Rozdział 4. Pole magnetyczne przewodników z prądem 2018
Spis treści Prawo Ampere'a Zastosowanie prawa Ampere'a - prostoliniowy przewodnik Zastosowanie prawa Ampere'a - cewka Oddziaływanie równoległych przewodników z prądem Prawo Biota-Savarta Podsumowanie informacji o polu magnetycznym Zadania z pola magnetycznego
Prawo Ampere'a Doświadczalnie można wyznaczyć linie pola magnetycznego przy użyciu na przykład opiłków żelaza, które zachowują się jak dipole magnetyczne. Opiłki ustawiają się zgodnie z kierunkiem B i dają obraz linii pola magnetycznego. Doświadczenie takie można obejrzeć jest zaprezentowane poniżej http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=52 Film został udostępniony przez Politechnikę Warszawską na licencji Creative Commons BY-SA 3.0. PL dla potrzeb e-podręczników AGH. Na Prawo Ampere'a-Rys. 1 pokazany jest rozkład opiłków żelaza wokół prostoliniowego przewodnika z prądem. Rysunek 1: Linie pola magnetycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem; (opiłki żelaza rozsypane na powierzchni kartki umieszczonej prostopadle do przewodnika z prądem tworzą koncentryczne kręgi odzwierciedlając kształt linii pola magnetycznego) Widzimy więc, że linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są zamkniętymi współśrodkowymi okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika tak jak pokazano na Prawo Ampere'a-Rys. 2. Wektor B jest styczny do tych linii pola w każdym punkcie. Rysunek 2: Schemat lini pola magnetycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyznaczamy, stosując następującą zasadę: jeśli kciuk prawej ręki wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kierunek B (linie pola B krążą wokół prądu). Natomiast wartość pola B wokół przewodnika z prądem można obliczyć, korzystając z prawa Ampère'a. Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występujące rozkłady prądów, takie jak przewodniki
prostoliniowe, cewki, itp. Potrzebujemy prawa analogicznego do prawa Gaussa, które pozwalało na podstawie znajomości ładunku (źródła pola E) wyznaczyć natężenie pola E. Dla pola magnetycznego szukamy związku pomiędzy prądem (źródłem pola B). PRAWO Prawo 1: Prawo Ampere'a Bdl = I μ 0 (1) Pokazaliśmy, że linie pola magnetycznego wokół przewodnika z prądem stanowią zamknięte okręgi. Stąd, zamiast sumowania (całki) po zamkniętej powierzchni (jak w prawie Gaussa), w prawie Ampère'a sumujemy (całkujemy) po zamkniętym konturze (liczymy całkę krzywoliniową). Taka całka dla pola E równała się wypadkowemu ładunkowi wewnątrz powierzchni, a w przypadku pola B jest równa całkowitemu prądowi Iotoczonemu przez kontur. Tak jak w przypadku prawa Gaussa, wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkniętej, tak dla prawa Ampère'a wynik nie zależy od kształtu konturu zamkniętego. Stała μ 0 = 4π 10 7 Tm/A, jest tzw. przenikalnością magnetyczną próżni. Gdy pole magnetyczne jest wytworzone nie w próżni ale w jakimś ośrodku to fakt ten uwzględniamy wprowadzając stałą materiałową μ r, zwaną względną przenikalnością magnetyczną ośrodka tak, że prawo Ampère'a przyjmuje postać Bdl = I μ 0 μ r (2) Zastosowanie prawa Ampere'a - prostoliniowy przewodnik PRZYKŁAD Przykład 1: Prostoliniowy przewodnik Jako przykład obliczymy pole w odległości r od nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I (zob. Zastosowanie prawa Ampere'a - prostoliniowy przewodnik-rys. 1). Ponieważ linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są współśrodkowymi okręgami więc jako drogę całkowania wybieramy okrąg o promieniu r. W każdym punkcie naszego konturu pole B jest do niego styczne (równoległe do elementu konturu dl). Rysunek 3: Kontur kołowy o promieniu r wokół przewodnika z prądem Kształt linii pola wokół prostoliniowego przewodnika można też zobaczyć na filmie poniżej
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=51 Wówczas na podstawie prawa Ampère'a B2πr = I μ 0 (3) skąd B = I μ 0 2πr (4) W ten sposób obliczyliśmy pole B na zewnątrz przewodnika. Wartość pola jest taka jakby cały prąd płynął przez środek przewodnika. Natomiast jeżeli chcemy obliczyć pole wewnątrz przewodnika (pręta) to wybieramy kontur kołowy o promieniu r < R, gdzie R jest promieniem przewodnika. Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący częścią całkowitego prądu I i = I πr2 πr 2 (5) Na podstawie prawa Ampère'a dla takiego konturu B2πr = i μ 0 (6) skąd, po uwzględnieniu zależności Zastosowanie prawa Ampere'a - prostoliniowy przewodnik-( 3 ) otrzymujemy B = Ir μ 0 2πR 2 Pole magnetyczne wewnątrz nieskończonego, prostoliniowego przewodnika z prądem rośnie proporcjonalnie do r w miarę przechodzenia od środka do powierzchni przewodnika. (7) Zastosowanie prawa Ampere'a - cewka PRZYKŁAD Przykład 2: Cewka Zastosujemy teraz prawo Ampère'a do obliczenia pola magnetycznego wewnątrz cewki, przez którą płynie prąd o natężeniu I (zob. Rys. 4).
Rysunek 4: Pole magnetyczne B wytworzone przez prąd I przepływający przez cewkę Pole magnetyczne wytworzone przez całą cewkę jest sumą wektorową pól wytwarzanych przez wszystkie zwoje. W punktach na zewnątrz cewki pole wytworzone przez części górne i dolne zwojów znosi się częściowo, natomiast wewnątrz cewki pola wytworzone przez poszczególne zwoje sumują się. Jeżeli mamy do czynienia z solenoidem, tj. z cewką o ciasno przylegających zwojach, której długość jest znacznie większa od jej średnicy to możemy przyjąć, że pole magnetyczne wewnątrz solenoidu jest jednorodne, a na zewnątrz równe zeru. Układ lini pola wewnątrz solenoidu przedstawiony jest przy użyciu opiłków żelaza na filmie poniżej. http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=50 Film został udostępniony przez Politechnikę Warszawską na licencji Creative Commons BY-SA 3.0. PL dla potrzeb e- podręczników AGH. Na Rys. 5 pokazany jest przekrój odcinka idealnego solenoidu. Prawo Ampère'a zastosujemy dla konturu zaznaczonego na rysunku linią przerywaną. Rysunek 5: Zastosowanie prawa Ampère'a do obliczenia pola magnetycznego wewnątrz solenoidu Całkę krzywoliniową Bdl przedstawimy jako sumę czterech całek b c Bdl = Bdl + Bdl + Bdl + Bdl a b c d d a (8) Całka druga i czwarta są równe zeru bo wektor B jest prostopadły do elementu konturu dl (iloczyn skalarny wektorów prostopadłych jest równy zeru). Trzecia całka też jest równa zeru, ale dlatego, że B = 0 na zewnątrz solenoidu. Tak więc niezerowa jest tylko całka pierwsza b a Bdl = Bh (9) gdzie h jest długością odcinka ab. Teraz obliczmy prąd obejmowany przez wybrany kontur. Jeżeli cewka ma n zwojów na jednostkę długości, to wewnątrz konturu jest nh zwojów. Oznacza to, że całkowity prąd przez kontur wynosi I całk. = Inh (10) gdzie I jest prądem przepływającym przez pojedynczy zwój cewki. Na podstawie prawa Ampère'a Bh = Inh μ 0 (11) skąd pole magnetyczne wewnątrz solenoidu B = ni μ 0 (12)
Powyższe równanie stosuje się z powodzeniem również do rzeczywistych cewek (dla punktów z wnętrza cewki, odległych od jej końców). Cewki stanowią praktyczne źródło jednorodnego pola magnetycznego. Oddziaływanie równoległych przewodników z prądem Na Rys. 6 przedstawione są dwa prostoliniowe przewodniki z prądem umieszczone równoległe w próżni w odległości d od siebie. Rysunek 6: Przewodniki z prądem oddziałujące na siebie za pośrednictwem pola magnetycznego Przewodnik 'a' wytwarza w swoim otoczeniu w odległości d pole magnetyczne, które zgodnie ze wzorem Zastosowanie prawa Ampere'a - prostoliniowy przewodnik-( 3 ) wynosi B a = μ 0 I a 2πd (13) W tym polu znajduje się przewodnik 'b', w którym płynie prąd I b. Na odcinek l tego przewodnika działa siła μ l F b = I b lb a = 0 I a I b 2πd (14) Zwrot siły jest pokazany na Rys. 6. Oczywiście to rozumowanie można "odwrócić" i obliczyć siłę jaka działa na przewodnik 'a' w polu magnetycznym wytwarzanym przez przewodnik 'b'. Wynik obliczeń jest ten sam co wprost wynika z trzeciej zasady dynamiki Newtona. Widzimy, że dwa równoległe przewodniki z prądem oddziaływają na siebie za pośrednictwem pola magnetycznego. Przewodniki, w których prądy płyną w tych samych kierunkach przyciągają się, a te w których prądy mają kierunki przeciwne odpychają się. Doświadczenie to można prześledzić na filmie poniżej http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=53 Film został udostępniony przez Politechnikę Warszawską na licencji Creative Commons BY-SA 3.0. PL dla potrzeb e-podręczników AGH.
UWAGA Uwaga 1: Jednostki Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano do definicji ampera. Załóżmy, że d = 1m oraz, że w przewodnikach płyną jednakowe prądy I a = I b = I. Jeżeli dobierzemy tak prąd, aby siła przyciągania przewodników, na 1 m ich długości, wynosiła 2 10 7 N to mówimy, że natężenie prądu w tych przewodnikach jest równe jednemu amperowi. Prawo Biota-Savarta Istnieje równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć pole B z rozkładu prądu. To prawo jest matematycznie równoważne z prawem Ampère'a (zob. moduł Prawo Ampere'a). Jednak prawo Ampère'a można stosować tylko, gdy znana jest symetria pola (trzeba ją znać do obliczenie odpowiedniej całki). Gdy ta symetria nie jest znana, wówczas dzielimy przewodnik z prądem na różniczkowo małe elementy i stosując prawo Biota-Savarta, obliczamy pole jakie one wytwarzają w danym punkcie. Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów żeby uzyskać wypadkowy wektor B. Na Rys. 7 pokazany jest krzywoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu I. Zaznaczony jest element dl tego przewodnika i pole db jakie wytwarza w punkcie P. Zgodnie z prawem Biota-Savarta pole db w punkcie P wynosi Rysunek 7: Pole db wytworzone przez element dla przewodnika PRAWO Prawo 2: Prawo Biota-Savarta db = μ 0 I dl r 4π r 3 (15) Wartość liczbowa db jest więc dana równaniem db = I μ 0 4π dlsinθ r 2 (16)
PRZYKŁAD Przykład 3: Zastosowanie prawa Biota-Savarta Jako przykład zastosowania prawa Biota-Savarta obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem w punkcie P pokazanym na Rys. 8. Rysunek 8: Kołowy przewodnik o promieniu R przewodzący prąd o natężeniu I Z prawa Biota-Savarta znajdujemy pole db pochodzące od elementu dl (położonego na szczycie okręgu) μ 0 I dlsin90 o 4π r 2 db = = I μ 0 4π dl r 2 (17) Zwróćmy uwagę, że element dl jest prostopadły do r. Pole db można rozłożyć na dwie składowe, tak jak na rysunku. Suma wszystkich składowych db y jest równa zeru bo dla każdego elementu przewodnika dl ta składowa znosi się z odpowiednią składową elementu leżącego po przeciwnej stronie okręgu. Wystarczy więc zsumować składowe db. Ponieważ db x = dbcosα (18) zatem db x = Icosαdl μ 0 4πr 2 (19) Ponadto, zgodnie z Rys. 8 r = R 2 + x 2 (20) oraz R cosα = = r R R2 + x 2 (21) Ostatecznie więc otrzymujemy μ 0 IR db x = dl 4π( R 2 + x 2 ) 3/2 (22) Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów dl prądu. Wykonujemy teraz sumowanie (całkowanie), żeby obliczyć wypadkowe pole B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki) B = d = = B x μ 0 IR 4π( R 2 + x 2 ) 3/2 dl μ 0 IR (2πR) = 4π( + R 2 x 2 ) 3/2 μ 0 IR 2 2( R 2 + x 2 ) 3/2 (23)
ZADANIE Zadanie 1: Pole magnetyczne w środku obręczy Treść zadania: Wzór ( 23 ) przyjmuje znacznie prostszą postać w szczególnych punktach. Spróbuj na jego podstawie określić pole w środku koła ( x = 0) oraz w dużej odległości od przewodnika tzn. dla x >> R. Jak już mówiliśmy każdy obwód z prądem jest charakteryzowany poprzez magnetyczny moment dipolowy μ = IS, gdzie S jest powierzchnią obwodu. Wyraź obliczane pole magnetyczne poprzez μ. B(x = 0) = B(x >> R) = Rozwiązanie: Dane: μ = IS = π R 2, R, x Pole magnetyczne wytworzone przez kołowy przewodnik o promieniu R (przewodzący prąd o natężeniu I) w odległości x na osi symetrii przewodnika jest dane wyrażeniem B = μ 0 IR 2 2( R 2 + x 2 ) 3/2 x = 0 W środku koła ( ) ten wzór przyjmuje postać μ 0 I 2R μ 0 2πR 3 B = = μ a w dużej odległości od przewodnika tzn. dla x >> R μ B = 0 IR 2 μ = 0 μ 2x 3 2πx 3
ZADANIE Zadanie 2: Klasyczne obliczanie pola magnetycznego w atomie wodoru Treść zadania: Korzystając z wyliczonego pola magnetycznego w środku przewodnika kołowego oblicz pole wytwarzane w środku orbity (w miejscu jądra atomowego) przez elektron w atomie wodoru. Zgodnie z modelem Bohra elektron krąży w atomie wodoru 11 15 po orbicie o promieniu R = 5 10 m z częstotliwością f = 6.5 10 1/s. Porównaj obliczone pole z wartościami podanymi w tabeli 1 w module Siła magnetyczna B = Rozwiązanie: Dane: μ 0 = 4π 10 7 Tm/A, R = 5 10 11 m, f = 6.5 10 15 1/s, e = 1.6 10 19 C Pole magnetyczne wytworzone przez kołowy przewodnik o promieniu R (przewodzący prąd o natężeniu I) w jego środku jest dane wyrażeniem B = I μ 0 2R Natężenie prądu I wytwarzanego przez elektron o ładunku e przebiegający orbitę w czasie T (okres obiegu) wynosi q t e T I = = = ef Łączymy powyższe wzory B = ef μ 0 2R i po podstawieniu danych otrzymujemy B = 13 T. Podsumowanie informacji o polu magnetycznym 1. Na ładunek poruszający się w jednorodnym polu magnetycznym działa siła Lorentza F = qv B 2. Pole magnetyczne działa na dipol magnetyczny momentem skręcającym τ = μ B. Wielkość μ = I S nazywamy magnetycznym momentem dipolowym. 3. Pole magnetyczne wytworzone przez prąd stały można obliczyć z prawa Ampera, z którego wynika, że B dl = μ 0 I, gdzie I jest prądem zawartym w konturze całkowania. Gdy nie jest znana symetria pola magnetycznego to wówczas do obliczeń pola korzystamy z prawa Biota-Savarta. 4. Pole magnetyczne wytworzone przez solenoid (cewkę) wynosi B = μ 0 In, gdzie I jest prądem płynącym przez cewkę, a n liczbą zwojów na jednostkę długości. 5. Równoległe przewodniki z prądem oddziaływają na siebie za pośrednictwem pola magnetycznego. Przewodniki, w których prądy płyną w tych samych kierunkach przyciągają się, a te w których prądy mają kierunki przeciwne odpychają się. Zadania z pola magnetycznego 1. Elektrony poruszające się w kineskopie monitora mają energię kinetyczną E = 12 kev. Monitor jest tak zorientowany, że elektrony poruszają się poziomo z północy na południe. Składowa pionowa ziemskiego pola magnetycznego jest skierowana w dół i ma wartość indukcji B = 5 10 5 T. Jakie jest odchylenie elektronów po przebyciu w kineskopie drogi 25 cm? 2. Proton, deuteron (jądro izotopu wodoru zawierające 1 proton i 1 neutron) oraz cząstka alfa (jądro helu zawierające 2 protony i 2 neutrony) są przyspieszane w polu elektrycznym tą samą różnicą potencjałów, a następnie wchodzą w obszar pola magnetycznego B, poruszając się prostopadle do niego. Porównaj energie kinetyczne cząstek i promienie torów kołowych w polu magnetycznym.
3. Oblicz wartość indukcji magnetycznej B w odległości 1 cm od nieskończenie długiego, prostoliniowego przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I = 5A. Jaki jest kierunek i zwrot wektora B. 4. Solenoid o długości l = 50cm i średnicy ϕ = 10 cm ma 500 zwojów. Oblicz pole magnetyczne B wewnątrz solenoidu, jeśli płynie w nim prąd o natężeniu 1 A. Jaki jest strumień pola magnetycznego w solenoidzie? 5. W przewodniku składającym się z dwóch prostoliniowych odcinków o długości l = 20cm każdy i półkola o promieniu R = 10 cm płynie prąd o natężeniu I = 1A (zob. Rys. 9). Oblicz pole magnetyczne w w środku półkola (punkt P). Jak jest zwrot wektora B? Rysunek 9: Ilustracja do zadania 5 Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/. Data generacji dokumentu: 2018-11-26 23:07:36