Temat IV
Pęd
UKŁAD IZOLOWANY p p =0 po pewnej chwili p1 k p2 k p1 k+ p2 k=0
Działo zostało wymierzone pod kątem = 30 0 do podłoża. W pewnej chwili wystrzelono pociski o masie 30kg z prędkością początkową 200m/s. Masa własna działa wynosi 300kg. Oblicz prędkość jaką uzyska działo w wyniku wystrzału. Zaniedbaj opory ruchu.
Ruch rakiety Siła ciągu Siłą ciągu (siłą odrzutu) nazywamy siłę jaka generowana jest przez silnik rakietowy Implus właściwy Impuls właściwy silnika rakietowego, to czas w jakim jednostka masy paliwa daje ciąg równy jednostce siły.
Silniki rakiet V-2, jakich Niemcy używali podczas drugiej wojny światowej, miały impuls właściwy (w tradycyjnych jednostkach) rzędu 230s. Czyli jeden kilogram spalonego paliwa mógł wytworzyć ciąg jednego kilograma siła przez 230 sekund. Współczesne silniki rakiet kosmicznych, spalające wodór i tlen mają impuls właściwy około 450s, co znaczy, że jeden kilogram takiego paliwa zapewnia ciąg jednego kilograma siła przez 450 sekund. Niestety, jak na potrzeby lotów kosmicznych to ledwie wystarcza.
Liczymy model po prawej, ale dla estetyki rysujemy model z lewej
Ruch rakiety dokładniej
Ponieważ czeka nas jedno całkowanie, iloczyny dwóch nieskończenie małych pomijamy
Skorzystamy teraz z faktu, że przyrost masy wyrzuconego paliwa jest równy wziętej ze znakiem minus zmianie masy rakiety.
Bardzo smutny rysunek Mc/MR to stosunek masy całej rakiety do masy rakiety pustej (po spaleniu paliwa). Wartość 20 oznacza że np. w stutonowej rakiecie mamy 95 ton paliwa. Prędkości przy liniach oznaczają prędkości wylotowe paliwa (dla paliwa chemicznego jest to ok. 4km/s), a prędkość v to prędkość uzyskana po spaleniu paliwa.
W rakietach chemicznych energia pochodzi ze spalania różnych mieszanek paliwowych. Do najbardziej wydajnych procesów należy spalanie wodoru w tlenie. Prędkość gazów w tym wypadku wynosi ok. 4500 m/s (impuls właściwy ok. 450s). To nie jest duża prędkość i z faktem tym wiążą się poważne problemy kosmonautyki. Nie za bardzo obecnie widać aby z chemii dało się wycisnąć wiele więcej, chyba że opanujemy technikę pobierania tlenu z powietrza, a nie z wewnętrznych zbiorników rakiety; taki silnik nazywany jest silnikiem przelotowym. W próbnych rozwiązaniach uzyskiwano, dla silnika przelotowego, impuls właściwy rzędu 1000s. Silniki te pracują efektywnie tylko w obszarze atmosfery, z której mogą pobierać tlen. Ale właśnie pierwsza faza lotu jest najbardziej krytyczna jeżeli chodzi o ilość spalonego paliwa. Rozwijane niegdyś termiczne jądrowe silniki rakietowe dawały nadzieję na impuls właściwy rzędu 900s, czyli dwa razy więcej niż rakiety chemiczne.
Przykładem wykorzystania silnika jonowego jest sonda Smart- 1 Europejskiej Agencji Kosmicznej Maksymalny ciąg silnika sondy wynosił 70mN (czyli był bardzo mały, w przybliżeniu siła ta jest równa sile z jaką siedmiogramowa kulka naciska na stół). Impuls właściwy to 5000s
Silnik odrzutowy
Działo bezodrzutowe SPG-9M
Katapulta bezodrzutowa Prawidłowa nazwa tych urządzeń to trebusz, a jeszcze dokładniej biffa lub blida
Szkic rzymskiej machiny miotającej Onager. Onager był machiną neurobalistyczną. Energię czerpano z mocno skręconej wiązki elastycznych lin (machina neurobalistyczna). Do napinania służył kołowrót z mechanizmem zapadkowym. Kamienne kula o masie 50 kg mogły być miotane na odległości ok. 350 metrów.
Układy współrzędnych W układzie współrzędnych x-y pęd nie jest zachowany!
Postulat Ciała te obiegają wspólny środek masy
Czy to nie genialne?
Nasz Wielki układ współrzędnych
Ale tam go nie ma
Zależność od układu współrzędnych
Aby stosować zasadę zachowania energii lub pędu musimy wybrać inercjalny układu współrzędnych i się go trzymać
Ponownie środek masy W układzie izolowanym
Zderzenia kul
Rozważania ogólne
Wystarczą dwa wymiary
Ruch dwóch zderzających się kul możemy zawsze sprowadzić do ruchu w płaszczyźnie
Definicja: Parametr zderzenia Tor kuli poruszającej się jest linią prostą. Odległość tej prostej od początku układu współrzędnych (od nieruchomej kuli) nazywamy parametrem zderzenia. Fakt : Jeżeli kule mają promienie r 1 i r 2 to zderzenie zajdzie tylko wtedy gdy b r 1 +r 2. W przeciwnym razie kule miną się bez zderzenia.
Rodzaje zderzeń Definicja: Zderzenie sprężyste (elastyczne) dwóch kul Mówimy, że zderzenie dwóch kul jest sprężyste kiedy zachowana zostaje energia kinetyczna tych kul. Definicja: Zderzenie niesprężyste (nieelastyczne) dwóch kul Mówimy, że zderzenie dwóch kul jest niesprężyste, kiedy energia kinetyczna tych kul nie jest zachowana. a. Zderzenia niesprężyste I rodzaju, w których energia kinetyczna kul, w wyniku zderzenia maleje (zderzenia endoenergetyczne) b. Zderzenia niesprężyste drugiego rodzaju, w których energia kinetyczna kul, w wyniku zderzenia rośnie (zderzenia egzoenergetyczne); zderzenia te są obecne w mikroświecie.
Definicja: Zderzenie centralne dwóch kul Zderzenie centralne dwóch kul ma miejsce wtedy, gdy parametr zderzenia wynosi zero; b=0. Definicja: Zderzenie niecentralne dwóch kul Zderzenie niecentralne dwóch kul ma miejsce wtedy, gdy parametr zderzenia jest różny od zera; b 0.
Zderzenie sprężyste Zasada zachowania pędu We współrzędnych Zasada zachowania energii W ogólnym przypadku nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie
Zderzenie sprężyste i centralne Zasada zachowania energii Zasada zachowania pędu Istnieje jednoznaczne rozwiązanie
Zderzenie całkowicie niesprężyste Zasada zachowania pędu We współrzędnych v x = m 1 v 1x + m 2 v 2x m 1 + m 2 v y = m 1 v 1y + m 2 v 2y m 1 + m 2 Istnieje jednoznaczne rozwiązanie
Dlaczego zderzenia niesprężyste zachowują pęd a niezachowują energii kinetycznej?
Wymagania Zasada zachowania pędu (zależność pędu i energii od wyboru układu odniesienia, układy inercjalne) Pęd środka masy Obieg ciał niebieskich wokół środka masy Zderzenia kul (klasyfikacja, parametr zderzenia, zastosowanie zasad zachowania)
Przykładowe pytanie Wskaż poprawne zdanie dotyczące zderzenia dwóch kul a) W przestrzeni zawsze można znaleźć tak płaszczyznę, że tory dwóch zderzających się kul mieszczą się w tej płaszczyźnie; b) Z zachowania energii kinetycznej możemy korzystać tylko w przypadku kul zderzających się sprężyście i centralnie; c) przy zderzeniach nieelastycznych możemy stosować zasadę zachowania pędu, w przypadku, gdy są to zderzenia centralne; d) Aby jednoznacznie rozwiązać zagadnienie zderzenia elastycznego niecentralnego musimy odwołać się do zasady zachowania masy.