Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Odchylenie pionu Dr inż. Liliana Bujkiewicz 17 czerwca 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 1 / 24

Literatura 1 Geodezja współczesna - Kazimierz Czarnecki, PWN 2014 2 Geodezja fizyczna - Adam Łyszkowicz, Wyd. Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie 2012 3 Geodezja fizyczna i grawimetria geodezyjna. Teoria i praktyka - Marcin Barlik, Andrzej Pachuta, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2007 4 Physical Geodesy - Martin Vermeer, https://users.aalto.fi/ mvermeer/mpk-en.pdf 5 Geodesy - Wolfgang Torge, Walter de Gruyter-Berlin-New York 2001 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 2 / 24

POTENCJAŁ NORMALNY - przypomnienie GRS80 - Geodetic Reference System 1980 - jedna z ostatnich konstrukcji elipsoid używanych przez GPS (WGS84 - niewielkie modyfikacje). Konstrukcja elipsoidy ekwipotencjalnej Pole geopotencjału U będące sumą potencjału grawitacyjnego i potencjału odśrodkowego (elipsoida wiruje z prędkością wirowania Ziemi), konstruowane jest tak, że elipsoida GRS80 jest jego jedną z powierzchni ekwipotencjalnych. Przy założeniu, że zawarta w tej elipsoidzie masa równa jest masie Ziemi (z atmosferą), to U 0 = 62636860, 850 m2 s 2 Potencjał U 0 z założenia równy jest potencjałowi siły ciężkości geoidy W 0. Ponadto kształt elipsoidy (wielka półoś, spłaszczenie) jest tak dobrany, aby powierzchnia elipsoidy była jak najlepszym przybliżeniem geoidy. Model pola siły ciężkości tj. postać funkcji U(r, φ, λ) spełniający powyższe warunki to pole normalne siły ciężkości Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 3 / 24

Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 4 / 24

Odchylenie pionu jest kątem między prawdziwym zenitem (kierunkiem pionu) a linią prostopadłą do powierzchni elipsoidy odniesienia. Wywoływane jest przez pasma górskie oraz przez podziemne niejednorodności geologiczne. Dla terenów płaskich wartości są rzędu 10, natomiast na terenach górskich: 20-50. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 5 / 24

ODCHYLENIE PIONU - kąt θ, jaki tworzą kierunki wektorów przyspieszeń g 0 i γ e Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 6 / 24

Niwelacja astronomiczna dn = θ ds Niwelacja astronomiczna wyznaczanie różnic wysokości geoidy względem elipsoidy odniesienia w punktach sieci astronomiczno-geodezyjnej na podstawie odchyleń pionu. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 7 / 24

Składowe odchylenia pionu: ξ rzut θ na południk (składowa północ-południe) η rzut θ na pierwszy wertykał (składowa wschód-zachód) ξ = Φ ϕ η = (Λ λ) cos ϕ Φ, Λ współrzędne astronomiczne Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 8 / 24

ξ = Φ ϕ η = (Λ λ) cos ϕ - z trygonometrii sferycznej i przybliżeń dla małych kątów lub inaczej: η wycinek z okręgu o promieniu cos ϕ (promień równoleżnika ϕ na sferze jednostkowej) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 9 / 24

Składowe odchylenia pionu potrzebne są do: dokładnego określenia współrzędnych sieci pomiarowych. Teodolity oraz niwelatory są orientowane względem prawdziwego kierunku wertykalnego wartość ich precyzji jest o wiele mniejsza od odchylenia, dlatego należy dokonywać odpowiednich redukcji, w przeciwnym razie siatki mogą być zdeformowane o kilka, kilkanaście centymetrów na jeden kilometr. lokalne elipsoidy odniesienia GRS 80 Dr inż. Liliana Bujkiewicz źródło: https://en.wikipedia.org/wiki/zenith camera ϕ uzyskuje się z pomiarów GPS (ϕ, λ, h) na podstawie współrzednych (x, y, z), natomiast Φ z obserwacji astronomicznych Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 10 / 24

Odchylenia pionu na geoidzie i redukcje astronomiczne Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 11 / 24

Odchylenia pionu na fiz.pow. Ziemi Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 12 / 24

Składowe odchylenia pionu wykorzystuje się do dokładnego określania geoidy, co wynika z zależności: dn = θ ds ξ = dn dx = 1 N R ϕ η = dn dy = 1 N R cos ϕ λ Jeśli znane jest N w jednym punkcie oraz dane są wartości ξ i η na drodze do innego punktu, to wartość N w tym drugim punkcie uzyskuje się w wyniku całkowania: np. dla kierunku x: N 2 N 1 = x 2 x 1 ξ(x)dx w praktyce są to odpowiednie sumy dla ciągów niwelacyjnych Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 13 / 24

Składowe odchylenia pionu w terenie wyznaczane są w dość dużych odstępach (20-50km). Dlatego zagęszczeń dokonuje się innymi metodami - w tym grawimetrycznymi: ξ = dn dx = 1 N R ϕ η = dn dy = 1 N R cos ϕ λ Zatem ξ i η podobnie jak N można wyliczyć na podstawie danych grawimetrycznych Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 14 / 24

Całka Stokesa - wzór na N Aby wyznaczyć wysokość geoidy w danym punkcie P Ziemi, należy wysumować (wycałkować) anomalie grawimetryczne z całej powierzchni Ziemi N(φ P, λ P ) = R 4πγ σ S(ψ) g(φ, λ )dσ N(φ P, λ P ) R 4πγ S(ψ P i ) g(φ i, λ i ) σ i i Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 15 / 24

N ϕ = N ψ ψ ϕ, N λ = N ψ ψ λ ψ ϕ = cos α ψ = cos ϕ sin α λ element powierzchni: dσ = sin ψdψdα S(ψ) = 1 sin ψ 2 6 sin ψ ( 2 + 1 5 cos ψ 3 cos ψ ln sin ψ 2 + ψ ) sin2 2 ( Q(ψ) = ds dψ sin ψ = sin ψ cos ψ 2 + 8 sin ψ 6 cos ψ 2 sin 2 ψ 2 3 1 sin ψ 2 sin ψ 2 + 3 sin ψ ln (... ) ) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 16 / 24

Wzory Vening-Meinesza ξ = 1 N R ϕ η = 1 N R cos ϕ λ ξ = 1 4πγ 2π π g(ψ, α)q(ψ) cos α dψdα 0 0 2π π η = 1 g(ψ, α)q(ψ) sin α dψdα 4πγ 0 0 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 17 / 24

składowe odchylenia pionu z modelu geopotencjału Wzór Brunsa dla wysokości geoidy: N = T P /γ Q w przybliżeniu sferycznym: ξ = 1 N R ϕ ξ = 1 T Rγ φ ξ = 1 T rγ φ η = 1 N R cos ϕ λ 1 T η = Rγ cos φ λ η = 1 T rγ cos φ λ Potencjał zakłócający: T (r, φ, λ) = W U = GM r n n=2 m=0 ( ) a n ( C nm r cos(mλ) + S ) nm sin(mλ) Pnm(sin φ) gdzie np. C k,0 = C k,0 (EGM 96) ( J k (GRS 80)) dla k = 2, 4, 6, 8. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 18 / 24

modele geopotencjału przypomnienie W = GM r [ 1 + n n=2 m=0 ( ) a n ( Cnm cos(mλ) + S ) ] nm sin(mλ) Pnm(cos θ) + ω2 r 2 cos 2 φ r 2 EGM 96 (Earth Gravitational Model 1996) n MAX = 360 https://en.wikipedia.org/wiki/egm96: This model is the result of a collaboration between the National Imagery and Mapping Agency (NIMA), the NASA Goddard Space Flight Center (GSFC), and the Ohio State University. EGM2008 n MAX = 2159 http://earth-info.nga.mil/gandg/wgs84/gravitymod/egm2008/: The official Earth Gravitational Model EGM2008 has been publicly released by the NGA EGM Development Team. This model is complete to degree and order 2159, and contains additional spherical harmonic coefficients extending to degree 2190 and order 2159. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 19 / 24

Wartości współczynników dla potencjału normalnego przypomnienie U = GM r C 2n J 2n [ ] ( ) a 2n 1 J 2n P 2n (cos θ) + 1 r 2 ω2 r 2 sin 2 θ n=1 J 2 = 1082, 63 10 6 J 4 = 2, 37091222 10 6 J 6 = 0, 00608347 10 6 J 8 = 0, 00001427 10 6 Dla porównania: dla pola rzeczywistego Ziemi, na podstawie pomiarów satelitarnych otrzymano: J 3 = 2, 54 10 6, J 4 = 1, 62 10 6, J 5 = 0, 23 10 6, J 6 = 0, 55 10 6 C n = J n 2n + 1 EGM96 EGM96: brak symetrii względem równika (geoida na biegunie południowym - zapadnięta, a na północnym wypiętrzona); powolna zbieżność szeregu. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 20 / 24

ξ = 1 T rγ φ, η = 1 T rγ cos φ λ ξ(r, φ, λ) = GM γr 2 n n=2 m=0 ( ) a n ( C nm r cos(mλ) + S ) d nm sin(mλ) P nm(sin φ) dφ n η(r, φ, λ) = GM ( ) a n ( γr 2 m C nm sin(mλ) + S ) nm cos(mλ) Pnm(sin φ) cos φ r n=2 m=0 gdzie np. C k,0 = C k,0 (EGM 96) J k (GRS 80) dla k = 2, 4, 6, 8. składowe te nazywane są grawimetrycznymi odchyleniami pionu i jeśli liczone na fizycznej powierzchni Ziemi, to porównywane są z odchyleniami pionu Mołodeńskiego (np. w: An analysis of vertical deflections derived from high-degree spherical harmonic models C. Jekeli, Journal of Geodesy, (1999) 73: 10-22) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 21 / 24

The DEFLEC96 model was computed by first computing geoid slopes from the GEOID99 model, to get deflections of the vertical at the geoid. In order to have the deflections refer to the surface of the Earth (and not to sea level), a correction for the curvature of the plumbline was included. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 22 / 24

Dlaczego najpierw z geopotencjału wyznacza się geoidę i jej nachylenia, a dopiero potem odchylenie pionu? dn = θ ds Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 23 / 24

odchylenie pionu w azymucie α dn = θ ds przyrost wysokości geoidy dn, jak i wartość kąta odchylenia θ zależą od kierunki przemieszczania się o odcinek ds dla kierunku x (Northing) mamy odchylenie ξ, dla kierunku y (Easting) - odchylenie η, natomiast dla azymutu α: ε = ξ cos α + η sin α Uzasadnienie wzoru (alternatywne do graficznego, w układzie lewoskrętnym!): ε jest długością rzutu wektora θ = (ξ, η) na kierunek definiowany przez wektor jednostkowy: n α = (cos α, sin α), czyli iloczyn skalarny obu: ε = (ξ, η) (cos α, sin α) = ξ cos α + η sin α Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 24 / 24