Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Definicje prawdopodobieństwa 1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa 1.1.1 Przykład 1.1.2 Rozwiązanie: 1.1.3 Inne rozwiązanie: 1.1.4 Jeszcze inne rozwiązanie: 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne 1.2.1 Przyklad Definicje prawdopodobieństwa Częstościowa definicja prawdopodobieństwa Niech eksperyment ma "równie prawdopodobnych" wyników : Jeśli zdarzenie określone jest przez podzbiór przestrzeni o liczebności to prawdopodobieństwo zdarzenia określamy jako Jak widać, w tej definicji wykorzystane jest definiowane pojęcie (w odniesieniu do "równie prawdopodobnych" wyników), co z punktu widzenia teorii jest niewątpliwie poważnym defektem. Można go uniknąć, wprowadzając prawdopodobieństwo jako liczbę spełniającą po prostu poniższe aksjomaty (aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa [1] ): jeśli A i B wykluczają się nawzajem, to Oznaczmy symbolem dopełnienie zdarzenia do przestrzeni. Wtedy (1) i (2) implikują:
czyli (Ten wniosek bywa dołączany jako czwarty aksjomat.) Ta definicja jest już formalnie poprawna, jednak nie dostarcza żadnego przepisu na sposób obliczania definiowanej wielkości, co uniemożliwia jej praktyczne zastosowanie. Z kolei różne od klasycznego, Bayesowskie podejście do statystyki określa prawdopodobieństwo jako miarę wiary w możliwość wystąpienia danego zdarzenia jego obliczanie również bywa niełatwe. Pojęcie prawdopodobieństwa leży u podstaw klasycznej teorii statystyki, stąd problemy z jego ścisłą definicją mogą rzucać cień na wiarę w jej spójność. Z drugiej strony, jak zauważa J.L. Simon: (...)dyskusja ta przypomina kontrowersje wokół pojęcia czasu (czym czas naprawdę "jest"), które powstrzymywały postęp w fizyce, dopóki Einstein nie powiedział, że czas powinniśmy zdefiniować po prostu jako to, co odczytuje się z zegara. Przykład Spróbujmy określić prawdopodobieństwo zdarzenia, że poprowadzona w sposób przypadkowy cięciwa okręgu będzie miała długość większą od promienia. Rozwiązanie: Jak "przypadkowo" poprowadzić cięciwę? Narysujmy dowolną prostą i wybierzmy na niej losowo punkt. Przez ten punkt prowadzimy prostopadłą, której punkty przecięcia z okręgiem będą wyznaczać cięciwy. Oczywiście nie wszystkie punkty na prostej dadzą prostopadłe, które będą miały w ogóle punkty wspólne z okręgiem tylko punkty z odcinka E H rys.%i 1. Z tych punktów graniczną cięciwę o długości równej promieniowi będzie wyznaczał punkt F, dla którego trójkąt AOB będzie równoboczny. Analogicznie z drugiej strony dla punktu G i trójkąta COD. Tak więc wszystkie punkty z odcinka EH będą generować cięciwy, a punkty z odcinka FG cięciwy dłuższe od promienia. Prawdopodobieństwo "wylosowania" cięciwy dłuższej niż promień będzie równe stosunkowi długości odcinka FG do EH. Jeśli pamiętamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego, łatwo znajdziemy jego wartość:. Jak poprowadzić
przypadkowo sposób pierwszy. Inne rozwiązanie: Wybieramy losowo punkt wewnątrz okręgu, i prowadzimy przez niego prostą prostopadłą do promienia przechodzącego przez ten sam punkt. Jak widać z rys.%i 2, prosta ta wyznaczy cięciwę dłuższą niż promień, jeśli punkt będzie położony w odległości mniejszej niż od środka. Wyznacza to wnętrze okręgu o promieniu, którego pole wyniesie (przyjmujemy jednostkowy promień,,dużego okręgu). Szukane prawdopodobieństwo jest stosunkiem tej wielkości do pola,,dużego okręgu, czyli wynosi. Jak poprowadzić przypadkowo sposób drugi. Jeszcze inne rozwiązanie: Wyznaczmy na okręgu punkt, z którego będziemy prowadzić cięciwy (punkt A na rys.%i 3). Parametrem określającym jednoznacznie cięciwę będzie kąt między styczną do okręgu w danym punkcie a jej kierunkiem, od do. Cięciwy o długości większej niż długość promienia będą wyznaczone przez kąty od do (trójkąty BOA i COA na rys.%i 3 są równoboczne). Stanowi to dwie trzecie zakresu kątów wyznaczających cięciwy, więc szukane prawdopodobieństwo wynosi. Jak poprowadzić przypadkowo sposób trzeci.
??? Co się nie zgadza? Przykład ten nie podważa bynajmniej idei geometrycznej interpretacji prawdopodobieństwa w ogóle; po prostu wynik zależy od przepisu na "przypadkowe" przeprowadzenie cięciwy każde z rozwiązań zakłada losowanie według równomiernego rozkładu innego parametru (położenia punktu na prostej, położenia punktu wewnątrz okręgu, kąta). Można więc powiedzieć, że problem nie został ściśle sformułowany. Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne Zapis oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia liczone w sytuacji, gdy mamy pewność wystąpienia zdarzenia. Odpowiada to w pewnym sensie wystąpieniu obydwu zdarzeń ( ), jednak prawdopodobieństwo tej sytuacji należy obliczać inaczej niż ). Przyklad Niech oznacza wyrzucenie szóstki, a wyrzucenie parzystej liczby oczek w rzucie kostką. Wtedy oznacza wyrzucenie szóstki,. Jednak jeśli bierzemy pod uwagę tylko te przypadki, w których wyrzucono parzystą liczbę oczek (2, 4 lub 6), to. Rozważmy ; dla dowolnego mamy bo oczywiście. Rozbijając przestrzeń wszystkich możliwych zdarzeń na część odpowiadającą zdarzeniu i pozostałą ( ), dostajemy: czyli prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw zajścia, jeśli zaszło również, oraz prawdopodobieństwa zajścia, jeśli nie zaszło. Jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie (wszak liczymy ), to drugi człon znika ( ). Aby uzyskać wzór na, pozostały człon musimy podzielić przez (aby dla było ): Jeśli wystąpienie zdarzenia nie ma żadnego wpływu na prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, czyli, to mówimy, że zdarzenia i są niezależne. Z (%i 5) wynika, że dla zdarzeń niezależnych A i B
1. Podana przez Kołmogorowa w roku 1933.