Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011
Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów Metody analizy sygnału Do tej pory - analiza sygnału jako funkcji czasu/położenia, albo analiza spektralna - rozkład sygnału na składowe częstotliwościowe (o różnej zmienności) metody te działaja dla sygnałów stacjonarnych (spektrum nie jest zmienne w czasie) transformacja Fouriera - zakłada sygnał periodyczny lub jego kompletna znajomość w całej dziedzinie czasowej punkty spektrum częstotliwościowego - uśrednione po całej dziedzinie czasowej przykład ilustrujacy nieprzydatność transformaty Fouriera - liniowa modulacja częstotliwości: y(t) = sin(2πωt), ω = ω 0 + αt
Przykład - liniowa modulacja częstotliwości Sygnał czasowy, spektrum Fouriera 1 0.8 0.6 0.4 35 30 25 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 20 15 10 5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Transformata Wignera-Ville a
Potrzeba analizy czasowo-częstotliwościej W wielu zastosowaniach potrzebujemy analizy łacznej (czas i częstoliwość), by wydobyć informację zawarta w sygnale niestacjonarnym niestacjonarność - istota wielu sygnałów będacych przedmiotem naszego zainteresowania (n.p. mowa, sygnały medyczne (EEG, EKG), pomiary sejsmiczne, wibracje części masyn, przebiegi sygnałów elektrycznych, obrazy dwuwymiarowe celowe pobudzanie obiektów wymuszeniem niestacjonarnym celem ich identyfikacji (np. echografia impulsowa stosowana w goeofizyce, radiolokacji, diagnostyce medycznej) niestacjonarna modulacja częstotliwościowa i fazowa w telekomunikacji Wniosek - istnieje potrzeba analizy sygnałów, w której jednocześnie określamy jego własności czasowe i częstotliwościowe
Zasada analizy czasowo-częstotliwościej Cel łaczny opis sygnału jako funkcji czasu i częstotliwości Może być traktowana jako uogólnienie analizy fourierowskiej Standardowe podejście - rozkład sygnału na składowe x(t) = a k g k (t), a k = x(t)γk (t)dt k gdzie g k (t) - funkcje syntezy, funkcje γ k (t) - dualne do g k (t) funkcje analizy Funkcje bazowe g k (t) maja rozpinać cała przestrzeń określonego typu Moga być one: ortonormalne: g k (t)gl (t)dt = δ kl, (funkcje syntezy i analizy identyczne) liniowo niezależne, ale nie ortogonalne, funkcje analizy γ k (t) różne od g k (t), wyznaczone z warunku biortonormalności: g k (t)γl (t)dt = δ kl ; pozwala to na jednoznaczne określenie γ k (t)
Zasada analizy czasowo-częstotliwościej - c.d. dobór funkcji g k (t) i γ k (t) - zależny od typu analizowanego sygnału typowy wybór gdy sygnał stacjonarny - funkcje bazowe to stacjonarne oscylacje (o nieskoczonym nośniku) - n.p. funkcje sin(kω 0 t), cos(kωt) - nieskończenie ostra lokalizacja w częstotliwości, brak jakiejkolwiek lokalizacji w czasie gdy sygnał niestacjonarny - funkcje bazaowe to niestacjonarne oscylacje impulsowe o skończonym nośniku (np. funkcje używane w transformacie Gabora, Haara czy falkowej) własności lokalizacyjne - własność funkcji bazy - zależa od "rozciagłości" funkcji bazowych Ψ(t) w czasie i ich transformat Φ(ω) w częstotliwośći obszar pokryty przez pojedyncza funkcję bazową - kostka zadana przez przedziały P t i P ω - scentrowane wokół środków częstości Ψ(t) 2 i Φ(ω) 2
Lokalizacja w czasie i częstotliwości określenie kostki lokalizacji funkcji bazy funkcje bazowe - rodzimy funkcji o dobrej lokalizacji w czasie i częstotliwości (atomy czasowo-częstotliwościowe) kostki dla poszczególnych atomów powiny być rozłaczne i pokrywać cała przestrzeń czas-częstotliwość dobra lokalizacja - małe pole kostki czy możemy dowolnie zmniejszać powierzchnię kostki lokalizacji?
Transformacje bazy a lokalizacja Jak transformacje funkcji bazowych wpływaja na ich zdolność lokalizacji? przesunięcie w czasie o τ: Ψ (t) = Ψ(t τ), Φ (ω) = Φ(ω), rozmiary kostki bez zmian modulacja za pomoca e iω 0t : Ψ (t) = e iω0t Ψ(t), Φ (ω) = Φ(ω ω 0 ), rozmiary kostki bez zmian skalowanie funkcji Ψ (t) = Ψ(at) zmienia szerokości: P t = P t /a, P ω = ap ω Wnioski: pole kostki zachowane - cecha funkcji bazowej skalowanie - możliwość balansu rozdzielczości w czasie i częstotliwości
Zasada nieoznaczoności Jakie sa ograniczenia na wartość pola powierzchni kostki? Odpowiedź - zasada nieoznaczoności Heisenberga Niech f(t) - funkcja o skończonej energii, której transformata Fouriera jest też skończona N f norma funkcji f(t) (równa normie transformaty), zaś A 2 i B 2 - wariancje - miary średniokwadratowej szerokości czasowej i częstotliwościowej N f = + A 2 = 1 f + f(t) 2 dt = + F(ω) 2 dω t 2 f(t) 2 dt B 2 = 1 f + f 2 F(f) 2 df wtedy A B 1 4π, równość zachodzi tylko dla funkcji g(t) = (2α) 1/4 exp( απt 2 )
Konsekwencje zasady nieoznaczoności i skalowania dobra lokalizacja - małe pole kostki zasada nieoznaczoności: pole kostki P t P ω 1 4π potrzebujemy rodziny funkcji pokrywajacych cała przestrzeń czasowo-częstotliwościowa zazwyczaj - rodzina taka pochodzi z jednej funkcji prototypowej podlegajacej przesunieciom w czasie i częstotliwości skalowanie pozwala na zmianę kształtu kostek pokrycia w różnych rejonach przestrzeni różne strategie podziału przestrzeni określone jako różne szachownice czasowo częstotliwościowe
Dekompozycje TF wybór sposobu pokrycia (szachownicy) - dekompozycja TF podstawowe strategie: szachownica o takich samych polach (typowe dla STFT) niskie częstości: lepsza rozdzielczość częstotliwościowa, gorsza czasowa, wysokie częstości - na odwrót (typowe dla transformacji falkowych) sposób dekompozycji powinien być zsynchronizowany z rodzajem sygnału i celem analizy najlepiej, gdy istnieje możliwosć adaptacyjnego dopasowania do lokalnych cech sygnału przykłady funkcji bazowych (falki gaussowskie) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Transformacja Gabora Konstrukcja bazy wybór funkcji prototypowej g(t) (np. okno gaussowskie) kolejne funkcje bazowe g m,n (t) - przesuwanie funkcji prototypowej w czasie i częstotliwości g m,n (t) = g(t m t)e 2πi(n f)t Dekompozycja sygnału ciagłego: x(t) = + m,n= c m,n - współczynniki dekompozycji: c m,n = + c m,n g m,n (t) x(t)γ m,n(t)dt; γ m,n (t) = g(t m t)e 2πi(n f)t γ(t) - prototyp funkcji analizy, wyliczany z warunku biortonormalności wynikowa reprezentacja Gabora sygnału ciagłego: S x (mt,nf) = c m,n 2
Transformacja Gabora Konstrukcja bazy wybór funkcji prototypowej g(t) (np. okno gaussowskie) kolejne funkcje bazowe g m,n (t) - przesuwanie prototypu w czasie i częstotliwości g m,n (t) = g(t m t)e 2πi(n f)t Dekompozycja sygnału ciagłego: x(t) = + m,n= c m,n - współczynniki dekompozycji: c m,n = + c m,n g m,n (t) x(t)γ m,n (t)dt; γ m,n(t) = g(t m t)e 2πi(n f)t γ(t) - prototyp funkcji analizy, wyliczany z warunku biortonormalności wynikowa reprezentacja Gabora sygnału ciagłego: S x (mt,nf) = c m,n 2
Transformacja Gabora c.d. Dyskretna, okresowa transformata Gabora określona przez formułę dekompozycji: x(k) = współczynniki: M 1 N 1 m=0 n=0 k=0 c m,n g(k m M)W (n N)k L L 1 c m,n = x(k)γ (k m M)W (n N)k L gdzie W L = e 2πi/L, L = ( M)M = ( N)N założenia: x(k), g(k), γ(k) - sygnały okresowe o okresie L, M, N kroki w czasie i częstotliwości; g(k) - dowolne, γ(k) z warunku biortonormalności wybór M, N - różne pary g, γ, sygnał o długości L daje różne reprezentacje majace M widm N-punktowych
Transformacja Gabora c.d. Ważny parametr η = MN L gdy η = 1 - mamy minimalna wymagana ilość próbek próbkowanie krytyczne gdy η > 1 - nadpróbkowanie zazwyczaj próbkowanie krytyczne daje silnie oscylujace, nie posiadajace zwartego nośnika okno analizy γ(k) aby uzyskać dobra lokalizację czasowa konieczne nadpróbkowanie inne rozwiazanie - rzeczywiste reprezentacje TF Gabora różica - użycie modulacji rzeczywistej (a nie zespolonej) jako metody przesunięcia w częstotliwości rezultat - okna dualne lepiej zlokalizowane w czasi, mniej oscylacji nadpróbkowanie reprezentacji TF nie jest konieczne patrz - przykład numeryczny gabor.m
Krótkoczasowa transformata Fouriera (STFT) najprostsza z metod analizy czasowo-częstotliwościowej używa tylko jednego okna do syntezy i analizy w dziedzinie czasowej - SFTF równoważna wykonaniu prostego przekształcenia Fouriera na kolejnych porcjach sygnału wycinanych przez przesuwajace się okno wersja ciagła - definicja transformacji STFT T x (t, f) = + x(τ)γ (t τ)dτ + STFTx F (t, f) = e 2πift X(ν)Γ (ν f)dν gdzie: γ(t) - okno obserwacji, Γ(f) - jego widmo Fouriera synteza sygnału: x(t) = 1 + γ(0) STFT x(t, f)e 2πift możliwa również wersja dyskretna patrz - przykład numeryczny stft.m
Transformacja Wignera Ville a (WV) pełni wyróżniona rolę w analizie sygnałów niestacjonarnych, gdyż: idealnie odwzorowuje sygnał z liniowa modulacja częstotliwości (LFM) poprzez uśrednianie można z niej uzyskać inne reprezentacje jest reprezentacja o największej koncentracji energii w przestrzeni TF (ma najlepsza łaczn a zdolność rozdzielcza) poważny problem: dla sygnałów o innej modulacji niż liniowa (lub immych złozonych sygnałów szkodliwe pasożynicze interferencje pomiędzy różnymi składowymi własnymi widma koniecznosc lokalnego wygładzania definicja reprezentacji WV: S WV x (t, f) = S WV + x(t + τ/2)x (t τ/2) e 2πifτ dτ + X (t, f) = X(f + ν/2) X (f ν/2)e 2πiνt dν
Transformacja Wignera Ville a -c.d. w powyższych formułach x(t) - sygnał rzeczywisty s(t), lub tzw. sygnał analityczny (część rzeczywista = sygnałowi rzeczywistemu, część urojona - wynik transformaty Hilberta na s(t) powód problemów ze szkodliwa interferencja - mnożenie sygnału przez ten sam sygnał rezultat - nieliniowość reprezentacji WV S WV x1+x2 (t, f) = SWV x1 (t, f) + SWV x2 (t, f) + SWV x1,x2 (t, f) ostatni człon - tzw. widmo skrośne występuje równieź, gdy mamy tylko jeden sygnał
Transformacja Wignera Ville a -c.d. metody ograniczania efektów pasożytniczych stosowanie odpowiednio wysokiej częstości próbkowania modyfikacja równań określajacych metodę (dyskretna pseudoreprezentacja) patrz - przykład numeryczny wv.m
Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów - analiza falkowa ciagła transformacja falkowa zadajemy tzw. falkę syntetyzujac a g(t) i prostopadła do niej falkę analizujac a γ(t) wielkości G(f), Γ(f) - ich transformaty Fouriera definicje transformat falkowych: CWTx T (t, a) = 1 + ( a ) x(τ)γ( τ t a )dτ CWTx F 1 + (t, a) = X(f)Γ (af)e 2πift df ( a ) dla falek - naturalny sposób prezentacji to wykres czas skala item CWT - reprezentacja mocno nadmiarowa; zwykle stosuje się jej wersję dyskretna gdy spróbkujemy parametry (t, a) jako: t = n2 m, a = 2 m - dostajemy tzw. diadyczny szereg falkowy
Reprezentacja falkowa Reprezentacja falkowa sygnału określona przez 2 rodziny funkcji: funkcje skalujace ϕ n,m (t), uzyskiwane przez skalowanie i przesuwanie podstawowej funkcji skalujacej ϕ(t); falki ψ n,m (t) - uzyskiwane przez skalowanie i przesuwanie falki macierzystej ψ(t) przykład - falkowa reprezentacja Haara podejście falkowe - analiza wielorozdzielcza polega na wielopoziomowej reprezentacji sygnału; na każdym poziomie sygnał przedstawiony jako suma reprezentacji zgrubnej (aproksymacja) i szczegółowej (detal) każdy następny poziom reprezentacja zgrubna poprzedniego poziomu podlega rozkladowi na część zgrubna i szczególowa; reprezentacje szczegółowe nie podlegaja zmianom
Analiza wielorozdzielcza Funkcje skalujace pozwalaja na przedstawienie sygnału na zerowym poziomie aproksymacji, w rozkładzie Fouriera musza zawierać składowa stała odpowiadają filtrom dolnoprzepustowym w zerowym przybliżeniu funkcje skalujace ϕ n (2 0 t) - baza przestrzeni Ω 0 w następnym przyliżeniu (skala 2 1 ) - funkcje bazowe to sqrt(2)ϕ n (2 1 t) - funkcje bazowe 2 razy krótsze, widmo 2 razy szersze, aproksymacja lepsza; funkcje bazowe generuja wieksza przestrzeń Ω 1 ; czyli mamy: Ω 0 Ω 1 zbiór funkcji Π 0 - dopełnienie zbioru Ω 0 do Ω 1, baza w Π 0 to falki na poziomie 0 falki sa prostopadłe do funkcji skalujacych, ich widmo - typu pasmowo-przepustowego (uzupełnia widmo funkcji skalujacej z poziomu 0 do widma funkcji skalujacej z poziomu 1
Filtry falkowe gdy ograniczamy się do szeregu diadycznego - implementacja transformaty falkowej nie wymaga jawnego stosowania falek ani funkcji skalujacych zamiast tego uzywa filtrów uzyskanych jako współczyniki rozwinęcia falki macierzystej i funkcji skalujacej niższego rzędu dokładności przez funkcje skalujace wyższego rzędu ϕ(t) = k ψ(t) = k h 0 (k) (2)ϕ(2t k) h 1 (k) (2)ϕ(2t k) współczynniki h 0 (k) określaja filtr dolnoprzepustowy, zaś h1(k) górnoprzepustowy analiza lub synteza sygnału - użycie sekwencji filtrow + decymacja lub uzupełnianie zerami