Fizyka statystyczna Potencjały termodynamiczne i warunki równowagi Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016
Energia wewnętrzna jako funkcja jednorodna Dla dowolnych procesów termodynamicznych (dla płynów; dla magnetyków itp. wyrażenie na pracę miałoby inna postać) mamy du T ds p dv + µ dn (1a) w szczególności dla procesów odwracalnych du = T ds p dv + µ dn. (1b) Równanie (1b) mówi, że energia wewnętrzna jest funkcja zmiennych ekstensywnych: U = U(S, V, N), (2) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 2
a zmienne intensywne, kanonicznie sprzężone z odpowiednimi zmiennymi ekstensywnymi, sa dane przez T = U S, V,N p = U V, N,S µ = U N S,V. (3) Aby wyrażenie (1b) na du było różniczka zupełna, różniczka (zewnętrzna) prawej strony musi znikać. Ponieważ iloczyn zewnętrzny dx dy = dy dx, aby różniczka prawej strony znikała, drugie pochodne zmiennych intensywnych po niesprzężonych z nimi zmiennych ekstensywnych musza być równe odpowiednim pochodnych w przeciwnych parach. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 3
Sa to warunki całkowalności dla energii wewnętrznej: T = p V S,N S T = µ N S,V S p = µ N V,S V V,N N,V N,S (4a) (4b) (4c) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 4
Dla entropii mamy S = S(U, V, N) oraz d S = 1 T du + p T dv µ N dn, (5) co otrzymujemy z (10) pod warunkiem, że spełnione sa założenia twierdzenia o funkcjach uwikłanych. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 5
Funkcje jednorodne Ścisłe znaczenie terminu ekstensywny zawiera się w stwierdzeniu, że energia wewnętrzna jest funkcja jednorodna rzędu pierwszego: λ: U(λS, λv, λn) = λu(s, V, N). (6) Pozwala to na operowanie pojęciami gęstości energii i gęstości entropii u = U N = u(s, v), s = S N = s(u, v), (7) gdzie v = V/N jest objętościa właściwa. Z kolei wielkości intensywne sa funkcjami jednorodnymi zerowego rzędu: T = T (S, V, N) T ( S N, V N ). (8) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 6
Relacja Gibbsa-Duhema Różniczkujac wyrażenie (6) po λ U = S U S + V U V + N U N, (9) U = T S pv + µn. (10) Różniczkujac powyższe wyrażenie i porównujac z (1b) dostajemy relację Gibbsa-Duhema: S dt V dp + N dµ = 0. (11) Uogólnienie relacji Gibbsa-Duhema na układy wieloskładnikowe jest oczywiste i zapisywane zazwyczaj w postaci (I jest liczba składników) I N i dµ i = S dt + V dp. (12) i=1 Zmienne intesywne opisujace układ nie sa niezależne: jest na nie nałożony więz, wynikajacy z ekstensywności energii wewnętrznej. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 7
Przykład: gaz doskonały Energia klasycznego, jednoatomowego gazu doskonałego dana jest wyrażeniem Wyrażenie to wynika z równań U = 3 NRT. (13) 2 1 T = 3RN 2U = 3R 2u, p T = RN V = R v. (14) Brakuje wyrażenia na potencjał chemiczny, a raczej na µ/t. Relacja Gibbsa-Duhema przybiera postać a zatem d ( ) µ d T ( ) µ T = u d ( ) 1 T = 3R 2 + v d ( ) p T du u Rdv v, (15) (16) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 8
więc µ T = ( ) µ T 0 3 2 R ln ( u u 0 ) R ln ( v v 0 ), (17) gdzie indeks 0 oznacza jakiś stan odniesienia. Ostatecznie dostajemy S = N N 0 + NR ln ( )3 ( ) ( ) U 2 5 V N 2 U 0 V 0 N 0 U = U 0 ( V V 0 )2 3 ( N N 0 )5 3 exp [ 2 3R gdzie entropia stanu odniesienia wynosi S 0 = 5 2 N 0R N 0 ( µ T, (18) ( S N S )] 0, (19) N 0 ) 0. (20) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 9
Inne potencjały termodynamiczne Oprócz energii wewnętrznej, kostruuje się też inne potencjały termodynamiczne. Robi się to za pomoca transformacji Legendre a, polegajacych na zamianie rolami wielkości ekstensywnych i kanonicznie sprzężonych z nimi wielkości intensywnych. W tym celu należy wyliczyć odpowiednia wielkość ekstensywna z równania stanu; zakładamy, że to jest możliwe (równania sa odpowiednio gładkie, spełnione sa założenia twierdzenia o funkcjach uwikłanych itp). Transformacja Legendre a polega na uzupełnianiu do różniczki zupełnej. Na przykład du T ds p dv + µ dn = d(t S) S dt p dv + µ dn. (21) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 10
Otrzymujemy w ten sposób energię swobodna (zwana także energia swobodna Helmholtza): F = U T S, df S dt p dv + µ dn, F = F (T, V, N). Postępujac podobnie jak w wypadku energii wewnętrznej, otrzymujemy S = F T, V,N p = F V, N,T µ = F N oraz następujace warunki całkowalności dla energii swobodnej: S V = p T,N T S N = µ T,V T p N = µ V,T V V,N V,N N,T (22a) (22b) (22c) T,V, (23) (24a) (24b) (24c) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 11
Zupełnie podobnie wprowadza się entalpię H = U + pv, dh T ds + V dp + µ dn, H = H(S, p, N) (25a) (25b) (25c) z warunkami T = H S, p,n V = H p, N,S µ = H N S,p, (26) V S = T p,n p V N = µ p,s p µ S = T N,p N S,N N,S S,p (27a) (27b) (27c) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 12
... oraz energię swobodna Gibbsa, zwana także entalpia swobodna: H = U T S + pv, dg S dt + V dp + µ dn, G = G(T, p, N) (28a) (28b) (28c) z warunkami S = G T, p,n V = G p, N,T µ = G N T,p, (29) V T = S p,n p V N = µ p,t p S N = µ N,p T T,N N,T N,p (30a) (30b) (30c) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 13
Można wreszcie zamienić rolami potencjał chemiczny i liczbę czastek; z czterech możliwości najciekawszy jest wielki potencjał termodynamiczny z warunkami S = Ω T Ω = U T S µn = pv, dω S dt p dv N dµ Ω = Ω(T, V, µ), µ,v p = Ω V, T,µ S µ = N T,V T S V = p T,µ T p µ = N V,T V µ,v V,µ µ,t N = Ω µ (31a) (31b) (31c) T,V, (32) (33a) (33b) (33c) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 14
Równowaga stabilna Każdy z potencjałów termodynamicznych ma swoje naturalne zmienne. Wybór któregoś z potencjałów termodynamicznych jako właściwego do opisu jakiegoś procesu, zależy od narzuconych warunków, w jakich proces ten zachodzi. Wróćmy do nierówności (22b): df S dt p dv + µ dn. Oznacza ona, że w każdym procesie zachodzacym w stałej temperaturze, stałej objętości i przy ustalonej liczbie czastek, df 0. Innymi słowy, jeśli ustalimy warunki brzegowe w postaci T = const, V = const, N = const, system będzie mógł ewoluować na drodze procesów nieodwracalnych jedynie w stronę minimum energii swobodnej Helmholtza, to znaczy w stronę konfiguracji zapewniajacej minimum energii swobodnej. Nie musi to być minimum globalne; możliwa jest fałszywa próżnia, czyli minimum lokalne. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 15
Podobnie można powiedzieć o wszystkich pozostałych potencjałach termodynamicznych: Jeżeli narzucimy odpowiednie warunki brzegowe, układ będzie ewoluował w stronę mimnimum odpowiedniego potencjału termodynamicznego, mianowicie tego, którego naturalne zmienne odpowiadaja warunkom narzuconym na system. Minima potencjałów termodynamicznych odpowiadaja stabilnym punktom równowagi układu przy warunkach brzegowych określonych w ten sposób, że wartości naturalnych zmiennych sa ustalone. (T, V, N) = const δf = 0, δ 2 F > 0 (S, p, N) = const δh = 0, δ 2 H > 0 (T, p, N) = const δg = 0, δ 2 G > 0 (T, V, µ) = const δω = 0, δ 2 Ω > 0 (34) (Lokalne) minimum odpowiedniego potencjal odpowiada zarazem (lokalnemu) maksimum entropii (układy podażaj a do minimów po drogach nieodwracalnych). Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 16
Warunki równowagi Rozważmy układ składajacy się z dwóch podukładów A, B. Mamy więc U = U A +U B, V = V A +V B, N = N A +N B. Jeśli spełniony jest warnek (U, V, N) = const, osiagamy jakiś stan minimum, w którym zachodzi S = S A + S B = S(U A, V A, N A ) + S B (U U A, V V A, N N A ) (35) Ponieważ ds ma być różniczka zupełna, po uwzględnieniu (5) otrzymujemy T A = T B, p A = p B, µ A = µ B. (36) Równowaga dwu układów wymaga, aby ich temperatury, ciśnienia i potencjały chemiczne były równe. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 17
Cel termodynamiki Termodynamika dostarcza nam zbioru zależności pomiędzy wielkościami makroskopowymi, które można jawnie wyliczyć znajac jeden (dowolny) potencjał termodynamiczny. Termodynamika nie mówi, jak ten jeden poznać. Na potrzeby termodynamiki ten jedyny potencjał termodynamiczny, który jest niezbędny do wyliczenia pozostałych wielkości termodynamicznych, wyliczamy z równania stanu. W fizyce statystycznej wynika on z uśredniania hamiltonianu po zmiennych mikroskopowych z odpowiednim rozkładem prawdopodobieństwa. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 18
Geometria Drugiej Zasady Termodynamiki W oparciu o G. Morandi, F. Napoli, E. Ercolesi Statistical Mechanics. An Intermediate Course, Chap. 1 Zakładamy, że przestrzeń, o której mówimy, ma porzadne właściwości matematyczne, w szczególności wszystkie krzywe zamknięte sa ściagalne do punktu. Rozważamy liniowa formę różniczkowa w tej przestrzeni (uwaga na konwencję sumacyjna!): α = α i dx i. (37) Jest ona różniczka zupełna jakiejś funkcji, α = df, jeśli spełnione sa warunki całkowalności: α i, j : i = α j. (38) x j x i Wyrażajac to samo w innym języku, jeśli mamy krzywa zamknięta γ = γ(t), t [0, 1], γ(0) = γ(1) (39) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 19
to γ α = 1 0 dt α i [x(t)] dx i dt = 0. (40) Przpuśćmy teraz, że warunki całkowalności nie sa spełnione, jak to się dzieje na przykład dla ciepła, DQ. Pytanie brzmi: Jakie warunki musza być spełnione, aby α zwiazać z jakaś różniczka zupełna? Mamy funkcję f : R n R o tej własności, że df 0 n i=1 ( f x i ) 2 > 0. (41) Równanie f = const = c wyznacza pewna hiperpowierzchnię w R n. Jeśli zmienimy wartość c, dostaniemy cała rodzinę takich hiperpowierzchni, Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 20
zwana foliacja. Każdy liść foliacji jest rozmaitościa różniczkowalna o wymiarze n 1. Lokalny układ współrzędnych na liściu, plus wartość funckji f na liściu, wyznaczaja pewien krzywoliniowy układ współrzędnych na R n. Foliacje, za pomoca których da się wyznaczyć taki układ współrzędnych, nazywamy regularnymi. Rozważmy krzywa x i = x i (t), t [0, 1] (i numeruje kolejne współrzędne). Jeśli ta krzywa leży na liściu f = c (dla jakiegoś c), zachodzi df f=c = i f x i dx i dt = 0. (42) Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 21
Niech X i = dx i dt oraz X będzie wektorem zbudowanym z X i. Wówczas (42) możemy zapisać jako df(x) f x i X i = 0. (43) Wektor X, zwany jadrem różniczki zupełnej df, jest n 1 wymiarowa hiperpłaszczyzna lokalnie styczna do hiperpowierzchni f = const. Ujmujac to w innym języku, widzimy, iż rodzina hiperpowierzchni f = const jest rozwiazaniem równania Pfaffa df = 0. (44) Wszystko powyżej służyło do zdefiniowania pojęcia rozwiazanie równania Pfaffa Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 22
Definicja: Forma różniczkowa ω nazywana jest całkowalna, jeśli rozwia- zania równania Pfaffa ω = 0 stanowia foliację w R n. Twierdzenie: Forma różniczkowa ω jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para funkcji f, g taka, że ω = g df. (45) Funkcja g, jeśli istnieje, nazywana jest czynnikiem całkujacym formy ω. Czynnik całkujacy nie jest wyznaczony jednoznacznie. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 23
Twierdzenie Caratheodory ego: Jeśli liniowa forma różniczkowa ω = ω i (x) dx i (46) ma tę własność, że w każdym otoczeniu dowolnego punktu P istnieje punkt Q, który jest niedostępny, to znaczy nie istnieje krzywa γ spełniajaca równanie Pfaffa ω = 0 i łacz aca te dwa punkty, to forma ω posiada czynnik całkujacy. Przy odpowiednich założeniach matematycznych jest to warunek konieczny i wystarczajacy. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 24
Powrót do termodynamiki Procesy adiabatyczne sa opisane równaniem Pfaffa DQ = 0. (47) Druga Zasada może być zatem w myśl twierdzenia Caratheodory ego sformułowana nastepujaco: W otoczeniu dowolnego stanu termodynamicznego istnieja stany, które sa adiabtycznie niedostępne, to znaczy nie moga zostać osiagnięte poprzez proces adiabatyczny. Linia rozumowania jest taka: Druga Zasada postuluje istnienie entropii jako funkcji stanu. Różniczka entropii jest zatem różniczka zupełna. DQ = T ds, zatem DQ ma czynnik całkujacy, a zatem podlega twierdzeniu Caratheodory ego, a zatem jak wyżej. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 25
Można udowodnić, że dla każdego układu termodynamicznego czynnik całkujacy formy wymiany ciepła DQ jest iloczynem uniwersalnej funkcji temperatury empirycznej i czynnika zależnego tylko od pozostałych niezależnych zmiennych stanu. Copyright c 2015-16 P. F. Góra 5 26