Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym nakierowanym na poszczególne czynniki produkcji

Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym nakierowanym na poszczególne czynniki produkcji Jakub Growiec 1,2 1 Narodowy Bank Polski 2 Szkoła Główna Handlowa Seminarium NBP, 21 września 2011 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 1 / 28

Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Mikropodstawy dla zagregowanej funkcji CES 3 Kierunek postępu technicznego 4 Przypadek funkcji Cobba Douglasa 5 Mikropodstawy dla rozkładu Weibulla 6 Podsumowanie Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 2 / 28

Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 3 / 28

Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Niniejszy artykuł rozważa trzy ważne rozszerzenia tych modeli: wykorzystujemy tu znormalizowane funkcje produkcji CES (La Grandville, 1989; Klump i La Grandville, 2000). Dzięki normalizacji możliwe jest powiazanie parametrów rozkładów produktywności czynników oraz LFP z parametrami zagregowanej funkcji produkcji; Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 3 / 28

Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Niniejszy artykuł rozważa trzy ważne rozszerzenia tych modeli: wykorzystujemy tu znormalizowane funkcje produkcji CES (La Grandville, 1989; Klump i La Grandville, 2000). Dzięki normalizacji możliwe jest powiazanie parametrów rozkładów produktywności czynników oraz LFP z parametrami zagregowanej funkcji produkcji; uchylamy założenie proporcjonalnego rozszerzania zbioru możliwości technologicznych dzięki B+R (obecnego w poprzedzajacej literaturze). Mamy więc factor-augmenting technical change (por. np. Li, 2001; Acemoglu, 2003); Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 3 / 28

Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Niniejszy artykuł rozważa trzy ważne rozszerzenia tych modeli: wykorzystujemy tu znormalizowane funkcje produkcji CES (La Grandville, 1989; Klump i La Grandville, 2000). Dzięki normalizacji możliwe jest powiazanie parametrów rozkładów produktywności czynników oraz LFP z parametrami zagregowanej funkcji produkcji; uchylamy założenie proporcjonalnego rozszerzania zbioru możliwości technologicznych dzięki B+R (obecnego w poprzedzajacej literaturze). Mamy więc factor-augmenting technical change (por. np. Li, 2001; Acemoglu, 2003); rozszerzamy też model na przypadek n czynników wytwórczych (w załaczniku). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 3 / 28

Geneza badania Jones (2005) oraz Growiec (2008 IJET, EL) przeanalizowali model endogenicznego wyboru technologii przez firmy, dostarczajacy mikropodstaw dla zagregowanej funkcji produkcji Cobba Douglasa (Jones) oraz CES. Kluczowe elementy tego modelu: zbiór możliwości technologicznych oraz lokalna funkcja produkcji (LFP). Niniejszy artykuł rozważa trzy ważne rozszerzenia tych modeli: wykorzystujemy tu znormalizowane funkcje produkcji CES (La Grandville, 1989; Klump i La Grandville, 2000). Dzięki normalizacji możliwe jest powiazanie parametrów rozkładów produktywności czynników oraz LFP z parametrami zagregowanej funkcji produkcji; uchylamy założenie proporcjonalnego rozszerzania zbioru możliwości technologicznych dzięki B+R (obecnego w poprzedzajacej literaturze). Mamy więc factor-augmenting technical change (por. np. Li, 2001; Acemoglu, 2003); rozszerzamy też model na przypadek n czynników wytwórczych (w załaczniku). Przedstawiony zostaje teoretyczny argument uzasadniajacy założenie niezależnych rozkładów Weibulla jednostkowych produktywności kapitału i pracy (Growiec, 2008, EL). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 3 / 28

Wyniki badania Normalizacja względem poczatkowych nakładów K 0, L 0, produktu Y 0 oraz poczatkowego udziału wynagrodzenia kapitału w produkcie π 0 może zostać utrzymana równocześnie na poziomie lokalnym i zagregowanym, wydatnie ułatwiajac interpretację parametrów zagregowanej funkcji produkcji. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 4 / 28

Wyniki badania Normalizacja względem poczatkowych nakładów K 0, L 0, produktu Y 0 oraz poczatkowego udziału wynagrodzenia kapitału w produkcie π 0 może zostać utrzymana równocześnie na poziomie lokalnym i zagregowanym, wydatnie ułatwiajac interpretację parametrów zagregowanej funkcji produkcji. Zgodnie z wynikami pracy Growiec (2008, EL): jeśli technologie zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału i pracy maja niezależne rozkłady Weibulla, to zagregowana funkcja produkcji jest funkcja CES. Zgodnie z wynikami Jonesa (2005), jeśli maja one niezależne rozkłady Pareto to zagregowana funkcja produkcji jest funkcja Cobba Douglasa. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 4 / 28

Wyniki badania Normalizacja względem poczatkowych nakładów K 0, L 0, produktu Y 0 oraz poczatkowego udziału wynagrodzenia kapitału w produkcie π 0 może zostać utrzymana równocześnie na poziomie lokalnym i zagregowanym, wydatnie ułatwiajac interpretację parametrów zagregowanej funkcji produkcji. Zgodnie z wynikami pracy Growiec (2008, EL): jeśli technologie zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału i pracy maja niezależne rozkłady Weibulla, to zagregowana funkcja produkcji jest funkcja CES. Zgodnie z wynikami Jonesa (2005), jeśli maja one niezależne rozkłady Pareto to zagregowana funkcja produkcji jest funkcja Cobba Douglasa. Oddzielajac wybór technologii przez firmy od wyników B+R, możemy wyraźnie rozgraniczyć kierunek postępu technicznego od kierunku B+R. Sa to odrębne koncepcje, które można utożsamić tylko w szczególnych, nietypowych przypadkach (m.in. przypadek LATC Acemoglu, 2003). W przypadku funkcji Cobba Douglasa kierunek B+R jest bez znaczenia. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 4 / 28

Wyniki badania (cd.) Uzasadnienie dla zastosowania rozkładów Weibulla: jeśli technologie w swej istocie złożone i składaja się z n komplementarnych elementów, wówczas przy dość ogólnych założeniach, dla n powinny mieć one rozkład Weibulla, ze względu na twierdzenie o wartościach ekstremalnych (Fisher Tippett Gnedenko); rozkład Weibulla jest min stabilny. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 5 / 28

Wyniki badania (cd.) Uzasadnienie dla zastosowania rozkładów Weibulla: jeśli technologie w swej istocie złożone i składaja się z n komplementarnych elementów, wówczas przy dość ogólnych założeniach, dla n powinny mieć one rozkład Weibulla, ze względu na twierdzenie o wartościach ekstremalnych (Fisher Tippett Gnedenko); rozkład Weibulla jest min stabilny. Koncepcja komplementarności poszczególnych składowych w złożonych technologiach: Kremer (1993) O ring theory, Blanchard i Kremer (1997), Jones (2010), itd. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 5 / 28

Wyniki badania (cd.) Uzasadnienie dla zastosowania rozkładów Weibulla: jeśli technologie w swej istocie złożone i składaja się z n komplementarnych elementów, wówczas przy dość ogólnych założeniach, dla n powinny mieć one rozkład Weibulla, ze względu na twierdzenie o wartościach ekstremalnych (Fisher Tippett Gnedenko); rozkład Weibulla jest min stabilny. Koncepcja komplementarności poszczególnych składowych w złożonych technologiach: Kremer (1993) O ring theory, Blanchard i Kremer (1997), Jones (2010), itd. Załacznik: rozszerzenie modelu na przypadek n czynników wytwórczych. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 5 / 28

Założenia modelu lokalna funkcja produkcji Założenie Lokalna funkcja produkcji (LFP) przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) θ ( ) ) 1 θ θ bk al Y = Y 0 π 0 +(1 π 0 ), (1) b 0 K 0 a 0 L 0 gdzie θ [, 0) jest parametrem substytucyjności, σ LPF = 1 1 θ. Parametr π 0 = r 0K 0 Y 0 jest udziałem wynagrodzenia kapitału w okresie t 0. LFP ma stałe korzyści skali. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 7 / 28

Założenia modelu granica możliwości technologicznych Założenie Granica możliwości technologicznych zadana jest w przestrzeni (a, b) równościa ( ) α ( ) α a b H(a, b) = + = N, λ a,λ b,α, N > 0. (2) λ a λ b Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 8 / 28

Założenia modelu granica możliwości technologicznych Założenie Granica możliwości technologicznych zadana jest w przestrzeni (a, b) równościa ( ) α ( ) α a b H(a, b) = + = N, λ a,λ b,α, N > 0. (2) λ a λ b Mamy: (( ) α ) (( ) α ) a b H(a, b) = N exp exp = e N. λ a λ b Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 8 / 28

Założenia modelu granica możliwości technologicznych Założenie Granica możliwości technologicznych zadana jest w przestrzeni (a, b) równościa ( ) α ( ) α a b H(a, b) = + = N, λ a,λ b,α, N > 0. (2) λ a λ b Mamy: (( ) α ) (( ) α ) a b H(a, b) = N exp exp = e N. λ a λ b Granicę możliwości technologicznych interpretujemy więc jako warstwicę rozkładu łacznego jednostkowych produktywności kapitału i pracy. Uzasadnienie w dalszej części prezentacji. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 8 / 28

Założenia modelu statyczny problem decyzyjny firm Założenie W każdej chwili t, firmy wybieraja parę jednostkowych produktywności czynników (a, b) optymalnie spośród konfiguracji dostępnych na granicy możliwości technologicznych: max a,b ( ( ) θ ( ) ) 1 θ θ bk al ( a Y 0 π 0 +(1 π 0 ) b 0 K 0 a 0 L 0 p.w. λ a ) α ( ) α b + = N. λ b (3) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 9 / 28

Optymalny wybór technologii W chwili t 0 : a 0 = (N(1 π 0 )) 1 α λ a0, b 0 = (Nπ 0 ) 1 α λb0. (4) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 10 / 28

Optymalny wybór technologii W chwili t 0 : a 0 = (N(1 π 0 )) 1 α λ a0, b 0 = (Nπ 0 ) 1 α λb0. (4) W chwili t t 0 : ( ) ( a = λ a a 0 λ a0 π 0 ( λb λ a λ a0 λ b0 KL 0 LK 0 ) αθ α θ + 1 π0 ) 1 α, (5) ( ) ( b = λ ( ) αθ ) 1 α b λb α θ λ a0 KL 0 π 0 +(1 π 0 ). (6) b 0 λ b0 λ a λ b0 LK 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 10 / 28

Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 11 / 28

Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Parametr substytucyjności: ρ = αθ α θ. Elastyczność substytucji σ = 1 1 ρ = α θ α θ αθ > 0. Zauważmy, że ρ > θ, a więc σ > σ LPF = 1 1 θ. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 11 / 28

Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Parametr substytucyjności: ρ = αθ α θ. Elastyczność substytucji σ = 1 1 ρ = α θ α θ αθ > 0. Zauważmy, że ρ > θ, a więc σ > σ LPF = 1 1 θ. Parametr rozkładu: π 0 = r 0K 0 Y 0, multiplikatywna stała to Y 0. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 11 / 28

Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Parametr substytucyjności: ρ = αθ α θ. Elastyczność substytucji σ = 1 1 ρ = α θ α θ αθ > 0. Zauważmy, że ρ > θ, a więc σ > σ LPF = 1 1 θ. Parametr rozkładu: π 0 = r 0K 0 Y 0, multiplikatywna stała to Y 0. Parametr N znika. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 11 / 28

Wyprowadzona zagregowana funkcja produkcji Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać znormalizowanej funkcji CES: ( ( ) αθ ( ) αθ ) α θ αθ λb α θ K λa α θ L Y = Y 0 π 0 +(1 π0 ). (7) λ b0 K 0 λ a0 L 0 Parametr substytucyjności: ρ = αθ α θ. Elastyczność substytucji σ = 1 1 ρ = α θ α θ αθ > 0. Zauważmy, że ρ > θ, a więc σ > σ LPF = 1 1 θ. Parametr rozkładu: π 0 = r 0K 0 Y 0, multiplikatywna stała to Y 0. Parametr N znika. Czynnik b w LFP zastępujemy λ b, czynnik a zastępujemy λ a. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 11 / 28

Wynagrodzenia czynników Wniosek Zakładajac, że czynniki produkcji sa wynagradzane na poziomie ich produktu krańcowego, udziały wynagrodzenia kapitału i pracy w produkcie wynosza odpowiednio: π = rk Y = π 0 ( λb λ b0 ) αθ α θ K K 0 ( ) αθ π λb α θ K 0 λ b0 K 0 +(1 π 0 )( λa λ a0 1 π = wl (1 π 0 ) Y = ( π λb 0 λ b0 ( λa λ a0 ) αθ α θ L L 0 ) αθ α θ K K 0 +(1 π 0 )( λa λ a0 ) αθ, (8) α θ L L 0 ) αθ. (9) α θ L L 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 12 / 28

Nietypowy przypadek I: LATC Przykład specyfikacji równań B+R (Acemoglu, 2003): λ a = f a (l a )λ a (10) λ b = f b (l b )λ b (11) l a i l b sa odsetkami populacji zaangażowanej w sektorach B+R. f a, f b sa gładkimi funkcjami rosnacymi. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 14 / 28

Nietypowy przypadek I: LATC Przykład specyfikacji równań B+R (Acemoglu, 2003): λ a = f a (l a )λ a (10) λ b = f b (l b )λ b (11) l a i l b sa odsetkami populacji zaangażowanej w sektorach B+R. f a, f b sa gładkimi funkcjami rosnacymi. Gospodarka daży wówczas do ścieżki zrównoważonego wzrostu, gdzie: ŷ = ˆk = â = ˆλ a = f(l a), (12) ˆb = ˆλ b = 0. (13) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 14 / 28

Nietypowy przypadek I: LATC Przykład specyfikacji równań B+R (Acemoglu, 2003): λ a = f a (l a )λ a (10) λ b = f b (l b )λ b (11) l a i l b sa odsetkami populacji zaangażowanej w sektorach B+R. f a, f b sa gładkimi funkcjami rosnacymi. Gospodarka daży wówczas do ścieżki zrównoważonego wzrostu, gdzie: ŷ = ˆk = â = ˆλ a = f(l a), (12) ˆb = ˆλ b = 0. (13) B+R jest neutralne w sensie Harroda (LATC, ˆλ b = 0), postęp techniczny (technologie wybierane przez firmy) jest również neutralny w sensie Harroda (ˆb = 0), udziały wynagrodzenia poszczególnych czynników w produkcie sa stałe i wynosza π 0 oraz 1 π 0. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 14 / 28

Nietypowy przypadek II: postęp techniczny neutralny w sensie Hicksa Założenie przyjęte w pracach: Caselli i Coleman (2006), Growiec (2008 IJET). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 15 / 28

Nietypowy przypadek II: postęp techniczny neutralny w sensie Hicksa Założenie przyjęte w pracach: Caselli i Coleman (2006), Growiec (2008 IJET). Przykład specyfikacji równań B+R spójny z tym założeniem (λ a /λ b const): λ a = f(l a,l b )λ α+1 a λ β b (14) λ b = f(l a,l b )λ α aλ β+1 b (15) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 15 / 28

Nietypowy przypadek II: postęp techniczny neutralny w sensie Hicksa Założenie przyjęte w pracach: Caselli i Coleman (2006), Growiec (2008 IJET). Przykład specyfikacji równań B+R spójny z tym założeniem (λ a /λ b const): λ a = f(l a,l b )λ α+1 a λ β b (14) λ b = f(l a,l b )λ α aλ β+1 b (15) W długim okresie będziemy mieć ˆλ a = ˆλ b = g > 0. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 15 / 28

Nietypowy przypadek II: postęp techniczny neutralny w sensie Hicksa Założenie przyjęte w pracach: Caselli i Coleman (2006), Growiec (2008 IJET). Przykład specyfikacji równań B+R spójny z tym założeniem (λ a /λ b const): λ a = f(l a,l b )λ α+1 a λ β b (14) λ b = f(l a,l b )λ α aλ β+1 b (15) W długim okresie będziemy mieć ˆλ a = ˆλ b = g > 0. Gdy t, mamy k +, a w konsekwencji: lim ŷ(t) = g, t â(t) = g, lim t lim ˆb(t) = g + θ t α θ lim ˆk(t) t (16) (17) [( ) ) α lim g, g.(18) t ˆb(t) α θ Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 15 / 28

Przypadek ogólny We wszystkich pozostałych przypadkach skierowanego B+R, implikujacego ˆλ a ˆλ b oraz ˆλ b 0 w długim okresie, mamy: Jeśli λ b K rośnie szybciej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ a (t), â(t) ˆλ a (t) i ˆb(t) ˆλ b (t)+ θ α θˆk(t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału spada do zera. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 16 / 28

Przypadek ogólny We wszystkich pozostałych przypadkach skierowanego B+R, implikujacego ˆλ a ˆλ b oraz ˆλ b 0 w długim okresie, mamy: Jeśli λ b K rośnie szybciej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ a (t), â(t) ˆλ a (t) i ˆb(t) ˆλ b (t)+ θ α θˆk(t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału spada do zera. Jeśli λ b K rośnie wolniej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ b (t)+ ˆk(t), â(t) ˆλ a (t) α θˆk(t) θ i ˆb(t) ˆλ b (t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału wzrasta do jedności. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 16 / 28

Przypadek ogólny We wszystkich pozostałych przypadkach skierowanego B+R, implikujacego ˆλ a ˆλ b oraz ˆλ b 0 w długim okresie, mamy: Jeśli λ b K rośnie szybciej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ a (t), â(t) ˆλ a (t) i ˆb(t) ˆλ b (t)+ θ α θˆk(t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału spada do zera. Jeśli λ b K rośnie wolniej niż λ a L, to ŷ(t) ˆλ b (t)+ ˆk(t), â(t) ˆλ a (t) α θˆk(t) θ i ˆb(t) ˆλ b (t) wraz z t. Udział wynagrodzenia kapitału wzrasta do jedności. Jeśli λ b K rośnie asymptotycznie w tym samym tempie co λ a L, to ŷ(t) ˆλ a (t) = ˆλ b (t)+ ˆk(t), â(t) ˆλ a (t) i ˆb(t) ˆλ b (t) wraz z t. Jeśli dodatkowo ˆk(t) = ŷ(t) w długim okresie, to może to mieć miejsce tylko, gdy ˆλ b (t) 0, co sprowadza się do przypadku LATC omówionego wcześniej. Udział wynagrodzenia kapitału daży do stałej (pomiędzy 0 a 1). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 16 / 28

Przypadek funkcji Cobba Douglasa Założenie Przyjmujemy, że granica możliwości technologicznych przyjmuje tym razem postać ( ) α ( ) β a b H(a, b) = = N. (19) λ a Jest to zgodne z założeniem, że jednostkowe produktywności kapitału i pracy maja niezależne rozkłady Pareto (Jones, 2005). λ b Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 18 / 28

Przypadek funkcji Cobba Douglasa Założenie Przyjmujemy, że granica możliwości technologicznych przyjmuje tym razem postać ( ) α ( ) β a b H(a, b) = = N. (19) λ a Jest to zgodne z założeniem, że jednostkowe produktywności kapitału i pracy maja niezależne rozkłady Pareto (Jones, 2005). λ b Twierdzenie Zagregowana funkcja produkcji spełnia: ( ) α ( ) β λa α+β λ ( ) β α+β b K ( ) α α+β α+β L Y = Y 0. (20) λ a0 λ b0 K 0 L 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 18 / 28

Przypadek funkcji Cobba Douglasa: optymalny wybór technologii Dla t 0 : optymalny wybór technologii jest niezdeterminowany, przy założeniu, że π 0 = r 0K 0 Y 0 = β α+β. (21) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 19 / 28

Przypadek funkcji Cobba Douglasa: optymalny wybór technologii Dla t 0 : optymalny wybór technologii jest niezdeterminowany, przy założeniu, że π 0 = r 0K 0 Y 0 = β α+β. (21) Dla t t 0 : ( ) a = a 0 ( ) b = b 0 ( λa λ a0 ( λa λ a0 ) α α+β ( λ b ) α α+β ( λ b λ b0 ) β λ b0 ) β α+β ( KL 0 LK 0 α+β ( KL 0 LK 0 ) β α+β (22) ) α α+β. (23) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 19 / 28

Kierunek postępu technicznego Jeśli zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać funkcji Cobba Douglasa, to mamy: â ˆb = ŷ = α α+βˆλ a + β α+βˆλ b + β α+βˆk, (24) = ŷ ˆk = α α+βˆλ a + β α+βˆλ b α α+βˆk. (25) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 20 / 28

Kierunek postępu technicznego Jeśli zagregowana funkcja produkcji przyjmuje postać funkcji Cobba Douglasa, to mamy: â ˆb = ŷ = α α+βˆλ a + β α+βˆλ b + β α+βˆk, (24) = ŷ ˆk = α α+βˆλ a + β α+βˆλ b α α+βˆk. (25) Jeśli ŷ = ˆk (jak ma to miejsce na ścieżce zrównoważonego wzrostu), to mamy LATC: niezależnie od ˆλ a i ˆλ b. â = ŷ = ˆk, (26) ˆb = ŷ ˆk = 0, (27) Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 20 / 28

Model innowacji i sektora B+R Założenie Sektory B+R (zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału badź pracy) złożone sa z continuum badaczy na odcinku I = [0, 1]. W każdej chwili t, badacz i I określa niezależnie jakość swej innowacji ( b i lub ã i ) jako minimum n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie z dystrybuanta F. Rozkład F ma dodatnia gęstość w przedziale [w, v), gdzie v może być nieskończone, i zerowa gęstość w przeciwnym przypadku. Spełnia on warunek: F(w + px) lim p 0 + F(w + p) = xα dla wszystkich x > 0 i pewnego α > 0. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 22 / 28

Model innowacji i sektora B+R Założenie Sektory B+R (zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału badź pracy) złożone sa z continuum badaczy na odcinku I = [0, 1]. W każdej chwili t, badacz i I określa niezależnie jakość swej innowacji ( b i lub ã i ) jako minimum n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie z dystrybuanta F. Rozkład F ma dodatnia gęstość w przedziale [w, v), gdzie v może być nieskończone, i zerowa gęstość w przeciwnym przypadku. Spełnia on warunek: F(w + px) lim p 0 + F(w + p) = xα dla wszystkich x > 0 i pewnego α > 0. Każda technologia składa się z n doskonale komplementarnych składowych (por. Kremer, 1993): efektywność całości jest efektywnościa najsłabszego ogniwa. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 22 / 28

Model innowacji i sektora B+R Założenie Sektory B+R (zwiększajace jednostkowa produktywność kapitału badź pracy) złożone sa z continuum badaczy na odcinku I = [0, 1]. W każdej chwili t, badacz i I określa niezależnie jakość swej innowacji ( b i lub ã i ) jako minimum n niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie z dystrybuanta F. Rozkład F ma dodatnia gęstość w przedziale [w, v), gdzie v może być nieskończone, i zerowa gęstość w przeciwnym przypadku. Spełnia on warunek: F(w + px) lim p 0 + F(w + p) = xα dla wszystkich x > 0 i pewnego α > 0. Każda technologia składa się z n doskonale komplementarnych składowych (por. Kremer, 1993): efektywność całości jest efektywnościa najsłabszego ogniwa. Rozkłady produktywności poszczególnych składowych sa niezależne oraz ograniczone z dołu. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 22 / 28

Kluczowy wynik Twierdzenie Gdy n, minimum n niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie F zbiega wg rozkładu do rozkładu Weibulla z parametrem kształtu α: [1 F (xp n + w)] n d e ( λ) x α, (28) ( gdzie w = inf{x R : F(x) > 0}, p n = ( ) 1 λ F 1 1 n) w. Zakładamy, że wolny parametr λ > 0 jest proporcjonalny do średniej z rozkładu F. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 23 / 28

Kluczowy wynik Twierdzenie Gdy n, minimum n niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie F zbiega wg rozkładu do rozkładu Weibulla z parametrem kształtu α: [1 F (xp n + w)] n d e ( λ) x α, (28) ( gdzie w = inf{x R : F(x) > 0}, p n = ( ) 1 λ F 1 1 n) w. Zakładamy, że wolny parametr λ > 0 jest proporcjonalny do średniej z rozkładu F. Dowód: bezpośrednia aplikacja jednowymiarowego wariantu twierdzenia Fishera Tippetta Gnedenki o wartościach ekstremalnych. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 23 / 28

Kluczowy wynik Twierdzenie Gdy n, minimum n niezależnych zmiennych losowych o dystrybuancie F zbiega wg rozkładu do rozkładu Weibulla z parametrem kształtu α: [1 F (xp n + w)] n d e ( λ) x α, (28) ( gdzie w = inf{x R : F(x) > 0}, p n = ( ) 1 λ F 1 1 n) w. Zakładamy, że wolny parametr λ > 0 jest proporcjonalny do średniej z rozkładu F. Dowód: bezpośrednia aplikacja jednowymiarowego wariantu twierdzenia Fishera Tippetta Gnedenki o wartościach ekstremalnych. λ a determinuje średnia ã, zaś λ b determinuje średnia b: ( Eã = λ a Γ 1+ 1 ) (, E b = λ b Γ 1+ 1 ), (29) α α gdzie Γ(x) = t x 1 e t dt jest funkcja Gamma Eulera. 0 Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 23 / 28

Przykłady rozkładów Tablica: Wybrane rozkłady F takie, że dla X 1,..., X n F, min{x 1,..., X n} zbiega wg rozkładu do rozkładu Weibulla wraz z n. Rozkład F dla x [w, v) Ogr.dolne Postulowane pn Impl. λ Impl. α ( ) γx φ ( Pareto(φ) F(x) = 1 w = x γx pn = 1 n 1 ) 1 φ λ = γx α = 1 Jednostajny U([r, s]) F(x) = x r w = r s r pn = n 1 λ = s r α = 1 ( ) ( ) x µ w µ Obcięty N(µ,σ) F(x) = Φ Φ σ ( ) σ w µ dane w pn = pn λ = µ α = 1 1 Φ ( ) σ Weibull(α,λ) F(x) = 1 e xλ α w = 0 pn = α 1 ( ln 1 n 1 ) dane λ dane α Uwagi: (i) wystarczy wziać p n = 1 n dla rozkładu Pareto i p n = n 1 α dla rozkładu Weibulla; (ii) oznaczono p n = 1 w µ + σ ( )] w µ 1 ([1 Φ µ Φ 1 σ n +Φ ( w µ σ )). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 24 / 28

Uzasadnienie założonego kształtu granicy możliwości technologicznych Wniosek Jeśli rozkłady F sa Pareto, jednostajne badź obcięte normalne, wówczas α = 1, przez co elastyczność substytucji zagregowanej funkcji CES jest równa σ = 1 θ 1 2θ [ 1 2, 1), wzrastajac od 1 2 w przypadku LFP Leontiewa do jedności w przypadku LFP Cobba Douglasa. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 25 / 28

Uzasadnienie założonego kształtu granicy możliwości technologicznych Wniosek Jeśli rozkłady F sa Pareto, jednostajne badź obcięte normalne, wówczas α = 1, przez co elastyczność substytucji zagregowanej funkcji CES jest równa σ = 1 θ 1 2θ [ 1 2, 1), wzrastajac od 1 2 w przypadku LFP Leontiewa do jedności w przypadku LFP Cobba Douglasa. Granicę możliwości technologicznych można potraktować jako warstwicę łacznego rozkładu jednostkowych produktywności kapitału i pracy (ã, b), gdy spełnione jest: Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 25 / 28

Uzasadnienie założonego kształtu granicy możliwości technologicznych Wniosek Jeśli rozkłady F sa Pareto, jednostajne badź obcięte normalne, wówczas α = 1, przez co elastyczność substytucji zagregowanej funkcji CES jest równa σ = 1 θ 1 2θ [ 1 2, 1), wzrastajac od 1 2 w przypadku LFP Leontiewa do jedności w przypadku LFP Cobba Douglasa. Granicę możliwości technologicznych można potraktować jako warstwicę łacznego rozkładu jednostkowych produktywności kapitału i pracy (ã, b), gdy spełnione jest: Założenie Każda technologia zwiększajaca efektywność kapitału badź pracy jest dołaczana do zbioru możliwości technologicznych, jeśli została potwierdzona przez co najmniej zadany odsetek badaczy w I (z b i z a, odpowiednio). Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 25 / 28

Uzasadnienie założonego kształtu granicy możliwości technologicznych Wniosek Jeśli rozkłady F sa Pareto, jednostajne badź obcięte normalne, wówczas α = 1, przez co elastyczność substytucji zagregowanej funkcji CES jest równa σ = 1 θ 1 2θ [ 1 2, 1), wzrastajac od 1 2 w przypadku LFP Leontiewa do jedności w przypadku LFP Cobba Douglasa. Granicę możliwości technologicznych można potraktować jako warstwicę łacznego rozkładu jednostkowych produktywności kapitału i pracy (ã, b), gdy spełnione jest: Założenie Każda technologia zwiększajaca efektywność kapitału badź pracy jest dołaczana do zbioru możliwości technologicznych, jeśli została potwierdzona przez co najmniej zadany odsetek badaczy w I (z b i z a, odpowiednio). Mamy wtedy P(ã > a, b > b) = P(ã > a)p( b > b) z a z b e N. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 25 / 28

Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 27 / 28

Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Normalizacja funkcji CES bardzo pomaga w uzyskaniu przejrzystości i interpretowalności wyników. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 27 / 28

Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Normalizacja funkcji CES bardzo pomaga w uzyskaniu przejrzystości i interpretowalności wyników. Wyprowadzono predykcje odnośnie kierunku postępu technicznego, odróżniajac go od kierunku B+R. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 27 / 28

Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Normalizacja funkcji CES bardzo pomaga w uzyskaniu przejrzystości i interpretowalności wyników. Wyprowadzono predykcje odnośnie kierunku postępu technicznego, odróżniajac go od kierunku B+R. Sformułowano argument teoretyczny potwierdzajacy zasadność modelowania rozkładów jednostkowych produktywności czynników jako rozkładów Weibulla. Argument ten oparto na fakcie, iż rozkład ten jest rozkładem min stabilnym. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 27 / 28

Podsumowanie Celem artykułu było sformułowanie mikropodstaw dla znormalizowanej funkcji produkcji CES z postępem technicznym zwiększajacym jednostkowa produktywność kapitału i pracy. Została ona wyprowadzona jako obwiednia LFP przy założeniu, że zbiór możliwości technologicznych jest warstwica dwuwymiarowego rozkładu Weibulla. Normalizacja funkcji CES bardzo pomaga w uzyskaniu przejrzystości i interpretowalności wyników. Wyprowadzono predykcje odnośnie kierunku postępu technicznego, odróżniajac go od kierunku B+R. Sformułowano argument teoretyczny potwierdzajacy zasadność modelowania rozkładów jednostkowych produktywności czynników jako rozkładów Weibulla. Argument ten oparto na fakcie, iż rozkład ten jest rozkładem min stabilnym. Wykazano, że model wprost uogólnia się do przypadku n czynników wytwórczych. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 27 / 28

Koniec prezentacji Dziękuję za uwagę. Jakub Growiec (NBP, SGH) Mikropodstawy dla znormalizowanej funkcji CES NBP, 21 września 2011 28 / 28