1 Formy różniczkowe w R 3

Transkrypt

1 1 Formy różniczkowe w R 3 literatura: W.I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, rozdział 7 L. Górniewicz, R. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom 1, rozdział 9 H. Flanders, Teoria form różniczkowych R. Ingarden, A. Jamiołkowski, R. Mrugała, Fizyka statystyczna i termodynamika, rozdział 2 Termodynamika wygląda ciekawiej jeśli zapisze się ją w języku form różniczkowych. Oto podstawowe definicje dla form w trzech wymiarach. 1.1 Definicje form 0-forma Jest to po prostu funkcja skalarna f (x, y, z) 1-forma Jest to kombinacja liniowa form bazowych dx, dy, dz w kartezjańskim układzie współrzędnych a = a x dx + a y dy + a z dz (1.1) gdzie składowe formy a x, a y, a z są funkcjami współrzędnych x, y, z Formy bazowe to analogia wersorów na osiach kartezjańskiego układu współrzędnych, a sama 1-forma to inny sposób zapisu wektora. 2-forma W układzie kartezjańskim można ją zapisać jako: b = b x dy dz + b y dz dx + b z dx dy (1.2) 1

2 gdzie składowe formy: b x, b y, b z są funkcjami współrzędnych x, y, z. Daszek jest operacją iloczynu zewnętrznego form. Iloczyn zewnętrzny nie jest przemienny, ma on za to następującą własność: a b = ( 1) kl b a (1.3) gdzie k jest stopniem formy a, l stopniem formy b. Na przykład dla 1-form bazowych stąd wynika, że dx dy = dy dx (1.4) dx dx = 0 (1.5) 3-forma Jest to w zasadzie także odpowiednik funkcji skalarnej c = c(x, y, z) dx dy dz (1.6) 4-forma W przestrzeni trójwymiarowej nie ma ich, bo są tylko trzy formy bazowe dx, dy, dz i na przykład wyrażenie: dx dy dz dx = dx dx dy dz = 0 (1.7) Możemy więc wypisać analogie języka form i analizy wektorowej: 0-forma to pole skalarne f (x, y, z) 1-format to pole wektorowe a = (a x, a y, a z ) 2-forma to pole pseudowektorowe b = (b x, b y, b z ) 3-forma to pole pseudoskalarne c(x, y, z) Jeśli rozważymy operację inwersji przestrzennej 2

3 I : (x, y, z) ( x, y, z) (1.8) to pod jej działaniem pseudowektor (2-forma) nie zmienia znaku I : dx dy ( dx) ( dy) = dx dy (1.9) Innymi słowy przy odbiciu lustrzanym pseudowektor nie zmienia znaku. Przykładem takiego pseudowektora jest wektor indukcji magnetycznej B. Podobnie pod działaniem inwersji przestrzennej pseudoskalar (3-forma) zmienia znak I : dx dy dz ( dx) ( dy) ( dz) = dx dy dz (1.10) Przykładem pseudoskalara jest objętość zorientowanego równoleglościanu. 1.2 Operacja różniczkowania form Operację która formalnie polega na dopisaniu litery d nazywamy pochodną zewnętrzną formy ω. Jeśli ω jest formą stopnia k, to jej pochodna zewnętrzna dω jest formą stopnia k 1. Przy wykonywaniu operacji pochodnej zewnętrznej wychodzi się od 0-formy. d f = f x dx + f y dy + f dz (1.11) z Pochodna zewnętrzna 0-formy jest równoważna operacji gradientu funkcji skalarnej f Pochodna zewnętrzna ma tę wygodną własność, że dwukrotne różniczkowanie daje zero! ddω = 0 (1.12) Następująca reguła Leibnitza określa jak różniczkować iloczyn zewnętrzny form. gdzie k jest stopniem formy ω 1 (k-formy). d(ω 1 ω 2 ) = dω 1 ω 2 + ( 1) k ω 1 ω 2 (1.13) 3

4 Znaleźć pochodną zewnętrzną 1-formy. da = d(a x dx + a y dy + a z dz) = da x dx + da y dy + da z dz Ponieważ ddx = ddy = ddz = 0. Stąd da = a x y dy dx + a x z dz dx + a y x dx dy + a y z dz dy + a z x dx dx + a z dy dx y Ponieważ dx dx = dy dy = dz dz = 0. Korzystając z własności typu: dx dy = dy dx dostajemy w końcu: da = ( a y x a x y Wniosek ) ( az dx dy + y a y z ) ( dy dz + ax z a ) z dz dx x Pochodna zewnętrzna 1-formy da jest równoważna rotacji wektora a Znaleźć pochodną zewnętrzną 2-formy. db = d(b x dy dz +b y dz dx +b z dx dy) = b x x dx dy dz + b y y dy dz dx + b z dz dx dy z = ( b x x + b y y + b ) z dx dy dz z Wniosek Pochodna zewnętrzna 2-formy db jest równoważna operacji dywergencji wektora b Zbiór form różniczkowych z operacjami iloczynu zewnętrznego i pochodnej zewnętrznej nazywa się algebrą Cartana. 4

5 Wart wiedzieć jeszce o operacji zwanej gwiazdka Hoodge a. Dzięki niej można zamienić wektor (1-formę) na pseudowektor (2-formę) i skalar (0-formę) na pseudo skalar (3-formę). Forma ω jest forma (n k)-tego stopnia gdzie n jest wymiarem przestrzeni (u nas n = 3) Szczegółowe własności gwiazdki Hoodge a są opisane w punkcie 2.7 książki Flandersa. Sprawdzić zależności między pochodnymi cząstkowymi (tak zwane tożsamości termodynamiczne): ( ) a) V = 1/( p ) p T V T ( p ) ( ( ) b) T V T V V )p = 1 p T dla układu termodynamicznego o 2 stopniach swobody, dla którego równanie stanu: f (p, T, V) = const (1.14) z trzech zmiennych termodynamicznych p, T, V pozostawia dwie niezależne. Najpierw policzymy pochodne 0-form T(p, V), p(v, T) i V(T, p): dv = ( ) V d p + ( ) V dt p T T p d p = ( p V )T dv + ( p ) T dt V dt = ( ) T d p + ( ) T dv p V V p a) Liczymy dv dt rozwijając dv: dv dt = ( ) V d p dt p T ponieważ dv dv = 0 Z kolei rozwijając d p: dv dt = ( ( V p ) dv dt p )T V T Ponieważ dv i dt to formy bazowe musi więc zachodzić ( ( V p ) p )T V = 1 T To samo można otrzymać inaczej przyrównując dt = 0 we wzorach na d p i dv. b) d p dv = ( p ) dt dv rozwijając d p T V d p dv = ( p ) ( ) V dt d p rozwijając dv T V p T 5

6 d p dv = ( p ) ( ( ) V T dv d p rozwijając dt T V p )T V p ale dv d p = d p dv wobec czego musi być ( p ) ( ( ) V T T V p )T = 1 V p Uwaga W tradycyjnym wykładzie termodynamiki tego typu zadania rozwiązuje się przy pomocy jakobianów. 1.3 Formy zamknięte i zupełne ω jest formą zamkniętą jeśli zachodzi czyli jeśli jej pochodna zewnętrzna znika. ω jest formą zupełną jeśli zachodzi dω = 0 (1.15) ω = dτ (1.16) czyli jeśli istnieje pewna forma τ, dla której ω jest jej pochodną zewnętrzną. Oczywiście jeśli forma jest zupełna to także jest zamknięta ponieważ dω = ddτ = 0 (1.17) W drugą stronę obowiązuje Lemat Poincarégo: Forma zamknięta jest także zupełna jeśli w obszarze, który rozpatrujemy każda krzywa zamknięta jest ściągalna do punktu. Taki obszar nazywa się jednospójnym, bardziej prosto oznacza to brak dziur. 6

7 dziura Przykład krzywej ściągalnej i nieściągalnej do punktu. Możemy teraz zastosować Lemat Poincareégo do form o różnych stopniach. dla 1-formy w R 3 da = 0 A = d f w notacji wektorowej: A = 0 A = f Lemat Poincarégo dla 1-form odpowiada twierdzeniu o istnieniu potencjału skalarnego dla pola bezwirowego. Patrz D.J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, rozdział 1.6 dla 2-formy w R 3 da = 0 A = db w notacji wektorowej: A = 0 A = B Lemat Poincarégo dla 2-form odpowiada twierdzeniu o istnieniu potencjału wektorowego dla pola bezźródłowego. 1.4 Pierwsza zasada termodynamiki Należy zauważyć, że w różnych podręcznikach stosuje się różne konwencje co do znaku pracy i ciepła. Umówmy się co do następującej konwencji: dq = du + dw (1.18) 7

8 gdzie dq jest formą ciepła (ciepło dostarczone do układu), dw jest forma pracy (praca wykonana przez układ). Są to formy niezupełne! Co oznacza, że nie istnieją 0-formy (funkcje skalarne) Q i W (ciepło i praca), których te formy są pochodnymi. Z kolei du czyli zmiana energii wewnętrznej układu jest formą zupełną pochodną 0-formy U energii wewnętrznej. Uwaga Często dla podkreślenia, że ciepło i praca są formami niezupełnymi (nie są pochodnymi innych form) oznacza się je poprzez dodatkowe przekreślenie dq i dw, aby nie traktować symbolu d jako pochodnej zewnętrznej. Pokazać, że dla układu termodynamicznego o dwóch stopniach swobody forma ciepła nie jest zamknięta, czyli ddq 0. Możemy rozpisując formę pracy dw traktując ją jako pracę mechaniczną: dq = du + pdv stąd z reguły Leibnitza d( dq) = }{{} ddu = 0 + d(pdv) = d p dv + p }{{} ddv = 0 Korzystając z równania stanu w postaci p = p(v, T) możemy obliczyć formę ciśnienia: d p = ( p V )T dv + ( p ) T V stąd d( dq) = ( p ) dt dv ponieważ dv dv = 0 T V Ponieważ dt i dv są formami bazowymi forma ciepła dq nie jest formą zamkniętą, chyba że miałoby być ( p ) T = 0 V czyli gdy ciśnienie w stałej objętości nie zależałoby od temperatury. Z doświadczenia wiemy jednak, że zależy. Na przykład dla gazu doskonałego p = RT/V. 1.5 Równanie Pfaffa i warunek Frobeniusa Pierwszą zasadę termodynamiki można zapisać w postaci warunku znikania pewnej 1-formy ω 8

9 ω = dq du dw = 0 (1.19) Tego typu równanie nazywa się równaniem Pfaffa. Na przykład warunek znikania 1-formy na płaszczyźnie (x, y) daje równanie równanie Pfaffa: Stąd formalnie ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1.20) dy dx = P Q (1.21) czyli rozwiązaniem równania Pfaffa jest rodzina krzywych całkowych odpowiadającego mu równania różniczkowego. Dla 1-formy zupełnej w R 3 rozwiązanie jest trywialne: ω = d f = 0 (1.22) f (x, y, z) = const (1.23) Jest to rodzina powierzchni całkowych równania różniczkowego (1.22). Najłatwiej rozwiązać równanie Pfaffa ω = 0 (1.24) dla niezupełnej formy ω znajdując odpowiedni czynnik całkujący λ, gdzie λ(x, y, z) jest funkcją skalarną, taki, że forma λω będzie już zupełna λω = d f (1.25) Wówczas szukane rozwiązanie określa funkcja f. Zachodzi następujące twierdzenie Frobeniusa: forma ω ma czynnik całkujący, jeśli spełniony jest warunek: 9

10 ω dω = 0 (1.26) 1.6 Druga zasada termodynamiki Matematyk Caratheodory w 1909 roku znalazł następujące zastosowanie powyższej teorii do termodynamiki. Stwierdził, że forma ciepła dq nie jest zupełna, ale istnieje dla niej czynnik całkujący λ = 1 T (1.27) jest to odwrotność temperatury bezwzględnej T mierzonej w Kelwinach. Dość skomplikowany, ale elementarny dowód równania (1.27) znajduje się w książce: M.A. Leontoviq, Vvedenie v termodinamiku, 16. Jest to nic innego jak druga zasada termodynamiki: ds = 1 dq T (1.28) Forma zupełna ds powstała z formy ciepła dq jest pochodną zewnętrzną 0-formy entropii S. Można powiedzieć, że Caratheodory udowodnił drugą zasadę termodynamiki. Pokazać, że w 2 wymiarach każda forma ma czynnik całkujący. Dla 1-formy a = a x dx + a y dy liczymy pochodną zewnętrzną da = a x x dy dz + a y x dx dy = ( a x x a ) y dx dy x stąd a da = 0 Warunek Frobeniusa jest tożsamością. Dla 2-formy a = a(x, y) dx dy da = 0 Stąd także a da = 0 10

11 Wniosek Dla układu termodynamiczego o dwóch stopniach swobody istnienie czynnika całkującego dla formy ciepła jest matematycznie zapewnione. Jest to część dowodu drugiej zasady termodynamiki. Znaleźć warunek na istnienie czynnika całkującego dla 1-formy w 3 wymiarach. 1-forma: a = a x dx + a y dy + a z dz Jej pochodna zewnętrzna wynosi da = ( rot a) x dy dz + ( rot a) y dz dx + ( rot a) z dx dy Stąd warunek Frobeniusa a da = ( rot a) x dx dy dz + ( rot a) y dy dz dx + ( rot a) z dz dx dy = ( a rot a) dx dy dz Wobec czego warunek na istnienie czynnika całkującego dla 1-formy wynosi: a rot a = 0 (1.29) Sprawdzić warunek Frobeniusa dla formy ciepła w układzie termodynamicznym o dwóch stopniach swobody. Wybierzmy jako zmienne niezależne ciśnienie i objętość. Z pierwszej zasady termodynamiki: dq = du + dw = du + pdv mamy: ddq = ddu + d(pdv) = d p dv stąd: ddq dq = (du + pdv) d p dv = du d p dv Ale energia wewnętrzna musi być funkcją ciśnienia i objętości: U = U(p, V) stąd: 11

12 du = ( ) U d p + ( ) U dv p V V p a więc du d p dv = 0 Znaleźć wyrażenie na czynnik całkujący dla formy ciepła dq w przemianie adiabatycznej 1 mola gazu doskonałego w zmiennych (p, V). I zasada termodynamiki: dq = C V dt + pdv gdzie C V to ciepło molowe w stałej objętości. Równanie stanu gazu doskonałego pv = RT Pochodna zewnętrzna temperatury wynosi dt = R 1 (p dv + Vd p) stąd dq = C V R (p dv + Vd p) + pdv = ( 1 + C ) V C R p dv + V R Vd p = 0 Dostaliśmy równanie Pfaffa dla 1-formy dq w zmiennych p i V w postaci: A(p, V) d p + B(p, V) dv = 0 Czynnik całkujący daje nam w wyniku pochodną zewnętrzną 0-formy λ dq = d f = 0 Rozwiązaniem równania Pfaffa jest krzywa f (p, V) = const czyli po prostu równanie adiabaty w płaszczyźnie (p, V). To równanie znamy z elementarnej termodynamiki. f (p, V) = pv κ Możemy więc obliczyć formę ciśnienia d f = d p V κ + pκv κ 1 dv Z drugiej strony λ d f = C v R (p dv + Vd p) + pdv Porównując współczynniki przy d p otrzymujemy czynik całkujący λ = R C v V κ 1 a z porównania współczynników przy dv otrzymujemy dodatkowo wzór na współczynnik adiabaty. 12

13 κ = C v + R C v Układ termodynamiczny złożony z 1 mola gazu o cieple C V1 i 1 mola gazu o cieple C V2 rozdzielony jest adiabatycznym tłokiem. Pokazać, że dla formy ciepła dq = dq 1 + dq 2 nie istnieje czynnik całkujący (nie istnieje jedna temperatura układu). Równania stanu dla obu gazów p 1 V 1 = RT 1 p 2 V 2 = RT 2 Z powodu istnienia tłoka musi zachodzić p 1 = p 2 = p Z pierwszej zasady termodynamiki dostajemy dq 1 + dq 2 = C V1 dt 1 + C V2 dt 2 + p dv 1 + p dv 2 Różniczkujemy równania stanu: p dv 1 + V 1 d p = R dt 1 p dv 2 + V 2 d p = R dt 2 oraz korzystajmy z zależności V 1 = RT 1 /p V 2 = RT 2 /p Przy wykorzystaniu powyższych równań forma ciepła układu wynosi: dq = (C V1 + R) dt 1 + (C V2 + R)dT 2 R p (T 1 + T 2 ) d p Otrzymaliśmy 1-formę dq w postaci: ω =A dt 1 + B dt 2 + C d p = 0 dla zmiennych niezależnych (T 1, T 2, p). Sprawdzimy teraz warunek Frobeniusa: ω dω = 0 d( dq) = Rd [ d p p (T 1 + T 2 ) ] = R p (dt 1 + dt 2 ) d p stąd dq d( dq) = R p (C V1 + R) dt 2 d p dt 1 R p (C V2 + R) dt 1 d p dt 2 13

14 = R p (C V1 C V2 ) dt 1 d p dt 2 0 A więc forma ciepła nie ma czynnika całkującego. Jeśli C V1 = C V2 to mamy do czynienia z tym samym gazem po obu stronach tłoka, więc tłok można po prostu usunąć. W przeciwnym przypadku, w stanie równowagi termodynamicznej obie części układu mają różne temperatury. 14