Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż

Transkrypt

1 Inżynieria Finansowa: 1. Wprowadzenie: zasady wyceny, spekulacja, arbitraż Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Październik 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa

2 Zajęcia Ocena końcowa: Egzamin 100% (Wykłady, praca własna z literaturą, rozwiązanie zadań i zagadnień w Niezbędniku) Literatura: Salih Neftci Principles of Financial Engeneering, Elsevier (rozdziały 1-15) Weron i Weron Inżynieria Finansowa Kontakt (w tym sprawie konsultacji): pbanbu@sgh.waw.pl Materiały: Poza wykładami należy zaznajomić się z zamieszczonymi zagadnieniami i zadaniami do rozwiązania

3 Funkcje systemu finansowego Przekazywanie i alokacja zasobów na przestrzeni: czasu (kredyty, fundusze emerytalne) i przestrzeni (globalne rynki finansowe) Mobilizacja oszczędności umożliwiająca realizację większych projektów (fundusze inwestycyjne) Wycena i dostarczanie informacji o wartości spółek i poszczególnych instrumentów (na rynku akcji, obligacji) Zarządzanie i dywersyfikacja ryzyka (w tym poprzez wytwarzane instrumenty, w tym instrumenty pochodne) Rozliczanie płatności (pieniądz, systemy płatności detaliczne (Elixir) i hurtowe (SORBNET)) i tym samym ułatwienie handlu.

4 Inżynieria finansowa Celem inżynierii finansowej jest przede wszystkim: Wycena instrumentów (pochodnych) Szacowanie ryzyka Wycena ryzyka Zarządzanie ryzykiem Tworzenie nowych instrumentów Wszystkie powyższe działania są powiązane

5 Problemy do rozwiązania Za sześć miesięcy chcemy wziąć pożyczkę na 10 mln zł i już dzisiaj chcemy ustalić obowiązującą stopę procentową (kontrakt terminowy/fra) Za rok dostaniemy 10 mln EUR; chcemy już dzisiaj ustalić kurs wymiany na PLN (kontrakt terminowy) Płacimy odsetki zmienne od kwoty 100 mln PLN przez 10 lat. Chcemy je zamienić na odsetki stałe ile powinny wynieść? (IRS) Chcemy mieć możliwość kupienia za rok akcji Google za 1000 USD/akcje. Ile powinniśmy zapłacić za to prawo? (opcja) Chcemy wiedzieć za ile będziemy mogli sprzedać 10 tys. ton naszego zboża za rok (kontrakt terminowy)

6 Wielkość rynku instrumentów podstawowych i pochodnych Derivatives Derivatives Note: Trillions of US dollars as of 2011/2012. Source: BIS, World Bank

7 Wątpliwości I view derivatives as time bombs, both for the parties that deal in them and the economic system. Basically these instruments call for money to change hands at some future date, with the amount to be determined by one or more reference items, such as interest rates, stock prices, or currency values. For example, if you are either long or short an S&P 500 futures contract, you are a party to a very simple derivatives transaction, with your gain or loss derived from movements in the index. Derivatives contracts are of varying duration, running sometimes to 20 or more years, and their value is often tied to several variables. The derivatives genie is now well out of the bottle, and these instruments will almost certainly multiply in variety and number until some event makes their toxicity clear. Warren Buffet, 2002

8 Zrozumienie Zrozumienie jakie przepływy w jakich okolicznościach generuje instrument. Jeśli tego nie wiem nie kupuję (i tym bardziej nie wyceniam). Jeśli to wiem, mogę starać się wycenić instrument. Wyceniając instrument muszę mieć świadomość, że stosuję szereg założeń, które nie zawsze są spełnione w rzeczywistości. Im większe mam wątpliwości w danej sytuacji, tym bardziej ostrożni powinniśmy być kupując i sprzedając dany instrument.

9 Dwa podejścia w wycenie Dwa podejścia do problemu wyceny: Instrumenty podstawowe, których nie można odtworzyć z innych instrumentów (akcje, obligacje, kurs walutowy), To domena ekonomii finansowej - odwołuje się do funkcji preferencji i użyteczności, oczekiwań, technologii Instrumenty pochodne (derywaty), które można odtworzyć za pomocą podstawowych i których cena zależy od podstawowych To domena matematyki finansowej wycenia instrumenty biorąc część cen (tj. instrumentów bazowych) jako dane Inżynieria finansowa jest obszarem zastosowań matematyki finansowej oraz metod ilościowych, w tym statystyki i programowania

10 Cena = wartość oczekiwana wypłat? Zgromadziliśmy 10 mln PLN majątku: W t =10 mln Czego spodziewamy się w przyszłości? P W t+1 = 0 = 1% P W t+1 = W t = 98% P W t+1 = 2W t = 1% Stany natury i przypisane im prawdopodobieństwa 1% 98% 1% Wypłaty

11 Cena = wartość oczekiwana wypłat? Oferuje się nam instrumenty U i D, gdzie U wypłaca 10 mln w pozytywnym scenariuszu, a D 10 mln w negatywnym. Stany natury i przypisane im prawdopodobieństwa 1% 98% 1% Wypłaty D Pytanie: Czy za instrument U i D bylibyśmy skłonni zapłacić tyle samo? U

12 Risk-neutral valuation - intuicja Ceny A-D miara risk-neutral Wypłata Cena = Prawdopodobieństwo Użyteczność, czynnik dyskontujący 3.5 Źródło: Opracowanie własne

13 Plan wykładu Podstawowe pojęcia, statyczna replikacja Zasada braku arbitrażu w ujęciu statycznym Ceny terminowe Stopy procentowe Swapy Opcje Dynamiczna replikacja, wycena w oparciu o miary martyngałowe Model rynku i procesu cenowego Model dwumianowy Wycena opcji i model Blacka Scholesa Miary martyngałowe Symulacja Monte Carlo Praktyka

14 Arbitraż w ekonomii finansowej (teoretyczny) To portfel rynkowy h(x,y) spełniający trzy warunki: Koszt jego utworzenia wynosi 0: Czytaj: Wartość na początku wynosi 0 Na pewno nie przyniesie strat: V 0 h = 0 P(V T h 0) = 1 Czytaj: Wartość na końcu jest na pewno nieujemna Być może przyniesie zysk: P(V T h > 0) > 0 Czytaj: Wartość na końcu może być dodatnia Z niczego może my wytworzyć nieograniczone bogactwo bez żadnego ryzyka (tzw. money pump)

15 Zasada wyceny instrumentów pochodnych 1. Odtwórz schemat przepływów pieniężnych dla wycenianego instrumentu pochodnego 2. Zastanów się jakie instrumenty podstawowe są w stanie dać identyczny schemat przepływów (wyeliminuj równoważące się przepływy). 3. Jeśli przepływy1=przepływy2 Przepływy z punktu 2 określają ceny terminowe (w przeciwnym wypadku mamy dwa identyczne produkty o różnych cenach arbitraż).

16 Wycena pochodnych - Przykład 1 Akcja Bieżąca cena akcji notowanej na giełdzie to S t = 100 PLN. Stopa, po których możemy aktualnie pożyczać i lokować to 5% Uważamy, że w ciągu roku cena wzrośnie do 125 PLN (wartość oczekiwana E(S t+1 ) = 125 ). Akcja dawałyby więc stopę oczekiwaną stopę zwrotu: E(r t+1 ) = E(S t+1) S t 1 = 25% E(R t+1 ) = E(S t+1) S t = 1,25 Nie mamy teraz gotówki, ale możemy kupić akcję w transakcji terminowej: dziś ustalamy cenę, po której kupimy bądź sprzedamy papier w terminie zapadalności umowy. Jaką cenę w transakcji terminowej powinniśmy zaakceptować? Rozpiętość cen?

17 Przykład 1 - c.d. Prawdopodobne przedziały cen akcji w przyszłości < % 10% 20% 40% 15% 10% Po jakiej cenie bylibyśmy skłonni kupować, jeśli E(S)=125? Cena terminowa 125? Cena terminowa 120? Cena terminowa 110? Cena terminowa 105? Cena terminowa 100?

18 Przykład 1 - c.d. Prawdopodobne przedziały cen akcji w przyszłości < % 10% 20% 40% 15% 10% Po jakiej cenie bylibyśmy skłonni kupować, jeśli E(S)=125? Cena terminowa 125? Cena terminowa 120? Cena terminowa 110? (Załóżmy ) Cena terminowa 105? Cena terminowa 100?

19 Przykład 1 c.d. Cena terminowa to 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie rocznej 5%. t PLN: pożyczka t1

20 Przykład 1 c.d. Cena terminowa 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie rocznej 5%. Za uzyskane środki kupuje akcje. t PLN: pożyczka -100 PLN: zakup akcji t1

21 Przykład 1 c.d. Cena terminowa 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie 5%. Za uzyskane środki kupuje akcje. Trzyma je przez rok. t PLN: pożyczka -100 PLN: zakup akcji t1

22 Przykład 1 c.d. Cena terminowa 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie 5%. Za uzyskane pieniądze kupuje akcje. Trzyma je przez rok. Sprzedaje Państwu te akcje po 110. t PLN: pożyczka t PLN: sprzedaż akcji -100 PLN: zakup akcji

23 Przykład 1 c.d. Cena terminowa 110. Co zrobi druga strona? Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy. Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie 5%. Za uzyskane pieniądze kupuje akcje. Trzyma je przez rok. Sprzedaje Państwu te akcje po 110. Spłaca pożyczkę, która z odsetkami wynosi 105. t PLN: pożyczka t PLN: sprzedaż akcji -100 PLN: zakup akcji -105 PLN: spłata pożyczki Zostaje 5 PLN za każde 100 PLN.

24 Przykład 1 podsumowanie t PLN: pożyczka t PLN: sprzedaż akcji -100 PLN: zakup akcji -105 PLN: spłata pożyczki Jaki jest koszt portfela na początku? =Zero. V 0 h = 0 Czy mogła stracić? Nie (abstrahujemy od ryzyka kredytowego kontrahenta). P(V T h 0) = 1 Czy mogła zyskać? Tak, niezależnie od okoliczności 5 PLN. P(V T h > 0) > 0 To był arbitraż (przeprowadzony niestety na nas, a nie przez nas). Wycena pochodnych jest oparta o zasadę braku arbitrażu.

25 Cena terminowa Ile powinna wynosić ustalona dziś cena terminowa? Tyle ile dziś kosztuje stworzenie portfela, który w przyszłości daje taką samą wypłatę co instrument terminowy (zawsze i w każdych warunkach). Ten portfel kupujemy dziś i pozostaje niemodyfikowany aż do terminu zapadalności. Ta strategia to statyczna replikacja.

26 Replikacja - schemat Pożyczka w wysokości S(t) po stopie r(t,t) +S(t) PLN t T -[S(t)+r(t,T)S(T)] PLN Zakup akcji na rynku kasowym po cenie bieżącej S(t) t T 1 akcja -S(t) PLN W rezultacie w czasie T: (i) mamy akcję, (ii) płacimy koszt pożyczki t T 1 akcja -[S(t)+r(t,T)S(T)] PLN

27 Nie-arbitrażowa cena terminowa Cena terminowa dla akcji nie przynoszącej dochodu w trakcie trwania kontraktu: F t,t = S t f(r t, T, T t)) Cena terminowa na okres T Cena bieżąca Narosłe odsetki od pożytki w okresie (T-t) Przykład: cena bieżącą 100, okres 1Y, stopa procentowa 5% F t,t = % = 105 Przykład: cena bieżącą 100, okres 2Y, stopa procentowa per annum 5% F t,t = % 2 = 110,25

28 Replikacja i arbitraż Wnioski: Jeśli cena terminowa nie odzwierciadla kosztu stworzenia portfela, który w przyszłości daje tę samą ilość instrumentu bazowego, to możliwy jest arbitraż. Jeśli cena terminowa jest wyższa niż koszt replikacji zakupu: Replikujemy kupno aktywu bazowego na termin i jednocześnie sprzedajemy go w transakcji terminowej Jeśli cena terminowa jest niższa niż koszt replikacji zakupu: Replikujemy sprzedaż aktywu bazowego na termin i jednocześnie kupujemy go w transakcji terminowej

29 Spekulacja, zabezpieczanie, arbitraż Spekulacja Zwiększamy naszą ekspozycję na pewne ryzyko np. kurs walutowy, stopę procentową, ceny akcji tym samym zwiększamy niepewność co do przyszłych wypłat, ale liczymy, że przyniesie nam to zysk (choć może także straty) Zabezpieczenie (hedging) Zmniejszamy (eliminujemy) naszą ekspozycję na pewne ryzyko i tym samym zmniejszamy (eliminujemy) zmienność wypłat (stają się one niemal pewne). Pozbywamy się możliwości zysku, ale i straty. Arbitraż Kupujemy i sprzedajemy papiery, które dają identyczne wypłaty, ale mają różne ceny osiągamy zysk nie ponosząc ryzyka. Sprawiedliwa wycena, w tym wycena derywatów, ma sprawiać, że do takich sytuacji nie dochodzi.

30 Spekulacja, zabezpieczanie, arbitraż Spekulacja Długa pozycja Krótka pozycja Zabezpieczenie (hedging) Efekt netto=0 Pierwotna długa pozycja Pierwotna krótka pozycja Zabezpieczenie Efekt netto=0 Zabezpieczenie Arbitraż Efekt netto>0 1 pozycja Efekt netto>0 2 pozycja 2 pozycja 1 pozycja

31 Przykład 2 Zabezpieczenie pozycji Zabezpieczenie przed ryzykiem Dane: Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5% Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4% Za rok będziemy potrzebować 1 mln PLN na inwestycje weźmiemy kredyt Nie wiemy jak zmienią się stopy procentowe i nie chcemy na to spekulować. Czy możemy przeprowadzić transakcję, która sprawi, że koszt kredytu (oprocentowanie depozytu) ustalimy dziś i będzie ono niezależne od tego co stanie się w przyszłości?

32 Przykład 2 Weźmy pożyczkę na 2Y, a uzyskane pieniądze złóżmy na 1Y depozyt Co w ten sposób otrzymujemy? Syntetyczny roczny kredyt za 1Y. Pytania: Jaką jest stopa naszego kredytu? Czy zależy od tego jakie będą stopy procentowe w przyszłości? t mln PLN: pożyczka +1,00mln PLN: depo t1 t mln PLN: depozyt -1,06 mln PLN: spłata pożyczki

33 Przykład 2 Jakiej wielkości musi być dzisiejszy depozyt, by za 1Y mieć 1 mln? X 1,04 = 1 X = 0.961mln Tyle musimy pożyczyć. Ile będziemy musieli spłacić za 2Y? X 1 + r 0,2 2 = = 1.06mln Ile wynosi stopa procentowa dla stworzonego przez nas kredytu? 1, mln = 1,06mln 1, mln = 1,0mln = 1,06 = R = 1 + r r = 6% t mln PLN: pożyczka +1,00mln PLN: depo t1 t mln PLN: depozyt -1,06 mln PLN: spłata pożyczki

34 Przykład 3 Wycena a zabezpiecznie Wycena i zabezpieczanie się Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5% Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4% Co by było, gdyby ktoś oferował stopę pożyczki 1Y za rok (1x2) w wysokości 5,5%? Podpowiedź: taka pożyczka jest relatywnie tania w stosunku do pożyczki/depozytu, który można (statycznie) zreplikować.

35 Przykład 3 c.d. +1 mln PLN: pożyczka t1-1,04 mln PLN: pożyczka t2 t1 t2 +1,10mln PLN: depozyt -1mln PLN: depozyt +1 mln PLN: pożyczka +1,04mln PLN: pożyczka +1,10mln t1 t2 PLN: depozyt -1mln PLN: depozyt -1,04 mln PLN: pożyczka -1,097 mln PLN: spłata pożyczki

36 Przykład 3 - c.d. Wycena, arbitraż i zabezpieczanie się Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5% Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4% Co by było, gdyby ktoś nam oferował stopę pożyczki 1Y za rok (1x2) w wysokości 5,5%? Zaciągamy tę pożyczkę (1x2) i syntetyzujemy depozyt 1x2: Zakładamy depozyt na 2Y i zaciągamy pożyczkę na 1Y Zarabiamy 2800 PLN przy umowach na 1 mln +1 mln PLN: pożyczka +1,04mln PLN: pożyczka +1,10mln t1 t2 PLN: depozyt -1mln PLN: depozyt -1,04 mln PLN: pożyczka -1,097 mln PLN: spłata pożyczki

37 Zasada wyceny instrumentów pochodnych 1. Odtwórz schemat przepływów pieniężnych dla wycenianego instrumentu pochodnego 2. Zastanów się jakie instrumenty podstawowe są w stanie dać identyczny schemat przepływów (wyeliminuj równoważące się przepływy). 3. Jeśli przepływy1=przepływy2 Przepływy z punktu 2 określają ceny terminowe (w przeciwnym wypadku mamy dwa identyczne produkty o różnych cenach arbitraż).

38 Ustal cenę terminową Akcja przynosząca dochód w postaci dywidandy Bieżąca cena akcji notowanej na giełdzie to S t = 100 PLN. Stopa, po których możemy aktualnie pożyczać i lokować to 5% Akcja przynosi dywidandę w wyokości 5 za pół roku Jako powinna być obecna cena terminowa na okres 1 roku? F 0,1Y =? Podpowiedź: przeanalizuj strategię replikującą