując na razie bez znajomości tej ceny, że aktualna rynkowa cena 3,987 jest zbyt wysoka, zastanówmy się jak wyglądałby portfel arbitrażowy? Po pierwsze zauważmy, że jeśli bieżąca cena jest zbyt wysoka, to będziemy chcieć sprzedać po niej instrument pochodny. Jeśli go sprzedamy, to jednocześnie chcemy skonstruować portfel, który da nam identyczna wypłatę jak instrument pochodny, tylko po niższej cenie. Rozpatrujemy zatem portfel składający się z: (1) sprzedanego instrumentu pochodnego X T po cenie Π 0 (X T ), tj. opcji kupna (K=35.1), (2) Δ (w powyższym zapisie to zmienna y w portfelu) jednostek aktywu bazowego S 0, które mają stanowić zabezpieczenie pozycji opcyjnej jeśli kupimy 1 akcję na każdą opcję, to w 30% przypadków poniesiemy stratę (opcja pozostanie niewykonana, a my pozostaniemy z akcją wartą 29,84); jeśli nie kupimy żadnej akcji, to będziemy musieli kupować po 41,07, zamiast dzisiaj kupić po 35,1. Pozostaje więc pytanie ile musimy mieć dzisiaj akcji, by w pełni zabezpieczyć wypłatę? (3) pożyczki o wartości x pozwalającej po powiększeniu jej wartości o cenę instrumentu pochodnego zakupić odpowiednią ilość instrumentu podstawowego w punkcie 2. Koszt utworzenia portfela w czasie 0 wynosi: Wartość portfela w terminie zapadalności wynosi: V 0 (h) = S 0 -Π 0 (X T ) = x V T (h) = { S 0U -φ(s 0 U) S 0 D -φ(s 0 D) 41,07-5,9 V T (h) = { 29,84-0 w stanie"u" w stanie "D" w stanie"u" w stanie "D" Chcemy by portfel był pozbawiony ryzyka, tj. by jego wartość była taka sama niezależnie od stanu rynku. Oznacza to po prostu, że niezależnie od stanu portfel wypłaca zawsze to samo obligacja wolna od ryzyka wypłaca 1, więc jeśli portfel wypłaca zawsze np. 2,5, to możemy go potraktować jako 2,5 obligacje wolne od ryzyka i tak samo wycenić. Formalnie fakt, że niezależnie od stanu portfel wypłaca to samo zapiszemy jako równe wypłaty w każdym ze stanów: S 0 U -φ(s 0 U) = S 0 D -φ(s 0 D) 41,07-5,9 = 29,84
14 Z powyższego równania możemy obliczyć = y = 0,525. Oznacza to ilość instrumentu bazowego, którą musimy zakupić, by zreplikować wypłatę z instrumentu pochodnego. Powyższe obliczenia nie określają na razie jaka powinna być wartość x i w konsekwencji cena opcji. Zauważmy, że portfel w terminie zapadalności daje deterministyczny, pozbawiany ryzyka dochód (wypłata jest taka sama w każdym ze stanów) i dlatego jego przyszła wartość musi się równać cenie bieżącej powiększonej o stopę wolną od ryzyka, dając dochód równy osiąganemu z obligacji wolnej od ryzyka B(0,T): (1 + Lr f )V 0 (h) = V T (h) (1 + Lr f ) (S 0 -π(x 0 )) = S 0 U -φ(s 0 U) = S 0 D -φ(s 0 D) V T (h) = (1 + Lr f )x + S 0 Zy Z warunku opisującego wypłaty w każdym ze stanów: V T (h) = { φ(s 0U) φ(s 0 D) w stanie"u" w stanie "D" oraz z warunku mówiącego o wartości przyszłej portfela: V T (h) = (1 + Lr f )x + S 0 Zy wynika, że (przyrównujemy wartość przyszłą z drugiego równania z wypłatami z pierwszego dla każdego ze stanów): Rozwiązując układ równań otrzymujemy: (1 + Lr f )x + S 0 Uy = φ(s 0 U) (1 + Lr f )x + S 0 Dy = φ(s 0 D) 1 Uφ(S 0 D) Dφ(S 0 U) x = = 15,13 (1 + Lr f ) (U D) y = φ(s 0U) φ(s 0 D) S 0 (U D) = = 0,525 Określiliśmy skład portfela replikującego długa pozycję w opcji kupna, czyli zabezpieczającego krótką pozycję w opcji sprzedaży należy wziąć pożyczkę o wartości 15,13, sprzedać opcję i kupić za posiadaną kwotę akcję w wysokości 0,536 akcji na jeden kontrakt opcyjny. Przyjrzyjmy się, że rzeczywiście niezależnie od stanu nasz portfel w części złożonej z akcji i pożyczki da identyczna wypłatę jako opcja. W stanie U będzie to: (1 + Lr f )x + S 0 Uy = ( 15.13) ,17 0,525 = 5,9
15 czyli tyle samo co wypłata z opcji w stanie U. A w stanie D: (1 + Lr f )x + S 0 Dy = φ(s 0 D).036 ( 15.13) ,85 0,525 = 0 Czyli tyle samo co wypłata z opcji w stanie D. Pokazaliśmy tym samym, że portfel V(x,y) jest portfelem replikującym dla opcji, gdyż P(V(x,y)=V(opcji))=1. Aby zobaczyć, że jest możliwy arbitraż dla opcji kupna z kursem wykonania 35,1 i cenie równej 3,987 zauważmy jakie będą przepływy pieniężne. W czasie t0 mamy przypływ w postaci 15,13 z pożyczki i 3,987 z tytułu sprzedaży opcji i jednocześnie wydatek w wysokości 18,44 na zakup akcji. Przepływ pieniężny jest dodatni (15,13+3,987>18,44). Wyrażając to poprzez koszt utworzenia portfela w czasie t0 stwierdzamy, że koszt jego utworzenia jest ujemny i wynosi -0,68, tj. V 0 (h) = 0,68 W czasie T, czyli terminie zapadalności jak pokazaliśmy powyżej przepływy z pożyczki i akcji idealnie korespondują z wypłatami z opcji i wartość portfela w każdym momencie wynosi 0. W rezultacie w czasie t0 otrzymujemy 0,67, których nie musimy oddać w T to był arbitraż. We wprowadzeniu na temat portfela arbitrażowego mówiliśmy, że portfel arbitrażowy to taki, którego wartość w t0 jest równa zero, a w terminie zapadalności może przynieść zysk (V 0 (h) = 0, P(V T (h) 0) = 1, P(V T (h) > 0) > 0). Jak pogodzić to podejście z opisanym powyżej, gdzie portfel na początku ma wartość ujemną, a następnie 0? Zauważmy, że jeśli na początku pomniejszymy wartość pożyczki o 0,68, to wartość portfela wyniesie zero, a w terminie zapadalności wyniesie 0,68 powiększone o odsetki (których nie musieliśmy zapłacić). Tym samym V 0 (h) = 0, P(V T (h) 0) = 1, P(V T (h) > 0) > 0. Ile zatem powinna kosztować opcja, by arbitraż nie był możliwy? Koszt utworzenia portfela w czasie 0 wynosi: V 0 (h) = S 0 -Π 0 (X T ) Znamy już wartość pierwszego wyrazu S 0, co pozwoli nam obliczyć sprawiedliwą cenę opcji, czyli Π 0 (X T ). Zauważmy, że portfel w terminie zapadalności daje deterministyczny, pozbawiany ryzyka dochód i dlatego jego przyszła wartość musi się równać bieżącej powiększonej o stopę wolną od ryzyka, dając (dochód równy obligacji B(0,T): (1 + Lr f )V 0 (h) = V T (h) Rozwijając formułę i po prawej stronie wstawiając wypłatę w stanie U lub D (co jest obojętne, bo wynoszą tyle samo) otrzymujemy:
16 (1 + Lr f ) (S 0 -π(x 0 )) = S 0 U -φ(s 0 U) = S 0 D -φ(s 0 D) Rozwiązujemy powyższe równanie z uwagi na Π(X 0 ) otrzymujemy: 1 Π 0 (X T ) = S 0 (1 + r f ) (S 0U φ(s 0 U)) Używając naszego przykładu liczbowego: Π 0 (X T ) = 35,1 0, (41,07 0,525 5,9) = 3,31 Powyżej pokazaliśmy jaka powinna być cena instrumentu pochodnego używając argumentu replikacji. Instrument można także wycenić za pomocą tzw. miary martyngałowej lub miary neutralnej wobec ryzyka. Jeśli instrument jest replikowalny to istnieje tylko jedna miara martyngałowa; jeśli nie jest replikowalny to istnieje potencjalnie nieskończenie wiele miar, które mogłyby określić cenę instrumentu, a uczestnicy rynku decydują jak zawęzić ten zbiór i wybrać właściwą. Przyjrzyjmy się czym jest miara martyngałowa. 5.zakładka Sprawiedliwa cena miara martyngałowa i ceny przestrzeni stanów Po pierwsze zauważmy, że ceny nie odzwierciedlają prostej wartości oczekiwanej wypłat. W ekonomii przyjęło się zakładać, że cena p odzwierciedla oczekiwaną wartość wypłat x skorygowanych o tzw. stochastyczny czynnik dyskontujący m, który odzwierciedla wartość wypłat w poszczególnych stanach natury. Formalnie zapisujemy to jako: p = E(mx) Unaocznijmy to na przykładzie. Załóżmy, że mamy obecnie majątek W t0 o wartości 10 mln USD i w przyszłości możliwe są trzy scenariusze: P(W t+1 = 0) = 1%, P(W t+1 = W t0 ) = 98%, P(W t+1 = 2W t ) = 1%. Z równym prawdopodobieństwem możemy więc wszystko stracić, jak i podwoić. Oferuje nam się dwa instrumenty, z których jeden nazwiemy U, a drugi D. Instrument U wypłaca 10 mln USD kiedy nasz majątek wynosi 20 mln USD, a instrument D wtedy kiedy wynosi 0. Wartość oczekiwana wypłat z obydwu instrumentów jest oczywiście taka sama i wynosi 100 tys. USD, ale większość osób nie byłaby skłonna zapłacić za nie tyle samo. Zapłacilibyśmy więcej raczej za instrument D, gdyż każdy dolar w sytuacji gdy nic nie mamy jest więcej warto niż wtedy, gdy mamy już 20 mln USD. Oznacza to, że czynnik m jest wyższy od 1 dla scenariusza negatywnego i niższy od 1 dla scenariusza pozytywnego. Pozostawiając ekonomiczne wyprowadzenie czynnika m z funkcji użyteczności na boku, jako niezwiązane bezpośrednio z naszym problemem pokażmy, że powyższe równanie można przedstawić na co najmniej dwa inne sposoby:
17 1. Ceny przestrzeni stanów (ceny Arrow-Debreu, state prices) p(x) = sp(s)x(s) 2. Miara martyngałowa (equivalent martingale measure, risk-neutral measure) Ceny przestrzeni stanów p(x) = 1 1+r f E Q (x) gdzie π Q (s) = R f sp(s) Niech S będzie zmienną losową opisującą przyszłe stany natury, a s ich realizacjami. Instrument Arrow-Debreu wypłaca 1 jeśli wystąpi stan s i 0 w przeciwnym wypadku. Cena takiego instrumenty to sp(s). Ile kosztuje instrument, który wypłaca x(s)? Zdefiniujmy sp(s) = m(s)π(s). Zauważmy, że jest to po prostu cena instrumentu A-D dla stanu s (w którym wypłaca 1 i 0 w pozostałych), policzona zgodnie ze wzorem p = E(mx): cena(sp(s)) = E P (mx) = π i x i m i = m(s) π(s) 1 Wtedy dla instrumentu wypłacającego w różnych stanach jego cena będzie po prostu suma cen wszystkich instrumentów A-D, z których się on składa: N i=1 p(x) = π(s)m(s)x(s) = sp(s)x(s) Cena aktywu jest sumą cen składających się na niego instrumentów A-D; inżynieria finansowa wydobywa ceny AD z cen rynkowych. Pokażmy to na przykładzie omawianego przez nas wcześniej rynku w modelu dwumianowym. Ten rynek możemy zapisać jako: Innymi słowy: [ 0,965 35,1 ] = [ ] [sp(d) sp(u) ] 0,965 = 1 sp(d) + 1 sp(u) 35,1 = 41 sp(d) + 30 sp(u) Mamy układ dwóch liniowo niezależnych równań z dwiema niewiadomymi, ma on zatem tylko jedno rozwiązanie. Gdyby okazało się, że liczba stanów (kolumn) była większa niż liczba liniowo niezależnych instrumentów (wierszy; liniowo niezależne to takie, które nie są sobie równe po pomnożeniu przez dowolną liczbę jeśli są liniowo zależne, to de facto oznacza to, że jeden instrument jest wielokrotnością drugiego i nie wnosi nic nowego), to równanie byłoby nieoznaczone i nie moglibyśmy jednoznacznie określić cen instrumentów A-D. W naszym przypadku możemy i wynoszą one:
18 [ sp(d) sp(u) ] = [ ] 1 [ ] [ sp(d) sp(u) ] = [ ] Zwrócimy uwagę, że ceny A-D są złożeniem prawdopodobieństwa p dla danego stanu i czynnika dyskontującego m dla danego stanu; ze wzoru: mamy, że p = E(mx) sp(s) = m(s) π(s) 1 gdyż instrument wypłaca 1 tylko w jednym stanie i zero w pozostałych, dlatego wartość oczekiwana jego wypłaty to iloczyn p i m dla danego stanu. Powyżej byliśmy w stanie wydobyć tą cenę nie znając ani jednak z tych wartości. Było to możliwe z uwagi na zupełność rynku liczba niezależnych instrumentów była równa liczbie stanów (dwa równania, dwie niewiadome). Zdefiniujmy teraz miarę martyngałową zwaną także miarą neutralna wobec ryzyka. Zdefiniujmy q(s) jako: q(s) = R f m(s)π(s) = R f sp(s) = sp(s)/e(m) q(s) spełnia aksjomaty prawdopodobieństwa: jest wszędzie dodatnie, mniejsze/równe 1 i sumuje się do 1 Zapiszmy równanie dla ceny jeszcze raz: p = sp(s)x(s) = 1 R f q (s)x(s) = EQ (x) R f Cena równa się zdyskontowanej wartości oczekiwanej (liczonej wg nowej miary prawdopodobieństwa, zwanej miarą martyngałową i oznaczanej literą q) Nazywa się ją także ekwiwalentną miarą martyngałową, gdyż deflując ceny ryzykownych aktywów ceną obligacji : p(x) = E Q ( x ) 1 + r f zmienna p jest martyngałem, tj. wartość oczekiwana (wg martyngałowej miary prawdopodobieństwa oznaczanej Q, w przeciwieństwie do miary obiektywnej oznaczanej P) równa się bieżącej. Zaletą korzystania z cen A-D czy miary martyngałowej jest to, że obydwie wielkości zawierają w sobie zarówno prawdopodobieństwo jak i premię za ryzyko (choć w nieznanych proporcjach) i możemy ich używać do wyceny dowolnych instrumentów.
19 W uproszczeniu można to przedstawić następująco: 6.zakładka Sprawiedliwa cena miara martyngałowa: przykład Prześledźmy proces wydobywania miary martyngałowej z cen na naszym przykładzie i zastosujmy go do wyceny opcji. Wiemy, że:
20 S 0 = 1 R f E Q (X T ) Czy możemy znaleźć takie wartości prawdopodobieństwa dla których cena bieżąca będzie równa zdyskontowanej wartości oczekiwanej przyszłych cen? Te nowe prawdopodobieństwa zawierałyby łączny wpływ obiektywnego prawdopodobieństwa i premii za ryzyka różnych stanów. Szukamy takich q(u, D) by: S 0 = 1 R f E Q (S T ) = 1 R f (q(u)s 0 U + q(d)s 0 D) Uprościmy zapis q(u) = q U pamiętając, że q(u) = 1 q(d) 35.1 = (qu 35,1 1,17 + (1 q U ) 35,1 0,85) Dzielimy obie strony przez S 0, mnożymy przez 1 + r f : 1 + r f = q U U + (1 q U ) D q U = (1 + r f) D U D q D = 1 (1 + r f) D U D = = U (1 + r f) U D 1,036 0,85 1,17 0,85 = 0,58 Mając prawdopodobieństwa martyngałowe możemy wycenić opcję: = 1,17 1,036 1,17 0,85 = 0,42 X 0 = 1 R f E Q (X T ) C 0 = 1 R f (q U C T (U) + q D C T (D)) Jak wcześniej policzyliśmy q U = 0,58 a q D = 0,42 C 0 = 1 1,036 (qu 5,9 + q D 0) C 0 = 1 (0,58 5,9 + 0,42 0) = ,036 czyli tyle samo co przy analizie opartej o portfel replikujący.
Inżynieria Finansowa: 5. Opcje
Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE wiecień 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Amounts outstanding of assets and derivatives Derivatives Derivatives Note:
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa: 6. Wycena martyngałowa, dynamiczna replikacja i model dwumianowy
Inżynieria Finansowa: 6. Wycena martyngałowa, dynamiczna replikacja i model dwumianowy Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Kwiecień 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Wycena pochodnych:
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa: 5. Opcje
Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE Listopad 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Opcje - typy Opcja jest asymetrycznym instrumentem. Opcja (standardowa, prosta,
Bardziej szczegółowoOpcje - wprowadzenie. Mała powtórka: instrumenty liniowe. Anna Chmielewska, SGH,
Opcje - wprowadzenie Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony wcześniej kurs terminowy. W dniu rozliczenia transakcji terminowej forward:
Bardziej szczegółowoR NKI K I F I F N N NSOW OPCJE
RYNKI FINANSOWE OPCJE Wymagania dotyczące opcji Standard opcji Interpretacja nazw Sposoby ustalania ostatecznej ceny rozliczeniowej dla opcji na GPW OPCJE - definicja Kontrakt finansowy, w którym kupujący
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Bardziej szczegółowoistota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe
Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony
Bardziej szczegółowoOpcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii).
Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). 1 Mała powtórka: instrumenty liniowe Takie, w których funkcja wypłaty jest liniowa (np. forward, futures,
Bardziej szczegółowoINSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE
INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)
Bardziej szczegółowoANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu
Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania
Bardziej szczegółowoInwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.
Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem
Bardziej szczegółowoZatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1
Model Rynku z czasem dyskretnym n = 0,1,2, S 1 (n), S 2,, S m (n) - czas - ceny m aktywów obciążanych ryzykiem (akcji) w momencie : dodatnie zmienne losowe. - cena aktywa wolnego od ryzyka (obligacji)
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoWycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy
Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives
Bardziej szczegółowoOPCJE WALUTOWE. kurs realizacji > kurs terminowy OTM ATM kurs realizacji = kurs terminowy ITM ITM kurs realizacji < kurs terminowy ATM OTM
OPCJE WALUTOWE Opcja walutowa jako instrument finansowy zdobył ogromną popularność dzięki wielu możliwości jego wykorzystania. Minimalizacja ryzyka walutowego gdziekolwiek pojawiają się waluty to niewątpliwie
Bardziej szczegółowoOPCJE FINANSOWE, W TYM OPCJE EGZOTYCZNE, ZBYWALNE STRATEGIE OPCYJNE I ICH ZASTOSOWANIA DARIA LITEWKA I ALEKSANDRA KOŁODZIEJCZYK
OPCJE FINANSOWE, W TYM OPCJE EGZOTYCZNE, ZBYWALNE STRATEGIE OPCYJNE I ICH ZASTOSOWANIA DARIA LITEWKA I ALEKSANDRA KOŁODZIEJCZYK OPCJE Opcja jest umową, która daje posiadaczowi prawo do kupna lub sprzedaży
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoSprzedający => Wystawca opcji Kupujący => Nabywca opcji
Opcja walutowa jest to umowa, która daje kupującemu prawo (nie obowiązek) do kupna lub sprzedaży instrumentu finansowego po z góry ustalonej cenie przed lub w określonym terminie w przyszłości. Kupujący
Bardziej szczegółowoForward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).
Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS
Inżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Marzec 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka sprzedaż/pożyczka
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Z/S Premia (P) np. 100 Kurs wykonania opcji (X) np. 2500 Punkt opłacalności X + P 2500+100=2600 WIG20 2 Kupno opcji Profil wypłaty dla
Bardziej szczegółowoOpcje giełdowe. Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu
Opcje giełdowe Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu NAJWAŻNIEJSZE CECHY OPCJI Instrument pochodny (kontrakt opcyjny), Asymetryczny profil wypłaty, Możliwość budowania portfeli o różnych profilach
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoWycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek
Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,
Bardziej szczegółowo1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu
Przykład 1 Przedsiębiorca będący importerem podpisał kontrakt na zakup materiałów (surowców) o wartości 1 000 000 euro z datą płatności za 3 miesiące. Bieżący kurs 3,7750. Pozostałe koszty produkcji (wynagrodzenia,
Bardziej szczegółowoWarszawska Giełda Towarowa S.A.
OPCJE Opcja jest prawem do kupna lub sprzedaży określonego towaru po określonej cenie oraz w z góry określonym terminie. Stanowią formę zabezpieczenia ekonomicznego dotyczącego ryzyka niekorzystnej zmiany
Bardziej szczegółowoStrategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego
Strategie inwestowania w opcje Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Opcje giełdowe Zabezpieczenie portfela Spekulacja Strategie opcyjne 2 Opcje giełdowe 3 Co to jest opcja? OPCJA JAK POLISA Zabezpieczenie
Bardziej szczegółowoOpcje jako uzupełnienie portfela inwestycyjnego
Opcje jako uzupełnienie portfela inwestycyjnego forex, wszystkie towary, rynki giełda w jednym miejscu Istota opcji Łac. optio- oznacza wolna wola, wolny wybór Kontrakt finansowy, który nabywcy daje prawo
Bardziej szczegółowoOpcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego
Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Analiza Portfela współczynnik Beta (β) Opcje giełdowe wprowadzenie Podstawowe strategie opcyjne Strategia Protective
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoOpcje. Dr hab Renata Karkowska; Wydział Zarządzania UW
Opcje 1 Opcje Narysuj: Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Profil wypłaty dla nabywcy opcji sprzedaży. Profil wypłaty dla wystawcy opcji kupna. Profil wypłaty dla wystawcy opcji sprzedaży. 2 Przykład
Bardziej szczegółowoĆwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym. Opcje Strategie opcyjne
Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Opcje Strategie opcyjne 1 Współczynniki greckie Współczynniki greckie określają o ile zmieni się kurs opcji w wyniku zmiany wartości poszczególnych
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy
Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy Piotr Bańbuła Katedra Rynków i Instytucji Finansowych, KES Październik 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka
Bardziej szczegółowoNajchętniej odwraca pozycję. Ale jeśli nie może, to replikuje transakcję przeciwstawną. strategie opcyjne
Opcje (2) delta hedging strategie opcyjne 1 Co robi market-maker maker wystawiający opcje? Najchętniej odwraca pozycję Ale jeśli nie może, to replikuje transakcję przeciwstawną SGH, Rynki Finansowe, Materiały
Bardziej szczegółowoistota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe
Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). 1 Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony
Bardziej szczegółowoOpcje. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Opcje Ćwiczenia ZPI 1 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Z/S Premia (P) np. 100 Kurs wykonania opcji (X) np. 2500 Punkt opłacalności X + P 2500+100=2600 WIG20 2 Kupno opcji Profil wypłaty
Bardziej szczegółowoOpcje na akcje. Krzysztof Mejszutowicz Dyrektor Działu Rynku Terminowego GPW
Opcje na akcje. Krzysztof Mejszutowicz Dyrektor Działu Rynku Terminowego GPW Warszawa, 14 maja 2014 Czym są opcje indeksowe (1) Kupno opcji Koszt nabycia Zysk Strata Możliwość inwestowania na wzrost lub
Bardziej szczegółowoOpcje (2) delta hedging strategie opcyjne. Co robi market-maker wystawiający opcje? Najchętniej odwraca pozycję
Opcje (2) delta hedging strategie opcyjne 1 Co robi market-maker wystawiający opcje? Najchętniej odwraca pozycję Ale jeśli nie może, to replikuje transakcję przeciwstawną SGH, Rynki Finansowe, Materiały
Bardziej szczegółowoOpcje (2) delta hedging strategie opcyjne
Opcje (2) delta hedging strategie opcyjne 1 Co robi market-maker wystawiający opcje? Najchętniej zawiera transakcję przeciwstawną. Ale jeśli nie może, to ją replikuje. Dealer wystawił opcję call, więc
Bardziej szczegółowoOpcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:
Jesteś tu: Bossa.pl Opcje na WIG20 - wprowadzenie Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoOPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20
OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973
Bardziej szczegółowoOpcje. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Opcje Ćwiczenia ZPI 1 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Z/S Premia (P) np. 100 Kurs wykonania opcji (X) np. 2500 Punkt opłacalności X + P 2500+100=2600 WIG20 2 Kupno opcji Profil wypłaty
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami
Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia 2005 Rozwiązania zadań Wersja z dnia marca 2005, z drobnymi poprawkami Uwaga: Dla uproszczenia we wszelkich obliczeniach przyjęliśmy, że długość n-miesięcznego
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa: 9. Wartość opcji i model Blacka-Scholesa w praktyce
Inżynieria Finansowa: 9. Wartość opcji i model Blacka-Scholesa w praktyce Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE Czerwiec 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Wypłata Wypłata Opcja binarna 0
Bardziej szczegółowoUniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Ekonomii, Zarządzania i Turystyki Katedra Ekonometrii i Informatyki
Wydział Ekonomii, Zarządzania i Turystyki Katedra Ekonometrii i Informatyki http://keii.ue.wroc.pl Analiza ryzyka transakcji wykład ćwiczenia Literatura Literatura podstawowa: 1. Kaczmarek T. (2005), Ryzyko
Bardziej szczegółowoOPCJE NA GPW. Zespół Rekomendacji i Analiz Giełdowych Departament Klientów Detalicznych Katowice, luty 2004
OPCJE NA GPW Zespół Rekomendacji i Analiz Giełdowych Departament Klientów Detalicznych Katowice, luty 2004 CO TO JEST OPCJA, RODZAJE OPCJI Opcja - prawo do kupna, lub sprzedaży instrumentu bazowego po
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowo4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu
.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater
Bardziej szczegółowoOpcje Giełdowe. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW
Opcje Giełdowe Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW Warszawa, 7 maja 2014 Czym są opcje indeksowe (1) Kupno opcji Koszt nabycia Zysk Strata Prawo, lecz nie obligacja, do kupna lub sprzedaży instrumentu
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoStrategie Opcyjne. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW
Strategie Opcyjne Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW Warszawa, 21 maj 2014 Budowanie Strategii Strategia Kombinacja dwóch lub większej liczby pozycji w opcjach, stosowana w zależności od przewidywanych
Bardziej szczegółowoPowtórzenie. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Powtórzenie Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Średnia wartość stopy zwrotu dla wszystkich spółek finansowych wynosi 12%, a odchylenie standardowe 5,1%. Rozkład tego zjawiska zbliżony jest do rozkładu normalnego.
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoOpcje podstawowe własności.
Opcje podstawowe własności. Opcja jest to rodzaj umowy między dwoma podmiotami i jednocześnie instrument finansowy. Opcje kupna (call) dają posiadaczowi prawo do kupienia określonego w umowie aktywa (bazowego)
Bardziej szczegółowoOpcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options).
Opcje na GPW (I) Opcje (ang. options) to podobnie jak kontrakty terminowe bardzo popularny instrument notowany na rynkach giełdowych. Ich konstrukcja jest nieco bardziej złożona od kontraktów. Opcje można
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoZarządzanie portfelem inwestycyjnym
Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Dr hab. Renata Karkowska Strategie opcyjne Opcje egzotyczne 2 Współczynniki greckie Współczynniki greckie określają, o ile zmieni się kurs opcji w wyniku zmiany wartości
Bardziej szczegółowo3.1 Analiza zysków i strat
3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione
Bardziej szczegółowoCharakterystyka i wycena kontraktów terminowych forward
Charakterystyka i wycena kontraktów terminowych forward Profil wypłaty forward Profil wypłaty dla pozycji długiej w kontrakcie terminowym Long position Zysk/strata Cena spot Profil wypłaty dla pozycji
Bardziej szczegółowoZadania przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa
Zadania przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa Rozpisywanie przepływów gotówkowych, zabezpieczanie, spekulacja: 1. Za 9 miesięcy musisz zapłacić za wycieczkę 1500 EUR. Posiadasz konto
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik
Bardziej szczegółowoOPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A.
OPCJE Slide 1 Informacje ogólne definicje opcji: kupna (call)/sprzedaŝy (put) terminologia typy opcji krzywe zysk/strata Slide 2 Czym jest opcja KUPNA (CALL)? Opcja KUPNA (CALL) jest PRAWEM - nie zobowiązaniem
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoInżynieria Finansowa: 2. Ceny terminowe i prosta replikacja
Inżynieria Finansowa: 2. Ceny terminowe i prosta replikacja Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Marzec 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zadanie z ostatniego wykładu: ustal cenę terminową
Bardziej szczegółowoOPCJE FOREX NA PLATFORMIE DEALBOOK 360
OPCJE FOREX NA PLATFORMIE DEALBOOK 360 Inwestuj na rynku i zabezpieczaj swoje pozycje z wykorzystaniem opcji walutowych, najnowszego produktu oferowanego przez GFT. Jeśli inwestowałeś wcześniej na rynku
Bardziej szczegółowoStochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa
Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Błądzenie losowe................................ 1 1. Proces Wienera................................. 1.3
Bardziej szczegółowoOPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A.
OPISY PRODUKTÓW Rabobank Polska S.A. Warszawa, marzec 2010 Wymiana walut (Foreign Exchange) Wymiana walut jest umową pomiędzy bankiem a klientem, w której strony zobowiązują się wymienić w ustalonym dniu
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym
Ćwiczenia ZPI 1 Short Long Strategie (struktury opcyjne) mechanizm osiągnięcia zysku ze złożenia ze sobą prostych opcji. Zbudowanie odpowiedniej struktury pozwoli uszyć na miarę strategię dla inwestora,
Bardziej szczegółowoWzory matematyka finansowa
Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoStrategie opcyjne. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym
Strategie opcyjne Ćwiczenia ZPI 1 Strategie opcyjne cel stosowania Strategie (struktury opcyjne) mechanizm osiągnięcia zysku ze złożenia ze sobą prostych opcji. Zbudowanie odpowiedniej struktury pozwoli
Bardziej szczegółowoOPCJE WARSZTATY INWESTYCYJNE TMS BROKERS
OPCJE WARSZTATY INWESTYCYJNE TMS BROKERS Możliwości inwestycyjne akcje, kontrakty, opcje Akcje zysk: tylko wzrosty lub tylko spadki (krótka sprzedaż), brak dźwigni finansowej strata: w zależności od spadku
Bardziej szczegółowoWycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne
Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym
Prof. UJ dr hab. Andrzej Szopa Instytut Spraw Publicznych Uniwersytet Jagielloński Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym Ryzyko finansowe rozumiane jest na ogół jako zjawisko rozmijania
Bardziej szczegółowoZagadnienia przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa w semestrze zimowym 2013/2014
Zagadnienia przygotowujące do egzaminu z wykładu Inżynieria Finansowa w semestrze zimowym 2013/2014 Jakie warunki musi spełniać strategia inwestycyjna, by z teoretycznego punktu widzenia móc nazwać ją
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowoOPCJE - PODSTAWY TEORETYCZNE cz.1
OPCJE - PODSTAWY TEORETYCZNE cz.1 Opcja to prawo do kupna instrumentu bazowego po cenie, która jest z góry określona - głosi definicja opcji. Owa cena, które jest z góry określona to tzw. cena wykonania
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoKontrakty terminowe na GPW
Kontrakty terminowe na GPW Czym jest kontrakt terminowy? Umowa między 2 stronami: nabywcą i sprzedawcą Nabywca zobowiązuje się do kupna instrumentu bazowego w określonym momencie w przyszłości po określonej
Bardziej szczegółowoSTOPA DYSKONTOWA 1+ =
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 8
Ćwiczenia 8 Opcja jest to umowa między nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą), dająca nabywcy prawo do kupna (opcja kupna) lub sprzedaży (opcja sprzedaży) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym
Bardziej szczegółowoOznaczenia dla nazw skróconych dla opcji na WIG20 są następujące:
1. Dla której z poniższych opcji na WIG20 właściwe jest oznaczenie OW20U1310: a) Opcja sprzedaży, wygasająca we wrześniu 2010 roku z kursem wykonania 1300 pkt., b) Opcja kupna, wygasająca we wrześniu 2011
Bardziej szczegółowoOpcje walutowe. Strategie inwestycyjne i zabezpieczające
Opcje walutowe Strategie inwestycyjne i zabezpieczające Praktyczne zastosowanie opcji Tomasz Uściński X-Trade Brokers Dom Maklerski S.A. Uniwersytet Warszawski, 8 grudnia 2006 r. www.xtb.pl 1 Przykład
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoNAJWAŻNIEJSZE CECHY OPCJI
ABC opcji NAJWAŻNIEJSZE CECHY OPCJI Instrument pochodny, Asymetryczny profil wypłaty, Możliwość budowania portfeli o różnych profilach wypłaty, Dla nabywcy opcji z góry znana maksymalna strata, Nabywca
Bardziej szczegółowo8. Zarządzanie portfelem inwestycyjnym za pomocą instrumentów pochodnych Zabezpieczenie Spekulacja Arbitraż 9. Charakterystyka i teoria wyceny
8. Zarządzanie portfelem inwestycyjnym za pomocą instrumentów pochodnych Zabezpieczenie Spekulacja Arbitraż 9. Charakterystyka i teoria wyceny kontraktów terminowych Kontrakty forward FRA 1 Zadanie 1 Profil
Bardziej szczegółowoPowtórzenie II. Swap, opcje. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Powtórzenie II Swap, opcje 1 Zadanie 1. Firma ABC posiada kredyt inwestycyjny w Banku A o zmiennym oprocentowaniu opierającym się na WIBOR 3M na kwotę 50 mln PLN. Firma zawarła z Bankiem B jednoroczny
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Z/S Kurs wykonania Opcji (X) Premia (P) Punkt opłacalności X + P WIG20 2 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji sprzedaży. Z/S
Bardziej szczegółowo