MODELOWANIE OBRAZÓW METODAMI ANALIZY FUNKCJONALNEJ (WIELU SKAL)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MODELOWANIE OBRAZÓW METODAMI ANALIZY FUNKCJONALNEJ (WIELU SKAL)"

Transkrypt

1 MODELOWANIE OBRAZÓW METODAMI ANALIZY FUNKCJONALNEJ (WIELU SKAL) Materiały KWOD, A.Przelaskowski Analiza funkcjonalna i harmoniczna Falki Dekompozycja falkowa Falki W

2 Podsumowanie Wprowadzenie: technika, rys historyczny Cyfrowa radiologia, doskonalenie technik obrazowania, integracja środowiska wspomagania Ograniczenia diagnostyki obrazowej poziom i przyczyny błędów Przegląd metod przetwarzania i analizy obrazów Koncepcja CAD vs ACD podstawowe idee wspomagania Rozumienie i interpretacja obrazów Przykłady CAD (rak płuc, rak sutka) Problem indeksowania (CAD-CBIR) Modele obrazów Funkcjonalna analiza obrazów

3 Analiza funkcjonalna Cechy obrazów: skalowalność w rosnącej dziedzinie, co prowadzi do koncepcji uciąglenia sygnałów Funkcja opisem informacji: dobieramy funkcje przybliżające z sieci aproksymacji danego rozwiązania (możliwie małolicznej względem błędu aproksymacji) Teoria: analiza funkcjonalna (harmoniczna) i teoria aproksymacji Praktyka: hierarchiczne bazy wielu skal opisujące zarazem właściwości lokalne i globalne, przestrzenne i częstotliwościowe obrazów

4 Interpolacja oraz aproksymacja istoty sygnału Sygnały o skończonej energii ciągły s( t) L ( R), czyli s( t) dt dyskretny s l (Z), czyli n s n Analiza funkcjonalna Interpolacja sygnału za pomocą bazy funkcji s( t) a ( t n), gdzie a s, s( t) ( t); ( t) ( t n) n n n n n n Aproksymacja istoty sygnału s M n1 a n n s n A M a n n liniowa nieliniowa (A M jest zbiorem M największych współczynników)

5 Efektywne modele aproksymacji nieliniowej Model z 15 % współczynników uporządkowanych nierosnąco sygnał oryginalny transformaty Fouriera (D=45,5) transformaty DCT (D=37,4) transformaty falkowej (D=0,008)

6 Potęga Fouriera Częstotliwościowa analiza sygnałów Dla każdej funkcji f(x) okresowej () mamy szereg: f a x a a cos kxb kx 0 a k b k 1 k1 0 k k sin f f f xdx xcoskxdx xsinkxdx Zespolone szeregi Fouriera f x a k k e j x k, a R k

7 Transformacja Fouriera (analiza i synteza) Zakładamy, że f, czyli energia f jest skończona: f = Iloczyn skalarny (metryka): operator TF: ciągła: dyskretna: fˆ( ) 1 1 fˆ k f n e N 1 n0 f ( t) e it dt π i kn N

8

9 Falki Shannona Shannonowska funkcja przesłony: Shannon ( x) sinc (x) sinc ( x) { Shannon ( x) : j, k Z} jest orthonormalną bazą przestrzeni L j,k (R)

10 Falki Shannona Widmo shannon ( x) sinc (x) sinc ( x) widmo sinc (x) widmo sinc ( x) Reprezentacja sygnałów: ograniczonych do pasma, ) można opisać za pomocą sinc(xn) ograniczonych do (, ), ), za pomocą ( x n) ograniczonych do (4, ), 4), za pomocą, n... 1 (x n) 1,n 1 x ( n) 4

11 Podział przestrzeni czas-częstotliwość (położenie-skala) Zasada nieoznaczoności Heisenberga, czyli atomy położenieczęstotliwość: x t Dobór atomów zależnie od charakteru sygnału sinc(4x-k) częstotliwość frequency sinc(x-m) sinc(x-n) czas time

12 FALKI

13 Falki czyli natura Falki odzwierciedlają naturalny charakter informacji (treści) obrazowej Yves Meyer: Falki, gdziekolwiek one są, nie pomagają nam wyjaśnić faktów naukowych, ale pozwalają opisać rzeczywistość wokół nas, bez względu na to jak bardzo jest naukowa Falkowe korzyści: Naturalny opis obrazu w wielu skalach Hierarchia i zależność informacji Selektywność informacji Upakowanie informacji Łatwiejsza identyfikacja informacji użytecznej Składanie (synteza) informacji w różnej postaci Klasyfikacja jakościowa i ilościowa

14 Poszukujemy reprezentacji!!! - nie interpretacji Benoit Mandelbrot: Świat wokół nas jest bardzo złożony. Narzędzia opisu świata, jakimi dysponujemy, są bardzo słabe. Pitagoras: nie wyrażaj małej rzeczy w wielu słowach, lecz rzecz wielką w niewielu Pitagoras: liczba jest istotą wszystkich rzeczy Stefan Kisielewski: wszak istotą jest zasada, nie zaś elementy, poprzez które się ona realizuje Ważna jest relacja: opis (reprentacja-model) uwarunkowania fizyczne interpretacja (semantyka)

15 Definicja falki Falka to funkcja f o następujących właściwościach: a) f, czyli energia f jest skończona: b) wartość średnia f wynosi zero, tj. Warunki te wymuszają co najmniej kilka oscylacji c) alternatywnie do a) i b): Warunki a) i b) oraz c) są równoważne, jeśli f zanika szybciej niż dla Cechy: silnie wyróżniona jest lokalizacja w czasie, tj. funkcja jest lokalna nośnik (zbiór niezerowych wartości) jest zwarty (czyli domknięty i ograniczony) i niepusty nośnik jest prawie zwarty (widmo częstotliwościowe ma zwarty nośnik) kształt przypomina gasnące pobudzenie ośrodka, tj. falę z gasnącymi amplitudami kolejnych oscylacji oddalających się od zaburzenia centralnego

16 Transformacja falkowa Baza przekształcenia liniowego: rodzina falek Transformacja falkowa (ciągła)

17 Przykład: kapelusz meksykański: Ciągła transformacja falkowa

18 Ciągła transformacja falkowa - synteza rekonstrukcja: warunek na falki: warunek uproszczony: Problemy z dokładną rekonstrukcją rozwiązanie: transformacja dyskretna

19 Problem doboru bazy przekształcenia przykładowe falki: baza falkowa: translacja skalowanie s, x ( t) 1 t x, s s s 0 Baza funkcji dopasowanych do cech sygnału (obrazu?) falka Meyera wraz z funkcją skalującą

20 APROKSYMACJA WIELOROZDZIELCZA

21 Analiza (aproksymacja) wielorozdzielcza Teoria nawiązująca do piramid wieloskalowych (Gaussa, Laplace a) Efekt: praktyczny schemat liczenia dyskretnej transformacji falkowej Istnieją algorytmy alternatywne Wielorozdzielczość - jednoczesne występowanie wielu skal w reprezentacji sygnału Zasadnicza idea: dekompozycja funkcji na centralną reprezentację zgrubną (niskorozdzielczą) oraz sekwencję reprezentacji szczegółowych (wysokorozdzielczych) procedura dekompozycji zakłada kolejne aproksymacje sygnału z malejącą rozdzielczością (rosnącą skalą)

22 Hierarchiczna piramida - = - = =

23 Definicja MRA (multiresolution analysis/approximation) (niezmiennicza względem przesunięcia, skalowanie z dwójką) (skalowanie) (skalowanie przez ) (zerowanie reprezentacji zgrubnej wytracenie całej energii w reprezentacjach szczegółowych) (rozpinanie przestrzeni do L (R)) (istnienie centralnej podprzestrzeni z bazą Riesza)

24 Bezpośrednie konsekwencje MRA Dwie kluczowe operacje: skalowanie i przesuwanie Zupełność przestrzeni opisu sygnału w L (R) (przypadek p. Hilberta) Znaczy to, że energia każdego sygnału w jest ograniczona i rozwinięcia funkcji w bazie tej podprzestrzeni są ograniczane dodatkowymi warunkami Każdą funkcję f L ( R) można aproksymować z dowolną dokładnością - za pomocą rzutów na : V m lim m PV m lub też z utratą wszystkich szczegółów: f f lim f 0 m PV m

25 Baza centralnej podprzestrzeni V 0 Baza Riesza jest uogólnieniem pojęcia bazy ortonormalnej - w centralnej podprzestrzeni V 0 określa skrajne warunki na postać transformacji realizujących analizę wielorozdzielczą sygnałów jest bazą przestrzeni V 0 ( ), której funkcje są liniowo niezależne współczynniki istnieją dwie dodatnie stałe A i B ( ) takie, że zachodzi warunek: znaczy to, że rozwinięcia dowolnej funkcji przestrzeni L (R) są numerycznie stabilne w danej bazie Wśród różnych postaci bazy numerycznie stabilnej szczególnie użyteczną jest baza ortonormalna, dla której A=B=1, czyli dla dowolnej f V 0 o reprezentacji f an( t n) zachodzi n f n a n

26 Baza ortonormalna Jeśli jest bazą Riesza, to można znaleźć postać taką postać, by była to baza ortonormalna (uprasza się ostatni warunek MRA do baz ortonormalnych) Najbardziej naturalną jest rodzina funkcji postaci m/ m m, n( t) ( t n) o skali m i współczynnikach skalujących a m, n f,m, n Jest to baza funkcji skalujących (aproksymujących) ze skalującą funkcją podstawową falka

27 Równanie skalujące Podstawowa funkcja skalująca dla V 0 to ( t) V 0,0 0 Z MRA mamy V0 V1, co oznacza że również ( t) V 1, czyli można ją rozwinąć w V 1 za pomocą funkcji bazowych m/ m ( ) ( ) (t ) m, n t t n 1, n n otrzymujemy wtedy równanie skalujące: h n ( t ) h (t n) n n gdzie to współczynniki rozwinięcia w bazie (interpretowane jako współczynniki dyskretnego filtru h skojarzonego z bazą funkcji skalujących), przy czym h n ( t) (t n) dt V 1

28 Filtry skalujące (dolnoprzepustowe) Z warunku ortonormalności w dziedzinie częstotliwości wynika zależność ( k k R 1 co w połączeniu z interpretacją równania skalującego w dziedzinie jn częstotliwości daje warunek na filtry ( H() h n e ) H( ) H( ) Dyskretne filtry spełniające ten warunek nazywane są sprzężonymi filtrami lustrzanymi (conjugate mirror filters) Ortogonalność jest kontrolowana przez liczbę zer w π co jest często wykorzystywane przy projektowaniu bazy funkcji skalujących - to rozwiniemy później n

29 Falkowa przestrzeń uzupełniająca dopełnienie informacji o szczegółach w danej skali szczegóły potrzebne do zwiększania rozdzielczości aproksymacji V m funkcji f zawarte są w uzupełniających podprzestrzeniach takich, że W m V m1 Jeśli Wm jest ortogonalne do m, to jest jego dopełnieniem do uzupełniającym energię sygnału: m1 oraz w odniesieniu do kolejnych skal aproksymacji: Wm W m' dla m m' oraz przy co daje dla kolejnych przestrzeni ortogonalnych W m V V W m1 m' Podprzestrzenie są rozpinane przez ortogonalne bazy falkowe W m V V m 1 V V m m W W mm V m i0 m m W mi m' m

30 Baza falkowa Ortogonalny rzut funkcji f na podprzestrzeń szczegółów W m jest rozwinięciem w ortonormalnej bazie falkowej tej podprzestrzeni: PW m f f, m, n m, n nz zachodzi też: P W m f P V m f P V m1 f P V m f oraz f P W m m f m, nz f, m, n m, n cm, n ( f ) m, nz m, n gdzie c m, n f, m, n to współczynniki falkowe Zbiór funkcji { } m, n nz jest falkową bazą ortonormalną podprzestrzeni Wm m / m m, n ( t) ( t n)

31 Równanie falkowe Związek pomiędzy bazą falkową i bazą funkcji skalujących, wynikający z MRA oraz koncepcji uzupełnienia, ma postać równania falkowego: współczynniki górnoprzepustowego filtru lustrzanego g: Zależności pomiędzy współczynnikami skalującymi i falkowymi kolejnych skal aproksymacji w dekompozycji (analizie) f są następujące: są to filtrowe odpowiedniki równania skalującego i falkowego Przy rekonstrukcji: 1n ( t) gn(t n) ( 1) h1 n g n 1 ( t), (t n) m, n ( f ) hk nam1, k ( f m, n ( f ) g knam1, k k k a ) n n (t n) c ( f )

32 Filtry falkowe Na podstawie MRA i dopełnień podprzestrzeni istnieje związek: przy Konstrukcje filtrów (baz) falkowych są bardzo różnorodne. / / ) ( 1/ H G ) ( ) ( * H e G i

33 KONSEKWENCJE PRAKTYCZNE

34 Przykładowe realizacje skalowania i filtrowej reprezentacji bazy falkowej Filtry sprzężone z funkcjami skalującymi falkami: ( t) hn (t n) n ( t) ~ gn(t n) n (t) ( t 1) ( t 1) (t) 1 ( t ) 0 1 h 1, h 0 h (t ) 1 ( t ) 0 1 g 1, g 0 g (t )

35 Aproksymacja sygnału w różnych skalach funkcje skalujące

36 Detale i przybliżenia Sygnał Współczynniki falkowe Aproksymacja z pozostałych skal

37 Dokładność w przybliżeniu Lokalna charakterystyka sygnału (nieciągłości, osobliwości) upakowanie energii w określonych miejscach przestrzeni falkowej

38 Falka Haara i baza ortogonalna konstruowanie funkcji skalującej baza ortogonalna w skali diadycznej falki nie są wzajemnie ortogonalne w innej skali konstruowanie falki skala diadyczna

39 Falka Daubechies funkcja skalująca falka baza falkowa (różne skale, przesunięcia)

40 Inne falki falka Lemarie-Battle falka Meyera wraz z funkcją skalującą

41 Rozkład podpasm dekompozycji skala oryginał

42 Falkowa dziedzina Dzielą przestrzeń czas-częstotliwość na różne atomy

43 Alternatywy d e t g x g x t i t S x ) ( ) (, ), (, F d e t R f t S f j x x ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( * t x t x E t R i x d e t x t x h f t S f j x * ) ( ) ( ) ( ), ( dv e f X f X f t S d e t x t x f t S t j W X f j W x * * ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( Transformacje "krótkoczasowe : gdzie estymata lokalnej funkcji autokorelacji sygnału x(t) w otoczeniu chwili czasowej t: W najprostszym przypadku można napisać: Przykładowo, klasyczna transformata Wignera: Okienkowa transformacja Fouriera:

44

45 Efekty analiz czas-częstotliwość Zaszumiony sygnał z liniową modulacją częstotliwości» Transformata Wignera-Ville a (prezentacja konturowa) Widmo częstotliwościowe

46 Syntetyczne podsumowanie dekompozycja falkowa Baza powstaje z falki matki: s, x 1 t x ( t), s 0 s s ( t) dt 0 1 s, x 1 dyskretyzacja f c m, nz m, n ( f ) m, n ( t) Postać transformaty falkowej przy dyskretyzacji dziedziny przesunięcia x i skali s: m m s s0, x nx0s0, gdzie m, nz, m/ m m, n( t) s0 ( s0 t nx0 ) dla funkcji (sygnału) f, co daje kładąc s 0, x 0 1 tworzymy rozwinięcia w bazach ortonormalnych..

47 Podsumowanie aproksymacja wieloskalowa sygnałów (t) ) ( ) ( /, n t t m m n m ) (, ) (, ) (, ) (,,,,,,,, t f t m t f t f n k m n k n k m n n m n m n m n n m Z Z Z k k m n k n m f a h f a ) ( ) (, 1, k k m n k n m f a g f c ) ( ) (, 1, - funkcja skalująca, analogicznie mamy Dekompozycja f: Sposób obliczania współczynników transformaty jest następujący: współczynniki skalujące współczynniki falkowe )] ( ) ( [ ) (,,, 1 f c g f a h f a k m k n k m k k n n m Rekonstrukcja:

48 Dekompozycja (analiza) sygnału oryginał szczegóły przybliżenia

49 Rozkład pasm w dekompozycji skala oryginał

50 Analiza i synteza sygnału (falki Haara) oryginał rekonstrukcja

51 Falkowe liczenie Wektor danych wejściowych: [1,0,-3,,1,0,1,] Filtry Haara: Wektor współczynników: 1, 1 Haar h 1, 1 g Haar 1, 1, 5, 1 1,,1,,

52 PROSTE ZASTOSOWANIA

53 Przykład docierania do sygnału (dopplerowskiego) sygnał widmo z szumem widmo sygnału dopplerowskiego odszumianie: wydobywanie sygnału zagnieżdżonego w szumie informacyjnym, czyli estymacja sygnału użytecznego ważne są lokalne zmiany, szczegóły metoda: masymalne rozdzielenie sygnału i szumu (zwykle w nowej dziedzinie) + selekcja (najprościej progowanie)

54 Rekonstrukcja z progowaniem odtwarzanie sygnału na podstawie zerowanych współczynników falkowych i skalujących

55 sygnał Odszumianie sygnału sygnał z szumem współczynniki bazy Różne metody progowania twarde prog. () miękkie prog. () rekonstrukcja twarde prog. (4) miękkie prog. (4) rekonstrukcja

56 Gubienie szczegółów sygnał odszumiony sygnał proste uśrednianie odsz. falkowe

57 Odszumianie dopplera spektrogram sygnału oryginalnego po odszumieniu (falka rzędu 8) po odszumieniu (falka rzędu 4)

58 FALKOWA DEKOMPOZYCJA OBRAZÓW

59 sekwencyjna filtracja z podpróbkowaniem Falkowa dekompozycja obrazów (jądro separowalne)

60 Dekompozycja falkowa (schemat diadyczny, z separowanym jądrem)

61 Falkowa dekompozycja obrazów

62 Korzyść ze stosowania transformacji falkowej

63 Pakiety falek

64 Falki bez decymacji

65 Falkowe mikrozwapnienia bez decymacji

66 Modele

67 Modele

68 Rodzina falek w reprezentacji obrazów doskonalenie reprezentacji Falki tensorowe Złożenie przekształceń 1W po wierszach i kolumnach Pakiety falek Bazy nadmiarowe Falki geometryczne Wedgelety, czyli kliniki Beamlety, czyli beleczki Falki kierunkowe Ridgelety, czyli grzbieciki Curvelety, czyli krzywki Contourlety, czyli konturki

69 FALKI DOBRZE OPISUJĄ KRAWĘDZIE??? f L ( R ) Przy transformacji W z separowalnym jądrem (1W1W) dobrze reprezentowane są jedynie punkty osobliwe, a nie linie czy krzywe (czyli kontury)

70 OGRANICZENIA FALEK 1W1W Nie można określić gładkości krawędzi Lepsze wpasowanie w krawędź, charakterystyka gładkości falki 1W1W (tensorowe) falki W (contourlety, curvelety) Oprócz położenia i skali dochodzi argument: orientacja

71 Aproksymacja wedgeletowa

72 PROSTA OBSERWACJA Ludzki system widzenia (HVS): bardzo efektywny, szybki, a receptory dostarczają informacji o położeniu, skali i orientacji Upakowane (sparse) składniki obrazów naturalnych (Olshausen, Field, 1996) imagelets poszukiwanie upakowanej reprezentacji bloki danych źródłowych

73 Curvelety

74 Curvelety II

75 Dziedzina krzywek

76 Obrazki krzywkowe

77 Countourlets: filtry kierunkowe kierunkowe filtry Haara (niebieski to 1, żółty to -1)

78 Contourlets: dekompozycja pasma kierunkowe obraz

79 Contourlets: rozkłady współczynników 3 poziom banku 8 filtrów kierunkowych

80 Contourlets: dekompozycja obrazu

81 Obraz w dziedzinie konturków

82 Aproksymacje 13,6% współczynników falkowa wedgeletowa curveletowa DFT

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20). SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czas - częstotliwość analiza częstotliwościowa: problem dla sygnału niestacjonarnego zwykła transformata

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ.

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 1. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. Transformacja falkowa (ang. wavelet falka) przeznaczona jest do analizy

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Transformaty. Kodowanie transformujace

Transformaty. Kodowanie transformujace Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów

Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów Informatyka, S2 sem. Letni, 2013/2014, wykład#1 Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów dr inż. Paweł Forczmański Katedra Systemów Multimedialnych, Wydział Informatyki ZUT 1 / 61 Alfréd Haar Alfréd

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli

Bardziej szczegółowo

4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...

4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych... Spis treści 1 Wstęp 11 1.1 Do kogo adresowana jest ta książka... 12 1.2 Historia badań nad mową i językiem... 12 1.3 Obecne główne trendy badań... 16 1.4 Opis zawartości rozdziałów... 18 2 Wyzwania i możliwe

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski. Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMATA FALKOWA 2D. Oprogramowanie Systemów Obrazowania 2016/2017

TRANSFORMATA FALKOWA 2D. Oprogramowanie Systemów Obrazowania 2016/2017 TRANSFORMATA FALKOWA 2D Oprogramowanie Systemów Obrazowania 2016/2017 Wielorozdzielczość - dekompozycja sygnału w ciąg sygnałów o coraz mniejszej rozdzielczości na wielu poziomach gdzie: s l+1 - aproksymata

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie Sygnałów. Zastosowanie Transformaty Falkowej w nadzorowaniu

Przetwarzanie Sygnałów. Zastosowanie Transformaty Falkowej w nadzorowaniu Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka Zastosowanie Transformaty Falkowej

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMATA FALKOWA. Joanna Świebocka-Więk

TRANSFORMATA FALKOWA. Joanna Świebocka-Więk TRANSFORMATA FALKOWA Joanna Świebocka-Więk Plan prezentacji 1. Fala a falka czyli porównanie transformaty Fouriera i falkowej 2. Funkcja falkowa a funkcja skalująca 3. Ciągła transformata falkowa 1. Skala

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów PTS - laboratorium Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Ćwiczenie 4 Transformacja falkowa Opracował: - prof. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński Zakład Inżynierii Biomedycznej Instytut Metrologii i Inżynierii

Bardziej szczegółowo

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) . KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW SEMESTR V Wykład VIII Podstawy przetwarzania obrazów Filtracja Przetwarzanie obrazu w dziedzinie próbek Przetwarzanie obrazu w dziedzinie częstotliwości (transformacje częstotliwościowe)

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

POSZUKIWANIE FALKOWYCH MIAR POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO OBRAZÓW CYFROWYCH JAKO WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI WIZUALNEJ

POSZUKIWANIE FALKOWYCH MIAR POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO OBRAZÓW CYFROWYCH JAKO WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI WIZUALNEJ Krystian Pyka POSZUKIWANIE FALKOWYCH MIAR POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO OBRAZÓW CYFROWYCH JAKO WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI WIZUALNEJ Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki badań nad wykorzystaniem falek do analizy

Bardziej szczegółowo

FILTRACJE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI

FILTRACJE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI FILTRACJE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI ( frequency domain filters) Każdy człon F(u,v) zawiera wszystkie wartości f(x,y) modyfikowane przez wartości członów wykładniczych Za wyjątkiem trywialnych przypadków

Bardziej szczegółowo

ALA MA KOTA MEDIA - OBRAZ OBRAZ. Operacje na obrazie. Informacja ukryta w teksturach, hierarchii krawędzi. Obraz to kompozycja:

ALA MA KOTA MEDIA - OBRAZ OBRAZ. Operacje na obrazie. Informacja ukryta w teksturach, hierarchii krawędzi. Obraz to kompozycja: OBRAZ Obraz to kompozycja: tła konturów tekstur PODSTAWY TECHNIK MULTIMEDIALNYCH, A.Przelaskowski MEDIA - OBRAZ f R M N k ALA MA KOTA obraz losowy bez żadnej informacji Dwuwymiarowa struktura: macierz

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację

Bardziej szczegółowo

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt. 1 Kodowanie podpasmowe Kompresja Danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, 18.05.2006 1.1 Transformaty, próbkowanie i filtry Korzystamy z faktów: Każdą funkcję okresową można reprezentować w postaci

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w

Bardziej szczegółowo

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT

9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI

WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 2 Analiza sygnału EKG przy użyciu transformacji falkowej Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - inż. Tomasz Kubik Politechnika

Bardziej szczegółowo

Metody rozwiązania równania Schrödingera

Metody rozwiązania równania Schrödingera Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania

Bardziej szczegółowo

Pałkowa analiza sygnałów

Pałkowa analiza sygnałów Remigiusz J. RAK, Andrzej MAJKOWSKI Politechnika Warszawska, Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno-Pomiarowych Pałkowa analiza sygnałów Streszczenie. Cechą charakterystyczną lalkowej

Bardziej szczegółowo

Filtracja obrazu operacje kontekstowe

Filtracja obrazu operacje kontekstowe Filtracja obrazu operacje kontekstowe Główne zadania filtracji Usunięcie niepożądanego szumu z obrazu Poprawa ostrości Usunięcie określonych wad obrazu Poprawa obrazu o złej jakości technicznej Rekonstrukcja

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.

Bardziej szczegółowo

Transformacje Fouriera * podstawowe własności

Transformacje Fouriera * podstawowe własności Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Strona 1 z 38 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko alicja@cbk.waw.pl 2 czerwca 2006 1 Omówienie danych 3 Strona główna Strona 2 z 38 2

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 9 AiR III

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 9 AiR III 1 Na podstawie materiałów autorstwa dra inż. Marka Wnuka. Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów Metody analizy sygnału Do tej pory - analiza sygnału jako funkcji

Bardziej szczegółowo

Adaptacyjne Przetwarzanie Sygnałów. Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości

Adaptacyjne Przetwarzanie Sygnałów. Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości W Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości Blokowy algorytm LMS (BLMS) N f n+n = f n + α x n+i e(n + i), i= N L Slide e(n + i) =d(n + i) f T n x n+i (i =,,N ) Wprowadźmy nowy indeks: n = kn (

Bardziej szczegółowo

Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści

Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Rozdział 1. WPROWADZENIE 13 1.1. Czym jest automatyczne rozpoznawanie mowy 13 1.2. Poziomy

Bardziej szczegółowo

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Plan wykładu: 1. Transformacja Fouriera, iloczyn skalarny 2. DFT - dyskretna transformacja Fouriera 3. FFT szybka transformacja Fouriera a) algorytm

Bardziej szczegółowo

Kompresja dźwięku w standardzie MPEG-1

Kompresja dźwięku w standardzie MPEG-1 mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 7, strona 1. Kompresja dźwięku w standardzie MPEG-1 Ogólne założenia kompresji stratnej Zjawisko maskowania psychoakustycznego Schemat blokowy

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 7 Transformaty i kodowanie. Przemysław Sękalski.

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 7 Transformaty i kodowanie. Przemysław Sękalski. Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 7 Transformaty i kodowanie Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS Wykład

Bardziej szczegółowo

Kodowanie transformacyjne. Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG

Kodowanie transformacyjne. Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG Kodowanie transformacyjne Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG Zasada Zasada podstawowa: na danych wykonujemy transformacje która: Likwiduje korelacje Skupia energię w kilku komponentach

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera

Bardziej szczegółowo

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,

Bardziej szczegółowo

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet Andrzej Andrijew Plan referatu Samopodobieostwo w sieci Internet Samopodobne procesy stochastyczne Metody sprawdzania samopodobieostwa Modelowanie przepływów

Bardziej szczegółowo

Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2

Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2 Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2 Filtracja obrazów Filtracja obrazu polega na obliczeniu wartości każdego z punktów obrazu na podstawie punktów z jego otoczenia. Każdy sąsiedni piksel ma wagę, która

Bardziej szczegółowo

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.

Bardziej szczegółowo

Różne reżimy dyfrakcji

Różne reżimy dyfrakcji Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Różne reżimy

Bardziej szczegółowo

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) 8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Transformata Fouriera

Wykład 2. Transformata Fouriera Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera

Bardziej szczegółowo

przetworzonego sygnału

przetworzonego sygnału Synteza falek ortogonalnych na podstawie oceny przetworzonego sygnału Instytut Informatyki Politechnika Łódzka 28 lutego 2012 Plan prezentacji 1 Sformułowanie problemu 2 3 4 Historia przekształcenia falkowego

Bardziej szczegółowo

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D. CPS 6 DYSKRETE PRZEKSZTAŁCEIE FOURIERA C.D. Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów Metody analizy sygnału Do tej pory - analiza sygnału jako funkcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Strona 1 z 27 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko Wiesław Kosek Waldemar Popiński Seminarium Sekcji Dynamiki Ziemi Komitetu Geodezji PAN

Bardziej szczegółowo

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera

Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Macierzowy

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 7 AiR III

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 7 AiR III 1 Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania wyłącznie do własnych, prywatnych potrzeb i może

Bardziej szczegółowo

Filtracja obrazu operacje kontekstowe

Filtracja obrazu operacje kontekstowe Filtracja obrazu operacje kontekstowe Podział metod filtracji obrazu Metody przestrzenne i częstotliwościowe Metody liniowe i nieliniowe Główne zadania filtracji Usunięcie niepożądanego szumu z obrazu

Bardziej szczegółowo

f = 2 śr MODULACJE

f = 2 śr MODULACJE 5. MODULACJE 5.1. Wstęp Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej. Przyczyny stosowania modulacji: 1. Umożliwienie wydajnego wypromieniowania

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Adaptive wavelet synthesis for improving digital image processing

Adaptive wavelet synthesis for improving digital image processing for improving digital image processing Politechnika Łódzka Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej 4 listopada 2010 Plan prezentacji 1 Wstęp 2 Dyskretne przekształcenie falkowe

Bardziej szczegółowo

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat Biblioteka biops zawiera funkcje do analizy i przetwarzania obrazów. Operacje geometryczne (obrót, przesunięcie,

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

AiR_CPS_1/3 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Digital Signal Processing

AiR_CPS_1/3 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Digital Signal Processing Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

Analiza porównawcza wybranych transformat w kontekście zobrazowania zaszumionego sygnału harmonicznego

Analiza porównawcza wybranych transformat w kontekście zobrazowania zaszumionego sygnału harmonicznego Bi u l e t y n WAT Vo l. LXIV, Nr 3, 2015 Analiza porównawcza wybranych transformat w kontekście zobrazowania zaszumionego sygnału harmonicznego Artur Zacniewski Akademia Marynarki Wojennej w Gdyni, Wydział

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Wykład 10. Transformata cosinusowa. Falki. Transformata falkowa. dr inż. Robert Kazała

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Wykład 10. Transformata cosinusowa. Falki. Transformata falkowa. dr inż. Robert Kazała Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Wykład 10 Transformata cosinusowa. Falki. Transformata falkowa. dr inż. Robert Kazała 1 Transformata cosinusowa Dyskretna transformacja kosinusowa, (DCT ang. discrete cosine

Bardziej szczegółowo

Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie

Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie Wstęp Praca próbuje opisać czym jest falka oraz podać zastosowania falek w praktyce. Na wstępie w Postaci matematycznej falki zaprezentujemy czym jest problem

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Numeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1

Numeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DOTYCZĄCE ZALICZENIA ZAJĘĆ

WYMAGANIA DOTYCZĄCE ZALICZENIA ZAJĘĆ Nazwa przedmiotu: Techniki symulacji Kod przedmiotu: ES1C300 015 Forma zajęć: pracownia specjalistyczna Kierunek: elektrotechnika Rodzaj studiów: stacjonarne, I stopnia (inŝynierskie) Semestr studiów:

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa Schrödingera

Mechanika kwantowa Schrödingera Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny

Bardziej szczegółowo

Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH

Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH Dźwięk muzyczny Dźwięk muzyczny sygnał wytwarzany przez instrument muzyczny. Najważniejsze parametry: wysokość związana z częstotliwością podstawową, barwa

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Egzamin / zaliczenie na ocenę*

Egzamin / zaliczenie na ocenę* WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr 4 do ZW 33/01 KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Nazwa w języku angielskim DIGITAL SIGNAL PROCESSING Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa.

(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa. MODULACJE ANALOGOWE 1. Wstęp Do przesyłania sygnału drogą radiową stosuje się modulację. Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej.

Bardziej szczegółowo