MODELOWANIE OBRAZÓW METODAMI ANALIZY FUNKCJONALNEJ (WIELU SKAL)
|
|
- Gabriela Witkowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MODELOWANIE OBRAZÓW METODAMI ANALIZY FUNKCJONALNEJ (WIELU SKAL) Materiały KWOD, A.Przelaskowski Analiza funkcjonalna i harmoniczna Falki Dekompozycja falkowa Falki W
2 Podsumowanie Wprowadzenie: technika, rys historyczny Cyfrowa radiologia, doskonalenie technik obrazowania, integracja środowiska wspomagania Ograniczenia diagnostyki obrazowej poziom i przyczyny błędów Przegląd metod przetwarzania i analizy obrazów Koncepcja CAD vs ACD podstawowe idee wspomagania Rozumienie i interpretacja obrazów Przykłady CAD (rak płuc, rak sutka) Problem indeksowania (CAD-CBIR) Modele obrazów Funkcjonalna analiza obrazów
3 Analiza funkcjonalna Cechy obrazów: skalowalność w rosnącej dziedzinie, co prowadzi do koncepcji uciąglenia sygnałów Funkcja opisem informacji: dobieramy funkcje przybliżające z sieci aproksymacji danego rozwiązania (możliwie małolicznej względem błędu aproksymacji) Teoria: analiza funkcjonalna (harmoniczna) i teoria aproksymacji Praktyka: hierarchiczne bazy wielu skal opisujące zarazem właściwości lokalne i globalne, przestrzenne i częstotliwościowe obrazów
4 Interpolacja oraz aproksymacja istoty sygnału Sygnały o skończonej energii ciągły s( t) L ( R), czyli s( t) dt dyskretny s l (Z), czyli n s n Analiza funkcjonalna Interpolacja sygnału za pomocą bazy funkcji s( t) a ( t n), gdzie a s, s( t) ( t); ( t) ( t n) n n n n n n Aproksymacja istoty sygnału s M n1 a n n s n A M a n n liniowa nieliniowa (A M jest zbiorem M największych współczynników)
5 Efektywne modele aproksymacji nieliniowej Model z 15 % współczynników uporządkowanych nierosnąco sygnał oryginalny transformaty Fouriera (D=45,5) transformaty DCT (D=37,4) transformaty falkowej (D=0,008)
6 Potęga Fouriera Częstotliwościowa analiza sygnałów Dla każdej funkcji f(x) okresowej () mamy szereg: f a x a a cos kxb kx 0 a k b k 1 k1 0 k k sin f f f xdx xcoskxdx xsinkxdx Zespolone szeregi Fouriera f x a k k e j x k, a R k
7 Transformacja Fouriera (analiza i synteza) Zakładamy, że f, czyli energia f jest skończona: f = Iloczyn skalarny (metryka): operator TF: ciągła: dyskretna: fˆ( ) 1 1 fˆ k f n e N 1 n0 f ( t) e it dt π i kn N
8
9 Falki Shannona Shannonowska funkcja przesłony: Shannon ( x) sinc (x) sinc ( x) { Shannon ( x) : j, k Z} jest orthonormalną bazą przestrzeni L j,k (R)
10 Falki Shannona Widmo shannon ( x) sinc (x) sinc ( x) widmo sinc (x) widmo sinc ( x) Reprezentacja sygnałów: ograniczonych do pasma, ) można opisać za pomocą sinc(xn) ograniczonych do (, ), ), za pomocą ( x n) ograniczonych do (4, ), 4), za pomocą, n... 1 (x n) 1,n 1 x ( n) 4
11 Podział przestrzeni czas-częstotliwość (położenie-skala) Zasada nieoznaczoności Heisenberga, czyli atomy położenieczęstotliwość: x t Dobór atomów zależnie od charakteru sygnału sinc(4x-k) częstotliwość frequency sinc(x-m) sinc(x-n) czas time
12 FALKI
13 Falki czyli natura Falki odzwierciedlają naturalny charakter informacji (treści) obrazowej Yves Meyer: Falki, gdziekolwiek one są, nie pomagają nam wyjaśnić faktów naukowych, ale pozwalają opisać rzeczywistość wokół nas, bez względu na to jak bardzo jest naukowa Falkowe korzyści: Naturalny opis obrazu w wielu skalach Hierarchia i zależność informacji Selektywność informacji Upakowanie informacji Łatwiejsza identyfikacja informacji użytecznej Składanie (synteza) informacji w różnej postaci Klasyfikacja jakościowa i ilościowa
14 Poszukujemy reprezentacji!!! - nie interpretacji Benoit Mandelbrot: Świat wokół nas jest bardzo złożony. Narzędzia opisu świata, jakimi dysponujemy, są bardzo słabe. Pitagoras: nie wyrażaj małej rzeczy w wielu słowach, lecz rzecz wielką w niewielu Pitagoras: liczba jest istotą wszystkich rzeczy Stefan Kisielewski: wszak istotą jest zasada, nie zaś elementy, poprzez które się ona realizuje Ważna jest relacja: opis (reprentacja-model) uwarunkowania fizyczne interpretacja (semantyka)
15 Definicja falki Falka to funkcja f o następujących właściwościach: a) f, czyli energia f jest skończona: b) wartość średnia f wynosi zero, tj. Warunki te wymuszają co najmniej kilka oscylacji c) alternatywnie do a) i b): Warunki a) i b) oraz c) są równoważne, jeśli f zanika szybciej niż dla Cechy: silnie wyróżniona jest lokalizacja w czasie, tj. funkcja jest lokalna nośnik (zbiór niezerowych wartości) jest zwarty (czyli domknięty i ograniczony) i niepusty nośnik jest prawie zwarty (widmo częstotliwościowe ma zwarty nośnik) kształt przypomina gasnące pobudzenie ośrodka, tj. falę z gasnącymi amplitudami kolejnych oscylacji oddalających się od zaburzenia centralnego
16 Transformacja falkowa Baza przekształcenia liniowego: rodzina falek Transformacja falkowa (ciągła)
17 Przykład: kapelusz meksykański: Ciągła transformacja falkowa
18 Ciągła transformacja falkowa - synteza rekonstrukcja: warunek na falki: warunek uproszczony: Problemy z dokładną rekonstrukcją rozwiązanie: transformacja dyskretna
19 Problem doboru bazy przekształcenia przykładowe falki: baza falkowa: translacja skalowanie s, x ( t) 1 t x, s s s 0 Baza funkcji dopasowanych do cech sygnału (obrazu?) falka Meyera wraz z funkcją skalującą
20 APROKSYMACJA WIELOROZDZIELCZA
21 Analiza (aproksymacja) wielorozdzielcza Teoria nawiązująca do piramid wieloskalowych (Gaussa, Laplace a) Efekt: praktyczny schemat liczenia dyskretnej transformacji falkowej Istnieją algorytmy alternatywne Wielorozdzielczość - jednoczesne występowanie wielu skal w reprezentacji sygnału Zasadnicza idea: dekompozycja funkcji na centralną reprezentację zgrubną (niskorozdzielczą) oraz sekwencję reprezentacji szczegółowych (wysokorozdzielczych) procedura dekompozycji zakłada kolejne aproksymacje sygnału z malejącą rozdzielczością (rosnącą skalą)
22 Hierarchiczna piramida - = - = =
23 Definicja MRA (multiresolution analysis/approximation) (niezmiennicza względem przesunięcia, skalowanie z dwójką) (skalowanie) (skalowanie przez ) (zerowanie reprezentacji zgrubnej wytracenie całej energii w reprezentacjach szczegółowych) (rozpinanie przestrzeni do L (R)) (istnienie centralnej podprzestrzeni z bazą Riesza)
24 Bezpośrednie konsekwencje MRA Dwie kluczowe operacje: skalowanie i przesuwanie Zupełność przestrzeni opisu sygnału w L (R) (przypadek p. Hilberta) Znaczy to, że energia każdego sygnału w jest ograniczona i rozwinięcia funkcji w bazie tej podprzestrzeni są ograniczane dodatkowymi warunkami Każdą funkcję f L ( R) można aproksymować z dowolną dokładnością - za pomocą rzutów na : V m lim m PV m lub też z utratą wszystkich szczegółów: f f lim f 0 m PV m
25 Baza centralnej podprzestrzeni V 0 Baza Riesza jest uogólnieniem pojęcia bazy ortonormalnej - w centralnej podprzestrzeni V 0 określa skrajne warunki na postać transformacji realizujących analizę wielorozdzielczą sygnałów jest bazą przestrzeni V 0 ( ), której funkcje są liniowo niezależne współczynniki istnieją dwie dodatnie stałe A i B ( ) takie, że zachodzi warunek: znaczy to, że rozwinięcia dowolnej funkcji przestrzeni L (R) są numerycznie stabilne w danej bazie Wśród różnych postaci bazy numerycznie stabilnej szczególnie użyteczną jest baza ortonormalna, dla której A=B=1, czyli dla dowolnej f V 0 o reprezentacji f an( t n) zachodzi n f n a n
26 Baza ortonormalna Jeśli jest bazą Riesza, to można znaleźć postać taką postać, by była to baza ortonormalna (uprasza się ostatni warunek MRA do baz ortonormalnych) Najbardziej naturalną jest rodzina funkcji postaci m/ m m, n( t) ( t n) o skali m i współczynnikach skalujących a m, n f,m, n Jest to baza funkcji skalujących (aproksymujących) ze skalującą funkcją podstawową falka
27 Równanie skalujące Podstawowa funkcja skalująca dla V 0 to ( t) V 0,0 0 Z MRA mamy V0 V1, co oznacza że również ( t) V 1, czyli można ją rozwinąć w V 1 za pomocą funkcji bazowych m/ m ( ) ( ) (t ) m, n t t n 1, n n otrzymujemy wtedy równanie skalujące: h n ( t ) h (t n) n n gdzie to współczynniki rozwinięcia w bazie (interpretowane jako współczynniki dyskretnego filtru h skojarzonego z bazą funkcji skalujących), przy czym h n ( t) (t n) dt V 1
28 Filtry skalujące (dolnoprzepustowe) Z warunku ortonormalności w dziedzinie częstotliwości wynika zależność ( k k R 1 co w połączeniu z interpretacją równania skalującego w dziedzinie jn częstotliwości daje warunek na filtry ( H() h n e ) H( ) H( ) Dyskretne filtry spełniające ten warunek nazywane są sprzężonymi filtrami lustrzanymi (conjugate mirror filters) Ortogonalność jest kontrolowana przez liczbę zer w π co jest często wykorzystywane przy projektowaniu bazy funkcji skalujących - to rozwiniemy później n
29 Falkowa przestrzeń uzupełniająca dopełnienie informacji o szczegółach w danej skali szczegóły potrzebne do zwiększania rozdzielczości aproksymacji V m funkcji f zawarte są w uzupełniających podprzestrzeniach takich, że W m V m1 Jeśli Wm jest ortogonalne do m, to jest jego dopełnieniem do uzupełniającym energię sygnału: m1 oraz w odniesieniu do kolejnych skal aproksymacji: Wm W m' dla m m' oraz przy co daje dla kolejnych przestrzeni ortogonalnych W m V V W m1 m' Podprzestrzenie są rozpinane przez ortogonalne bazy falkowe W m V V m 1 V V m m W W mm V m i0 m m W mi m' m
30 Baza falkowa Ortogonalny rzut funkcji f na podprzestrzeń szczegółów W m jest rozwinięciem w ortonormalnej bazie falkowej tej podprzestrzeni: PW m f f, m, n m, n nz zachodzi też: P W m f P V m f P V m1 f P V m f oraz f P W m m f m, nz f, m, n m, n cm, n ( f ) m, nz m, n gdzie c m, n f, m, n to współczynniki falkowe Zbiór funkcji { } m, n nz jest falkową bazą ortonormalną podprzestrzeni Wm m / m m, n ( t) ( t n)
31 Równanie falkowe Związek pomiędzy bazą falkową i bazą funkcji skalujących, wynikający z MRA oraz koncepcji uzupełnienia, ma postać równania falkowego: współczynniki górnoprzepustowego filtru lustrzanego g: Zależności pomiędzy współczynnikami skalującymi i falkowymi kolejnych skal aproksymacji w dekompozycji (analizie) f są następujące: są to filtrowe odpowiedniki równania skalującego i falkowego Przy rekonstrukcji: 1n ( t) gn(t n) ( 1) h1 n g n 1 ( t), (t n) m, n ( f ) hk nam1, k ( f m, n ( f ) g knam1, k k k a ) n n (t n) c ( f )
32 Filtry falkowe Na podstawie MRA i dopełnień podprzestrzeni istnieje związek: przy Konstrukcje filtrów (baz) falkowych są bardzo różnorodne. / / ) ( 1/ H G ) ( ) ( * H e G i
33 KONSEKWENCJE PRAKTYCZNE
34 Przykładowe realizacje skalowania i filtrowej reprezentacji bazy falkowej Filtry sprzężone z funkcjami skalującymi falkami: ( t) hn (t n) n ( t) ~ gn(t n) n (t) ( t 1) ( t 1) (t) 1 ( t ) 0 1 h 1, h 0 h (t ) 1 ( t ) 0 1 g 1, g 0 g (t )
35 Aproksymacja sygnału w różnych skalach funkcje skalujące
36 Detale i przybliżenia Sygnał Współczynniki falkowe Aproksymacja z pozostałych skal
37 Dokładność w przybliżeniu Lokalna charakterystyka sygnału (nieciągłości, osobliwości) upakowanie energii w określonych miejscach przestrzeni falkowej
38 Falka Haara i baza ortogonalna konstruowanie funkcji skalującej baza ortogonalna w skali diadycznej falki nie są wzajemnie ortogonalne w innej skali konstruowanie falki skala diadyczna
39 Falka Daubechies funkcja skalująca falka baza falkowa (różne skale, przesunięcia)
40 Inne falki falka Lemarie-Battle falka Meyera wraz z funkcją skalującą
41 Rozkład podpasm dekompozycji skala oryginał
42 Falkowa dziedzina Dzielą przestrzeń czas-częstotliwość na różne atomy
43 Alternatywy d e t g x g x t i t S x ) ( ) (, ), (, F d e t R f t S f j x x ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( * t x t x E t R i x d e t x t x h f t S f j x * ) ( ) ( ) ( ), ( dv e f X f X f t S d e t x t x f t S t j W X f j W x * * ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( Transformacje "krótkoczasowe : gdzie estymata lokalnej funkcji autokorelacji sygnału x(t) w otoczeniu chwili czasowej t: W najprostszym przypadku można napisać: Przykładowo, klasyczna transformata Wignera: Okienkowa transformacja Fouriera:
44
45 Efekty analiz czas-częstotliwość Zaszumiony sygnał z liniową modulacją częstotliwości» Transformata Wignera-Ville a (prezentacja konturowa) Widmo częstotliwościowe
46 Syntetyczne podsumowanie dekompozycja falkowa Baza powstaje z falki matki: s, x 1 t x ( t), s 0 s s ( t) dt 0 1 s, x 1 dyskretyzacja f c m, nz m, n ( f ) m, n ( t) Postać transformaty falkowej przy dyskretyzacji dziedziny przesunięcia x i skali s: m m s s0, x nx0s0, gdzie m, nz, m/ m m, n( t) s0 ( s0 t nx0 ) dla funkcji (sygnału) f, co daje kładąc s 0, x 0 1 tworzymy rozwinięcia w bazach ortonormalnych..
47 Podsumowanie aproksymacja wieloskalowa sygnałów (t) ) ( ) ( /, n t t m m n m ) (, ) (, ) (, ) (,,,,,,,, t f t m t f t f n k m n k n k m n n m n m n m n n m Z Z Z k k m n k n m f a h f a ) ( ) (, 1, k k m n k n m f a g f c ) ( ) (, 1, - funkcja skalująca, analogicznie mamy Dekompozycja f: Sposób obliczania współczynników transformaty jest następujący: współczynniki skalujące współczynniki falkowe )] ( ) ( [ ) (,,, 1 f c g f a h f a k m k n k m k k n n m Rekonstrukcja:
48 Dekompozycja (analiza) sygnału oryginał szczegóły przybliżenia
49 Rozkład pasm w dekompozycji skala oryginał
50 Analiza i synteza sygnału (falki Haara) oryginał rekonstrukcja
51 Falkowe liczenie Wektor danych wejściowych: [1,0,-3,,1,0,1,] Filtry Haara: Wektor współczynników: 1, 1 Haar h 1, 1 g Haar 1, 1, 5, 1 1,,1,,
52 PROSTE ZASTOSOWANIA
53 Przykład docierania do sygnału (dopplerowskiego) sygnał widmo z szumem widmo sygnału dopplerowskiego odszumianie: wydobywanie sygnału zagnieżdżonego w szumie informacyjnym, czyli estymacja sygnału użytecznego ważne są lokalne zmiany, szczegóły metoda: masymalne rozdzielenie sygnału i szumu (zwykle w nowej dziedzinie) + selekcja (najprościej progowanie)
54 Rekonstrukcja z progowaniem odtwarzanie sygnału na podstawie zerowanych współczynników falkowych i skalujących
55 sygnał Odszumianie sygnału sygnał z szumem współczynniki bazy Różne metody progowania twarde prog. () miękkie prog. () rekonstrukcja twarde prog. (4) miękkie prog. (4) rekonstrukcja
56 Gubienie szczegółów sygnał odszumiony sygnał proste uśrednianie odsz. falkowe
57 Odszumianie dopplera spektrogram sygnału oryginalnego po odszumieniu (falka rzędu 8) po odszumieniu (falka rzędu 4)
58 FALKOWA DEKOMPOZYCJA OBRAZÓW
59 sekwencyjna filtracja z podpróbkowaniem Falkowa dekompozycja obrazów (jądro separowalne)
60 Dekompozycja falkowa (schemat diadyczny, z separowanym jądrem)
61 Falkowa dekompozycja obrazów
62 Korzyść ze stosowania transformacji falkowej
63 Pakiety falek
64 Falki bez decymacji
65 Falkowe mikrozwapnienia bez decymacji
66 Modele
67 Modele
68 Rodzina falek w reprezentacji obrazów doskonalenie reprezentacji Falki tensorowe Złożenie przekształceń 1W po wierszach i kolumnach Pakiety falek Bazy nadmiarowe Falki geometryczne Wedgelety, czyli kliniki Beamlety, czyli beleczki Falki kierunkowe Ridgelety, czyli grzbieciki Curvelety, czyli krzywki Contourlety, czyli konturki
69 FALKI DOBRZE OPISUJĄ KRAWĘDZIE??? f L ( R ) Przy transformacji W z separowalnym jądrem (1W1W) dobrze reprezentowane są jedynie punkty osobliwe, a nie linie czy krzywe (czyli kontury)
70 OGRANICZENIA FALEK 1W1W Nie można określić gładkości krawędzi Lepsze wpasowanie w krawędź, charakterystyka gładkości falki 1W1W (tensorowe) falki W (contourlety, curvelety) Oprócz położenia i skali dochodzi argument: orientacja
71 Aproksymacja wedgeletowa
72 PROSTA OBSERWACJA Ludzki system widzenia (HVS): bardzo efektywny, szybki, a receptory dostarczają informacji o położeniu, skali i orientacji Upakowane (sparse) składniki obrazów naturalnych (Olshausen, Field, 1996) imagelets poszukiwanie upakowanej reprezentacji bloki danych źródłowych
73 Curvelety
74 Curvelety II
75 Dziedzina krzywek
76 Obrazki krzywkowe
77 Countourlets: filtry kierunkowe kierunkowe filtry Haara (niebieski to 1, żółty to -1)
78 Contourlets: dekompozycja pasma kierunkowe obraz
79 Contourlets: rozkłady współczynników 3 poziom banku 8 filtrów kierunkowych
80 Contourlets: dekompozycja obrazu
81 Obraz w dziedzinie konturków
82 Aproksymacje 13,6% współczynników falkowa wedgeletowa curveletowa DFT
2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Analiza czas - częstotliwość analiza częstotliwościowa: problem dla sygnału niestacjonarnego zwykła transformata
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ.
LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 1. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. Transformacja falkowa (ang. wavelet falka) przeznaczona jest do analizy
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie i kompresja danych
Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoZastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów
Informatyka, S2 sem. Letni, 2013/2014, wykład#1 Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów dr inż. Paweł Forczmański Katedra Systemów Multimedialnych, Wydział Informatyki ZUT 1 / 61 Alfréd Haar Alfréd
Bardziej szczegółowoTransformata Fouriera
Transformata Fouriera Program wykładu 1. Wprowadzenie teoretyczne 2. Algorytm FFT 3. Zastosowanie analizy Fouriera 4. Przykłady programów Wprowadzenie teoretyczne Zespolona transformata Fouriera Jeżeli
Bardziej szczegółowo4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...
Spis treści 1 Wstęp 11 1.1 Do kogo adresowana jest ta książka... 12 1.2 Historia badań nad mową i językiem... 12 1.3 Obecne główne trendy badań... 16 1.4 Opis zawartości rozdziałów... 18 2 Wyzwania i możliwe
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2 Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS
Bardziej szczegółowoTRANSFORMATA FALKOWA 2D. Oprogramowanie Systemów Obrazowania 2016/2017
TRANSFORMATA FALKOWA 2D Oprogramowanie Systemów Obrazowania 2016/2017 Wielorozdzielczość - dekompozycja sygnału w ciąg sygnałów o coraz mniejszej rozdzielczości na wielu poziomach gdzie: s l+1 - aproksymata
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie Sygnałów. Zastosowanie Transformaty Falkowej w nadzorowaniu
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka Zastosowanie Transformaty Falkowej
Bardziej szczegółowoPrzedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.
Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały
Bardziej szczegółowoTRANSFORMATA FALKOWA. Joanna Świebocka-Więk
TRANSFORMATA FALKOWA Joanna Świebocka-Więk Plan prezentacji 1. Fala a falka czyli porównanie transformaty Fouriera i falkowej 2. Funkcja falkowa a funkcja skalująca 3. Ciągła transformata falkowa 1. Skala
Bardziej szczegółowoLaboratorium Przetwarzania Sygnałów
PTS - laboratorium Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Ćwiczenie 4 Transformacja falkowa Opracował: - prof. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński Zakład Inżynierii Biomedycznej Instytut Metrologii i Inżynierii
Bardziej szczegółowoTeoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Teoria sygnałów Signal Theory A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoPRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW SEMESTR V Wykład VIII Podstawy przetwarzania obrazów Filtracja Przetwarzanie obrazu w dziedzinie próbek Przetwarzanie obrazu w dziedzinie częstotliwości (transformacje częstotliwościowe)
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoPOSZUKIWANIE FALKOWYCH MIAR POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO OBRAZÓW CYFROWYCH JAKO WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI WIZUALNEJ
Krystian Pyka POSZUKIWANIE FALKOWYCH MIAR POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO OBRAZÓW CYFROWYCH JAKO WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI WIZUALNEJ Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki badań nad wykorzystaniem falek do analizy
Bardziej szczegółowoFILTRACJE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI
FILTRACJE W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI ( frequency domain filters) Każdy człon F(u,v) zawiera wszystkie wartości f(x,y) modyfikowane przez wartości członów wykładniczych Za wyjątkiem trywialnych przypadków
Bardziej szczegółowoALA MA KOTA MEDIA - OBRAZ OBRAZ. Operacje na obrazie. Informacja ukryta w teksturach, hierarchii krawędzi. Obraz to kompozycja:
OBRAZ Obraz to kompozycja: tła konturów tekstur PODSTAWY TECHNIK MULTIMEDIALNYCH, A.Przelaskowski MEDIA - OBRAZ f R M N k ALA MA KOTA obraz losowy bez żadnej informacji Dwuwymiarowa struktura: macierz
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Fouriera obrazów FFT
Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację
Bardziej szczegółowoKompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.
1 Kodowanie podpasmowe Kompresja Danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, 18.05.2006 1.1 Transformaty, próbkowanie i filtry Korzystamy z faktów: Każdą funkcję okresową można reprezentować w postaci
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowo9. Dyskretna transformata Fouriera algorytm FFT
Transformata Fouriera ma szerokie zastosowanie w analizie i syntezie układów i systemów elektronicznych, gdyż pozwala na połączenie dwóch sposobów przedstawiania sygnałów reprezentacji w dziedzinie czasu
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoLaboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych
Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych Ćwiczenie 2 Analiza sygnału EKG przy użyciu transformacji falkowej Opracowali: - prof. nzw. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński - inż. Tomasz Kubik Politechnika
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoPałkowa analiza sygnałów
Remigiusz J. RAK, Andrzej MAJKOWSKI Politechnika Warszawska, Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno-Pomiarowych Pałkowa analiza sygnałów Streszczenie. Cechą charakterystyczną lalkowej
Bardziej szczegółowoFiltracja obrazu operacje kontekstowe
Filtracja obrazu operacje kontekstowe Główne zadania filtracji Usunięcie niepożądanego szumu z obrazu Poprawa ostrości Usunięcie określonych wad obrazu Poprawa obrazu o złej jakości technicznej Rekonstrukcja
Bardziej szczegółowoCYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)
I. Wprowadzenie do ćwiczenia CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera) Ogólnie termin przetwarzanie sygnałów odnosi się do nauki analizowania zmiennych w czasie procesów fizycznych.
Bardziej szczegółowoTransformacje Fouriera * podstawowe własności
Transformacje Fouriera * podstawowe własności * podejście mało formalne Funkcja w domenie czasowej Transformacja Fouriera - wstęp Ta sama funkcja w domenie częstości Transformacja Fouriera polega na rozkładzie
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.
Strona 1 z 38 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko alicja@cbk.waw.pl 2 czerwca 2006 1 Omówienie danych 3 Strona główna Strona 2 z 38 2
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 9 AiR III
1 Na podstawie materiałów autorstwa dra inż. Marka Wnuka. Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów Metody analizy sygnału Do tej pory - analiza sygnału jako funkcji
Bardziej szczegółowoAdaptacyjne Przetwarzanie Sygnałów. Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości
W Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości Blokowy algorytm LMS (BLMS) N f n+n = f n + α x n+i e(n + i), i= N L Slide e(n + i) =d(n + i) f T n x n+i (i =,,N ) Wprowadźmy nowy indeks: n = kn (
Bardziej szczegółowoAutomatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, Spis treści
Automatyczne rozpoznawanie mowy - wybrane zagadnienia / Ryszard Makowski. Wrocław, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Rozdział 1. WPROWADZENIE 13 1.1. Czym jest automatyczne rozpoznawanie mowy 13 1.2. Poziomy
Bardziej szczegółowoSzybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform) Plan wykładu: 1. Transformacja Fouriera, iloczyn skalarny 2. DFT - dyskretna transformacja Fouriera 3. FFT szybka transformacja Fouriera a) algorytm
Bardziej szczegółowoKompresja dźwięku w standardzie MPEG-1
mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 7, strona 1. Kompresja dźwięku w standardzie MPEG-1 Ogólne założenia kompresji stratnej Zjawisko maskowania psychoakustycznego Schemat blokowy
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 7 Transformaty i kodowanie. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 7 Transformaty i kodowanie Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS Wykład
Bardziej szczegółowoKodowanie transformacyjne. Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG
Kodowanie transformacyjne Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG Zasada Zasada podstawowa: na danych wykonujemy transformacje która: Likwiduje korelacje Skupia energię w kilku komponentach
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski
Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera Adam Wojciechowski Przekształcenia widmowe Odmiana przekształceń kontekstowych, w których kontekstem jest w zasadzie cały obraz. Za pomocą transformaty Fouriera
Bardziej szczegółowoWykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji
Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,
Bardziej szczegółowoAnaliza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew
Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet Andrzej Andrijew Plan referatu Samopodobieostwo w sieci Internet Samopodobne procesy stochastyczne Metody sprawdzania samopodobieostwa Modelowanie przepływów
Bardziej szczegółowoAnaliza obrazów - sprawozdanie nr 2
Analiza obrazów - sprawozdanie nr 2 Filtracja obrazów Filtracja obrazu polega na obliczeniu wartości każdego z punktów obrazu na podstawie punktów z jego otoczenia. Każdy sąsiedni piksel ma wagę, która
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoRóżne reżimy dyfrakcji
Fotonika Wykład 7 - Sposoby wyznaczania obrazu dyfrakcyjnego - Przykłady obrazów dyfrakcyjnych w polu dalekim obliczonych przy użyciu dyskretnej transformaty Fouriera - Elementy dyfrakcyjne Różne reżimy
Bardziej szczegółowo8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)
8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowoprzetworzonego sygnału
Synteza falek ortogonalnych na podstawie oceny przetworzonego sygnału Instytut Informatyki Politechnika Łódzka 28 lutego 2012 Plan prezentacji 1 Sformułowanie problemu 2 3 4 Historia przekształcenia falkowego
Bardziej szczegółowoDYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.
CPS 6 DYSKRETE PRZEKSZTAŁCEIE FOURIERA C.D. Twierdzenie o przesunięciu Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że: Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Czasowo-częstotliwościowa analiza sygnałów Metody analizy sygnału Do tej pory - analiza sygnału jako funkcji
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowoZmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.
Strona 1 z 27 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko Wiesław Kosek Waldemar Popiński Seminarium Sekcji Dynamiki Ziemi Komitetu Geodezji PAN
Bardziej szczegółowoWykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji
Fotonika Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji Plan: pojęcie sygnału w optyce układy liniowe filtry liniowe, transformata Fouriera,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoInstrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera
Instrukcja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Wybrane właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość instrukcji: 1 Materiał z zakresu DSP 1.1 Macierzowy
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 7 AiR III
1 Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania wyłącznie do własnych, prywatnych potrzeb i może
Bardziej szczegółowoFiltracja obrazu operacje kontekstowe
Filtracja obrazu operacje kontekstowe Podział metod filtracji obrazu Metody przestrzenne i częstotliwościowe Metody liniowe i nieliniowe Główne zadania filtracji Usunięcie niepożądanego szumu z obrazu
Bardziej szczegółowof = 2 śr MODULACJE
5. MODULACJE 5.1. Wstęp Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej. Przyczyny stosowania modulacji: 1. Umożliwienie wydajnego wypromieniowania
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści
Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje
Bardziej szczegółowoWykład 1. Przestrzeń Hilberta
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające
Bardziej szczegółowoAdaptive wavelet synthesis for improving digital image processing
for improving digital image processing Politechnika Łódzka Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej 4 listopada 2010 Plan prezentacji 1 Wstęp 2 Dyskretne przekształcenie falkowe
Bardziej szczegółowoBIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat
BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat Biblioteka biops zawiera funkcje do analizy i przetwarzania obrazów. Operacje geometryczne (obrót, przesunięcie,
Bardziej szczegółowoTransformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.
Bardziej szczegółowoAiR_CPS_1/3 Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Digital Signal Processing
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowospis treści 1 Zbiory i zdania... 5
wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów
Bardziej szczegółowoAnaliza porównawcza wybranych transformat w kontekście zobrazowania zaszumionego sygnału harmonicznego
Bi u l e t y n WAT Vo l. LXIV, Nr 3, 2015 Analiza porównawcza wybranych transformat w kontekście zobrazowania zaszumionego sygnału harmonicznego Artur Zacniewski Akademia Marynarki Wojennej w Gdyni, Wydział
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE
1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie sygnałów. Wykład 10. Transformata cosinusowa. Falki. Transformata falkowa. dr inż. Robert Kazała
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Wykład 10 Transformata cosinusowa. Falki. Transformata falkowa. dr inż. Robert Kazała 1 Transformata cosinusowa Dyskretna transformacja kosinusowa, (DCT ang. discrete cosine
Bardziej szczegółowoFalki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie
Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie Wstęp Praca próbuje opisać czym jest falka oraz podać zastosowania falek w praktyce. Na wstępie w Postaci matematycznej falki zaprezentujemy czym jest problem
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) 1. Filtracja cyfrowa podstawowe
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1
Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA DOTYCZĄCE ZALICZENIA ZAJĘĆ
Nazwa przedmiotu: Techniki symulacji Kod przedmiotu: ES1C300 015 Forma zajęć: pracownia specjalistyczna Kierunek: elektrotechnika Rodzaj studiów: stacjonarne, I stopnia (inŝynierskie) Semestr studiów:
Bardziej szczegółowouzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t
4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoAkustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH
Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH Dźwięk muzyczny Dźwięk muzyczny sygnał wytwarzany przez instrument muzyczny. Najważniejsze parametry: wysokość związana z częstotliwością podstawową, barwa
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoEgzamin / zaliczenie na ocenę*
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr 4 do ZW 33/01 KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Nazwa w języku angielskim DIGITAL SIGNAL PROCESSING Kierunek studiów
Bardziej szczegółowo(1.1) gdzie: - f = f 2 f 1 - bezwzględna szerokość pasma, f śr = (f 2 + f 1 )/2 częstotliwość środkowa.
MODULACJE ANALOGOWE 1. Wstęp Do przesyłania sygnału drogą radiową stosuje się modulację. Modulacja polega na odzwierciedleniu przebiegu sygnału oryginalnego przez zmianę jednego z parametrów fali nośnej.
Bardziej szczegółowo