INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Z WIĘZAMI GEOMETRYCZNYMI

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 5 ISSN 1896-771X INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Z WIĘZAMI GEOMETRYCZNYMI Piotr Gierlk 1 Mgdlen Mszyńsk 1b 1 Ktedr Mechniki Stosownej i Robotyki Politechnik Rzeszowsk pgierlk@prz.ed.pl b mgdw@prz.ed.pl Streszczenie W niniejszej prcy do rozwiązni problem sterowni rchem robot mniplcyjnego z nrzconymi więzmi holonomicznymi zstosowno inteligentny neronowo-rozmyty kłd sterowni. Celem tego kłd jest proksymcj nieliniowości dynmiki robot mniplcyjnego przeprowdzn po to by wygenerowć sterownie kompenscyjne. Ukłd sterowni zprojektowno tk by n bieżąco modyfikowł swoje włściwości przy zmiennych wrnkch prcy dwczłonowego robot mniplcyjnego. Bdni symlcyjne zostły przeprowdzone dl przypdk kiedy końcowy pnkt robot mniplcyjnego przemieszcz się po torze w ksztłcie okręg i wywier ncisk n powierzchnię kontkt. Słow klczowe: mnipltor logik rozmyt sieci neronowe INTELLIGENT CONTROL OF ROBOTIC MANIPULATOR MOVEMENT WITH GEOMETRICAL CONSTRAINTS Smmry In this pper to solve the problem of the control of the robotic mnipltor movement with holonomicl constrints the intelligent control system ws sed. This system is nderstood s hybrid controller being combintion of fzzy logic nd rtificil nerl network. The prpose of the nero-fzzy system is pproximtion of nonlinerity of the robotic mnipltor s dynmic to generte compensting control. Control system is designed is sch wy to modify their properties nder different operting conditions of two-link mnipltor. Simltion stdies were crried ot for the cse when the tip of the mnipltor moves long pth in the shpe of circle nd exerts pressre on the contct srfce. Keywords: mnipltor fzzy logic nerl network 1. WSTĘP Zgdnienie sterowni rchem robot mniplcyjnego z ogrniczenimi wynikjącymi z kontkt końcówki mnipltor z otoczeniem corz częściej znjdje prktyczne zstosownie w robotyzcji procesów przemysłowych [3 5]. W tkich przypdkch istotnego znczeni nbierją siły interkcji pomiędzy końcówką roboczą mnipltor i środowiskiem w którym dził robot. Siły te powstją w pnkcie styk końcówki robot z otoczeniem i są to siły normlne i styczne do tzw. powierzchni styk. W cel poprwnej relizcji proces sterowni siły interkcji normlne do powierzchni styk nleży kontrolowć. Jednocześnie odbyw się sterownie rchem końcówki mnipltor po powierzchni styk. Prowdzi to do tzw. sterowni hybrydowego pozycyjno-siłowego [4 5]. Roboty mniplcyjne są kłdmi o nieliniowym opisie dynmiki dodtkowo występje problem niepewności modelowni. W cel poprwnej relizcji proces sterowni tkim kłdem prwo sterowni powinno względnić kompenscję nieliniowości sterownego obiekt [4]. Współcześnie dostępne są nowoczesne techniki sterowni kłdmi nieliniowymi które bzją n teorii kłdów dptcyjnych [1 5 6] orz odpornych. Są one szczególnie przydtne w zgdnienich sterow- 19

INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO ni w przypdkch tkich jk nlizowny w niniejszym rtykle. W niniejszej prcy do rozwiązni problem sterowni rchem robot mniplcyjnego z nrzconymi więzmi holonomicznymi zstosowno inteligentny kłd sterowni rozminy jko sterownie hybrydowe będące połączeniem logiki rozmytej i sztcznych sieci neronowych. Celem kłd neronowo-rozmytego jest proksymcj nieliniowości dynmiki robot mniplcyjnego przeprowdzon po to by wygenerowć sterownie kompenscyjne. 2. OPIS DYNAMIKI OBIEKTU Obiektem sterowni jest dwczłonowy robot mniplcyjny którego schemt pokzno n rys.1. gdzie i to prmetry zleżne od geometrii i rozkłd ms kłd orz współczynników oporów rch 1 i 2 to momenty npędzjące człony d1 i d2 to zkłóceni λ mnożnik Lgrnge w tym przypdk to sił normln do powierzchni więzów. W zpisie mcierzowym równnie (5) m formę [7]: Mqq& Cqq'q' Fq'Gq t J qλ (6) Wprowdzenie więzów (3) zredkowło liczbę stopni swobody z 2 do 1 ztem rch mnipltor może być opisny przy pomocy rbitrlnie wybrnej zredkownej współrzędnej pozycji θ1=q1. Z przyjętych ogrniczeń wynik współrzędn zleżn tk że θ q γq q rccos 89 :; < 9 :; 9 9 ; < ; 9 q'2 q' 1 q& 2 q& 1 (7) Definije się jkobin rozszerzony L wiążący prędkości kłd nieogrniczonego i ogrniczonego w nstępjący sposób: q' Lθ'! 1 θ' (8)?A <?γ@ < Rys. 1. Mnipltor dwczłonowy z ogrniczeniem Kinemtyk mnipltor we współrzędnych xy opisn jest równniem: y x y kq l cosq l cosq l sinq l sinq (1) gdzie qq q to wektor współrzędnych ogólnionych robot l l to dłgości członów robot. Przyjęto że pnkt C mnipltor będzie porszł się po powierzchni opisnej równniem: hkx y R (2) Jest to równnie więzów holonomicznych nrzconych n końcówkę mnipltor które we współrzędnych ogólnionych m postć: hql l 2l l cosq q R (3) Jkobin związny z nrzconymi ogrniczenimi m formę: Jq hq q! hq hq q q 2l l sinq q 2l l sinq q (4) Dynmiczne równni rch tego robot możn przedstwić w postci nstępjącego równni: cosq q q& cosq q % q& sinq q q' q' (q' sinq q q' q' ) q' *cosq + cosq 2l l sinq q λ (5) 2l l sinq q W nlizownym przypdk L=[1 1] T. Podstwijąc zleżność γ(q1) i wzór (8) do równni dynmiki mnipltor (5) otrzymno: h θ& h! B1h θ' θ'! (θ' % B1h θ' ) θ' + cosθ rccosh! 2l l 1h λ (9) 2l l 1h gdzie h 89 :; 9 < :; 9 9. Mnożąc zleżność (9) przez L T ; < ; 9 i wykorzystjąc fkt że JL= zpisno L h θ& h L! B1h θ' θ' L! (θ' % B1h θ' ) θ' L + cosθ rccosh L L (1) w zpisie mcierzowym gdzie MDθ&VD θ'f GDF L (11) MD L h h % VD L! B1h θ' B1h θ' F L! (θ' GD L ) θ' + cosθ rccosh F L L. Powyższe równnie opisje rch po powierzchni styk przy czym nleży zwżyć że nie m w nim informcji o sile ncisk. 2

Piotr Gierlk Mgdlen Mszyńsk 3. STEROWANIE POZYCYJNO - SIŁOWE Celem sterowni hybrydowego pozycyjno-siłowego jest terz relizcj zdnej trjektorii θ1d(t) orz relizcj zdnej trjektorii siłowej λd(t). Zdefiniowno błąd ndążni e θ ogólniony błąd ndążni s błąd siły λg orz pomocniczy sygnł υ1 [7]: e A θ θ (12) s e'aλe A (13) λg λ λ (14) υ θ'λe A (15) gdzie Λ jest dodtnią stłą projektową. Równnie (1) wyrżone w tych zmiennych m formę L h υ's'l h! B1h θ' υ s % B1h θ' L! (θ' L ) θ' + cosθ rccosh L L (16) Zredkowną dynmikę mnipltor w fnkcji ogólnionego błęd ndążni przeksztłcono do postci: L h s' L h! B1h θ' sl fl % B1h θ' L (17) gdzie MDs' VD sl ff L f h υ'! B1h θ' υ h! (θ' % B1h θ' ) θ' + cosθ rccosh (18) W cel relizcji sterowni pozycyjno-siłowego przyjęto sterownie w postci: LM N ς fpk M LsJ Rλ K N λgsς (19) gdzie ς to sterownie odporne PD=KDLs to form sterowni PD gdzie KD to dodtnio określon mcierz wzmocnieni pozycyjnego N J Rλ K N λgs to sterownie w pętli sprzężeni siłowego gdzie KF to dodtnie wzmocnienie siłowe ntomist fp to fnkcj proksymjąc nieliniową zleżność (18) jest to sterownie kompenscyjne. Schemt zmkniętego kłd sterowni przedstwiono n rys. 2. Rys. 2. Schemt zmkniętego kłd sterowni pozycyjnosiłowego Kompenstor jest zrelizowny w formie kłd neronowo-rozmytego. Zgodnie z twierdzeniem mówiącym o dokłdności proksymcji nieliniowej fnkcji modelem neronowo-rozmytym [1] wrz ze wzrostem stopni złożoności model (liczby regł liczby zbiorów rozmytych) rośnie jego możliwość do dokłdnego odwzorowni. Jednk w przypdk większej liczby wejść model neronowo-rozmytego występje problem eksplozji rozwiązń. Aby niknąć tego typ zjwisk wprowdzono strktrlne sterownie neronowo-rozmyte poprzez zstąpienie model złożonego modelmi prostymi. Tkie podejście prszcz problem projektowni wprowdz nową strktrę sterowni neronowo-rozmytego i przyspiesz proces obliczeniowy [9]. Elementy wektor sterowni kompensjącego nieliniowości robot mniplcyjnego zpisno jko: gdzie: f TU g g g % f TU g ( g ) g * (2) g hυ' g 1h θ'υ g % ( θ' (21) g ( h % υ' g ) 1h θ'υ g * ) θ' + cosθ rccosh 4. NEURONOWO-ROZMYTY KOMPENSATOR NIELINIOWOŚCI ROBOTA W cel proksymcji nieliniowości robot mniplcyjnego zstosowno kłd neronowo-rozmyty który nleży do podzbior kłdów z logiką rozmytą. W przyjętym wrincie kłd dptcji podlegją prmetry konklzji bzy regł model Sgeno przy złożonych stłych prmetrch fnkcji przynleżności wejści µ XYZ (złożono w przesłnkch bzy regł równomierne rozmieszczenie fnkcji przynleżności w przestrzeni rozwżń). Do proksymcji nieliniowości zstosowno model rozmyty w postci bzy regł: R [ :IF^x A [`AND^x T A [`THEN^yF yf f` (22) 21

INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO gdzie A [g jest zbiorem rozmytym w U g ir x x x x T ku j12 N to liczb regł. Model rozmyty z opercją rozmywni typ singleton z bzą regł (21) rozmytą implikcją typ (MIN) metodą wyostrzni typ CA możn opisć zleżnością [81]: fx n [yf [ p n (23) [ gdzie [ ozncz stopień ktywności regły R [. [ q go µ XYZ x (24) x ku ir yf kvir to odpowiednio wejście do model rozmytego i wyjście ostre z model. Jeżeli wybierze się fnkcje przynleżności µ XYZ w postci krzywych gssowskich które są wyrżone wzorem: µ XYZ x g e :r 9^s ZY Y : ZY`9 (25) gdzie r [g jest prmetrem określjącym odwrotność szerokości krzywej gssowskiej c [g jest jej środkiem to wówczs wyjście z model rozmytego możn zpisć w formie: syntezy sterowni neronowego możliwi poprwną prcę kłd sterowni w wynik dziłni pętli wewnętrznej z regltorem PD do moment ż sieć zcznie się czyć. Ozncz to iż nie jest wymgny wstępny proces czeni wg sieci wgi sieci są estymowne w czsie rzeczywistym. N podstwie równni (3) proksymowne elementy g f wektor f zpisno w postci równni (32) jko: po rozpisni otrzymno g~ g xwz TU δx (32) δ x g~ g xwx δ wx wx y x δ y x (32) gdzie m to liczb regł rozmytych. W wynik tkiego podejści otrzymno sześć prostych modeli neronoworozmytych kżdy o dwóch sygnłch wejściowych. N rys. 3 pokzno przykłdowe elementy wektor f (g1 g2 g3). Tkie jęcie zncznie łtwi syntezę model neronowo-rozmytego. n fx q e:r ZY n 9^s Y : ZY`9 go yf [ t e :r9^s (26) n ZY Y : ZY`9 Ntomist stopień ktywności regły wyznczono n podstwie zleżności (24): 9^s Y : ZY`9 [ q e :r ZY go (27) W dlszych rozwżnich do proksymcji zleżności fnkcyjnych występjących w konklzjch bzy regł model Tkgi-Sgeno zostnie zstosown sieć neronow. W tym cel przyjęto we wzorze (23) yf [ w [ jko wgi sieci neronowej i wówczs model neronoworozmyty zpisno w postci równni: fpx Tr n [w [ p n (28) [ gdzie nr=12. Przyjmjąc oznczenie: δ [ x [ p (29) [ n model neronowo-rozmyty zpisno w zwięzłej postci: fpx Tr W TU δx (3) gdzie W TU wx wx wx y. Prwo czeni wg konklzji bzy regł kłd neronowo-rozmytego wyznczono stosjąc teorię stbilności Lpnow [2]. Przyjęto lgorytm czeni wg sieci w postci: Wz' TU F { δls kf { Ls Wz TU (31) gdzie k} jest wielkością projektową F { to mcierz współczynników wzmocnień dptcji. Tkie jęcie Rys. 3. Schemt kłd neronowo-rozmytego z dptcją konklzji bzy regł 5. WYNIKI TESTU NUMERYCZNEGO NEURONOWO- ROZMYTEGO ALGORYTMU STEROWANIA Przeprowdzono testy nmeryczne zproponownego neronowo-rozmytego lgorytm sterowni rchem robot mniplcyjnego z nrzconymi więzmi holonomicznymi. Testy zostły zrelizowne w środowisk obliczeniowym Mtlb/Simlink. Kżdy element g g wektor sterowni kompensjącego nieliniowości zwier dwie zmienne wejściowe. Do proksymcji modelem neronowo-rozmytym przestrzeń rozwżń kżdej z tych zmiennych wejściowych podzielono n 3 zbiory rozmyte opisne gssowskimi fnkcjmi przynleżności w wynik czego otrzymno bzę regł złożoną z 9 regł dl kżdej fnkcji g g. Złożono równomierny podził przestrzeni wejściowej. W prezentownej symlcji złożono wzmocnieni sterowń KD=dig{11} L=1 KF=1. Mcierz wzmocnień dptcji konklzji bzy regł model neronoworozmytego Fw=.2. Uzyskne w symlcji przebiegi sygnłów sterowni przedstwiono n rys. 4. 22

Piotr Gierlk Mgdlen Mszyńsk j [Nm] f(x) nr [Nm] 1.8.4 -.4 2 -.8.8.4 f nr1 -.4 f nr2 -.8 Rys. 4. Przebiegi sygnłów sterowni: cłkowite kompenscyjne Sterownie cłkowite generowne jest w tki sposób by relizowć zdną trjektorię rch orz zpewnić żądny docisk końcówki mnipltor do powierzchni styk. W początkowej fzie człony mnipltor są nierchome nrst ntomist wywierny ncisk n powierzchnię styk co jest spowodowne przez sterownie N przedstwione n rys.5b..4.2 K D1 L 1 s 1 K D2 L 2 s 2 -.2 -.4.8 F2.4 -.4 F1 -.8 K Dj L j s j [Nm] Fj [Nm] Rys. 5. Przebiegi sygnłów sterowni neronowo-rozmytego: PD siłowe Pozostłe skłdniki sterowni mją brdzo młe wrtości które są potrzebne jedynie do zrównowżeni momentów pochodzących od sił grwitcji. Nie m ntomist potrzeby porszni członów gdyż zdn prędkość rch jest n początk równ zer. Wobec tego brdzo młe są wrtości błędów ndążni n których bzje regltor PD. Około 1 [s] człony zczynją się porszć tk by relizowć zdną trjektorię rch i wówczs wzrst zncząco sterownie PD. Nstępnie dzięki postępowi dptcji ocen wg konklzji bzy regł kłd neronowo-rozmytego rośnie rol sterowni kompenscyjnego. N rys. 6 przedstwiono przebiegi błędów ndążni. Jk wynik z wykresów błędy są njwiększe w początkowej fzie rch ndążnego nstępnie są zmniejszne i w wynik dptcji kłd sterowni pozostją ogrniczone. e θ1 [rd] e. θ1 [rd/s].2.1 -.1 -.2.2.1 -.1 -.2 Rys. 6. Błędy ndążni ƒ 'ƒ. N rys. 7 przedstwiono wybrne przebiegi ocen wg konklzji bzy regł kłd neronowo-rozmytego. Oceny wg konklzji podlegją njszybszej dptcji w początkowej fzie rch nstępnie dążą do wrtości stlonych..2 W nf (2).1 -.1 -.2.15.1.5 -.5 -.1 Rys. 7. Wybrne wrtości wg kłd neronowo-rozmytego W nf (3) N rys. 8 zmieszczono przebiegi zrelizownej siły ncisk czyli trjektorię siłową (rys. 8 orz błąd ndążni z trjektorią siłową (rys. 8. 6 λ [N] λ ~ [N] 4 2.4.2 -.2 -.4 Rys. 8. Trjektori siłow: zrelizown trjektori siłow błąd ndążni z trjektorią siłową 23

INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Oscylcje błęd wynikją z niedokłdności dziłni zrówno sterowni siłowego jk i relizcji rch ndążnego co powodje niejednostjny docisk końcówki mnipltor do powierzchni styk. 6. WNIOSKI W niniejszym rtykle przenlizowno jedną z nowoczesnych technik sterowni kłdmi nieliniowymi czyli metodę bzjącą n kłdch neronoworozmytych. Są one szczególnie przydtne w zgdnienich sterowni w przypdkch tkich jk nlizowny w niniejszym rtykle. Celem kłd neronoworozmytego był proksymcj nieliniowości dynmiki robot mniplcyjnego przeprowdzn po to by wygenerowć sterownie kompenscyjne. W kłdzie dptowne były konklzje bzy regł model neronowo-rozmytego przy stłych prmetrch przesłnek (środków i szerokości fnkcji Gss złożono ich równomierny podził w przestrzeni rozwżń. Skteczność zprojektownego neronowo-rozmytego lgorytm sterowni zostł potwierdzon wynikmi bdń symlcyjnych. Potwierdzją one słszność przyjętej metody sterowni. Zproponowny sposób sterowni nieliniowym obiektem jkim jest robot mniplcyjny stnowi nrzędzie wykorzystjące informcję neronowo-rozmytą w sposób brdzo efektywny. Litertr 1. Chen S. Billings A.: Nerl networks for nonliner dynmic system modeling nd identifiction. Int. J. Control 1996 Vol. 56 No. 2 p. 319-346. 2. Giergiel J. Hendzel Z. Zylski W.: Modelownie i sterownie mobilnych robotów kołowych. Wrszw: PWN 22. 3. Gierlk P.: Hybrid position/force control in robotised mchining. Solid Stte Phenomen Trns Tech Pblictions 214 Vol. 21 p. 192-199. 4. Gierlk P.: Hybrid position/force control of the SCORBOT-ER 4pc mnipltor with nerl compenstion of nonlinerities. Berlin Heidelberg: Springer-Verlg 212. In: L. Rtkowski et l. (Eds.): ICAISC 212 Prt II LNCS 7268 p. 433-441. 5. Gierlk P.: Zstosownie dptcyjnego hybrydowego pozycyjno-siłowego sterowni mnipltorem w zrobotyzownej obróbce mechnicznej. Modelownie Inżynierskie 213 nr 46 t. 15 s. 28-34. 6. Kmr N. Pnwr V. Skvnm N. Shrm S.P. Borm J.-H.: Nerl network bsed hybrid force/position control for robot mnipltors. Int. J. Precis. Eng. Mnf. 211 Vol. 12 No. 3 p. 419-426. 7. Lewis F.L. Jgnnthn S. Yesildirek A.: Control of robot mnipltors nd nonliner systems. London: Tylor & Frncis 1999. 8. Hendzel Z. Mszyńsk M.: Adptive fzzy control of wheeled mobile robot. Int. J. of Applied Mechnics nd Engineering 212 Vol. 17 No 3 p.827-835. 9. Hornik K. Stinchcombe M. White H.: Mltilyer feedforwrd networks re niversl pproximtions. Nerl Networks 1989 Vol. 2 p. 359-366. 1. Mszyńsk M: Neronowo-rozmyte systemy sterowni mobilnym robotem kołowym. Rozprw doktorsk 212. 24