Inżynieria Finansowa: 9. Wartość opcji i model Blacka-Scholesa w praktyce

Inżynieria Finansowa: 9. Wartość opcji i model Blacka-Scholesa w praktyce Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE Czerwiec 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa

Wypłata Wypłata Opcja binarna 0 urs (S) w terminie zapadalności S 0 = S h urs (S) w terminie zapadalności 0 +h urs (S) w terminie zapadalności

66 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126 130 134 138 142 146 150 154 Procent wypłaty (%) Opcja binarna: wartość przed terminem zapadalności C binary S, = lim h 0 C t C t + h h = C = = e r(t t) Φ ln S t σ2 (r 2 )(T t) σ T t = = D N(d 2 ) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Wartość opcji binarnej, =110, t=0,5, vol=25%

Wypłata Opcja to dwie opcje binarne S 0 urs (S) w terminie zapadalności 0 urs (S) w terminie zapadalności S 0 urs (S) w terminie zapadalności

Model Blacka-Scholesa V = C t S, = = e r(t t) e r(t t) S t Φ ln F t + σ2 2 σ T t (T t) Φ ln F t σ2 2 σ T t (T t) = = D F N d + D N(d )

Model Blacka-Scholesa V = C t S, = S t Φ ln S t σ2 + (r + )(T t) 2 σ T t e r(t t) Φ ln S t σ2 (r )(T t) 2 σ T t S t T

Model Blacka-Scholesa V = C t S, = S t Φ ln S t σ2 + (r + )(T t) 2 σ T t e r(t t) Φ ln S t σ2 (r )(T t) 2 σ T t S t T

Model Blacka-Scholesa V = C t S, = S t Φ ln S t σ2 + (r + )(T t) 2 σ T t e r(t t) Φ ln S t σ2 (r )(T t) 2 σ T t S t T

Model Blacka-Scholesa V = C t S, = S t Φ ln S t σ2 + (r + )(T t) 2 σ T t e r(t t) Φ ln S t σ2 (r )(T t) 2 σ T t S t T

Model Blacka-Scholesa V t + 1 2 σ2 S 2 V V + rs S2 S rv = 0 Przyjrzyjmy się składowym równania (V to wartość opcji lub portfela opcyjnego): V S to pierwsza pochodna ceny derywatu po cenie bazowego, inaczej delta, Δ 2 V S 2 to druga pochodna ceny derywatu po cenie bazowego, inaczej gamma, Γ V t to pierwsza pochodna wartości derywatu po czasie, inaczej theta, Θ Równanie B-S mówi zatem, że cena instrumentu pochodnego zależy od jej wrażliwości na zmiany cen bazowego i czas: theta + gamma 1 2 σ2 S + delta rs rv = 0

Równanie i model Blacka-Scholesa theta + gamma 1 2 σ2 S + delta rs rv = 0 Jeśli nasz portfel opcyjny zostanie tak skonstruowany, że jego delta będzie wynosić 0 (będzie tak np. w przypadku strategii straddle ATM lub strangle ATM) to równanie B-S mówi, że: theta + gamma 1 2 σ2 S = rv Biorąc pod uwagę, że rv będzie zwykle relatywnie małe, a gamma jest wszędzie dodatnia możemy w przybliżeniu powiedzieć, że duża dodatnia gamma musi oznaczać dużą ujemną thetę. Portfel, na którym dużo zarabiamy z tytułu wypukłej relacji między ceną aktywu podstawowego a ceną instrumentu pochodnego będzie jednocześnie dużo tracił z tytułu upływu czasu.

Model B-S a rzeczywistość Proces stóp zwrotu Model B-S Rozkład normalny o stałych w czasie parametrach Rzeczywistość Rozkład inny od normalnego o zmiennych w czasie parametrach i grubych ogonach Warunki rynkowe Brak kosztów transakcyjnych Brak ryzyka kontrahenta Brak widełek kupno-sprzedaż oszty transakcyjne Ryzyko kontrahenta Widełki kupno sprzedaż istnieją i są zmienne w czasie Możliwe zabezpieczanie Ciągłe, pełne Dyskretne, niepełne

2000 1000 Jak sobie radzą uczestnicy rynku? 0 2000-03-01 2003-04-10 2006-05-15 2009-06-17 2012-06-22 400 0.2 0.1 0-0.1 WIG20 - dzienne stopy zwrotu 350 300 250 200 150-0.2 2000-03-01 2003-04-10 2006-05-15 2009-06-17 2012-06-22 100 50 0-0.15-0.1-0.05 0 0.05 0.1 Zmienność implikowana Uśmiech zmienności implikowanej 45 40 Zmienność implikowana 35 30 25 RiskReversal 25-Delta ButterFly 25-Delta Uśmiech zmienności 20 15 10 5 0 urs walutowy 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 EURUSD EURPLN EURCZ EURHUF 25-Delta put At-The-Money 25-Delta call

Uwzględnienie charakteru zmienności: Vega, Volga i Vanna νolga = v σ = Δ σ = 2 v σ 2 ν = v σ (Vega to tak naprawdę greckie nu, bo nu w grece pisze się ν) Vega obrazuje jak opcja jest wrażliwa na zmiany zmienności Jej przebieg jest bardzo zbliżony do gammy, tylko skala na osi X jest większa autor: G. Rosiński Volga pokazuje jak bardzo wrażliwa jest vega na zmiany zmienności νanna = v S = Δ σ = 2 v S σ Vanna pokazuje jak bardzo wrażliwa jest delta na zmiany zmienności

Vega

Miara martyngałowa o proces stochastyczny Model B-S: proces stochastyczny to GBM, normalny rozkład stóp zwrotu (stały w czasie), log-nomalny poziomu ceny, ściśle określona miara martyngałowa. W rzeczywistości rozkład stóp zwrotu nie jest ani normalny ani stały w czasie. Należy do rzeczywistego rozkładu dopasować odpowiadająca mu miarę martyngałową. Źródło: Wiki

Podejście martyngałowe w praktyce Najlepiej zapytać praktyka, a jeszcze lepiej znanego praktyka z dużym doświadczeniem (za E. Derman): 1. Znajdź proces, który wydaje się dobrze opisywać zachowanie cen aktywu w rzeczywistości, może i pewnie powinien mieć wodotryski w postaci np. skokowych zmian ceny i zmienności (używamy prawdodpodobieństw obiektywnych i zwykłej estymacji) 2. Przekształć ten proces tak, by jego oczekiwana stopa zwrotu była równa stopie wolnej od ryzyka (Mu=r). W ten sposób przechodzimy na miarę martyngałową (w szczególnych przypadkach można tego dokonać analitycznie, w przeciwnym wypadku metodą prób i błędów numerycznie z symulacją Monte-Carlo, za wszystkim zwykle stoi twierdzenie Girsanova) 3. Sprawdź, że Twój model wycenia istniejące i handlowane już instrumenty tak samo jak rynek. Wtedy możesz go użyć do wyceny. Patrz: http://www.emanuelderman.com/writing/entry/the-necrophiliac-haters-guide-to-buildingarbitrage-free-models

Uśmiech (grymas) zmienności Zmienność implikowana RiskReversal 25-Delta ButterFly 25-Delta Uśmiech zmienności Vol[Call x delta ] = ATM + 0,5 RR x + BF(x) Vol[Put x delta ] = ATM 0,5 RR x + BF(x) Delta (BS) Strike 25-Delta put = N d + = Φ ln S At-The-Money 25-Delta call σ2 + (r + )(T t) 2 σ T t urs walutowy S = Risk reversal Vol[RR x ] = Call x Put x Vol[BF x ] = Butterfly Call x + Put x 2 ATM

Zmienność implikowana 45 40 35 Zmienność implikowana 30 25 20 RiskReversal 25-Delta ButterFly 25-Delta Uśmiech zmienności 15 10 5 urs walutowy 0 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 25-Delta put At-The-Money 25-Delta call EURUSD EURPLN EURCZ EURHUF

Uśmiech (grymas) zmienności Vol RR = Vol call, OTM Vol(put, OTM) Zmienność implikowana Źródło: Bloomberg. Uwagi: ontrakt risk reversal (RR) polega na złożeniu dwóch kontraktów opcyjnych (nabyciu opcji kupna i sprzedaży opcji sprzedaży) OTM, a jego cenę wyrażana się jako różnicę pomiędzy implikowaną zmiennością długiej opcji kupna i krótkiej opcji sprzedaży. Informuje nas o tym, czy relatywnie droższe są opcje chroniące przed wzrostem czy spadkiem kursu, oraz w jakim stopniu. RiskReversal 25-Delta ButterFly 25-Delta Uśmiech zmienności urs walutowy 25-Delta put At-The-Money 25-Delta call

Uśmiech (grymas) zmienności Zmienność implikowana RiskReversal 25-Delta ButterFly 25-Delta Uśmiech zmienności urs walutowy 25-Delta put At-The-Money 25-Delta call

Praktyka rynkowa i greki Równanie B-S mówi, że cena opcji zależy od 5 czynników: kursu wykonania, kursu bieżącego, terminu do zapadalności, stopy procentowej i zmienności V = V, S, t, r, σ Model zakłada, iż dwa z nich - stopa procentowa i zmienność - są stałe w czasie, dlatego formuła B-S zawiera tylko trzy greki. W rzeczywistości stopa procentowe i zmienność nie są stałe w czasie. Uczestnicy rynku uwzględniają ten fakt, obliczając wrażliwość swych pozycji także na zmiany stopy procentowej i zmiany zmienności (starając się uwzględnić wrażliwość wyższego rzędu oraz zależności krzyżowe, patrz np. vanna). W uproszczeniu zmiana wartości instrumentu w reakcji na małe zmiany wartości czynników ryzyka wynosi: V = V +, S + S, t + t, r + r, σ + σ V, S, t, r, σ

Praktyka rynkowa i greki V = V +, S + S, t + t, r + r, σ + σ V, S, t, r, σ W uproszczeniu (nie uwzględniając m.in. części wyższych momentów): V V t V t + S S + 1 2 V 2 S 2 S 2 + V V σ + σ r r Innymi słowy: V theta t + delta S + 1 2 gamma S 2 + vega σ + rho r

Wrażliwość portfela opcyjnego Jeśli portfel składa się z N instrumentów, to wrażliwość portfela będzie wypadkową wrażliwości poszczególnych składowych. To o czym należy pamiętać, to fakt, iż stopy procentowe i zmienność mogą dla każdego instrumentu oznaczać coś innego (np. zmienność dla opcji ATM będzie inna niż dla opcji OTM) i trzeba brać zmiany na odpowiednim miejscu krzywej/płaszczyźnie zmienności V Theta t + Delta S + 1 2 Gamma S 2 + vega i σ i + r i r i gdzie: Theta = σ N i=1 theta i, Delta = σ N i=1 delta i, Gamma = σ N i=1 gamma i

Wrażliwość portfela opcyjnego - przykład V Theta t + Delta S + 1 2 Gamma S 2 + vega i σ i + r i r i Dwa typy opcji kupna w portfelu: Opcja Liczba Cena Strike Mat. Delta Gamma Theta Vega A 1000 10 90 3M 0,1 0,125-0,11 10 B 2000 15 80 3M 0,15 0,175-0,16 20 O ile zmieni się wartość portfela, jeśli zaniedbywalnie małym odstępie czasu zmienność na rynku wzrosła o 0,05, a cena instrumentu bazowego spadła o 1?

Wrażliwość portfela opcyjnego - przykład A B Suma Portfel N 1000 2000 X 10 15 90 80 Teta ( lata) -0,11-0,16-430 Delta ( cena) 0,1 0,15 400 Gamma ( cena) 0,125 0,175 475 Vega ( p. p. ) 10 20 50000 ds. -1-1 -1 dt 0 0 0 dv 0,05 0,05 0,05 dv 0,4625 0,9375 1,4 dv*n 462,5 1875 2337,5 2337,5 N N N V theta i 0 + delta i ( 1) + 1 2 gamma i 1 2 + vega i (0,05) + rho 0 i=1 i=1 i=1

Wycena w praktyce Alternatywnie zamiast przechodzić z miary obiektywnej do martyngałowej możemy od razu starać się wydobyć miarę martyngałową z cen rynkowych. 1. Stwórz uśmiech/płaszczyznę zmienności interpolując i ekstrapolując (w użyciu jest bardzo wiele metod). W ten sposób dostajemy ceny opcji dla wszystkich interesujących nas kursów i horyzontów wykonania i możemy udawać, że rynek jest zupełny. 2. Patrząc na ceny strategii buterffly o bardzo małych Δ (sprzedaj dwie opcje kupna na, kup jedną na -Δ oraz jedną na +Δ) dostajemy w przybliżeniu ceny A-D dla stanu. 3. Przechodząc tak przez cale spektrum otrzymujemy całe spektrum cen A-D i możemy ich używać do wyceny dowolnych wypłat. -Δ Problemem z tym podejściem jest m.in., że zakładamy zupełność rynku, choć w rzeczywistości tak nie jest. +Δ

Uśmiech zmienności, ceny opcji i miara martyngałowa Uśmiech zmienności Ceny opcji Skalibrowana RND 30% Hipotetyczny uśmiech zmienności 2,5% Hipotetyczne continuum cen opcji Oszacowany RND (3LN) 25% wotowania rynkowe 2,0% wotowania cen opcji Ceny rynkowe 20% 15% 1,5% Punkty użyte do estymacji 10% 1,0% urs kasowy 5% 0,5% 0% -0,05-0,2-0,35 ATM 0,35 0,2 0,05 0,0% 3,50 3,75 4,00 4,25 4,50 4,75 5,00 3,5 3,75 4 4,25 4,5 4,75 5 5,25 5,5

Prawdopodobieństwo martyngałowe

Podejście martyngałowe w praktyce Najlepiej zapytać praktyka, a jeszcze lepiej znanego praktyka z dużym doświadczeniem (za E. Derman): 1. Znajdź proces, który wydaje się dobrze opisywać zachowanie cen aktywu w rzeczywistości, może i pewnie powinien mieć wodotryski w postaci np. skokowych zmian ceny i zmienności (używamy prawdodpodobieństw obiektywnych i zwykłej estymacji) 2. Przekształć ten proces tak, by jego oczekiwana stopa zwrotu była równa stopie wolnej od ryzyka (Mu=r). W ten sposób przechodzimy na miarę martyngałową (w szczególnych przypadkach można tego dokonać analitycznie, w przeciwnym wypadku metodą prób i błędów numerycznie z symulacją Monte-Carlo, za wszystkim zwykle stoi twierdzenie Girsanova) 3. Sprawdź, że Twój model wycenia istniejące i handlowane już instrumenty tak samo jak rynek. Wtedy możesz go użyć do wyceny. Patrz: http://www.emanuelderman.com/writing/entry/the-necrophiliac-haters-guide-to-buildingarbitrage-free-models

Wpływ zmienności na ceny opcji strategia straddle Wartość strategii przed terminem zapadalności Wypłata w terminie zapadalności w zależności od poziomu cen aktywu bazowego Jeśli kurs zmieni się w którąkolwiek stronę zarobimy (gammę), ale stracimy na wartości czasowej (thetę). To czy zarobimy czy stracimy zależy od skali zmiany ceny instrumentu bazowego i czasu, który upłynął. Uwzględniając możliwość zmiany samej zmienności zwrócimy uwagę, że możemy też zarabiać jeśli wzrośnie oczekiwana zmienność aktywu, choć cena się nie zmieni (przerywana linia).

Przykład: strategia straddle: long call, long put Strategia straddle składa się z kupionych opcji kupna i sprzedaży z tym samym kursem wykonania i z tym samym terminem zapadalności.

Strategia straddle i greki Wartość strategii przed terminem zapadalności Delta=kąt nachylenia stycznej Wypłata w terminie zapadalności w zależności od poziomu cen aktywu bazowego Dla kursu bieżącego równemu kursowi wykonania (straddle ATM) d1=0, a tym samym wielkość zabezpieczenia wynosi 0. Jeśli kurs zmieni się w którąkolwiek stronę zarobimy (gammę), ale stracimy na wartości czasowej (thetę). To czy zarobimy czy stracimy zależy od skali zmiany bazowego i czasu, który upłynął.