If I Knew How to Make Money...

Instytut Matematyki WFMiI Politechnika Krakowska Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012

Merton Miller 1923-2000 ekonomista amerykański, laureat Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii w 1990 r. I was an economics major at Georgetown. In my first economics class as a freshman, our professor, Dr. Gunther Ruff, asked the students why they were taking the course. I said, because I thought I might learn how to make money. He said, My dear fellow, I have a Ph.D. in economics, and if I knew how to make money, I wouldn t be here. An Interview with Merton Miller by Peter Tanous, Investment Gurus New York Institute of Finance, February 1997.

Robert Brown 1773-1858

Robert Brown 1773-1858 Clarkia Pulchella

Albert Einstein, 1879-1955

Albert Einstein, Marian Smoluchowski, 1879-1955 1872-1917

Albert Einstein, 1879-1955 Marian Smoluchowski, 1872-1917 A. Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Ann. Phys. 17, 549, 1905.

Albert Einstein, 1879-1955 Marian Smoluchowski, 1872-1917 A. Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, Ann. Phys. 17, 549, 1905. M. Smoluchowski, Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewe-gung und der Suspensionen, Ann. Phys. 21, 756 780, 1906.

http://www.phy.davidson.edu/brownian.html

Krytyka: Skoro makrocząsteczka jest bombardowana ze wszystkich stron z ogromną częstotliwością (ok. 1020 uderzeń na sekundę) więc nawet, jeśli zostałaby poruszona w jedną stronę to na skutek uderzenia z drugiej strony zostałaby natychmiast zatrzymana. Zatem, nie powinna się w ogóle poruszać.

Krytyka: Skoro makrocząsteczka jest bombardowana ze wszystkich stron z ogromną częstotliwością (ok. 1020 uderzeń na sekundę) więc nawet, jeśli zostałaby poruszona w jedną stronę to na skutek uderzenia z drugiej strony zostałaby natychmiast zatrzymana. Zatem, nie powinna się w ogóle poruszać. Odpowiedź Mariana Smoluchowskiego: Jest to taki sam błąd rozumowania, jak gdyby człowiek uprawiający grę hazardową (np. rzucanie kostki) sądził, że nigdy większej straty ani też większego zysku mieć nie będzie, niż wynosi stawka na jeden rzut. Wiemy dobrze, że szczęście i nieszczęście zwykle niezupełnie się równoważą; że im dłużej gra trwa, tym większa jest przeciętna suma albo wygrana albo przegrana.

R O R R O R O O O O O R O O R R O O R O

p = 1 2 n - liczba prób w schemacie Bernoullego m - liczba sukcesów ( ) n 1 P n (m) = m 2 n = n! m!(n m)! 1 2 n X = m (n m) = 2m n n E X = 2m n P n (m) = n ( ) n 2 n n 2 m=0

p = 1 2 n - liczba prób w schemacie Bernoullego m - liczba sukcesów ( ) n 1 P n (m) = m 2 n = n! m!(n m)! 1 2 n Wzór Stirlinga: X = m (n m) = 2m n n E X = 2m n P n (m) = n ( ) n 2 n n 2 m=0 n! ( ) n n 2πn e

p = 1 2 n - liczba prób w schemacie Bernoullego m - liczba sukcesów ( ) n 1 P n (m) = m 2 n = n! m!(n m)! 1 2 n Wzór Stirlinga: X = m (n m) = 2m n n E X = 2m n P n (m) = n ( ) n 2 n n 2 m=0 ( ) n n n! 2πn e 2n E X π

E X 2n π Jeśli n = 10 20 (makrocząsteczka jest uderzana około 10 20 razy/sekundę), to przeciętna nadwyżka z jednej strony wynosi około 10 10.

Norbert Wiener 1894-1964 Differential space, Journal of Mathematics and Physics, 58:131-174, 1923.

Norbert Wiener 1894-1964 Differential space, Journal of Mathematics and Physics, 58:131-174, 1923. Proces Wienera: W (0) = 0, W ma przyrosty niezależne, trajektorie procesu W są ciągłe, przyrosty W mają rozkład normalny, E(W (t) W (s)) = 0, D 2 (W (t) W (s)) = t s.

Louis Bachelier 1870-1946 PhD Thesis: Théorie de la spéculation, Gauthier-Villars, 1900.

1997r. Nagroda Nobla w dziedzinie ekonomii

1997r. Nagroda Nobla w dziedzinie ekonomii Myron Scholes i Fischer Black ur. 1941 r., ekonomista i prawnik, 1938 1995, matematyk i ekonomista

1997r. Nagroda Nobla w dziedzinie ekonomii Myron Scholes i Fischer Black ur. 1941 r., ekonomista i prawnik, 1938 1995, matematyk i ekonomista Robert C. Merton ur. 1944 r., ekonomista

1997r. Nagroda Nobla w dziedzinie ekonomii Myron Scholes i Fischer Black ur. 1941 r., ekonomista i prawnik, 1938 1995, matematyk i ekonomista Robert C. Merton ur. 1944 r., ekonomista M. Scholes, F. Black, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81:3, 637-654, 1973 R. C. Merton, Theory of rational option pricing, Bell J. Econom. and Management Sci.4, 141-183, 1973.

Model Blacka-Scholesa. Rozważamy rynek, na którym notowane są dwa instrumenty finansowe: lokata bankowa i akcja. W modelu obowiązują następujące założenia:

Model Blacka-Scholesa. Rozważamy rynek, na którym notowane są dwa instrumenty finansowe: lokata bankowa i akcja. W modelu obowiązują następujące założenia: akcje są nieskończenie podzielne,

Model Blacka-Scholesa. Rozważamy rynek, na którym notowane są dwa instrumenty finansowe: lokata bankowa i akcja. W modelu obowiązują następujące założenia: akcje są nieskończenie podzielne, cena zakupu akcji jest taka sama jak cena sprzedaży,

Model Blacka-Scholesa. Rozważamy rynek, na którym notowane są dwa instrumenty finansowe: lokata bankowa i akcja. W modelu obowiązują następujące założenia: akcje są nieskończenie podzielne, cena zakupu akcji jest taka sama jak cena sprzedaży, akcje nie przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji,

Model Blacka-Scholesa. Rozważamy rynek, na którym notowane są dwa instrumenty finansowe: lokata bankowa i akcja. W modelu obowiązują następujące założenia: akcje są nieskończenie podzielne, cena zakupu akcji jest taka sama jak cena sprzedaży, akcje nie przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji, nie ma kosztów transakcji ani podatków,

Model Blacka-Scholesa. Rozważamy rynek, na którym notowane są dwa instrumenty finansowe: lokata bankowa i akcja. W modelu obowiązują następujące założenia: akcje są nieskończenie podzielne, cena zakupu akcji jest taka sama jak cena sprzedaży, akcje nie przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji, nie ma kosztów transakcji ani podatków, dopuszczalne są pozycje ujemne, tzn. krótka sprzedaż i zaciąganie kredytu na rachunku bankowym,

Model Blacka-Scholesa. Rozważamy rynek, na którym notowane są dwa instrumenty finansowe: lokata bankowa i akcja. W modelu obowiązują następujące założenia: akcje są nieskończenie podzielne, cena zakupu akcji jest taka sama jak cena sprzedaży, akcje nie przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji, nie ma kosztów transakcji ani podatków, dopuszczalne są pozycje ujemne, tzn. krótka sprzedaż i zaciąganie kredytu na rachunku bankowym, krótkoterminowa stopa procentowa wolna od ryzyka nie zmienia się w okresie ważności opcji.

Ustalmy przestrzeń probabilistyczą (Ω, F, P ), proces Wienera W.

Ustalmy przestrzeń probabilistyczą (Ω, F, P ), proces Wienera W. Przyjmijmy filtrację F = (F t ) t [0,T ] generowaną przez proces W i uzupełnioną o zbiory miary zero. F spełnia warunki zwykłe.

Ustalmy przestrzeń probabilistyczą (Ω, F, P ), proces Wienera W. Przyjmijmy filtrację F = (F t ) t [0,T ] generowaną przez proces W i uzupełnioną o zbiory miary zero. F spełnia warunki zwykłe. db t = rb t dt, (1)

Ustalmy przestrzeń probabilistyczą (Ω, F, P ), proces Wienera W. Przyjmijmy filtrację F = (F t ) t [0,T ] generowaną przez proces W i uzupełnioną o zbiory miary zero. F spełnia warunki zwykłe. B 0 = 1, db t = rb t dt, (1)

Ustalmy przestrzeń probabilistyczą (Ω, F, P ), proces Wienera W. Przyjmijmy filtrację F = (F t ) t [0,T ] generowaną przez proces W i uzupełnioną o zbiory miary zero. F spełnia warunki zwykłe. B 0 = 1, B t = e rt. db t = rb t dt, (1)

Ustalmy przestrzeń probabilistyczą (Ω, F, P ), proces Wienera W. Przyjmijmy filtrację F = (F t ) t [0,T ] generowaną przez proces W i uzupełnioną o zbiory miary zero. F spełnia warunki zwykłe. B 0 = 1, B t = e rt. db t = rb t dt, (1) ds t = µs t dt + σs t dw t, (2)

Ustalmy przestrzeń probabilistyczą (Ω, F, P ), proces Wienera W. Przyjmijmy filtrację F = (F t ) t [0,T ] generowaną przez proces W i uzupełnioną o zbiory miary zero. F spełnia warunki zwykłe. B 0 = 1, B t = e rt. db t = rb t dt, (1) ds t = µs t dt + σs t dw t, (2) µ R jest stopą aprecjacji, przedstawiającą tendencje zmian cen akcji,

Ustalmy przestrzeń probabilistyczą (Ω, F, P ), proces Wienera W. Przyjmijmy filtrację F = (F t ) t [0,T ] generowaną przez proces W i uzupełnioną o zbiory miary zero. F spełnia warunki zwykłe. B 0 = 1, B t = e rt. db t = rb t dt, (1) ds t = µs t dt + σs t dw t, (2) µ R jest stopą aprecjacji, przedstawiającą tendencje zmian cen akcji, σ > 0 jest stałym współczynnikiem zmienności cen akcji.

Ustalmy przestrzeń probabilistyczą (Ω, F, P ), proces Wienera W. Przyjmijmy filtrację F = (F t ) t [0,T ] generowaną przez proces W i uzupełnioną o zbiory miary zero. F spełnia warunki zwykłe. B 0 = 1, B t = e rt. db t = rb t dt, (1) ds t = µs t dt + σs t dw t, (2) µ R jest stopą aprecjacji, przedstawiającą tendencje zmian cen akcji, σ > 0 jest stałym współczynnikiem zmienności cen akcji. Geometryczny ruch Browna S t = S 0 exp ( σw t + (µ 12 σ2 ) t jest jedynym rozwiązaniem równania (2). ) dla t [0, T ]

Definicja Instrumenty pochodne (derywatywy, derivatives) instrumenty finansowe (papiery wartościowe), których wartość uzależniona jest od wartości innych instrumentów finansowych, zwanych instrumentami bazowymi. Instrumenty bazowe to: akcje, waluty obce, wysokość stopy procentowej, wartość indeksu giełdowego, nietypowe wskaźniki.

Instrumenty pochodne można podzielić na dwie grupy: instrumenty o ryzyku symetrycznym (kontrakty terminowe, swapy), instrumenty o ryzyku niesymetrycznym (opcje). Nabywca opcji (pozycja długa, ang. long) : płaci premię opcyjną, przysługuje mu PRAWO do otrzymania kwoty rozliczenia, natomiast wystawca opcji (pozycja krótka, ang. short): otrzymuje premię opcyjną, przyjmuje ZOBOWIĄZANIE do zapłacenia kwoty rozliczenia.

Definicja Opcja jest to instrument finansowy, dający nabywcy prawo do zawarcia transakcji określonym instrumentem bazowym (a więc do kupna lub sprzedaży akcji, walut, indeksów giełdowych itd.) w przyszłym terminie po z góry określonej cenie. Za takie prawo trzeba zapłacić. Cena opcji nazywana jest również premią. Wyżej zdefiniowane opcje nazywa się też opcjami waniliowymi (ang. plain vanilla option). Opcje znajdują się w obrocie na Giełdzie Papierów Wartościowych od 22 września 2003 r.

W zależności od tego, jakie prawo posiada nabywca opcji, wyróżnia się dwa typy opcji: opcje kupna (ang. call options), dające prawo do nabycia instrumentu bazowego; jej posiadacz ma prawo zakupu instrumentu finansowego (np. akcji) po określonej cenie, w ustalonym terminie, opcje sprzedaży (ang. put options), dające prawo do sprzedaży instrumentu bazowego; jej posiadacz ma prawo sprzedaży instrumentu finansowego, po określonej cenie, w ustalonym terminie.

Ze względu na termin realizacji opcji wyróżniamy trzy rodzaje opcji: opcja europejska, może być zrealizowana jedynie w dniu, w którym przypada termin jej wygaśnięcia, opcja amerykańska, może być zrealizowana w dowolnym czasie przed terminem wygaśnięcia opcji, opcja bermudzka, może być zrealizowana jedynie w kilku ustalonych chwilach przed terminem wygaśnięcia opcji.

Definicja Europejska opcja kupna (sprzedaży), jest to instrument finansowy, który daje posiadaczowi prawo do zakupu (sprzedaży) określonego instrumentu pierwotnego (akcji) w ustalonej chwili w przyszłości, po wcześniej ustalonej cenie. T - termin wygaśni ecia (realizacji) opcji K - cena realizacji (wykonania) opcji Opcj e kupna warto zrealizować, gdy K < S T (dla opcji sprzedaży, gdy S T < K), w przeciwnym wypadku lepiej kupić (sprzedać) akcj e na rynku.

Europejska opcja kupna: H = (S T K) + = { ST K, gdy S T > K, 0 gdy S T K.

Europejska opcja sprzedaży: H = (K S T ) + = { K ST, gdy S T < K, 0 gdy S T K.

Wzór Blacka-Scholesa Niech C t oznacza cenę europejskiej opcji kupna w chwili t [0, T ], P t oznacza cenę europejskiej opcji sprzedaży w chwili t [0, T ]. Wtedy C t = S t N(d 1 (S t, T t)) Ke r(t t) N(d 2 (S t, T t)), P t = Ke r(t t) N( d 2 (S t, T t)) S t N( d 1 (S t, T t)), gdzie ( ) ln St K + r + σ2 2 (T t) d 1 (S t, T t) = σ, T t d 2 (S t, T t) = d 1 (S t, T t) σ T t.

Problemy: kalibracja modelu,

Problemy: kalibracja modelu, koszty transakcji,

Problemy: kalibracja modelu, koszty transakcji, akcje przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji,

Problemy: kalibracja modelu, koszty transakcji, akcje przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji, zmienna stopa procentowa,

Problemy: kalibracja modelu, koszty transakcji, akcje przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji, zmienna stopa procentowa, wycena innych instrumentów, np. opcji amerykańskich,

Problemy: kalibracja modelu, koszty transakcji, akcje przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji, zmienna stopa procentowa, wycena innych instrumentów, np. opcji amerykańskich, wycena na rynkach niezupełnych, optymalizacja,

Problemy: kalibracja modelu, koszty transakcji, akcje przynoszą dywidendy w okresie ważności opcji, zmienna stopa procentowa, wycena innych instrumentów, np. opcji amerykańskich, wycena na rynkach niezupełnych, optymalizacja, ceny mogą zmieniać się skokowo.

Opcja to instrument finansowy, który zabezpiecza inwestora przed stratą. Jedną z zalet opcji, ale i dużym niebezpieczeństwem, jest możliwość konstruowania przy ich pomocy strategii inwestycyjnych, o rożnych funkcjach wypłatach. Najprostszymi strategiami opcyjnymi są portfele zbudowane z jednej opcji i jednego instrumentu podstawowego. Najprostsze strategie: akcja + opcja

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 długa pozycja w akcji. 300 FUT 1 LONG 2600 200 100 0 FUT 1 LONG 2600-100 -200-300 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 długa pozycja w akcji + nabywamy opcję sprzedaży. 300 200 100 0 OPT 1 LONG PUT 2600 FUT 1 LONG 2600-100 -200-300 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 długa pozycja w akcji + nabywamy opcję sprzedaży. 300 200 100 0 OPT 1 LONG PUT 2600 FUT 1 LONG 2600 STRATEGIA NR 1-100 -200-300 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 krótka pozycja w akcji. 300 FUT 1 SHORT 2600 200 100 0 FUT 1 SHORT 2600-100 -200-300 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 krótka pozycja w akcji + długa w opcji kupna. 300 200 100 0 OPT 1 LONG CALL 2600 FUT 1 SHORT 2600-100 -200-300 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 krótka pozycja w akcji + długa w opcji kupna. 300 200 100 0 OPT 1 LONG CALL 2600 FUT 1 SHORT 2600 STRATEGIA NR 1-100 -200-300 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

Strategie opcyjne: spread bull spread bear straddle spread butterfly

Strategia spread bull (strategia byka, rozkład hossy) polega na (i) nabyciu opcji kupna o określonej cenie wykonania i jednoczesnym wystawieniu innej opcji kupna z wyższą ceną wykonania, na ten sam instrument podstawowy albo (ii) nabyciu opcji sprzedaży o niższej cenie wykonania i wystawieniu opcji sprzedaży o wyższej cenie wykonania, na ten sam instrument podstawowy. Inwestor stosuje tę strategię mając nadzieję wzrostu ceny instrumentu podstawowego.

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 konstrukcja (i). 350 300 250 200 150 100 OPT 1 SHORT CALL 2700 50 OPT 1 LONG CALL 2500 0-50 -100-150 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 Profil wypłaty strategii spread bull - konstrukcja (i). 350 300 250 200 150 100 50 OPT 1 SHORT CALL 2700 OPT 1 LONG CALL 2500 STRATEGIA NR 1 0-50 -100-150 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

Strategia spread bear (strategia niedźwiedzia, rozkład bessy) polega na (i) nabyciu opcji kupna o określonej cenie wykonania i jednoczesnym wystawieniu innej opcji kupna z niższą ceną wykonania, na ten sam instrument podstawowy albo (ii) nabyciu opcji sprzedaży o niższej cenie wykonania i wystawieniu opcji sprzedaży o niższej cenie wykonania, na ten sam instrument podstawowy.

W przeciwieństwie do strategii spread bull, w której oczekuje się wzrostu ceny instrumentu podstawowego, stosując strategię spread bear inwestor spodziewa się spadku ceny instrumentu podstawowego.

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 konstrukcja (ii). 300 250 200 150 100 50 0 OPT 1 SHORT PUT 2500 OPT 1 LONG PUT 2700-50 -100-150 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 Profil wypłaty strategii spread bear - konstrukcja (ii). 300 250 200 150 100 50 OPT 1 SHORT PUT 2500 OPT 1 LONG PUT 2700 STRATEGIA NR 1 0-50 -100-150 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

Strategia long straddle (długi stelaż) polega na nabyciu opcji kupna i opcji sprzedaży z taką samą ceną wykonania K. Strategia short straddle (krótki stelaż) polega na wystawieniu opcji kupna i opcji sprzedaży z taką samą ceną wykonania K.

Strategię długi stelaż stosuje się wtedy, gdy oczekiwana jest duża zmian ceny instrumentu podstawowego, ale nie jest możliwe określenie kierunku tej zmiany: zarówno możliwy jest spadek jak i wzrost ceny. Strategię krótki stelaż stosuje się, gdy przewiduje się, że ceny instrumentu podstawowegonie będą się zmieniać.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 Profil wypłaty strategii długi stelaż. 250 200 150 100 50 OPT 1 LONG PUT 2600 0 STRATEGIA NR 1-50 -100-150 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 Profil wypłaty strategii długi stelaż. 250 200 150 100 50 OPT 1 LONG CALL 2600 OPT 1 LONG PUT 2600 0 STRATEGIA NR 1-50 -100-150 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012. 150 100 50 0-50 OPT 1 SHORT CALL 2600-100 STRATEGIA NR 1-150 -200-250 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012. 150 100 50 0-50 OPT 1 SHORT CALL 2600 OPT 1 SHORT PUT 2600-100 STRATEGIA NR 1-150 -200-250 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

2 340 2 360 2 380 2 400 2 420 2 440 2 460 2 480 2 500 2 520 2 540 2 560 2 580 2 600 2 620 2 640 2 660 2 680 2 700 2 720 2 740 2 760 2 780 2 800 2 820 2 840 2 860 ZYSK / STRATA Szkoła Letnia Matematyki Finansowej Tarnów 2012 Profil wypłaty strategii krótki stelaż. 150 100 50 0-50 OPT 1 SHORT CALL 2600 OPT 1 SHORT PUT 2600-100 STRATEGIA NR 1-150 -200-250 WARTOŚĆ INSTRUMENTU BAZOWEGO

Strategia spread butterfly (strategia motyla) polega na nabyciu opcji kupna o niskiej cenie wykonania K 1, wystawieniu dwóch opcji kupna o cenie wykonania K 2 i nabyciu opcji kupna o wysokiej cenie wykonania K 3, K 2 = 1 2 (K 1 + K 3 )

Strategia spread butterfly (strategia motyla) polega na nabyciu opcji sprzedaży o niskiej cenie wykonania K 1, wystawieniu dwóch opcji sprzedaży o cenie wykonania K 2 i nabyciu opcji sprzedaży o wysokiej cenie wykonania K 3, K 2 = 1 2 (K 1 + K 3 )

Strategia spread butterfly (strategia motyla) polega na nabyciu opcji sprzedaży z ceną wykonania K 1, wystawieniu opcji kupna i opcji sprzedaży po tej samej cenie wykonania K 2 oraz nabyciu opcji kupna z ceną wykonania K 3, K 2 = 1 2 (K 1 + K 3 ).

Toksyczne Instrumenty Pochodne (TIP) w Polsce dotyczą:

Toksyczne Instrumenty Pochodne (TIP) w Polsce dotyczą: zabezpieczania ryzyka walutowego,

Toksyczne Instrumenty Pochodne (TIP) w Polsce dotyczą: zabezpieczania ryzyka walutowego, Ryzyko walutowe (ryzyko kursowe) Prawdopodobieństwo wystąpienia strat finansowych wynikające z wyceny dwóch lub więcej elementów ostatecznego rozrachunku ekonomicznego w różnych walutach.

Toksyczne Instrumenty Pochodne (TIP) w Polsce dotyczą: zabezpieczania ryzyka walutowego, Ryzyko walutowe (ryzyko kursowe) Prawdopodobieństwo wystąpienia strat finansowych wynikające z wyceny dwóch lub więcej elementów ostatecznego rozrachunku ekonomicznego w różnych walutach. eksporterów i banków,

Toksyczne Instrumenty Pochodne (TIP) w Polsce dotyczą: zabezpieczania ryzyka walutowego, Ryzyko walutowe (ryzyko kursowe) Prawdopodobieństwo wystąpienia strat finansowych wynikające z wyceny dwóch lub więcej elementów ostatecznego rozrachunku ekonomicznego w różnych walutach. eksporterów i banków, par walutowych: EUR/PLN, USD/PLN,

Toksyczne Instrumenty Pochodne (TIP) w Polsce dotyczą: zabezpieczania ryzyka walutowego, Ryzyko walutowe (ryzyko kursowe) Prawdopodobieństwo wystąpienia strat finansowych wynikające z wyceny dwóch lub więcej elementów ostatecznego rozrachunku ekonomicznego w różnych walutach. eksporterów i banków, par walutowych: EUR/PLN, USD/PLN, okresu: czerwiec, lipiec, sierpień 2008,

Struktury (strategie) opcyjne oferowane przedsiębiorstwom w celu rzekomego zabezpieczenia ryzyka walutowego.

Struktury (strategie) opcyjne oferowane przedsiębiorstwom w celu rzekomego zabezpieczenia ryzyka walutowego. Sytuacja na rynku walutowym

Struktura opcyjna zerokosztowa zaproponowana przez bank

F. Black, M. Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81, 1973. J. C. Hull, Futures, Options and Other Derivatives, Prentice Hall, 2002. J. Jakubowski, Modelowanie rynków finansowych, Script, Warszawa 2006. J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner, Matematyka finansowa instrumenty pochodne, WNT, Warszawa 2003. R. C. Merton, Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4, 1973. M. Wiciak, Wybrane zagadnienia teorii opcji, Wydawnictwo PK, 2007. http://www.gpw.pl/narzedzia i wskazniki