Podstawy teor falek (Wavelets) Ψ(). Transformaca Haara (97).. Przykład pewne metody zapsu obrazu Transformaca Haara Przykład zapsu obrazu -D Podstawy matematyczne transformac Algorytmy rozkładana funkc Normalzaca bazy Algorytmy przykłady rozkładów Obraz () (sygnał) () 9 7 3 5 Bezpośredn zaps obrazu - [9, 7, 3, 5]. nny zaps obrazu - lnowa kombnaca współczynnków (lczb) zestawu pewnych funkc, zwanych bazą. Pytana: Jak określć współczynnk? Jak wybrać funkce bazy? Na obraz można sporzeć nacze. Obraz Rozdzelczość Średne Współczynnk Posługuąc sę zapsem obrazu w postac [6,,, -] można odtworzyć obraz perwotny z: 9 7 3 5 --- rozdzelczoścą -borąc edyne współczynnk 6, - 6 nny zaps obrazu - [6,,, -]. rozdzelczoścą -borąc współczynnk 6, 6 + 6-6 + 6 - + - +(-) -(-) 9 7 3 5 rozdzelczoścą -borąc cały wektor [6,,, -], + 9 -(-) 5-7 + (-) 3 3
.. Baza Haara w przestrzen -D Funkce stałe na podprzedzałach odcnka [, ) Funkce stałe na odcnku [, ) V -zbór funkc stałych na odcnku [, ) (przestrzeń wektorowa) Funkce stałe na przedzałach [, /), [/, ) V / -zbór funkc (przestrzeń wektorowa) V V 5 V... -zbór funkc (przestrzeń wektorowa) V V V... V... Baza w przestrzen wektorowe V... Defnca: Zbór v,v,... elementów przestrzen V est lnowo nezależny eżel, gdy c, c,... są stałym to c v + c v +... c + c +... Zbór v,v,... lnowo nezależnych elementów przestrzen V nazywamy bazą te przestrzen. 6 Defnca : Funkcą skaluącą, nazywamy funkcę gdze F ( ) F( ),,..., F ( ) < w.p.p. Wdać, że odpowada za przesunęce, za skalowane. Przykład : -Baza w przestrzen V (bo base), F () F () / / F () () / F 3... loczyn skalarny w przestrzen V Defnca 3: Jeżel, funkce f g są elementam przestrzen V, to lczbę ( ) g( )d f g f nazywamy loczynem skalarnym funkc f g Defnca : Jeżel, f g, to mówmy, że funkce f g są ortogonalne w V. Defnca 5: Dopełnenem ortogonalnym W przestrzen V, w przestrzen V +, nazywamy zbór wszystkch funkc z V +, które są ortogonalne do wszystkch funkc z V. / 7
V + V < f g > W Defnca 6: Zbór lnowo nezależnych funkc (bazę) w W, nazywamy falkam (wavelets). Falk Przykład : V V f() / g() / dowolny element przestrzen V element przestrzen W (element V, dla którego <f g> ) 9 V + V < f g > Podstawowe własnośc falek: W Baza (falk) z W, łączne z bazą z V tworzą bazę w V +. Każda funkca bazy z W (falka), est ortogonalna do każde funkc z V...3. Baza zwązana z funkcą skaluącą Φ (falk Haara) Defnca 7: Falk Haara gdze Y ( ) Y( ),,..., Y ( ) - Ψ() < / / < w.p.p. / Falka - matka (mather wavlet) Przykład 3: ( ) falka Haara w W ( W V ) Ψ() - / ( ) falk Haara w W ( W V ) Y () Y () / / - - ( ) Y ( ) ( ) Y ( ) Y ( ) Y ( ) Y Y 3
Przykład : Obraz () (sygnał) () 9 7 3 5 Obraz () można zapsać ako kombnacę lnową współczynnków funkc pewne bazy na różne sposoby: Przypadek : kombnaca funkc bazy w V (bo base) 9 + 3 + 7 + 5 ( ) 9 F ( ) + 7 F ( ) + 3 F ( ) + 5 ( ) F 3 3 Przypadek : kombnaca funkc bazy w V W () 9 7 3 5 ( ) F ( ) + F ( ) + Y ( ) Y ( ) + - Przypadek 3: kombnaca funkc bazy w V, W W () 9 7 3 5 6 + - Baza Haara w V. Algorytmy rozkładana funkc.. Znormalzowana baza Haara Funkce bazy Haarra należy znormalzować, czyl pomnożyć przez współczynnk, aby funkce bazy spełnały warunek u u gdze u est funkcą bazy Harra. Normalzaca może być zrobona tak F Y / ( ) F( ) / ( ) Y( ) ( ) 6 F ( ) + Y ( ) + Y ( ) ( ) Y 5 Stała / zapewna spełnene warunku normalzuącego. 6
Funkce znormalzowane bazy Haara w V rozkład obrazu () wyglądaą następuąco:.. Algorytm rozkładu funkc (obrazu) () dla znormalzowane bazy Haara Baza Haara w V () 9 7 3 5 ( ) 6,,, 7 Współczynnk rozkładu dla znormalzowane bazy Haara wylcza sę według bardzo prostego algorytmu. proc Decomposton_Step(: array[,...,h]) for to h/ do ( h + ) : ( ) ( ) endfor : endprocedure ( ) : [ ( ) + ( ) ] [ ] proc Decomposton(: array[,...,h]) : h whleh> do Decomposton_Step([,...,h]) h : h endwhle endprocedure Przykład 5: [ 9, 7, 3, 5] h, h : [ 9, 7, 3, 5 ] perwsze wywołane procedury Decomposton_Step h [ ] () : () + ( ) ( 3) : [ () ( ) ] 6 () () : () [ ] ( ) : ( 3) + ( ) 9 7 3 5 9 ( ) : [ ( 3) ( ) ] 5
6 wynk: [ ],,, : druge wywołane procedury Decomposton_Step h () () ( ) [ ] ( ) () ( ) [ ] : 6 : + + wynk:,, 6, :