Artykuł przedstawia w zarysie problematykę inŝynierii finansowej, wyjaśniając podstawowe pojęcia, takie jak:

Transkrypt

1 InŜynieria finansowa Prof. Leszek S. Zaremba Autor jest wykładowcą w POU WyŜsza Szkoła Zarządzania / Polish Open University wprowadza do programu nauczania wykład poświęcony inŝynierii finansowej, przeznaczony zarówno dla studentów studiów licencjackich, jak i magisterskich / MBA. Publikowany artykuł przybliŝa tę stosunkowo nową w Polsce problematykę i terminologię, jaką powinny znać osoby, chcące zajmować się np. finansowaniem przedsięwzięć gospodarczych, analizą instrumentów pochodnych rynku finansowego, metodami wyceny tych instrumentów oraz sposobami ich wykorzystywania w zarządzaniu ryzykiem finansowym. Artykuł przedstawia w zarysie problematykę inŝynierii finansowej, wyjaśniając podstawowe pojęcia, takie jak: portfel replikujący, hedging (czyli osłona ryzykownej pozycji na rynku finansowym, w którą weszliśmy ), cena niearbitraŝowa, oraz rynek finansowy bez arbitraŝu. Tej nowej problematyce poświęcone są studia magisterskie na kilku wybranych uczelniach angielskich. Są one z reguły kilka razy droŝsze niŝ pozostałe studia magisterskie ze znanych wcześniej specjalizacji o podobnym profilu, takich jak finanse, rachunkowość, zarządzanie, marketing itp. Dla uproszczenia prezentacji przyjmijmy, iŝ mamy do czynienia z rynkiem finansowym, na którym dostępne są tylko 4 płynne papiery wartościowe (p.w.), a mianowicie: oraz akcje firmy A, bon skarbowy, opcja kupna jutro akcji firmy A za cenę realizacji 1,50 zł, inna opcja kupna jutro tej samej akcji po cenie realizacji 1 zł. Jutro oznacza pewien znany nam moment w przyszłości. Co więcej, zakładamy dla uproszczenia, Ŝe rynek moŝe znajdować się w jednym z 3 stanów, których prawdopodobieństwa zajścia równe są odpowiednio 1/2, 1/6, 1/3. W stanach tych akcja firmy A przyjmować moŝe odpowiednio następujące wartości: 3 zł, 2 zł, 1 zł, zaś bon przyjmuje 1 zł we wszystkich 3 stanach rynku finansowego. Łatwo jest obliczyć, Ŝe opcja kupna akcji po 1,50 zł, zwana dalej opcją #1, przyjmuje następujące wartości w wymienionych wyŝej 3 stanach rynku: 1,50 zł, 0,50 zł oraz 0 zł (gdy cena akcji równać się będzie 1 zł). Z kolei opcja kupna akcji firmy A po 1 zł, zwana dalej opcją #2, warta będzie 2 zł, 1 zł oraz 0 zł w 3 wymienionych stanach rynku. Na wykładzie z inŝynierii finansowej, który WyŜsza Szkoła Zarządzania / Polish Open University zamierza wprowadzić, rozwiąŝemy wiele przykładów ilustrujących tę problematykę. Znajdą się wśród nich następujące zadania.

2 Zadanie 1. Na podstawie powyŝszych danych: (a) znajdź portfel składający się z pewnej ilości akcji, bonów i opcji #1, który replikuje opcję #2, czyli wykonaj tzw. gamma hedging; (b) wyznacz cenę niearbitraŝową opcji #2 wiedząc, Ŝe dzisiejsza cena akcji firmy A wynosi 1,30 zł, zaś bon kosztuje 0,90 zł; (c) znajdź najlepszą osłonę (hedging) opcji #1 przy pomocy akcji i bonów w sensie najmniejszego oczekiwanego błędu kwadratowego, czyli wykonaj tzw. delta hedging. Zwykle tego typu (i bardziej złoŝone) zagadnienia rozwiązywane są przy uŝyciu skomplikowanego aparatu matematycznego, jakim są stochastyczne równania róŝniczkowe. Z uwagi na wyjątkowe trudności związane z jego opanowaniem tylko kilka najlepszych uczelni świata, w tym Imperial College of London (który w ostatnim rankingu The Times znalazł się na 5. miejscu w świecie) zdecydowało się posługiwać się tym aparatem na kierunku finanse. Celem tego artykułu jest przekonanie Czytelników, Ŝe sporą część tej skomplikowanej problematyki moŝna przedstawić w sposób całkowicie zrozumiały za pomocą macierzy i wektorów, czyli aparatu algebry liniowej, który jest prezentowany w POU w ramach wykładu pt. Matematyka w ekonomii i zarządzaniu. Tak więc nasz rynek finansowy moŝemy zobrazować w postaci następującej tablicy: stan rynku prawdop. stanu akcji bonu opcji #1 opcji #2 I 0, ,50 2,00 II 0, ,50 1,00 III 0, ,00 0,00 Jeszcze prościej moŝna zapisać powyŝszy rynek finansowy za pomocą jednej macierzy 3 4, tzn. macierzy o 3 wierszach i 4 kolumnach, a mianowicie: 3 1 1,5 2 A = 2 1 0, pamiętając, Ŝe kaŝdy wiersz przedstawia wartości wszystkich 4 p.w. w jednym stanie rynku, zaś kaŝda kolumna reprezentuje wartości konkretnego p.w. we wszystkich 3 stanach rynku. Jak w takim razie zapisywać będziemy portfele? Jako kolumny. Jak będziemy odczytywać wartości portfeli? Jako współrzędne kolumny będącej iloczynem macierzy i wektora (szczegóły poznamy na wykładzie InŜynieria finansowa ). Jaka jest rola inŝyniera finansowego? InŜynier finansowy ma za zadanie sprzedać klientowi dowolny p.w. b = (b 1, b 2,..., b m ), który klient chciałby posiadać, przy czym papier ten nie występuje na rynku. Tak więc, wystawiając taki szczególny p.w. b, inŝynier finansowy (np. specjalistyczny bank) wchodzi w ryzykowną pozycję, gdyŝ zobowiązuje się zapłacić jutro b i zł w stanie rynku i, przyjmując, Ŝe na rynku moŝliwych jest m stanów (w naszym przykładzie m = 3). Przez hedging rozumiemy wystawienie p.w. b = (b 1, b 2,..., b m ), który płaci b i zł w stanie rynku i z jednoczesnym kupnem przez inŝyniera finansowego takiego portfela x = (x 1, x 2,..., x n ) na

3 rynku płynnych p.w., którego wypłaty w kaŝdym stanie rynku są jak najbardziej bliskie wypłatom b i. Gdy wypłaty z x = (x 1, x 2,..., x n ) pokrywają się z wypłatami z b = (b 1, b 2,..., b m ), to mówimy, iŝ udało się nam zrealizować hedging doskonały. Definicja 1. b = (b 1, b 2,..., b m ) nazwiemy zbytecznym p.w., jeŝeli daje się on w pełni odtworzyć = zreplikować za pomocą płynnych p.w. Definicja 2. Rynek finansowy, na którym kaŝdy p.w. jest zbyteczny, a więc da się zupełnie odtworzyć, nazwiemy rynkiem zupełnym. W przeciwnym przypadku będziemy mieć do czynienia z rynkiem niezupełnym (w praktyce rynki finansowe są niezupełne). Jak zobaczymy na wykładzie z inŝynierii finansowej, podstawową rolę w naszej analizie odgrywać będzie rząd macierzy oraz umiejętność wyznaczenia maksymalnej ilości liniowo niezaleŝnych kolumn. Niech S = (s 1, s 2,..., s n ) T będzie wektorem cen n płynnych p.w. obecnych na rynku, tzn. s 1 oznacza cenę pierwszego p.w., s 2 cenę drugiego p.w. itp., zaś x = (x 1, x 2,..., x n ) niech będzie portfelem składającym się z x 1 sztuk pierwszego p.w., x 2 sztuk drugiego p.w. itp. Wówczas jest ceną, za którą moŝna kupić portfel x. Definicja 3. Powiemy, Ŝe na rynku finansowym moŝliwy jest arbitraŝ typu I, jeśli istnieje taki portfel x = (x 1, x 2,..., x n ) bazowych p.w., Ŝe (a) S T, x> 0; (b) Ax 0; (c) Ax 0. Warunek (a) oznacza, Ŝe nic nie płacimy za x = (x 1, x 2,..., x n ), a moŝe nawet otrzymujemy pieniądze z tytułu jego posiadania, (b) mówi, iŝ w kaŝdym stanie rynku wypłata z tego portfela jest nieujemna, zaś (c), Ŝe przynajmniej w jednym stanie dostaniemy wypłatę większą od zera. Przykład 1. Niech rynek finansowy składa się tylko z akcji firmy A oraz z bonów, przy czym zarówno akcja jak i bon kosztują po 1 zł. W języku macierzowo-wektorowym zapisujemy to następująco: wektor cen dany jest wzorem S = (s 1, s 2 ) T = (1, 1) T, zaś poniŝsza macierz A przedstawia rynek wszystkich p.w. 3 1 A = Aby wskazać arbitraŝ typu I, wystarczy wziąć pod uwagę portfel x = (x 1, x 2 ) = (1, -1), czyli kupno 1 akcji i krótką sprzedaŝ 1 bonu skarbowego, co spowoduje, Ŝe koszt tego portfela wyniesie 0 zł, a więc warunek (a) zostanie spełniony. Pozostałe dwa warunki (b) i (c) są równieŝ prawdziwe, poniewaŝ iloczyn macierzy A przez portfel x = (1, -1) T równa się (2, 1, 0) T. Przykład 2. Niech rynek będzie dany przez 3 poniŝsze p.w., których ceny wynoszą odpowiednio 2 zł, 0,90 zł i 0,10 zł. PokaŜemy, Ŝe portfel (-20, 30, 20) generuje arbitraŝ typu I.

4 3 1 1,5 A = 2 1 0, Portfel ten kosztować będzie -20 (2 zł) + 30 (0,90 zł) + 20 (0,10 zł) = -11 zł!, podczas gdy wypłaca on nieujemne kwoty we wszystkich stanach rynku. Rzeczywiście, poniewaŝ Ax = (0, 0, 10) T, to wypłata z tego portfela wynosi 0 zł, 0 zł, 10 zł. Definicja 4. Powiemy, Ŝe na rynku finansowym moŝliwy jest arbitraŝ typu II, jeśli istnieje taki portfel x = (x 1, x 2,..., x n ) bazowych p.w., Ŝe (a) <S T, x> < 0; (b) Ax = 0. Warunek (a) oznacza, Ŝe dostajemy pieniądze z tytułu posiadania portfela x = (x 1, x 2,..., x n ), który jutro wart będzie 0 zł w kaŝdym stanie rynku. MoŜna pokazać, Ŝe wśród bazowych p.w. przynajmniej 1 papier jest zbędny oraz Ŝe jest on błędnie wyceniony, tzn. albo jest tańszy albo droŝszy niŝ portfel, który go replikuje w 100%. Przykład 3. RozwaŜmy jeszcze raz nasz początkowy rynek finansowy 3 1 1,5 2 A = 2 1 0, przy czym wektor cen S = (2, 1, 1, 2) T, tzn. 1 akcja kosztuje 2 zł, bon 1 zł, opcja #1 kosztuje 1 zł a opcja #2 kosztuje 2 zł. PoniewaŜ czwarta kolumna powyŝszej macierzy reprezentująca opcję #2 da się w 100% zreplikować za pomocą 1 akcji i 1 bonu, będąc wynikiem odejmowania kolumny drugiej od pierwszej, to portfel x = (1, -1, 0, -1) kosztować będzie na takim rynku -1 zł, przy czym spełniona będzie równość Ax = 0, co oznacza, Ŝe ma tu miejsce arbitraŝ typu II. Co więcej, wśród bazowych p.w. moŝna wskazać zbędny papier, mianowicie opcję #2, która jest błędnie wyceniona, gdyŝ kosztuje 2 zł, podczas gdy portfel ją replikujący kosztuje 1 zł = 2 zł (cena akcji) -1 zł (cena bonu). Na wykładzie omawiana będzie jeszcze waŝna kwestia, jak w prosty sposób rozstrzygać, czy dany rynek finansowy dopuszcza arbitraŝ, czy nie dopuszcza. Odpowiedź na to pytanie uzyskamy w twierdzeniu o arbitraŝu. Trudniejszym zadaniem okaŝe się wyznaczanie cen niearbitraŝowych dla nieistniejących p.w., które jakikolwiek klient chce kupić. Okazuje się, Ŝe w wielu przypadkach takich cen niearbitraŝowych moŝe być wiele! WaŜną rolę w procedurach ich wyznaczania odgrywać będą tzw. prawdopodobieństwa neutralne względem ryzyka. Będziemy rozwiązywać wiele waŝnych i ciekawych zadań, między innymi następujące: Zadanie 2. ZałóŜmy, Ŝe na rynku finansowym moŝliwe są 4 stany i 3 płynne p.w., które przyjmują następujące wartości: (1, 0, 0,1), (0, 1, 2, 0) oraz bon o wartościach (3, 3, 3, 3), przy czym ceny tych p.w. wynoszą odpowiednio 1/3 zł, 1/2 zł i 2 zł. (a) jaka jest stopa zwrotu bez ryzyka na tym rynku finansowym? (b) Czy na tym rynku moŝliwy jest arbitraŝ? (c) Czy ten rynek finansowy jest zupełny? (d) Oblicz neutralne względem ryzyka prawdopodobieństwa 4 powyŝszych stanów rynku.

5 (e) Jaką cenę niearbitraŝową moŝe przyjąć p.w. (1,2,0,1)? Czy ta cena jest wyznaczona jednoznacznie?