Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik

Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik

gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m]. 4. W kolejnym funkcję dyssypacji gdzie: b- stała tłumienia, [ N s m ]. k y2 V= 2 b ẏ2 R= 2 (1.3) (1.4) 5. Po określeniu energii, należy wyznaczyć odpowiednie pochodne cząstkowe: T =m ẏ, (1.5) ẏ d T (1.6) dt y =my, T (1.7) y =0, V =k y, (1.8). y R (1.9) ẏ =b y. 6. W ostatnim kroku następuje podstawienie wyrażeń (1.5 1.9) do wzoru ogólnego (1.10): d T dt y T y + V y + R ẏ =f. (1.10) 7. W wyniku czego otrzymano wyrażenie (1.11). mÿ 0+k y+b ẏ=f (1.11) 8. Po przekształcenie równanie ruchu rozpatrywanego modelu przedstawia wyrażenie (1.12). ÿ+ k y m +b ẏ m = f m (1.12)

O ile równanie ruchu jest liniowe, to można je przedstawić w formie algebraicznej wykorzystując następujące twierdzenia: -transformaty oryginału: -transformaty pochodnej: F (s)=l {f (t)}= e st f (t )dt 0 L {f ' }=s L {f } f (0 + ) (1.13) (1.14), gdzie f (0 + ) oznacza granicę prawostronną (warunki początkowe) funkcji f (t) w punkcie t=0 L {f ''}=s 2 L {f } s f (0 + ) f ' (0 + ) (1.14) n L{f (n) }=s n L{f } s n k f (k 1 ) (0 + )=s n L{f } s n 1 f (0 + ) s n 2 f ' (0 + )... f n 1 (0 + ) k=1 (1.15),gdzie: f ' (0 + ) oznacza granicę prawostronną (warunek początkowy) funkcji f ' (t) w punkcie t=0. Wyrażenie (1.13 1.14) są przypadkami szczególnymi, zaś wyrażenie (1.15) wzorem ogólnym na pochodną stopnia n-tego. 3 Przebieg ćwiczenia Student ma za zadanie wykorzystując następujące metody: modelowania układów dynamicznych w aplikacji xcos, transmitancji operatorowej, wyznaczyć odpowiedź skokową oraz impulsową następującego modelu (rys 2). Znając równanie ruchu pojazdu, które przyjmuje następującą postać: m v+b v=u (1.16)

wejście),,gdzie Politechnika Lubelska, Katedra Automatyzacji u- siła generowana przez samochód na kontakcie (koła/droga) [N] (wymuszenie- v- prędkość pojazdu [ m s ] (odpowiedź - wyjście), b współczynnik tłumienia [ N s m ], jeżeli: - m masa pojazdu wynosi 1000 [kg] + 50 x (x - numer z listy) [kg], - b- współczynnik tłumienia wynosi 50 [kg] + 1 x (x - numer z listy) [ N s m ]. uzyskanie obiema metodami. Należy również porównać wyniki (przebiegi czasowe/ odpowiedzi czasowe) 3.1 Przykładowy sposób realizacji zadania ( na przykładzie modelu z punktu rozdziału 2) A. Metoda modelowania układów dynamicznych w aplikacji xcos. 1. W pierwszym kroku należy zdefiniować zmienne przestrzeni roboczej aplikacji Scilab, wykorzystywane przez moduł Xcos. Komentarz: Dokonuje się tego poprzez wpisanie poniższych komend do konsoli programu Scilab. gdzie: b, m, k są to wartości poszczególnych stałych, (k-współczynnik sprężystości, b- stała tłumienia, m masa), odpowiadają jednostkom z opracowania teoretycznego. 2. W kolejnym kroku należy przedstawić równanie ruchu w postaci (tak aby najwyższa pochodna odpowiedzi/wyjścia znajdowała się po lewej stronie równania): ÿ= F m k y m b ẏ m (1.17) 3. Na podstawie równania ruchu składa się bloki w celu uzyskania modelu symulacyjnego (rys 3).

Rys 3 Model układu masa-sprężyna-tłumik Komentarz: Wyjściem z członu sumującego jest najwyższa pochodna y (przemieszczenie bloczka) czyli ÿ (przyśpieszenie bloczka), która jednocześnie znajduje się po lewej wyrażenia (1.17). Jest tożsama z zapisem d 2 y/dt 2 z rys 3. Następnie sygnał ten przechodzi przez blok całkowania (1/s). Całkowanie powoduje że stopień pochodnej maleje, więc uzyskano ẏ (sygnał prędkości bloczka). Kolejne całkowanie (1/s) powoduje kolejne zmniejszenie stopnia pochodnej, która następnie wynosi y. Jest to przemieszczenie bloczka więc najniższy stopień pochodnej (sygnał wyjściowy/ odpowiedź układu). Kolejnym etapem jest podłączenie do bloku sumacyjnego sygnałów zapewniających spełnienie wyrażenia (1.17). Jest to widoczne na rys 3. Wartość prędkości mnożona jest przez stałe b/m, zaś wartość sygnału przemieszczenia mnożone jest przez k/m a następnie sygnały te podłączone są do członu sumującego ze znakiem ujemnym, tak aby spełniły wyrażenie (1.17). Ostatnim etapem jest podłączenie sygnału wymuszającego/wejścia. Według równania ruchu musi być ono pomnożone przez 1/m i dodane do członu sumującego ze znakiem dodatnim. 4. Następnie należy otrzymany model należy zamienić w jeden blok przez zaznaczenie powyższych bloków kursorem myszki, kliknięcie prawym klawiszem i wybranie opcji Selection to superblock. 5. Do otrzymanego bloku (modelu układu masa-sprężyna-tłumik) należy dodać element generujący sygnał skokowy (sygnał siły), oraz elementy służące do wizualizacji stanu wyjściowego (przemieszczenie bloczka), co zostało przedstawione na rys 4.

Rys 4 Model układu masa-sprężyna-tłumik w aplikacji xcos 6. W celu otrzymania odpowiedniej symulacji należy dostosować warunki symulacyjne przez ustawienie w zakładce : Symulacja > Ustawienia > Ostateczny czas integracji, czas trwania symulacji (przykładowo 30 sekund), oraz przeskalować wykres aby był widoczny w pełnym oknie. 7. Przykładową odpowiedź czasową skokową przedstawia (rys 5). Rys 5 Odpowiedź czasowa modelu masa-tłumik-sprężyna. B. Metoda transmitancji operatorowej 1. W pierwszym kroku należy zapisać rozpatrywane równanie ruchu w postaci: przyczyna- skutek: mÿ+b ẏ+k y=f (1.18)

2. W kolejnym kroku należy wyznaczyć transformatę równania ruchu wykorzystując twierdzenie o transformacie pochodnej, dla warunków początkowych, wynoszących: Y (0 + )=Y '(0 + )=0. 3. Uzyskane przekształcenia: L{f }=F (s) L{y}=Y (s) L {ẏ}=s Y (s) Y (0 + ) L {ÿ}=s 2 Y (s) s Y (0 + ) Y' (0 + )=s 2 Y (s) (1.19) (1.20) (1.21) (1.22) 4. Następnie należy podstawić uzyskane transformaty (1.19-1.22) do wyrażenia (1.18), w rezultacie czego uzyskano wyrażenie (1.23). m s 2 Y (s)+k Y (s)+b s Y (s)=f (s) (1.23) 5.Następnie należy zapisać wyrażenie (1.23) do postaci transmitancji operatorowej. Y (s) F (s) = 1 m s 2 +b s+k 1 G(s)= m s 2 +b s+k (1.24) (1.25) 6. Następnie należy wstawić do modelu symulacyjnego blok CLR oraz zapisać transmitancję (1.25) uzyskaną w poprzednim punkcie (rys 6). Rys 6 Model układu masa-sprężyna- tłumik zapisany przy pomocy transmitancji operatorowej. 5. W ostatnim kroku należy przeprowadzić symulację, oraz porównać wyniki z uzyskanymi poprzednio.

4 Sprawozdanie i pytania kontrolne Sprawozdanie powinno zawierać: - cel ćwiczenia, -przebieg ćwiczenia, -schemat problemu (pojazd), -równania ruchu, -model dla przypadku modelowania układów dynamicznych w aplikacji xcos, -uzyskane wyniki (xcos), -wykonane obliczenia dla metody transmitancji operatorowej, -schemat modelu transmitancji operatorowej w xcos, -uzyskane wyniki, -porównanie wyników -wnioski. Pytania Kontrolne: 5 Literatura 1. Narysować schemat układu masa-tłumik-sprężyna. Co może być sygnałem wejściowym a co wyjściowym? 2. Co to jest wymuszenie siłowe i kinematyczne? 3. Podać twierdzenie przekształcenia Laplace a. 4. Narysować przebieg charakterystyki skokowej układu. Scharakteryzować otrzymane właściwości. [1] http://ctms.engin.umich.edu/ctms/index.php? example=cruisecontrol&section=systemmodeling [2] Marek Żelazny Podstawy Automatyki [3] Janusz Kowal Podstawy Automatyki