Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment, to podstawowy fundament dla budowania merytorycznej wiedzy finansowej. Narzędziem na to pozwalającym jest stopa procentowa, którą możemy utożsamiać ze stopą zwrotu. Matematyka finansowa koncentruje się głównie na dwóch momentach, dla których jest badana wartość kapitału: * Present value (PV) -- wartość obecna * Future value (FV) -- wartość przyszła obliczana na podstawie wybranego momentu w przyszłości (zazwyczaj koniec inwestycji). Oczywiście przepływy pieniężne mogą być dyskontowane na dowolny moment w czasie, nawet wykraczający poza horyzont inwestycji. Poza momentem w czasie przy obliczaniu wartości pieniądza należy uwzględnić częstotliwość kapitalizacji odsetek. Wzory wykorzystywane do obliczenia wartości pieniądza są przedstawione poniżej. Na potrzeby tych wzorów przyjęto oznaczenia: K -- kapitał, t -- okres, na który przenosimy płatność, r -- nominalna stopa procentowa, m -- częstotliwość kapitalizacji 1.1 Oprocentowanie proste Oprocentowanie proste (simple interest) oznacza, że odsetki uzyskiwane w każdym okresie są stałe i naliczane od kwoty kapitału początkowego. SIFV -- Simple Interest Future Value; SIPV -- Simple Interest Present Value. --> SIFV(K,r,t):= K*(1+r*t); --> SIPV(K,r,t):=K*((1+r*t)^(-1));
Maxima-03_windows.wxm 2 / 8 Przykład 1 1 czerwca składamy depozyt w wysokości 100 000 zł na okres 3 miesięcy. Oprocentowanie jest równe 8%. Zakładamy, że rok ma 360 dni i miesiąc liczy 30 dni. Jaką kwotę zgromadzimy na rachunku po upływie terminu lokaty? --> killall(); K1:100000$ r1:0.08$ t1: (3*30)/360$ SIFV(K,r,t):= K*(1+r*t); FV: SIFV(K1,r1,t1); Zadanie 1 1 marca składamy depozyt w wysokości 1000 zł na okres 3 miesięcy. Oprocentowanie jest równe 4%. Zakładamy, że rok ma 360 dni i miesiąc liczy 30 dni. Jaką kwotę zgromadzimy na rachunku po upływie terminu lokaty? Jak odpowiedź zmieni się, jeśli założymy, że rok ma 365 dni a miesiąc prawdziwą liczbę dni? 1.2 Oprocentowanie złożone Oprocentowanie złożone to inaczej procent składany (compound interest). Wypłacane oprocentowanie jest reinwestowane w następnym okresie dla osiągnięcia dodatkowych korzyści. Często oprocentowanie jest wypłacane więcej niż 1 raz do roku. Częstotliwość, z jaką odestki są wypłacane określa się mianem częstotliwości kapitalizacji. Częstotliwość kapitalizacji musi być uwzględniona we wzorach. CIFV -- Compound Interest Future Value; CIPV -- Compound Interest Present Value. --> CIFV(K,r,t,m):= K*(1+r/m)^(t*m); --> CIPV(K,r,t,m):= K*(1+r/m)^(-t*m);
Maxima-03_windows.wxm 3 / 8 Przykład 2 Roczna stopa oprocentowania depozytu w banku A wynosi 21%, zaś w banku B 24%. Bank A kapitalizuje odsetki na rachunku co 4 miesiące, zaś bank B co 3 miesiące. Wpłacamy na początku roku po 1000 zł na lokatę do każdego z tych banków. Ile pieniędzy będziemy mieli na koniec roku na tych rachunkach? CIFV(K,r,t,m):= K*(1+r/m)^(t*m); K:1000$ ra: 0.21$ rb: 0.24$ t:1$ ma:3$ mb:4$ FVA: CIFV(K,rA,t,mA); FVB: CIFV(K,rB,t,mB); Przykład 3 Na jak długo należałoby zainwestować kwotę 1000 zł, aby po upływie okresu lokaty na rachunku zgromadzić 1500 zł? Stopa procentowa to 6%, kapitalizacja 2 razy w roku. CIFV(K,r,t,m):= K*(1+r/m)^(t*m); eq1: (CIFV(1000,0.06,t1,2)=1500); solve(%,t1); Jeśli częstotliwość dokonywania kapitalizacji będzie zwiększana w nieskończoność, przejdziemy do tzw. kapitalizacji ciągłej. Stopa procentowa przyjmuje wtedy nazwę intensywności oprocentowania. --> ecifv(k,r,t):=k*exp(r*t); --> ecipv(k,r,t):=k*exp(-r*t);
Maxima-03_windows.wxm 4 / 8 Zadanie 2 Inwestor składa na lokatę kapitał w wysokości 100 000 zł. Ile pieniędzy otrzyma na koniec lokaty? Czas trwania to 1 rok, kapitalizacja ciągła. Stopa procentowa w skali roku= 0.10. Przykład 4 Porównaj wartości na koniec lokat przy oprocentowaniu prostym i złożonym. Skorzystaj z wartości przyszłej(fv). Oś x : czas; Oś y: wartość przyszła; Kapitał = 1zł, stopa oprocentowania 30% w skali roku. --> load(draw); K:100; r:0.3; m:1; SFV: K*(1+r*t); CFV: K*(1+r/m)^(t*m); draw2d(key="simple", color=green, explicit(sfv, t, 0,2), key="compound", color=red, explicit(cfv, t, 0,2))$ 2 Kredyty 2.1 Metoda równych kwot Metoda równych kwot zakłada, że kredyt spłacany jest w równych ratach. Każda płatność ma dla banku tę samą wartość A.
Maxima-03_windows.wxm 5 / 8 Przykład 5 Bank udzielił kredytu na 4 lata, który ma być spłacany w 16 równych ratach po 30 000 zł każda płatnych na koniec każdego 3-miesięcznego okresu (tzw. renta płatna z dołu). Nominalna stopa procentowa roczna wynosi 24%. Jaka jest wielkość udzielonego kredytu? Aby to policzyć musimy wyznaczyć wartość obecną przyszłych płatności na rzecz tego kredytu. PVA(A,r,t,m):=A*sum((1+r/m)^-i,i,1,t*m) /*tu definiuję wzór na rentę płatną z dołu*/; PVA(30000,0.24,4,4); Zadanie 3 Bank udzielił kredytu na 5 lat, który ma być spłacany w 20 równych ratach po 1000 zł każda płatnych na koniec każdego 3-miesięcznego okresu. Nominalna stopa procentowa roczna wynosi 20%. Jaka jest wielkość udzielonego kredytu? Przykład 6 Bank udziela rocznego kredytu w wysokości 100000 zł. Kredyt należy spłacić w 3 równych ratach. Raty są płatne z góry, na początku każdego czteromiesięcznego okresu spłaty (tzw. renta płatna z góry). Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 21%. Jaka jest wysokość jednej raty? A -- nieznane; PVAD -- 100 000 (tyle od razu dostajemy); m -- 3 (bo 3 razy mamy zapłacić ratę) r -- 0.21 t -- 1 (bo na rok udzielony kredyt) PVAD(A,r,t,m):=A*sum((1+r/m)^-i,i,0,t*m-1) /*tu definiuję wzór na rentę płatną z góry*/; float(solve(pvad(x,0.21,1,3)=100000,x)); Zadanie 4 Bank udziela kredytu na 3 lata w wysokości 50 000 zł. Kredyt ma być spłacony w 6 równych ratach. Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%. Jaka jest wysokość jednej raty, jeśli raty są płatne z góry? A jaka jeśli raty są płatne z dołu?
Maxima-03_windows.wxm 6 / 8 2.2 Metoda równych rat kapitałowych (raty malejące) Ta metoda zakłada, że w każdej racie spłacamy stałą część kapitału głównego. Każda kolejna spłata jest niższa od poprzedniej, gdyż oprocentowanie dotyczy mniejszej kwoty. 3 Decyzje inwestycyjne Podejmując decyzje inwestycyjne chcielibyśmy wiedzieć, czy inwestycja się opłaci. Cechą charakterystyczną każdej inwestycji jest występowanie w jej analizie przepływów pieniężnych o niejednolitym charakterze: początkowo ponosimy nakłady (przepływy ujemne) po to, aby na koniec osiągnąć korzyści (przepływy dodatnie). 3.1 Stopa zwrotu z inwestycji Jednym z podstawowych sposobów oceny projektu inwestycyjnego jest obliczenie stopy zwrotu. Stanowi ona podstawową miarę dochodu z inwestycji. Można ją liczyć dla całego okresu trwania inwestycji, jak i dla np. roku. R -- stopa zwrotu z inwestycji, cały okres inwestowania R1 -- stopa zwrotu z inwestycji, 1 rok, n -- liczba lat inwestycji. --> R(FVinw, PVinw) := (FVinw/PVinv)-1; --> R1(FVinw, PVinw) := (FVinw/PVinv)^(1/n)-1 Zadanie 5 Inwestor ma do zainwestowania 1000 zł. Ma do wyboru dwie lokaty: 1: oprocentowanie 6% w skali roku, kapitalizacja 12 razy w ciągu roku na 3 lata; 2: oprocentowanie 8% w skali roku, kapitalizacja 1 raz w ciągu roku, na 3 lata. Korzystając ze stopy zwrotu z inwestycji, którą z lokat powinien wybrać? Ile wynosi roczna stopa z inwestycji każdej z lokat? Wskazówka: skorzystaj z odpowiednich funkcji dla present i future value zdefiniowanych wcześniej.
Maxima-03_windows.wxm 7 / 8 3.2 Wartość bieżąca netto (Net Present Value, NPV) Wartość bieżąca netto jest to różnica pomiędzy wartością bieżącą przepływów pieniężnych generowanych przez inw a nakładami początkowymi niezbędnymi do rozpoczęcia inwestycji. Zakładamy, że nakłady są ponoszone w roku 0 i wynoszą I0. Począwszy od roku 1 do roku t (horyzont inwestycji) obserwujemy przychody w wysokości A. Analizując projekt inwestycyjny przy pomocy wskaźnika NPV możemy napotkać 3 sytuacje: NPV >0 -- oznacza to, że stopa zwrotu jest wyższa niż koszt pozyskania kapitału, projekt można wstępnie zaakceptować; NPV = 0 -- stopa zwrotu taka sama, jak koszt kapitału -- projekt neutralny; NPV < 0 -- stopa zwrotu niższa niż koszt kapitału, projekt należy odrzucić. Przyjmujemy, że nakłady definiujemy ze znakiem -, przychody ze znakiem +. Przykład 7 Dokonano inwestycji, której nakłady początkowe wynosiły 500 zł. Na zakończenie kolejnych 4 lat inwestycja przy następujące przepływy: 200, 250, 300, 400 zł. Oblicz NPV dla tej inwestycji, jeśli stopa procentowa wynosi 15% Przeplywy: [-500, 200, 250, 300, 400]; NPV: sum(przeplywy[i]/((1+0.15)^(i-1)), i, 1, length(przeplywy)) /*npv jest ciągiem, którego sumę chcemy policzyć od elementu 1 przepływ Zadanie 6 Inwestor ma do zainwestowania 1000 zł. Ma do wyboru dwie inwestycje: * W inwestycji A dostanie co roku gwarantowane 250 zł przez 7 lat; * W inwestycji B dostanie co roku kwotę o 50 zł wyższą od poprzedniej: w roku 1 wynosi ona 100 zł. Inwestycja jest na 8 lat. Stopa procentowa wynosi 15% niezależnie od inwestycji. Którą z inwestycji powinien wybrać na podstawie NPV? Czy odpowiedź się zmieni, jeśli inwestycja A będzie mieć stopę procentową 10% a inwestycja B 15%? 3.3 Wewnętrzna stopa zwrotu (Internal Rate of Return, IRR) - część nieobowiązkowa dla chętnych
Maxima-03_windows.wxm 8 / 8 Wewnętrzna stopa zwrotu to stopa, dla której wartość bieżąca regularnych przepływów generowanych przez inwestycję jest równa nakładom początkowym niezbędnym do rozpoczęcia tej inwestycji. IRR to stopa, przy której NPV = 0. Inaczej możemy kojarzyć IRR z graniczną stopą powyżej której projekt należy odrzucić. Możliwe wyniki: r<irr -- przy danej stopie procentowej r inwestycja generuje dodatnią NPV, można wstępnie zaakceptować projekt r=irr -- projekt jest neutralny; r>irr -- inwestycja generuje ujemną NPV, projekt należy odrzucić Przykład 8 Firma zainwestowała 2000 zł w projekt inwestycyjny przynoszący przepływy w kolejnych latach równe: 1000, 800, 600, 200 zł. Oblicz IRR dla tej inwestycji. Przeplywy: [-2000, 1000, 800, 600, 200]; NPV: sum(przeplywy[i]/((1+r)^(i-1)), i, 1, length(przeplywy)); find_root(npv=0,r,0,100) /*find_root służy do znajdowania pierwiastka równania w podanym przedziale, interesują nas dodatnie stopy zwro Zadanie 7 Przypominamy dane z zadania 6: Inwestor ma do zainwestowania 1000 zł. Ma do wyboru dwie inwestycje: * W inwestycji A dostanie co roku gwarantowane 250 zł przez 7 lat; * W inwestycji B dostanie co roku kwotę o 50 zł wyższą od poprzedniej: w roku 1 wynosi ona 100 zł. Inwestycja jest na 8 lat. Oblicz, powyżej jakiej stopy procentowej inwestor nie powinien inwestować w podane inwestycje (policz IRR tych inwestycji).