POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 86 Electrcal Engneerng 2016 Stansław PŁACZEK* ZASTOSOWANIE METOD DEKOMPOZYCJI I KOORDYNACJI W ANALIZIE SYSTEMÓW ELEKTRYCZNYCH Złożone systemy najlepej analzować dokonując wydzelena mnejszych podsystemów, podsec łączących sę z sąsednm podsecam powązanam wejśca wyjśca. Każdą podseć możemy analzować poprzez zastosowane odpowednch algorytmów procedur wynkających z potrzeb globalnego zadana. W artykule proponuje sę zastosowane metod dekompozycj koordynacj w analze złożonych zadań. Na perwszym pozome występują podsec lokalne, połączone pomędzy sobą oraz z secą nadrzędną nterfejsam. Rozwązana cząstkowe zależą ne tylko od wewnętrznych parametrów podsec lecz równeż od wartośc nterfejsów. Otrzymane rezultaty musza być skoordynowane w tak sposób, aby otrzymać rozwązane globalnego zadana. SŁOWA KLUCZOWE: złożoność systemu, herarcha, dekompozycja, koordynacja, analza systemu, zbeżność algorytmu 1.1. Wprowadzene 1. ZŁOŻONOŚĆ SYSTEMU Współczesne systemy elektryczne, energetyczne jak elektronczne zalczamy do systemów dużych ze względu na ch złożoność strukturalną jak parametry sygnałów. Przykładów można szukać w systemach zaslana współczesnych kopalń węgla medz, dużych systemach sec zaslana jak w skomplkowanych schematach urządzeń elektroncznych mnejszej mocy. W zależnośc od wchodzących w skład systemu elementów zalczamy je do lnowych lub nelnowych, analzujemy stany stacjonarne jak procesy dynamczne. We wszystkch przypadkach tworzone są układy równań zawerające klkaset lub klka tysęcy równań. Rozwązywane tych równań jest, nawet dla współczesnych komputerów czasochłonne, a zrozumene powązań pomędzy modułam jak elementam systemu jest bardzo utrudnone. W artykule wszystke tego typu systemy nne będą nazywane systemam elektrycznym lub obwodam elektrycznym (secam). Spojrzene całoścowe, do czego zmusza system, polega * Akadema Fnansów Bznesu Vstula.
34 Stansław Płaczek na skupenu uwag na tych składnkach zwązkach, które są stotne dla realzacj celu systemu. Formalne przez system S oznaczony zostane zbór elementów lub obektów, które są powązane w całość relacjam. S U, { R}, Y (1) gdze: U zbór wyróżnonych elementów wejśca, Y- zbór wyróżnonych elementów wyjśca, R relacje określone na zborach U Y, z których każda reprezentuje pewen rodzaj zwązków zależnośc mędzy elementam. Według [1] relacje pomędzy elementam U Y systemu można przedstawć na dwa sposoby: Opsy przez wejśce wyjśce. Przez system S rozume sę odwzorowane przyporządkowujące każdemu elementow zboru u U element zboru y Y. S : U Y (2) W praktyce zależnośc pomędzy elementam wejśca wyjśca wyrażone są układam równań różnczkowych lub algebracznych. Opsu teleologcznego. Relacja jest opsana w sposób nejawny jako procedura rozwązana zadana. System S nazywa sę rozwązującym zadane (systemem podjęca decyzj), jeżel stneje zbór zadań D zbór rozwązań Y. Dla dowolnego elementu u U oraz y Y, para (u, y) należy do systemu S, czyl ( u, y) S (3) Wtedy tylko wtedy, kedy y jest rozwązanem zadana D(U). Tak zdefnowany system elektryczny lub złożony obwód elektryczny ne można opsać w sposób prosty jednoznaczny. Rozpatrzono system z punktu wdzena zależnośc złożonych, herarchcznych, a manowce: dokładnośc lub różnorodnośc opsu, złożonośc oblczenowej lub złożonośc podjęca decyzj. W artykule przedstawa sę zastosowane metody dekompozycj jak koordynacj w rozwązywanu lnowych jak nelnowych obwodów. Nacsk kładze sę na metody koordynacj, mające strategczny wpływ na szybkość rozwązana zadań cząstkowych osągnęca rozwązana globalnego. 1.2. Stratyfkacja. Złożoność opsu Zgodne z [1, 4] złożone systemy technczne jak przyrodncze nemożlwe jest opsać dokładne precyzyjne używając pojęć termnolog tylko z jednej dzedzny. Problemem jest konflkt pomędzy prostotą opsu a dokładnoścą. W przypadku złożonych sec elektrycznych, dokonuje sę słownego opsu struktury sec. Równeż seć opsuje sę poprzez stosowane równań algebracznych lub różnczkowych, a także opsuje sę różne rozwązana praktyczne w forme układów lub algorytmu. Dlatego też do opsu przyjmuje sę zbór model z róż-
Zastosowane metod dekompozycj koordynacj w analze systemów... 35 nych dzedzn nauk technk. Każdy model używa swoch zmennych termnolog o różnym pozome abstrakcj. Do pełnego opsu zrozumena budowy oraz funkcjonowana sec stosuje sę węc pewen herarchczny zbór abstrakcj (rys. 1). Dla odróżnena tego typu koncepcj od drugch, a szczególne od warstwy, przyjmuje sę założene, że strukturę dowolnej sec można opsać poprzez stratyfkowane model pojęć na różnych pozomach. Pozomy abstrakcj opsu sec nazwano stratam 1.3. Słoje. Złożoność organzacyjna Rys. 1. Stratyfkacja opsu układu elektrycznego Złożoność topologczna rozpatrywanego systemu (układu elektrycznego) może być bardzo duża. Układ może zawerać setk węzłów (werzchołków) oraz krawędz. Całoścowe rozpatrywane układu elektrycznego w celu dokonana jego analzy może być utrudnone. Dąży sę węc do wydzelena z całoścowe struktury układu elektrycznego, układów mnejszych, które nazywa sę podukładam lub podsecam. Najczęścej udaje sę wydzelć pewen szkelet zewnętrzny lub nadrzędny, spełnający funkcję konstrukcj bazowej oraz klka podsec lokalnych będących w określonej relacj topologcznej z secą nadrzędną. Proces ten można kontynuować w stosunku do każdej lokalnej podsec, otrzymując jeszcze mnejsze struktury zwane podsecam II pozomu. Proces ten nazywany jest strukturalną dekompozycją (rys. 2). Na rys. 2 wydzelono trzy podsec: podseć nadrzędna S0, zawera podstawową strukturę układu, zawerającą dwa źródła zaslające oraz zewnętrzny zbór opornków (odbornków energ). podsec lokalne S1, S2 składają sę tylko z elementów pasywnych. Podsec te połączone są z secą nadrzędną S0 oraz medzy sobą połączenem lokalnym pomędzy S1 S2.
36 Stansław Płaczek Rys. 2. Schemat układu elektrycznego z wydzelonym podsecam Do opsu dekompozycj całoścowej struktury układu na podsec, wprowadzono pojęce słoja. Na perwszym pozome znajdują sę autonomczne podsec z lokalnym funkcjam celu oraz lokalnym ogranczenam. Celem każdej podsec jest realzacja własnej funkcj celu, defnowanej najczęścej jako mnmum mocy w układze. Na drugm pozome znajduje sę seć nadrzędna (szkeletowa), która realzuje wzajemne połączena. Równeż seć nadrzędna realzuje własna funkcję celu. Wszystke podsec połączone są powązanam mędzysecowym, zwane nterfejsam. Interfejsy łączą wyjśce danej podsec z określonym, wejścem podsec sąsednej I lub II pozomu. Każda podseć, w celu wymany nformacj z pozostałym podsecam mus posadać jeden nterfejs wejścowy jeden wyjścowy. Schemat herarchcznej struktury podsec dla układu z rys. 2, pokazano na rys. 3. Rys. 3. Herarchczna struktura systemu (perwotnego układu elektrycznego) Elementy systemu (całoścowego układu elektrycznego) reprezentowane są blokam o pewnych wejścach U j oraz wyjścach Y j, gdze ndex -oznacza numer podsec, natomast j numer kolejny sygnału. Stan wewnętrzy danej podsec zależy ne tylko od wewnętrznej struktury (grafu połączeń) wartośc elementów aktywnych pasywnych, lecz równeż od wartośc sygnałów wejścowych U. Lokalna funkcja celu, czyl moc w układze można zapsać jako:
Zastosowane metod dekompozycj koordynacj w analze systemów... 37 P ( X, U) (4) Wyjśce danej podsec jest równeż funkcją wewnętrznego stanu jak sygnałów wejścowych: Y F( X, U) (5) gdze: X wektor stanu, zawerający wartośc prądów jak napęć w danej podsec, U wektor nterfejsów wejścowych danej podsec, Y wektor nterfejsów wyjścowych danej podsec. Z formalnego punktu wdzena obekty systemu mogą meć po klka wejść wyjść. W dużych strukturach skomplkowanych konfguracjach mogą osągać dzesątk. Można każde z połączeń przedstawć w postac równośc wektorowej: U (6) j Y kl gdze:, k numery podsec, j, l- numer nterfejsu zwązanego z daną podsecą. I tak U 12 oznacza, że jest to nterfejs nr 2 wchodzący do podsec nr 1. Wszystke połączena opsane (6) można przedstawć w forme macerzy połączeń M, złożonej z zer jedynek. Rys. 4. Macerz połączeń dla struktury herarchcznego systemu Dotychczas wprowadzone pojęca straty oraz słoja realzują ponową dekompozycję pojęć zależnośc połączeń pomędzy podsecam. Ne pokazują w sposób przejrzysty konkretnej struktury lub koncepcj algorytmu oblczena rozpływu prądów w podsecach, a tym samym w całej sec. W tym też celu wprowadzono pojęce eszelonu, jako opsu herarchcznej struktury algorytmu uczena. 1.4. Eszelon. Organzacja oblczeń rozpływu prądów Przyjęto, że rozpatrywane są procesy statyczne. Istotne są rozpływy prądów napęć w obwodze elektrycznym w stane ustalonym. Rozpływy prądów w dowolnym lnowym lub nelnowym obwodze, poszukwane będą poprzez poszukwane mnmum funkcj celu zadanej jako równane blansu mocy wraz z ogranczenam I oraz II prawa Krchhoffa. Tak sformułowane zadane ma trzy bardzo stotne właścwośc:
38 Stansław Płaczek zadane analzy obwodu sprowadza sę do zadana poszukwana mnmum funkcj celu, funkcja celu jest addytywna, tak węc moc całkowta w obwodze jest równa sume mocy w poszczególnych podsecach, podsec połączone są nterfejsam, co pozwala na przepływ energ pomędzy podsecam, a tym samym uzyskane mnmum globalnej funkcj celu. Dla układu przedstawonego na rys. 2 oraz rys. 3, globalna funkcja celu może być zdefnowana wzorem: P P0 P1 P2 (7) wraz z ogranczenam globalnym na wartośc nterfejsów: U M Y (8) gdze: P 0, P 1, P 2 funkcje celu dla podsec S0, S1, S2, U wektor nterfejsów wejścowych zadanych macerzą z rys.4, Y wektor nterfejsów wyjścowych zadanych macerzą M. W oparcu o [2, 3], proces poszukwana mnmum globalnej funkcj celu, można realzować poprzez dwuetapową mnmalzację polegającą na tym, że na I pozome mnmalzuje sę lokalne funkcje celu względem częśc zmennych (poszukwanych wartośc prądów), a pozostałe zmenne koordynujące mają wartośc zadane przez II pozom. Wynk mnmalzacj na I pozome zależy od wartośc zmennych koordynujących jako parametrów. Na II pozome poszukuje sę optymalne wartośc zmennych koordynujących. Strukturę pełnego algorytmu przedstawono na rys. 5. Rys. 5. Schemat algorytmu oblczeń rozpływu prądów w obwodze elektrycznym Tak węc, poprzez jawną dekompozycję systemu na lokalne podsystemy, można zaproponować nową efektywną strukturę algorytmu oblczeń rozpływu prądów opartą na koordynacj podsystemów, czyl koordynacj podzadań perwszego pozomu.
Zastosowane metod dekompozycj koordynacj w analze systemów... 39 2. KOORDYNACJA Zadane koordynacj ne jest prostym zadanem. Powyższe wynka z klku przesłanek, a manowce: Obwód elektryczny oraz algorytmy optymalzacj w swojej podstawowej strukturze są zadanam nelnowym, które rozwązuje sę metodam teracyjnym gradentowym lub bezgradentowym. Są to zdana welowymarowe, gdze wymary wektorów wejścowych, ukrytych jak wyjścowych mogą być naprawdę duże. Dekomponując podstawową strukturę obwodu w sposób jawny na słoje przypsując lokalnym podsystemom swoje funkcje celu, wprowadza sę podwójną sytuację konflktową: pomędzy podzadanam perwszego pozomu oraz konflkt pomędzy pozomam perwszego pozomu koordynatorem. W perwszym przypadku jest mowa o konflkce wewnętrznym pozomu perwszego, natomast drug to konflkt mędzy pozomam w wewnętrznej strukturze. Głównym zadanem koordynatora jest węc nedopuszczene do powstana konflktów, a w przypadku ch zastnena, koordynator mus podjąć decyzje (rozwązana) usuwające przyczynę konflktu. W celu znalezena przyczyn konflktu, defnuje sę: Globalną funkcję celu obwodu moc P wraz z ogranczenam, która jest zależna od całej struktury sec( grafu obwodu) wyrażonej zborem dwóch wektorów węzłów V krawędz E. Funkcją celu koordynatora, która zależy od sygnałów sprzężena zwrotnego Y oraz U, jak równeż od wypracowanych przez koordynator sygnałów koordynujących ( 1, 2,... n), czyl (, Y, U). Sygnały sprzężena zwrotnego wypracowane są w każdej teracj przez podsystemy perwszego pozomu przesyłane do koordynatora (rys. 5). Zbór funkcj celu podsystemów perwszego pozomu. Każda funkcj P ( ) dla = 1,2,...n, zależy od swojego wektora wejścowego U wyjścowego Y, topolog grafu podsystemu wraz z parametram aktywnych pasywnych elementów obwodu oraz koordynującego parametru, (rys. 5). Koordynator, w każdej teracj, na podstawe swojej własnej funkcj celu oraz sygnałów sprzężna zwrotnego U, Y, oblcza nowe wartośc sygnału koordynującego. Otwarte pozostaje pytane, jaką strategę pownen zastosować koordynator, wypracowując w teracyjnym procese wymany nformacj pomędzy podsystemam perwszego pozomu a koordynatorem, nowe wartośc wektora koordynującego ( n 1). W teor systemów herarchcznych [1], zaaprobowano trzy zasady koordynacj oraz zdefnowano warunk, jake muszą spełnać wszystke podsystemy w celu rozwązana konflktów.
40 Stansław Płaczek 2.1. Zasady koordynacj Dla welowarstwowych, herarchcznych systemów, defnuje sę trzy prawa koordynacj: Predykcja (prognoza) wektorów powązań (nterfejsów) pomędzy podsystemam. Tak węc, podstawowym zadanem koordynatora jest take określene wartośc wektorów koordynacj ( 1, 2,... n), aby rzeczywste wartośc sygnałów mędzywarstwach Y były równe wartoścom prognozowanym U. Koordynator, prognozując wartośc powązań (nterfejsów), oddzałuje na podzadana perwszego pozomu w małej skal. Rozwązywane (uwolnene) wektorów powązań pomędzy warstwam. Przyjmuje sę, że podzadana perwszego pozomu są maksymalne nezależne poprzez pełne uwolnene nterfejsów. Podzadana perwszego pozomu muszą optymalzować swoje funkcje celu poprzez dobór ne tylko współczynnków macerzy lecz równe wartośc nterfejsów. W tym mejscu warto podkreślć, że koordynator może oddzaływać na podzadana perwszego pozomu tylko poprzez wartośc lokalnych funkcj celu. Ten sposób koordynacj nazywany jest równeż koordynacją w dużej skal. Estymacja powązań wartośc wektorów pomędzy warstwam. To prawo koordynacj jest rozszerzenem prawa perwszego, w którym koordynator zadaje dokładne wartośc prognozowanych powązań. Tym razem koordynator zwększa swobodę wyboru wartośc nterfejsów, poprzez określene przedzałów, w których podzadana perwszego pozomu wyberają wartośc powązań. W artykule podejmuje sę próbę zamplementowana drugej zasady koordynacj uwolnene wartośc nterfejsów we wszystkch podsecach I pozomu. Wektory te stają sę zmennym nezależnym podlegają oblczenom w zadanych poszukwana mnmum mocy. Koordynacja następuje poprzez zmodyfkowane wartośc lokalnych funkcj celu koordynacja w dużej skal. 2.2. Koordynacja w dużej skal Oparce rozwązana zadana globalnego na zasadze mnmum mocy, pozwala zastosować addytywna postać funkcj celu (7). Drugm problemem jest take zapsane ogranczeń I oraz II prawa Krchhoffa, we wszystkch podzadanach, aby dało sę sformułować n nezależnych podzadań I pozomu. Zbór ogranczeń dla każdego podzadana oznaczono przez 1 2 ( K, K ) 0 (9)
Zastosowane metod dekompozycj koordynacj w analze systemów... 41 gdze: = 0,1,2,..n lość podzadań I pozomu, K 1 zbór ogranczeń zapsanych w forme I prawa Krchhoffa, K 2 zbór ogranczeń zapsanych w forme II prawa Krchhoffa. Istneje równeż jedno ogranczene globalne, zadane równanem (8). Tak sformułowane zadane rozwązać można metodą Lagrange a: L n 0 ( P ( X ), U, Y ) m j0 j 1 j 2 j ( K, K ) ( M Y U ) (10) gdze: n lość podsec, m lość ogranczeń dla -tej podsec, j wektor mnożnków Lagrange a dla -podsec, wektor mnożnków dla ogranczeń globalnych. Funkcja (10) ma postać addytywną, poneważ równane struktury (8) jest lnowe. Rozwązana poszukwane będą poprzez dwuetapową optymalzację (10): max mn L( X, Y, U, ) (11) X, Y, U Wydzelć można n podzadań perwszego pozomu: mn X, U, Y P m j0 m 1 2 ( K, K ) [ M )] Y U )] (12) j j j j gdze: X, U, Y parametry nterfejsów oraz dane technczne podsec, = 0,1,..n. Koordynacja zadań lokalnych polega na doborze na II pozome mnożnków Lagrange a, a manowce na nezgodnośc wektorów U oraz Y w równanu (8). ( n 1) ( n) ( M Y U ) (13) j0 3. PRZYKŁAD NUMERYCZNY Rozpatrzono bardzo prosty układ z jednym źródłem zaslana czterema opornkam. Na rys. 6. pokazano dekompozycję układu na dwe podsec S1, S2 wraz z nterfejsam wejśca wyjśca. Dla perwszej podsec można napsać następujący układ równań: 2 2 1 e1 r1 r1 1 r2 2 2 u11 1 y11 P e1 1 1 1 2 1 2 y11 0 1 2 u11 0 j (14) r r 0 (15) (16) (17) Podobne postępując, zapsano układ równań dla II podsec. Algorytm rozpoczyna oblczena poprzez zadane dowolnych wartośc sygnałów koordynujących 1, 2, które są przesłane do podsec S1 S2. Każda z podsec znajduje optymalne wartośc swoch prądów wartośc nterfejsów. Podseć S1 mus oblczyć 1, 2, u 11, y 11. Podobne podseć S2. Oblczone wartośc nterfej-
42 Stansław Płaczek sów są przesyłane do koordynatora, który w oparcu o wzór (13) oblcza nowe wartośc sygnałów koordynujących. Na rys. 7 przedstawono wartość różncy 1 2 w funkcj numeru teracj. Rys. 6. Podsec obwodu elektrycznego S1, S2 wraz z nterfejsam Rys. 7. Rezultat pracy koordynatora Rys. 8. Wartośc nterfejsu wejśca wyjśca dla podsec S1 Interfejsy odgrywają strategczną rolę w zagadnenu koordynacj. Na rys. 8 pokazano, że wartość nterfejsu wyjścowego ulegała stosunkowo radykalnym zmanom w perwszej częśc procesu oblczenowego.
Zastosowane metod dekompozycj koordynacj w analze systemów... 43 Rys. 9. Wartośc wszystkch prądów w funkcj numeru teracj Równeż prądy podstawowe 1 dla podsec S1, oraz 2 dla podsec S2, posadają podobne charakterystyk - rys. 9. 4. WNIOSKI I PODSUMOWANIE W artykule opsano tylko jedną zasadę koordynacj: pełnego uwolnena nterfejsów. Koordynacja mus odbywać sę poprzez modyfkację funkcj celu parametram koordynatora oraz wartoścam nterfejsów. Struktura koordynatora jest bardzo prosta, co wynka z lnowych zależnośc pomędzy nterfejsam wejśca wyjśca. Dla dużych zadań proces stablzacj rozwązań będze stosunkowo dług. Wszystko zależy od zman wektora koordynującego. Metoda znajduje doskonałe zastosowane w oblczanu różnych warantów stanu układu w funkcj zman parametrów obwodu w jednej lub tylko klku podsecach. Proces zbeżnośc można traktować jako stan neustalony sec jest stosunkowo szybko zbeżny. LITERATURA [1] M.D. Mesarovc, D. Macko, Y.Takahara, Theory of herarchcal, multlevel systems., Academc Press, New York and London 1970. [2] W. Fndesen, Welopozomowe układy sterowana, PWN, Warszawa 1974. [3] W. Fndesen, j Szymanowsk, A. Werzbck, Teora metody oblczenowe optymalzacj, PWN, Warszawa 1977. [4] R.Kulkowsk, Sterowane w welkch systemach, PWN, Warszawa 1974. [5] M. Fajter, Analza stablnośc układu elektrycznego w czase rzeczywstym,, Poznań Unversty of Technology Academc Journals, Electrcal Engneerng 81/2015. [6] P. Mller, M Wancerz, Komputerowo wspomagane oblczena zwarcowe w środkowej częśc rozdzeln. Poznań Unversty of Technology Academc Journals, Electrcal Engneerng 82/2015.
44 Stansław Płaczek IMPLEMENTATION DECOMPOSITION AND COORDINATION METHODS IN ELECTRIC SYATEM ANALYSIS The best way to analyze the complex system s to dvde prmary system nto smaller set of subsystems or subnetworks whch are connected wth others usng nput and output sgnals. These connecton one could be known as nterfaces. Every subnetwork (local structure) could be analyze mplementng approprate procedure or algorthm accordng global task needs. In the artcle the decomposton and coordnaton methods are mplemented to analyze complex task. On the frst layer local subnetworks or subtasks are connected one wth others and upper level subnetwork by nterfaces. Partal solutons depend not only of the nternal subnetwork s parameters but also of the nterfaces value. Recevng results have to be coordnated n the way to acheve global task soluton. (Receved: 7. 02. 2016, revsed: 4. 03. 2016)